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浙江省2016届高三数学专题复习 专题一 函数、不等式及其应用模拟演练 理


专题一

函数、不等式及其应用
经典模拟·演练卷

一、选择题 1.(2015·济南模拟)已知集合 P={1,m},Q={1,3,5},则“m=5”是“P? Q”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2015·西安模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x) )

?2 015?=( x =3 -1,则 f ? ? ? 2 ?
A. 3+1 C.- 3-1

) B. 3-1 D.- 3+1

3.(2015·安徽“江南十校”联考)已知向量 a=(3,-2),b=(x,y-1),且 a∥b,若 x,

y 均为正数,则 + 的最小值是( x y
5 A. 3 C.8

3 2

) B. 8 3

D.24
x

4.(2015·台州十校联考)函数 f(x)=2 |log0.5 x|-1 的零点个数为( A.1 B.2 C .3 D.4

)

5.(2015·东北三省四市联考)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界), 若目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则

y

x-a

的最大值是(

)

2 A. 5

B.

2 3

1

1 C. 6

D.

1 4

? 1? cos π x,x∈?0, ?, ? ? ? 2? 6.(2015·杭州模拟)已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=? 则 1 ? ? ,+∞?, ? ?2x-1,x∈? ?2 ?
1 不等式 f(x-1)≤ 的解集为( 2 )

?1 2? ?4 7? A.? , ?∪? , ? ?4 3? ?3 4?
1? ?1 2? ? 3 B.?- ,- ?∪? , ? 3? ?4 3? ? 4

?1 3? ?4 7? C.? , ?∪? , ? ?3 4? ?3 4?
1? ?1 3? ? 3 D.?- ,- ?∪? , ? 3? ?3 4? ? 4 二、填空题 7.(2015·镇江二模)若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________.

?? x 2 ? x, x ? 1, ? 2 8.(2015·西安八校联考)已知函数 f(x)= ?log x, x ? 1 若关于 x 的不等式 f(x)≥m 1 ? ? 3
3 - m 有解,则实数 m 的取值范围是________. 4

x+2y-4≤0, ? ? 9.(2015·温州联考)当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, 时,1 ≤ax+y≤4 恒成立,则实数 ? ?x≥1 a 的取值范围是________.
三、解答题 10.(2015·杭州二中模拟)设 a 为实数,函数 f(x)=(x-a) +|x-a|-a(a-1). (1)若 f(0)≤1,求 a 的取值范围; (2)讨论 f(x)的单调性; 4 (3)当 a≥2 时,讨论 f(x)+ 在区间(0,+∞)内的零点个数.
2

x

2

11.(2015·绍兴一中模拟)已知函数 f(x)=x -1,g(x)=a|x-1|. (1)若当 x∈R 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[0,2]上的最大值.

2

12.(2015·杭州七校联考)已知 a∈R,设函数 f(x)=x|x-a|-x. (1)若 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 a≤1 时,对于任意的 x∈[0,t],不等式-1≤f(x)≤6 恒成立,求实数 t 的最大值及 此时 a 的值.

经典模拟·演练卷 1.A [当 m=5 时,P? Q;若“P? Q” ,则“m=3 或 m=5”,∴“m=5”是“P? Q”的充分 不必要条件.] 2.D [∵f(x)是在 R 上的周期为 2 的奇函数, ∴f?

?2 015?=f?1 007+1?=f?2×503+3?=f?3?=f?-1?=-f?1?. ? ? ? ? ? ? ? ?2? 2? 2? ? 2 ? ? ? ? ? ?2? ? 2? ? ?
x

又当 x∈(0,1)时,f(x)=3 -1, ∴f?

?2 015?=-f?1?=-(31-1)=- 3+1.] ? ?2? 2 ? 2 ? ? ?

3.C [∵a∥b,∴3(y-1)+2x=0,即 2x+3y=3.∵x>0,y>0, 3 2 ?3 2? 1 ∴ + =? + ?· (2x+3y) x y ?x y? 3 9y 4x? 1 1? = ?6+6+ + ?≥ (12+2×6)=8, x y? 3 3? 当且仅当 3y=2x 时取等号. 3 1 3 2 ∴当 x= 且 y= 时, + 取得最小值 8.] 4 2 x y 4.B [当 0<x<1 时,f(x)=2 log0.5x-1,令 f(x)=0,
x

x ?1? 则 log0.5x=? ? , ?2?
3

x ?1? 由 y=log0.5x,y=? ? 的图象知,在(0,1)内有一个交点,即 f(x)在(0,1)上有一个零点. ?2?
当 x>1 时,f(x)=-2 log0.5x-1=2 log2x-1,令 f(x)=0 得
x x

x x ?1? ?1? log2x=? ? ,由 y=log2x,y=? ? 的图象知在(1,+∞)上有一个交点,即 f(x)在(1,+ ?2? ?2?
∞)上有一个零点,故选 B.] 1 1 5.A [目标函数可化为 y=- x+ z.要使目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数

a

a

1 个,则- =kAC=1.

