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第三篇 导数及其应用第2讲 导数的应用(一)


第 2 讲 导数的应用(一) 【高考会这样考】1.利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 2.由函数单调性和导数的关系,求参数的范围. 【复习指导】本讲复习时,应理顺导数与函数的关系,理解导数的意义,体会导数在解决函数有关问题时 的工具性作用,重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间. 基础梳理 1.导数的几何意义 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线 l 的斜率,

切线 l 的方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.导数的物理意义 若物体位移随时间变化的关系为 s=f(t),则 f′(t0)是物体运动在 t=t0 时刻的瞬时速度. 3.函数的单调性 在(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0. f′(x)≥0?函数 f(x)在(a,b)上单调递增; 易误警示 f′(x)≤0?函数 f(x)在(a,b)上单调递减.

直线与曲线有且只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线;反之直线是曲线的切线,但直

线不一定与曲线有且只有一个公共点. 两个条件 (1)f′(x)>0 在(a,b)上成立是 f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件. (2)对于可导函数 f(x),f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分条件. 三个步骤 求函数单调区间的步骤:

(1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)由 f′(x)>0(f′(x)<0)解出相应的 x 的范围. 当 f′(x)>0 时,f(x)在相应的区间上是增函数; 当 f′(x)<0 时,f(x)在相应的区间上是减函数,还可以列表,写出函数的单调区间. 双基自测 1.(2011· 山东)曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 解析 由已知 y′=3x2,则 y′|x=1=3 切线方程为 y-12=3(x-1),即 y=3x+9. 2.(2012· 烟台模拟)函数 f(x)=x2-2ln x 的递减区间是 .(0,1] .9

2 ?x+1??x-1? 解析 函数的定义域为(0,+∞),又 f′(x)=2x- =2 由 f′(x)≤0,解得 0<x≤1. x x 3 . (2012· 长沙一中月考 ) 若点 P 是曲线 y = x2 - ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y = x - 2 的最小值 为 .

1 1 解析 由已知 y′=2x- ,令 2x- =1,解得 x=1.曲线 y=x2-ln x 在 x=1 处的切线方程为 y-1=x-1, x x 即 x-y=0.两直线 x-y=0,x-y-2=0 之间的距离为 d= 2 = 2. 2

4.(人教 A 版教材习题改编)在高台跳水运动中,t s 时运动员相对水面的高度(单位:m)是 t1(t)=-4.9t2+
1

6.5t+10,高台跳水运动员在 t=1 s 时的瞬时速度为________.答案 -3.3 m/s 5.函数 f(x)=x3-3x2+1 的递增区间是________. 解析 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),由 f′(x)>0 解得 x<0,或 x>2.答(-∞,0),(2,+∞) 考向一 求曲线切线的方程 【例 1】?已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线 f(x)在 x=2 处的切线方程;(2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程. [审题视点] 由导数几何意义先求斜率,再求方程,注意点是否在曲线上,是否为切点. 解 (1)f′(x)=3x2-8x+5f′(2)=1,又 f(2)=-2

∴曲线 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y-(-2)=x-2,即 x-y-4=0.
2 2 (2)设切点坐标为(x0,x3 0-4x0+5x0-4)f′(x0)=3x0-8x0+5 3 2 则切线方程为 y-(-2)=(3x2 0-8x0+5)(x-2),又切线过(x0,x0-4x0+5x0-4)点, 2 2 2 则 x3 0-4x0+5x0-2=(3x0-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2) (x0-1)=0,解得 x0=2,或 x0=1,

因此经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0,或 y+2=0. 首先要分清是求曲线 y=f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线.(1)求曲线 y=f(x)在 x=x0 处的切线方程可先求 f′(x0),利用点斜式写出所求切线方程; (2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标,求出切点坐标后再写切线方程. 【训练 1】 若直线 y=kx 与曲线 y=x3-3x2+2x 相切,试求 k 的值. 解 设 y=kx 与 y=x3-3x2+2x 相切于 P(x0,y0)则 y0=kx0,① 又 y′=3x2-6x+2,∴k=y′|x=x0=3x2 0-6x0+2,③ 3 1 3 2 2 由①②③得:(3x2 0-6x0+2)x0=x0-3x0+2x0,即(2x0-3)x0=0.∴x0=0 或 x0= ,∴k=2 或 k=- . 2 4 考向二 函数的单调性与导数 【例 2】?已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间. [审题视点] 函数单调的充要条件是 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 且不恒等于 0. 解 1 3 x- ?. (1)对 f(x)求导,得 f′(x)=3x2-2ax-3.由 f′(x)≥0,得 a≤ ? 2? x?
3 y0=x0 -3x2 0+2x0,②

