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山西省运城市康杰中学2013届高三上学期第二次四校联考数学(理)试题


山 西 省 运 城 市 康 杰 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 二 次 四 校联考数 学 (理 )试 题
(满分 150 分,考试时间 120 分) 一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请 将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号) 1.设全集 U=R,集合 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {3, 4}, 则A ? (CU B) = A. (2,3) B. (2,4] C. (2,3)∪(3,4) D. (2,3) ∪(3,4]

(1 ? i ) 2 2.复数 = 1? i
A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i

3.已知等差数列 {an } 各项都不相等, a1 ? 2且a4 ? a8 ? a32,则d ? A. 0 C. 2 B.

1 2 1 2

D. 0 或

4.阅读如图所示的程序框图,则输出的 S= A.14 C.30 B.20 D.55

5.从 2,4 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无 重复数字的三位数,其中奇数的个数为 A.6 C.18 B.12 D.24

x2 y 2 6.设 F1 , F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若在双曲线右支上存在 a b
一点 P,满足 | PF2 |?| F F2 |, 且F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则双曲线离 1 心率为 A.

4 5

B.

7.已知向量 a, b满足 | a |? 1,| a ? b |? 7 , a, b ? A. 2 B. 3 C.

? ?

?

5 4

C.

? ?

3 5

D.

?
3

| |= ,则 b
D. 4

?

5 3

3

第 1 页 共 9 页

8.若椭圆

x2 y 2 + 2 ? 1 过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,且与双曲线 x2 ? y 2 ? 1有相同的焦点,则 2 a b

该椭圆的方程为 A.

x2 y 2 + ?1 4 2

B.

x2 2 +y ? 1 3

C.

x2 y 2 + ?1 2 4

D. x +

2

y2 ?1 3

9.将函数 y ? sin( x ?

?
6

)( x ? R ) 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度,再把图象上各 4

点的横坐标扩大到原来的 2 倍,则所得的图象的解析式为 A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( ?

x ? )( x ? R) 2 12 log2 | x | 10.函数 y ? 的图象大致是 x

5? )( x ? R ) 12

x 5? ? )( x ? R) 2 12 x 5? )( x ? R) D. y ? sin( ? 2 24
B. y ? sin(

y
O

y

y
O

y

x

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

11.已知在平面直角坐标系 xOy 中,O(0, 0), A(1,-2), B(1,1), C(2,-1),动点 M(x,y) 满足条件 ?? ?-2≤??· ? OM OA ≤2 ?? ?? ? ?? ?? ,则 OM · OC 的最大值为 ?1≤ OM · OB ≤2 ? A.1 B.-1 C.4 D.-4 12.已知定义域为 R 上的函数 增,如果 x1 A.可能为 0

f ( x)满足f (2 ? x) ? ? f (2 ? x),当x ? 2时, f ( x) 单调递
C.恒小于 0 D.可正可负

? x2 ? 4, 且( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0, 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值
B.恒大于 0

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上) 13. 已知 14 . 在 则实数 k 的取值范围为 . .

x 2 (1 ? 2x) 6 的展开式中,x5 的系数为

15.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( 3b-c) cosA=acosC,则 cosA =______ __.

16.已知 f ?x ? 是定义在 ?? 2,2? 上的函数,且对任意实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,恒有

第 2 页 共 9 页

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,且 f ?x ? 的最大值为 1,则满足 f ?log2 x ? ? 1 的解集 x1 ? x2
为 .

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解 答写在答题卡的相应位置上) 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R . 2 2

(Ⅰ )求函数 f (x) 的对称轴方程和最小正周期; (Ⅱ )求函数 ??

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 4 4? ?

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ?

an (an ? 1) (n ? N * ) 2

1 , Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求 Tn . 2Sn

19. (本小题满分 12 分) 高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中,已知第一小组与第二小组各有六 位同学.每位同学都只选了一个科目,第一小组选《数学运算》的有 1 人,选《数学解 题思想与方法》的有 5 人,第二小组选《数学运算》的有 2 人,选《数学解题思想与 方法》的有 4 人,现从第一、第二两小组各任选 2 人分析选课情况. (Ⅰ)求选出的 4 人均选《数学解题思想与方法》的概率; (Ⅱ)设 ? 为选出的 4 个人中选《数学运算》的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1) . x

(Ⅰ )当 a ? 2 时,求 f ( x ) 的单调区间和极值;