a

则 a=-1,故

y

x-a x+1



y



其几何意义为可行域内的点(x,y)与点 M(-1,0)的连线的斜率,可知? 6.A [

? y ? =k =2.] ? MC 5 ?x+1?max

先画出 y 轴右边的图象,如图所示. ∵f(x)是偶函数,∴图象关于 y 轴对称,∴可画出 y 轴右边的图象,再画 y 轴左侧图象及直 1 1 线 y= .设 y= 与 f(x)图象交于点 A,B,C,D,先分别求出 A,B 两点的横坐标. 2 2 1 π 1 ? 1? 令 cos π x= ,∵x∈?0, ?,∴π x= ,∴x= . 2 3 3 ? 2? 1 3 1 3 令 2x-1= ,∴x= ,∴xA= ,xB= . 2 4 3 4 1 根据对称性可知直线 y= 与 f(x)图象另外两个交点的横坐标为 2

xC=- ,xD=- .
1 1 ∵f(x-1)≤ ,则在直线 y= 下方的 f(x)图象及其交点满足, 2 2 1 3 3 1 ∴ ≤x-1≤ 或- ≤x-1≤- , 3 4 4 3 4 7 1 2 ∴ ≤x≤ 或 ≤x≤ .] 3 4 4 3 7.18 [∵x>0,y>0,2x+y+6=xy,
4

3 4

1 3

∴2 2 xy+6≤xy,即 xy-2 2 xy-6≥0, 解得 xy≥18.当且仅当 x=3,y=6 时,取等号.]

? 1 ? 8.?- ,1? ? 4 ?

2 ? 1? 1 1 2 [当 x≤1 时,f(x)=-x +x=-?x- ? + ≤ , ? 2? 4 4

1 当 x>1 时,f(x)=log x<0, 3 1 ∴f(x)的最大值为 , 4 1 3 1 2 因此原不等式为 ≥m - m,解之得- ≤m≤1.] 4 4 4

? 3? 9.?1, ? ? 2?

[画可行域如图所示,设目标函数 z=ax+y,即 y=-ax+z,要使 1≤z≤4 恒成

?1≤2a+1≤4, ? 3 立,则 a>0,数形结合知,满足? 即可,解得 1≤a≤ ,所以 a 的取值范围是 2 ?1≤a≤4 ?

3 1≤a≤ .] 2

10.解 (1)f(0)=a +|a|-a +a=|a|+a,因为 f(0)≤1,所以|a|+a≤1,当 a≤0 时, |a|+a=-a+a=0≤1,显然成立; 当 a>0 时,则有|a|+a=2a≤1, 1 1 所以 a≤ ,所以 0<a≤ , 2 2 1 综上所述,a 的取值范围是 a≤ . 2
? ?x -(2a-1)x,x≥a, (2)f(x)=? 2 ?x -(2a+1)x+2a,x<a. ?
2

2

2

2a-1 1 2 对于 u1=x -(2a-1)x,其对称轴为 x= =a- <a,开口向上, 2 2 所以 f(x)在(a,+∞)上单调递增; 2a+1 1 2 对于 u2=x -(2a+1)x+2a,其对称轴为 x= =a+ >a,开口向上, 2 2

5

所以 f(x)在(-∞,a)上单调递减, 综上,f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(-∞,a)上单调递减. (3)由(2)得 f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,所以 f(x)min=f(a)=a-

a2.
(ⅰ)当 a=2 时,f(x)min=f(2)=-2,
? ?x -3x,x≥2, f(x)=? 2 ?x -5x+4,x<2, ?
2

4 4 令 f(x)+ =0,即 f(x)=- (x>0),

x

x

因为 f(x)在(0,2)上单调递减,所以 f(x)>f(2)=-2, 4 而 y=- 在(0,2)上单调递增,y<f(2)=-2,

x

4 所以 y=f(x)与 y=- 在(0,2)无交点.

x

4 2 3 2 3 2 2 2 当 x≥2 时,f(x)=x -3x=- ,即 x -3x +4=0,所以 x -2x -x +4=0,所以(x-2) (x

x

4 +1)=0,因为 x≥2,所以 x=2,即当 a=2 时,f(x)+ 有一个零点 x=2.

x

(ⅱ)当 a>2 时,f(x)min=f(a)=a-a , 4 2 当 x∈(0,a)时,f(0)=2a>4,f(a)=a-a ,而 y=- 在 x∈(0,a)上单调递增,

2

x

4 4 2 当 x=a 时,y=- ,下面比较 f(a)=a-a 与- 的大小,

a

a

? 4? -(a -a -4) 2 因为 a-a -?- ?= ? a?
2

3

2

a

-(a-2)(a +a+2) = <0,

a

4 2 所以 f(a)=a-a <- .

