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椭圆常见题型与典型方法归纳


椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义:我们把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数 2a(2a ? F 1. F 2 ) 的点的轨迹叫做椭圆. 这两定点 F1 , F2 叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义:我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e= c (0<e<1)的动点 a M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点,这条定直线叫做椭圆的准线,这个常数 e 是椭 圆的离心率. 注意:当平面内与两个定点 F1 , F2 距离的和等于常数 2a(2a ? F 1 F2 ; 1. F 2 ) 的点的轨迹是线段 F 当平面内与两个定点 F1 , F2 距离的和等于常数 2a(2a ? F 1. F 2 ) 的点的轨迹不存在. 例 动点 P 到两个定点 F 、 F2 (4,0)的距离之和为 8,则 P 点的轨迹为 1 (- 4,0) A、椭圆 B、线段 F1 , F2 C、直线 F1 , F2 D、不能确定 ( ) 考点二 椭圆的标准方程 一 标准方程 1 焦点在 x 轴上 标准方程是: x2 y 2 ? 2 ?1 (其中 b2 ? a2 ? c2 , a ? b ? 0). 焦点的坐标分别为 (?c, 0), (c, 0) 2 a b y 2 x2 2 2 2 ? 2 ?1 (其中 b ? a ? c , a ? b ? 0). 焦点的坐标分别为 (0, ?c), (0, c) 2 a b 求 2 焦点在 y 轴上 标准方程是: 3 焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 2 x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标 7 9 2 4 椭圆过两定点,焦点位置不确定时可设椭圆方程为 mx ? ny ? 1 (其中 m ? 0, n ? 0 ) 例 已知椭圆过两点 A( 15 3 , ?1), B(? , 2) ,求椭圆标准方程 4 2 y2 x2 x2 y2 ( a > b > 0 )共焦点的椭圆为 ? ? 1 ? ?1 a2 b2 a2 ? k b2 ? k 6、椭圆的参数方程: 5 与 x2 y2 ( 1) 、 椭圆 2 ? 2 ? 1 参数方程 a b ? x ? a cos? ( ? 为参数) ; (2) 椭圆上的点的坐标可记 ( a cos ? ,bsin ? ) ? ? y ? b sin ? x2 y 2 ? ? 1 上的点到直线 l : x ? y ? 9 ? 0 的距离的最小值为___________ 例 椭圆 16 9 1 二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识 x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点若 F2 A ? F2 B ? 12 例 已知 F1 , F2 为椭圆 25 9 则 AB =________。2.标准方程要注意焦点的定位 例椭圆 1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 , m ? 2 4 m 。 练习.1 如果方程 x2 ? ky 2 ? k 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 2 点 P 在椭圆 x2 y2 + =1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,求点 P 的横坐标 25 9 考点三 椭圆的简单几何性质 标准方程 x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2 M y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2 M F1 F2 图形 F1 F2 范围 对称性

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