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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第2讲 直接证明与间接证明(含解析)新人教A版


第 2 讲 直接证明与间接证明
一、选择题 1.“所有 9 的倍数都是 3 的倍数, 某奇数是 9 的倍数, 故该奇数是 3 的倍数.”上述推理( A 小前提错 C 正确 B 结论错 D 大前提错 )

解析 大前提,小前提都正确,推理正确,故选 C. 答案 C 2.对于平面 α 和共面的直线 m,n,下列命题中真命题是( A.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α B.若 m∥α,n∥ α,则 m∥n C.若 m?α,n∥α,则 m∥n D.若 m,n 与 α 所成的角相等,则 m∥n 解析 答案 对于平面 α 和共面的直线 m,n,真命题是“若 m?α,n∥α,则 m∥n”. C
2 2 2 2

).

3.要证:a +b -1-a b ≤0,只要证明 ( A.2ab-1-a2 b2 ≤0 ?a+b?2 2 2 C. -1-a b ≤0 2 解析 答案

). a4 +b4 ≤0 2
2

B.a2 +b2 -1-
2

D.(a -1)(b -1)≥0

因为 a2 +b2 -1-a2 b2 ≤0?(a2 -1)(b2 -1)≥0,故选 D. D

4.命题“如果数列{an }的前 n 项和 Sn =2n2 -3n,那么数列{an }一定是等差数列”是否成立 ( ). B.成立 C.不能断定 D.能断定

A.不成立 解析

∵Sn =2n2 -3n,

∴Sn -1 =2(n-1)2 -3(n-1)(n≥2), ∴an =Sn -Sn -1 =4n-5(n=1 时,a1 =S1 =-1 符合上式). 又∵an +1 -an =4(n≥1), ∴{an }是等差数列. 答案 B ).

1 1 1 5.设 a,b,c 均为正实数,则三个数 a+ ,b+ ,c+ ( b c a A.都大于 2 B.都小于 2

1

C.至少有一个不大于 2 解析 ∵a>0,b>0,c>0,

D.至少有一个不小于 2

1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ∴? ?a+b?+?b+c ?+?c+a?=?a+a?+?b+b?+

?c+1?≥6,当且仅当 a=b=c 时,“=”成立,故三者不能都小于 2,即至少有一个不 ? c?
小于 2. 答案 D

6.定义一种运算“*”:对于自然数 n 满足以下运算性质:(n+1)*1=n*1+1,则 n*1= ( A.n 解析 答案 ). B.n+1 C.n-1 D.n
2

由(n+1)*1=n*1+1,得 n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=?=n. A

二、填空题 7. 要证明“ 3+ 7<2 5”可选择的方法有以下几种, 其中最合理的是________(填序号). ①反证法,②分析法,③综合法. 答案 ②

8.设 a>b>0,m= a- b,n= a-b,则 m,n 的大小关系是________. 解析 取 a=2,b=1,得 m<n. 再用分析法证明:

a- b< a-b? a< b+ a-b?a<b+2 b· a-b+a-b?2 b· a-b>0,显然成立. 答案 m<n

1 9 9.已知 a,b,μ∈(0,+∞)且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范围是________. a b 解析 1 9 ∵a,b∈(0,+∞)且 + =1, a b

1 9? ?9a b? ∴a+b=(a+b)? ?a+b?=10+? b +a?≥10+2 9=16,∴a+b 的最小值为 16. ∴要使 a+b≥μ 恒成立,需 16≥μ,∴0<μ≤16. 答案 (0,16]

10.若 a,b,c 是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 ≠0; ②a>b 与 a<b 及 a=b 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的是_______. 解析 ①②正确;③中 a≠c,b≠c,a≠b 可能同时成立,

如 a=1,b=2,c=3.选 C.
2

答案 ①② 三、解答题 |a |+|b | 11.已知非零向量 a ,b ,且 a ⊥b ,求证: ≤ 2. |a +b | 证明 要证

a ⊥b ?a ·b =0,
|a |+|b | ≤ 2. |a +b |

只需证|a |+|b |≤ 2|a +b |, 只需证|a |2 +2|a ||b |+|b |2 ≤2(a2 +2a ·b +b2 ), 只需证|a | +2|a ||b |+|b | ≤2a +2b , 只需证|a |2 +|b |2 -2|a ||b |≥0, 即(|a |-|b |) ≥0, 上式显然成立,故原不等式得证. 12.设数列{an }是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? (1)证明 假设数列{Sn}是等比数列,则 S2 2 =S1 S3 ,
2 2 2 2 2

2 即 a2 a1 · (1+q+q2 ), 1(1+q) =a1 ·

因为 a1 ≠0,所以(1+q)2 =1+q+q2 , 即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾, 所以数列{Sn }不是等比数列. (2)解 当 q=1 时,Sn =na1 ,故{Sn }是等差数列;

当 q≠1 时,{Sn }不是等差数列,否则 2S2 =S1 +S3 , 即 2a1 (1+q)=a1 +a1 (1+q+q2 ), 得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾. 13.已知 f (x)=x2 +ax+b. (1)求:f (1)+f(3)-2f(2); 1 (2)求证:|f (1)|,|f (2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 (1)解 ∵f (1)=a+b+1,f(2)=2a+b+4,f(3)=3a+b+9,

∴f (1)+f (3)-2f (2)=2. (2)证明 1 假设|f (1)|,|f (2)|,|f(3)|都小于 . 2

1 1 1 1 1 1 则- <f(1)< ,- <f (2)< ,- <f (3)< , 2 2 2 2 2 2 ∴-1<-2f(2)<1,-1<f (1)+f (3)<1.
3

∴-2<f(1)+f (3)-2f (2)<2, 这与 f (1)+f(3)-2f (2)=2 矛盾. ∴假设错误,即所证结论成立. 14.已知二次函数 f(x)=ax2 +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)=0, 且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根;

a a

1 (2)试比较 与 c 的大小; (3)证明:-2<b<-1. 解 (1)证明 ∵f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点,

∴f(x)=0 有两个不等实根 x1 ,x2 , ∵f(c)=0,∴x1 =c 是 f(x)=0 的根,

c 1 1 又 x1 x2 = ,∴x2 = ? ≠c?, a a?a

?

1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根.

a

1 1 (2)假设 <c,又 >0,

a

a

由 0<x<c 时,f(x)>0, 1 1 1 知 f? ?>0 与 f? ?=0 矛盾,∴ ≥c,

?a?
a

?a?

a

1 1 又∵ ≠c,∴ >c.

a

(3)证明

由 f(c)=0,得 ac+b+1=0,

∴b=-1-ac. 又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为

b x1 +x2 x2 +x2 1 x=- = < =x2 = , 2a 2 2 a
即-

b 1 < .又 a>0, 2a a

∴b>-2,∴-2<b<-1.

4


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