a

4 结合图象不难得当 a>2 时,y=f(x)与 y=- 有两个交点,

x

4 综上,当 a=2 时,f(x)+ 在(0,+∞)上有一个零点 x=2;

x

6

4 当 a>2 时,f(x)+ 在(0,+∞)上有两个零点.

x

11.解 (1)不等式 f(x)≥g(x)对 x∈R 恒成立,即 x -1≥a|x-1|(*)对 x∈R 恒成立, ①当 x=1 时,(*)显然成立,此时 a∈R;

2

x -1 ②当 x≠1 时,(*)可变形为 a≤ , |x-1|
?x+1,x>1, x2-1 ? 令 φ (x)= =? |x-1| ? ?-(x+1),x<1,

2

因为当 x>1 时,φ (x)>2,当 x<1 时 φ (x)>-2, 所以 φ (x)>-2,故此时 a≤-2,综合①②, 得所求实数 a 的取值范围是 a≤-2.
?-x -ax+a+1,0≤x≤1, ? (2)h(x)=? 2 ?x +ax-a-1,1≤x≤2, ?
2

当- ≤0 时,即 a≥0,(-x -ax+a+1)max=h(0)=a+1, 2 (x +ax-a-1)max=h(2)=a+3, 此时 h(x)max=a+3; 当 0<- ≤1 时,即-2≤a<0,(-x -ax+a+1)max 2 =h?- ?= +a+1, ? 2? 4 (x +ax-a-1)max=h(2)=a+3,此时 h(x)max=a+3; 当 1<- ≤2 时,即-4≤a<-2,(-x -ax+a+1)max=h(1)=0. 2
?0,-4≤a<-3, ? 2 (x +ax-a-1)max=max{h(1),h(2)}=max{0,3+a}=? ? ?3+a,-3≤a<-2, ?0,-4≤a<-3, ? a 2 此时 h(x)max=? 当- >2 时,即 a<-4,(-x -ax+a+1)max=h(1)=0, 2 ?3+a,-3≤a<-2, ?
2 2 ? a? a 2

a

2

a

2

a

2

? ?3+a,a≥-3, 2 (x +ax-a-1)max=h(1)=0,此时 h(x)max=0,综上 h(x)max=? ?0,a<-3. ? ?-x ,x<1, ? 12.解 (1)当 a=1 时,f(x)=? 2 ? ?x -2x,x≥1, 7
2

函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
?-x +(a-1)x,x<a, ? (2)f(x)=? 2 ? ?x -(a+1)x,x≥a,
2

①当 a≤-1 时,a≤
2

a-1 a+1
2 < 2

≤0,f(x)在[0,t]上单调递增,f(x)min=f(0)=0,f(x)max

=f(t)=t -(a+1)t, 由题意得 f(x)max≤6,即 t -(a+1)t≤6, (a+1)+ (a+1) +24 解得 0≤t≤ , 2 令 m=-(a+1)≥0,h(m)=
2 2

m2+24-m
2



12

m +24+m

2

在[0,+∞)上单调递减,

∴h(m)max=h(0)= 6,即当 a=-1 时,tmax= 6. ②当-1<a≤0 时,

a- 1
2

<a≤0<

a+1
2

,f(x)在?0,

? ?

a+1?

?上单调递减, 2 ?
2

?a+1,+∞?上单调递增,f(x) =f?a+1?=-(a+1) ∈?-1,0?, 在? ? min ? 2 ? ? 4 ? 4 ? 2 ? ? ? ? ?
满足 f(x)min≥-1,f(x)max=f(t)=t -(a+1)t,由题意得 f(x)max≤6, (a+1)+ (a+1) +24 即 t -(a+1)t≤6,解得 0≤t≤ , 2
2 2 2

令 m=a+1>0,h(m)=

m+ m2+24
2

在(0,1]上单调递增,

∴h(m)max=h(1)=3,即当 a=0 时,tmax=3. ③当 0<a≤1 时,

a-1
2

≤0<a≤

a+1
2

,f(x)在[0,a],?a,

? ?

a+1?
2 ?
2

?单调递减,

?a+1,+∞?上单调递增,f(x) =f?a+1?=-(a+1) ∈?-1,-1?, 在? ? min ? 2 ? ? ? 4? 4 ? 2 ? ? ? ?
满足 f(x)min≥-1,f(x)max=f(t)=t -(a+1)t,由题意得 f(x)max≤6, (a+1)+ (a+1) +24 2 即 t -(a+1)t≤6,解得 0≤t≤ , 2 同②得 h(m)=
2 2

m+ m2+24
2

在(1,2]上单调递增,

∴h(m)max=h(2)=1+ 7,即当 a=1 时,tmax=1+ 7, 综上所述,tmax=1+ 7,此时 a=1.

8


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