1 3 3 x- ?,当 x≥1 时,t(x)是增函数,∴t(x)min= (1-1)=0.∴a≤0. 记 t(x)= ? 2? x? 2 (2)由题意,得 f′(3)=0,即 27-6a-3=0,∴a=4.∴f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3. 1 令 f′(x)=0,得 x1=- ,x2=3. 3 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x)

?-∞,-1? 3? ?


- 0

1 3

?-1,3? ? 3 ?


3 0

(3,+∞) +

2

f(x)

极大值

极小值

1? ? 1 ? ∴当 x∈? ?-∞,-3?,[3,+∞)时,f(x)单调递增,当 x∈?-3,3?时,f(x)单调递减. 函数在指定区间上单调递增(减),函数在这个区间上的导数大于或等于 0(小于或等于 0),只要 不在一段连续区间上恒等于 0 即可,求函数的单调区间解 f′(x)>0(或 f′(x)<0)即可. 【训练 2】 已知函数 f(x)=ex-ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由. 解 f′(x)=ex-a,

(1)若 a≤0,则 f′(x)=ex-a≥0,即 f(x)在 R 上递增, 若 a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥ln a.因此 f(x)的递增区间是[ln a,+∞). (2)由 f′(x)=ex-a≤0 在(-2,3)上恒成立.∴a≥ex 在 x∈(-2,3)上恒成立. 又∵-2<x<3,∴e 2<ex<e3,只需 a≥e3.当 a=e3 时 f′(x)=ex-e3 在 x∈(-2,3)上,f′(x)<0,


即 f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e3.故存在实数 a≥e3,使 f(x)在(-2,3)上单调递减. 考向三 利用导数解决不等式问题 【例 3】?设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. [审题视点] 第(2)问构造函数 h(x)=ex-x2+2ax-1,利用函数的单调性解决. (1)解 由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2,于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表. x f′(x) f(x) (-∞,ln 2) - 单调递减 ln 2 0 2(1-ln 2+a) (ln 2,+∞) + 单调递增

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2],单调递增区间是[ln 2,+∞), f(x)在 x=ln 2 处取得极小值,极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a). (2)证明 设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln 2-1 时,g′(x)的最小值为 g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0.即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1. 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问 题.比如要证明对?x∈[a,b]都有 f(x)≥g(x),可设 h(x)=f(x)-g(x)只要利用导数说明 h(x)在[a,b]上的最 小值为 0 即可. 【训练 3】 已知 m∈R,函数 f(x)=(x2+mx+m)ex (1)若函数没有零点,求实数 m 的取值范围;(2)当 m=0 时,求证 f(x)≥x2+x3. (1)解 由已知条件 f(x)=0 无解,即 x2+mx+m=0 无实根,
3

则 Δ=m2-4m<0,解得 0<m<4,实数 m 的取值范围是(0,4) (2)证明 当 m=0 时,f(x)=x2ex 设 g(x)=ex-x-1,∴g′(x)=ex-1, g(x),g′(x)随 x 变化情况如下: x g′(x) g(x) 由此可知对于 x∈R,g(x)≥g(0) 即 ex-x-1≥0,因此 x2(ex-x-1)≥0,整理得 x2ex≥x3+x2,即 f(x)≥x3+x2. 阅卷报告 2——书写不规范失分 【问题诊断】 利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容,这类问题求解并不难,即只需由 f′?x? >0 或 f′?x?<0,求其解即得.但在求解时会因书写不规范而导致失分. 【防范措施】 对于含有两个或两个以上的单调增区间?或单调减区间?,中间用“,”或“和”连接,而不 能用符号“∪”连接. 1 【示例】?设函数 f(x)=x(ex-1)- x2,求函数 f(x)的单调增区间. 2 1 正解 因为 f(x)=x(ex-1)- x2,所以 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)· (x+1). 2 令 f′(x)>0,即(ex-1)(x+1)>0,得 x<-1 或 x>0. 所以函数 f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(0,+∞). 【试一试】 设函数 f(x)=ax3-3x2,(a∈R),且 x=2 是 y=f(x)的极值点,求函数 g(x)=ex· f(x)的单调区间. [尝试解答] f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).因为 x=2 是函数 y=f(x)的极值点. 所以 f′(2)=0,即 6(2a-2)=0,因此 a=1,经验证,当 a=1 时,x=2 是函数 f(x)的极值点, 所以 g(x)=ex(x3-3x2),g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)=ex(x3-6x)=x(x+ 6)(x- 6)ex. 因为 ex>0,所以 y=g(x)的单调增区间是(- 6,0)和( 6,+∞);单调减区间是(-∞,- 6)和(0, 6). (-∞,0) - 0 0 0 (0,+∞) +