第 3 页 共 9 页

(Ⅱ )若 f ( x ) 在[2,4]上为增函数,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 的 任 意 一 点 到 它 的 两 个 焦 点 F1 (?c,0) , a2 b2

F2 (c,0) (c ? 0) 的距离之和为 2 2 ,且其焦距为 2 .
(Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )已知直线 x ? y ? m ? 0 与椭圆 C 交于不同的两点A,B.问是否存在以A,B为 直径的圆过椭圆的右焦点 F2 .若存在,求出 m 的值;不存在,说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? ln(ex ? a) ( a 为常数,e 是自然对数的底数)是实数集 R 上的奇函

数,函数 g ( x) ? ?f ( x) ? sin x 是区间[-1,1]上的减函数. (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )若 g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1 在 x ? [?1,1] 及 ? 所在的取值范围上恒成立,求 t 的取值范 围; (Ⅲ)试讨论函数 h( x) ?

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的零点的个数. f ( x)

第 4 页 共 9 页

2013 届 高 三 年 级 第 二 次 四 校 联 考

数学参考答案(理)
一、1—5 CDBCD 二、13.[1,3] 15. 三、 17. 解 :(Ⅰ) f ( x) ? 6—10 DAABA 14. 16 . 11—12 CC -160

?1 ? ? ,4? ?4 ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 (3 分) 2 2 2 6

则 f (x) 的对称轴是 x ?

? ??
3 ? 2

,k∈Z,最小正周期是是 T ?

2? ? ? . (5 分) 2

(Ⅱ) x ? ??

? ? 2? ? ? ? ? ?? , ? ? 2 x ? ? ?? , 6 ? 3 3? ? 4 4? ?

(8 分)

? ? 3? 3 sin(2 x ? ) ? ?? 1, ? 1 ,最小值为-2.(10 分) ? ,所以最大值为 6 2 ? 2 ?
18. 解: (Ⅰ)∵ S n ?

an (an ? 1) ,∴ 2Sn ? an 2 ? an 2



2 2 S n ?1 ? an ?1 ? an ?1 ( a? 2 ) ②

由①-②得: 2an ? an 2 ? an?12 ? an ? an?1 (2 分 )

(an ? an?1 )(an ? an?1 ?1) ? 0 ,∵

an ? 0
∴ an ? an ?1 ? 1

(n ? 2) ,又∵ a1 ? S1 ?

a1 (a1 ? 1) ,∴ a1 ? 1 2

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? n

(n ? 2) ---------------(5 分)

当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,符合题意. an ? n ----------(6 分) (Ⅱ)∵ Sn ? 则 Tn ? 1 ?

an (an ? 1) n(n ? 1) ? 2 2

∴ bn ?

1 1 1 ? ? -----(10 分) n( n? 1 ) n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ??? ? ? ? 1? ? ---------(12 分) 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

19.解: (Ⅰ)设“从第一小组选出的 2 人选《数学解题思想与方法》”为事件 A,“从第二
第 5 页 共 9 页

小组选出的 2 人选《数学解题思想与方法》”为事件 B.由于事 件 A、B 相互独立, 且 p( A) ?

C52 2 ? , 2 C6 3

P( B) ?

2 C4 2 . ? 2 C6 5

…………………4 分

所以选出的 4 人均考《数学解题思想与方法》的概率为

2 2 4 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? ? ? …………………………… 6 分 3 5 15
(Ⅱ)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.得

P (? ? 0 ) ?

4 , 15
1 1 2 C52 C2 ? 4 C5 C4 22 C1 , ? 2 ? 2? 2 ? 2 C6 C6 C6 C6 45

P(? ? 1) ??

1 c5 1 1 p(? ? 3) ? 2 . 2 ? c6 c6 45

p(? ? 2) ? 1 ? p(? ? 0) ? p(? ? 1) ? p(? ? 3) ?

2 9

…………… 9 分

? 的分布列为 ?
P 0 1 2 3

4 15

22 45

2 9

1 45
………12 分

∴ ? 的数学期望 E? ? 0 ?

4 22 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 15 45 9 45

20. 解: (1)由 x ? 0且x ? 1 ? 0得函数f ( x)的定义域为(?1,0) ? (0, ??) , 分) (2 又 f ?( x) ? ?

1 1 2 x 2 ? x ? 1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ,由 f ?( x ) >0 得 ? ? ? x 2 x ? 1 x 2 ( x ? 1) x 2 ( x ? 1)



0) 1) 所以 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?1, ? )和(1, ??) ,单调递减区间为 ( ? , 和(0, .(4 分)

1 2

1 2

f ( x) 和 f ?( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ( x)

1 ( ?1, ? ) 2
+

?

