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高二数学期中考试必修5试题及答案


高二数学试题
第 I 卷(选择题 40 分)
一、选择题(每小题 4 分)
1. 不等式 ? x ? 3x ? 4 ? 0 的解集为 (
2

) B. {x | x ? 4或x ? ?1} D. {x | ?4 ? x ? 1}

A. {x | ?1 ? x ? 4} C. {x | x ? 1或x ? ?4}

0 0 2.在△ABC 中,已知 a ? 8 ,B= 60 ,C= 75 ,则 b 等于 ( )

A. 4 6

B. 4 5

C. 4 3

D.

22 3

3.若 1 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

? 2n ? 128, n ? N ? , 则 n 的最小值为 ( )
B. 7 C. 8 D. 9

A. 6

4.在等差数列 ?an ? 中,已 S9 ? 189, 则 a4 ? a5 ? a6 等于( ) A.15 B.33 C.51 D.63

5.在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为 ( )

A.

3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

6.(理)若 a ? 1, 则 a ?

1 的最小值是 ( ) a ?1
C .3

A.2

B.a

D.

2 a a ?1

6.(文)已知 a、b、c 均为实数,有下列说法:

(1)a ? b ? 0, 则 a2 ? b2 ;
(2) a ? c, 则 a ? bc ; b

(3)a ? b, 则 c ? 2a ? c ? 2b;
(4)a ? b, 则
1 1 ? . a b

其中正确的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7.已知点(3,1)和(4,6)在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( ) A. a ? 0 C. a ? 0 或 a ? ?7 8.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? B. a ? ?7 D. ?7 ? a ? 0

1 ,则 S5 等于( ) n(n ? 1)
C.

A. 1

B.

5 6

1 6

D.

1 30

9.设等比数列{an }的公比为 q , 前 n 项的和是 Sn , 若 S n , Sn ?1 Sn?2 成等差数列, 则公比 q 等于( ) A. ?2 B. 1 C. 1或 -2 D.不存在

?x ? 2 ? 10.若 ? y ? 2 则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是 ( ) ?x ? y ? 2 ?
A.[2,6] B.[2,5] C.[3,6] D.[3,5]

第 II 卷(非选择题,共 80 分)
二、填空题:(共 4 小题,每小题5分,共25 分) 11.设等比数列 {an } 的公比为 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? ____. 2 a4

12. 在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? ______。 13.小明在玩投石子游戏, 第一次走 1 米放 2 颗石子, 第二次走 2 米放 4 颗石子?第 n 次 走 n 米放 2 颗石子,当小明一共走了 36 米时,他投放石子的总数是______. 1 4 . 若 不 等 式 m x ? 4 m x? 4 ? 0对 任 意 实 数 x 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围
2
n



.

15.在三角形 ABC 中, a ? 3 , b ? 2 6 , B ? 2 A ,则 cos A ?

三、解答题(共 5 小题,共 55 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 10 分) (1) Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S 2 ? S 6 , a4 ? 1,求 a 5 . (2)在等比数列 ?an ? 中,若 a4 ? a2 ? 24, a2 ? a3 ? 6, 求首项 a 1 和公比 q .

17.(本小题满分 10 分)

、 c,且 在 三 角 形 ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、 B、 C 所 对 的 边 分 别 为 a、 b

a ? b ? 2 ? 1, sin A ?
(1)求 a , b 的值;

10 5 , sin B ? . 10 5

(2)求角 C 和边 c 的值。

18.(本小题满分 10 分)
2 2 已知 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 ,

?

?

?

?

(1)求 A

B;
2

(2)若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 A

B ,求 ax 2 ? x ? b ? 0 的解集;

19.(本小题满分 12 分) 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品 A、B,该 所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排, 通过调查,有关数据如表:

试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是 多少?

20.(本小题满分 13 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N ) (1)求证:数列 {a n ? 1} 是等比数列; (2)求通项公式 a n ;(3)设 b n ? n ,求 ?an bn ?的前 n 项和 Tn .

?

高二数学试题答案
一、选择题: BACDB C(理)A(文)DBBA 二、填空题: 11. 15_ 12. 120° 13. 510 14.

(?1, 0] 15 .

6 3

三、解答题: 16.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 由题意,得 ?

? 2a1 ? d ? 6a1 ? 15d , ? 2a1 ? 7 d ? 0, 即? ? a1 ? 3d ? 1, ? a1 ? 3d ? 1,

??????3 分 ?????6 分

解得, d ? ?2, a1 ? 7. 所以, a5 ? a1 ? 4d ? 7 ? 4 ? (?2) ? ?1. (2)设等比数列{an}的公比为 q,

? a1q (q 2 ? 1) ? 24, 由题意,得 ? ? a1q (1 ? q ) ? 6, 1 解得, q ? 5, a1 ? . 5
17. 解: (1)由

????????????9 分 ???????????????12 分

? ?a ? 2 a b ?a ? 2b ? 得 a ? 2b ,联立 ? 解得 ? sin A sin B ? ?b ? 1 ?a ? b ? 2 ? 1
2 5 3 10 , cos B ? 5 10 2 2

(2)? A,B 为锐角, cos A ?

? cosC ? ? cos(A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B =? C ? 135? ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? 5 ?c ? 5
18 .(1) A

B ? {x | ?1 ? x ? 2} ;

(2) {x | x ? ?1或x ? 2}

19、 【解析】 设搭载产品 A x 件,产品 By 件, 预计收益 z=80x+60y.

20x+30y≤300 ? ? 则?10x+5y≤110 ? ?x∈N,y∈N

,作出可行域,如图

作出直线 l0:4x+3y=0 并平移,由图象得,当直线经过 M 点时 z 能取得最大值, , 解得 即 M(9,4). 所以 zmax=80×9+60×4=960(万元). 答:搭载产品 A9 件,产品 B4 件,可使得总预计收益最大,为 960 万元. 20. 解: (1)? a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N ) 得 a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1)(n ? N ? )
?

?

an?1 ? 1 ? 2 (n ? N ? ) an ? 1

? 数列 {a n ? 1} 成等比数列.
(2)由(1)知, {a n ? 1} 是以 a1 ? 1 =2 为首项,以 2 为公比的等比数列

? a n ? 1 ? 2 ? 2 n -1 ? 2 n
(3)? b n ? n

? an ? 2 n ? 1

? an ? bn ? n (2n ? 1)

? Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ?an bn

? 1(21 ? 1) ? 2(2 2 ? 1) ? 3(23 ? 1) ? ?n(2 n ? 1)
= ( 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ?n ? 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)
1 2 3 n

令 S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ?n ? 2
1 2 3

n

2S n ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ?n ? 2 n?1

两式相减 ? S n ? 1? 21 ? 2 2 ? 23 ? ?2 n ? n ? 2 n?1

S n ? 2 n?1 (n ? 1) ? 2
? Tn ? 2 n ?1 (n ? 1) ? 2 ?
n(n ? 1) 2


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