A 级 基础达标演练 1.(2012· 深圳中学月考)与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是 解析 设切点坐标为(x 0,x2 0), 则切线斜率为 2x0,[来源:Zxxk.Com] .

由 2x0=2 得 x0=1,故切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 1 2.(2012· 贵阳模拟)函数 y=4x2+ 的单调增区间为 x .

1 1 1 1 1 1 ,+∞?上递增. 解 由 y=4x2+ 得 y′=8x- 2, 令 y′>0, 即 8x- 2>0, 解得 x> , ∴函数 y=4x2+ 在? ? x x x 2 x ?2 3.(2012· 云南师大附中月考)如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么导函数 y=f′(x)的图象可能是( ).

4

解析 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负, 只有答案 A 满足. [来源:学。 科。网 Z。X。X。K] 4.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的切线,则 k 的值为 .

1 1 解析 设(x0,ln x0)是曲线 y=ln x 与直线 y=kx 的切点, 由 y′= 知 y′|x=x0= x x0 ln x0 1 1 由已知条件: = ,解得 x0=e,k= . x0 x0 e 5.函数 f(x)=ax3-x 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围 解析 .

f′(x)=3ax2-1 若 a=0,则 f′(x)=-1<0,f(x)在 R 上为减函数

? ? ?a<0, ?a<0, 若 a≠0,由已知条件? 即? 解得 a<0.综上可知 a≤0 .[来源:学 .科.网] ?Δ≤0, ? ? ?12a≤0.

6.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是________. 解析 f′(x)=ex+(x-3)ex=ex(x-2),由 f′(x)>0 得 x>2.答案 (2,+∞)

7.(2012· 银川质检)已知直线 y=x+ 1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为________. y =x +1 ? ?y =ln?x +a? 1 设切点坐标为(x ,y )又 y′= ,由已知条件? x+a 1 ? ?x +a=1
0 0 0 0 0 0 0

解析

:Z 解得 a=2.

8.(2012· 青岛二中月考)若曲线 f(x)=ax5+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 1 1 解析 ∵f′(x)=5ax4+ ,x∈(0,+∞),∴由题意知 5ax4+ =0 在(0,+∞)上有解. x x 1 1 即 a=- 5在(0,+∞)上有解.∵x∈(0,+∞),∴- 5∈(-∞,0).∴a∈(-∞,0). 5x 5x 9.(11 分)(2012· 临川一中模拟)已知函数 f(x)= ln(x+1)-x 1 (1) 求 f(x)的单调区间;(2)求证:当 x>-1 时,1- ≤ln(x+1)≤x. x+1 (1) 解 函数 f(x)的定义域为(-1,+∞).f′(x)= f′(x)与 f(x)随 x 变化情况如下: x f′(x) f(x) 因此 f(x)的递增区间为(-1,0),递减区间为(0,+∞). 1 (2)证明 由(1) 知 f(x)≤f(0).即 ln(x+1)≤x 设 h(x)=ln (x+1)+ -1 x+1 1 1 x h′(x)= - = 可判断出 h(x)在(-1,0)上递减,在(0,+∞)上递增. x+1 ?x+1?2 ?x+1?2 因此 h(x)≥h(0)即 ln(x+1)≥1- 1 1 .所以当 x>-1 时 1- ≤ln(x+1)≤x. x+1 x+1
5

-x 1 -1= x+1 x+1

(-1,0) +

0 0 0

(0,+∞) -

1 10.(12 分)设函数 f(x)= x2+ex-xex. 2 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为(- ∞,+∞),[∵f′(x)=x +ex-(ex+xex)=x(1-ex),[来源:Zxxk.Com]

若 x<0,则 1-ex>0,所以 f′(x)<0;若 x>0,则 1-ex<0,所以 f ′(x)<0; ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,即 f(x)的单调减区间为(-∞,+∞). (2)由(1)知 ,f(x)在[-2,2]上单调递减.∴[f(x)]min=f(2)=2-e2, ∴m<2-e2 时,不等式 f(x)>m 恒成立.[来源:学科网] B 级 综合创新备选 1.(2012· 荆州中学月 考)对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f( 1) D.f(0)+f(2)>2f( 1) ).