1 2

1 (? , 0) 2


(0,1) -

1 0

(1, ??)
+

0

第 6 页 共 9 页

f ?( x )

极大值

极小值

由表知 f ( x ) 的极大值为极 (Ⅱ) f ?( x) ?

小值为 f (1) ? 1 ? 2ln 2 .--(6 分)

ax 2 ? x ? 1 ,若 f ( x ) 在区间[2,4]上为增函数,则当 x ? [2, 4] 时, x 2 ( x ? 1) ax 2 ? x ? 1 ? 0 ,----------------------------------------(8 分) x 2 ( x ? 1)

f ?( x) ? 0 恒成立,即

21.解: (Ⅰ)依题意可知 ?

?2 a ? 2 2 ?2c ? 2 ?a ? 2 ?b ? 1
——————————————————(2 分)

又∵ b ? a ? c ,解得 ?
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 .—————————————————————(4 分) 则椭圆方程为 2

? x2 ? ? y 2 ? 1, (Ⅱ)联立方程 ? 2 ? x ? y ? m ? 0, ?
2 2

消去 y 整理得: 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 (6 分)
2 2

则 ? ? 16m ? 12(2m ? 2) ? 8(?m ? 3) ? 0
2

解得

? 3?m? 3

①————————————————————(7 分)

第 7 页 共 9 页

解得

m?

?2? 3

7
——————————————(11 分)

检验都满足①, m ?

?2? 3

7

? ————————————(12 分)

22. 解: (Ⅰ) f ( x) ? ln(e x ? a) 是奇函数,则 ln(e ? x ? a) ? ? ln(e x ? a) 恒成立. ∴ (e? x ? a)(e x ? a) ? 1. 即 1 ? ae? x ? ae x ? a 2 ? 1, ∴ a(e ? e
x ?x

? a) ? 0,? a ? 0. ……………4 分
∴ g ( x)? ? ? c o s x
'

(Ⅱ)由(I)知 f ( x) ? x, ∴ g ( x) ? ? x ? sin x

又? g (x) 在[-1,1]上单调递减, g ?( x) ? 0 在[-1,1]上恒成立。 ∴ ? ? ? cos x 对 x ?[-1,1]恒成立,[-cosx]min=-1,∴ ? ? ?1 ……………6 分 ∵ g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1 在 x ? [?1,1] 上恒成立,即 g ( x) max ? t 2 ? ?t ? 1 ……………7 分

g ( x) max ? g (?1) = ? ? ? sin 1
2 2 ∴ ?? ? sin1 ? t ? ?t ? 1, 即 (t ? 1)? ? t ? sin1 ? 1 ? 0 对 ? ? ?1 恒成立

令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t ? sin 1 ? 1(? ? ?1), 则 ?
2

?t ? 1 ? 0
2 ?? t ? 1 ? t ? sin 1 ? 1 ? 0,

…………8 分

∴?

?t ? ?1
2 ?t ? t ? sin1 ? 0

, 而t ? t ? s i n ? 恒成立 1 0
2

,?t ? ?1 .……………9 分

(Ⅲ)由(I)知 f ( x) ? x,?函数为 h( x) ? ∴讨论函数 h( x) ?

ln x ? x 2 ? 2ex ? m, x

ln x ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的零点的个数,即讨论方程 ? x 2 ? 2ex ? m x x
第 8 页 共 9 页

根的个数。 令 f1 ( x) ?

ln x 1 ? ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m ,? f 1?( x) ? , x x2

当 x ? (0, e)时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x)在(0, e) 上为增函数; 当 x ? (e,??)时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x)在(e,??) 上为减函数, ∴ 当

x?e





1 f 1 ( x) max ? f 1 (e) ? . e



f 2 ( x) ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 ,
?函数f1 ( x) 、 f 2 ( x) 在同一坐标系的大致图象如图所示,
1 1 ,即m ? e 2 ? 时,方程无解.函数 h(x) 没有零点;---10 分 e e 1 1 2 2 ②当 m ? e ? , 即m ? e ? 时,方程有一个根.函数 h(x) 有 1 个零点……11 分 e e 1 1 2 2 ③当 m ? e ? , 即m ? e ? 时,方程有两个根.函数 h(x) 有 2 个零点.…12 分 e e
∴①当 m ? e ?
2

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