?x-1≥0, ?x-1≤0, ? ? 解析 不等式(x-1)f′(x)≥0 等价于? 或? 可知 f(x)在(-∞,1)上递减,(1,+∞)上 ?f′?x?≥0 ?f′?x?≤0. ? ?

递增,或者 f(x)为常数函数,因此 f(0)+f(2)≥2f(1).答案 C[来源:学科网 ZXXK] 2. (2011· 辽宁)函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=2, 对任意 x∈R, f′(x)>2, 则 f(x)>2x+4 的解集为 .

解析 设 g(x)=f(x)-2x-4,由已知 g′(x)=f′(x)-2>0,则 g(x)在(-∞,+∞)上递增,又 g(-1)=f(- 1)-2=0,由 g(x)=f(x)-2x-4>0,知 x>-1.答案 (-1,+∞)

3.函数 f(x)=x ax-x2(a>0)的单调递减区间是_____ ___.

?x-3a? - 2 x ? 4? 3ax-4x 解析 由 ax-x2≥0(a>0)解得 0≤x≤a,即函数 f(x)的定义域为[0,a],f′(x)= ,由 2= 2 ax-x ax-x2
2

3a ? 3a f′(x)<0 解得 x≥ ,因此 f(x)的单调递减区间是? ? 4 ,a?. 4 4.(2012· 武汉模拟)已知函数 f(x)=x2(x-a). 若 f(x)在(2,3)上单调则实数 a 的范围是________;若 f(x)在(2,3)上不单调,则实数 a 的范围是________. 2a? 解析 由 f(x)=x3-ax2 得 f′(x)=3x2-2ax=3x? ?x- 3 ?.

? 3 ≠0, 若 f(x)在(2,3)上不单调,则有? 2a ?2< 3 <3,
5.(10 分)已知函数 f(x)= x3-ax-1

2a

9 9 9 ,+∞?,?3, ? 解得:3<a< .答案 (-∞,3 ]∪? 2 ? ? ? 2? 2

(1)若 f (x)在(-∞,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在试说明理由. 解 (1) f′(x)=3x2-a 由 Δ≤0,即 12a≤0,解得 a≤0,

因此当 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增时,a 的取值范围是(-∞,0]. (2)若 f(x)在(-1,1)上单调递减,则对于任意 x∈(-1,1)不等式 f′(x)=3x2-a≤0 恒成立 即 a≥3x2,又 x∈(-1,1),则 3x2<3 因此 a≥3 函数 f(x)在(-1,1)上单调递减,实数 a 的取值范围是[3,+
6

∞).6.(★)(12 分) (2012· 浙江五校联考)已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45° ,对于任意的

m f′?x?+ ?在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围. t∈[1,2],函数 g(x)=x3+x2? 2? ? 解 (1)根据题意知,f′(x)= a?1-x? (x>0), x

当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(1,+∞); 当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1];当 a=0 时,f(x)不是单调函数. m ? 2 a (2)∵f′(2)=- =1,∴a=-2,∴f(x)=-2ln x+2x-3 .∴g(x)=x3+? ? 2 +2?x -2x, 2
?g′?t?<0, ? ∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=-2,∴? ?g′?3?>0. ?

g′?1?<0, ? ? 由题意知:对于任意 的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立,∴?g′?2?<0, ? ?g′?3?>0,

∴-

37 <m<-9. 3

【点评】利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时,主要分以下几步: 第一步:确定函数的定义域;第二步:求函数 f?x?的导数 f′?x?;第三步:求方程 f′?x?=0 的根; 第四步: 利用 f′?x?=0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间, 并列出表格; 第五步:由 f′?x?在小开区间内的正、负值判断 f?x?在小开区间内的单调性; 第六步:明确规范表述结论.

7



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