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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明章末课时作业 新人教A版选修1-2


第二章 推理与证明章末课时作业 新人教 A 版选修 1-2

题型一 合情推理与演绎推理

1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特 殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一 步证明. 2.演绎推理与合情推理不同,它是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式,也 是公理化体系所采用的推理形式.另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是 后者的前提,后者论证前者的可靠性. 例1 (1)有一个奇数列 1,3,5,7,9,?,现在进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组

含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};?试观察每组 内各数之和 f(n)(n∈N )与组的编号数 n 的关系式为________. (2)在平面几何中,对于 Rt△ABC,AC⊥BC,设 AB=c,AC=b,BC=a,则 ①a +b =c ; ②cos A+cos B=1; ③Rt△ABC 的外接圆半径为 r=
2 2 2 2 2 *

a2+b2
2

.

把上面的结论类比到空间写出相类似的结论;如果你能证明,写出证明过程;如果在直角三

-1-

角形中你还发现了异于上面的结论,试试看能否类比到空间? (1)答案

f(n)=n3
3, 3

解析 由于 1=1 3+5=8=2 , 7+9+11=27=3 13+15+17+19=64=4 ,?, 猜想第 n 组内各数之和 f(n)与组的编号数 n 的关系式为 f(n)=n . (2)解 选取 3 个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象. ①设 3 个两两垂直的侧面的面积分别为 S1,S2,S3,底面面积为 S,则 S1+S2+S3=S . ②设 3 个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为 α ,β ,γ ,则 cos α +cos β +cos γ =1. ③设 3 个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为 a,b,c,则这个四面体的外接球的半径为 R=
2 2 2 2 2 2 2 3 3, 3

a2+b2+c2
2

.

反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容,通过观察给定的规律,得到一些 简单数列的通项公式是数列中的常见方法. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力,题目一般情况下较为新颖,也有一定的探索性. 跟踪训练 1 (1)下列推理是归纳推理的是________,是类比推理的是________. ①A、B 为定点,若动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则点 P 的轨迹是椭圆; ②由 a1=1,an+1=3an-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的通项 an 和 Sn 的表达式; ③由圆 x +y =1 的面积 S=π r ,猜想出椭圆的面积 S=π ab; ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇. 答案 ② ③④ (2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以上结 论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn, 则 T4,______,______, 答案 解析
2 2 2

T16 成等比数列. T12

T8 T12 T4 T8
等差数列类比于等比数列时,和类比于积,减法类比于除法,可得类比结论为:设等

比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4, ,

T8 T12 T16 , 成等比数列. T4 T8 T12

题型二 综合法与分析法

综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法思路截然相反,分 析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程,分析法与综合法可相互转换,相互 渗透,要充分利用这一辩证关系,在解题中综合法和分析法联合运用,转换解题思路,增加
-2-

解题途径.一般以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表示证明过程. 例 2 用综合法和分析法证明. 已知 α ∈(0,π ),求证:2sin 2α ≤ 证明 (分析法) sin α 要证明 2sin 2α ≤ 成立. 1-cos α sin α 只要证明 4sin α cos α ≤ . 1-cos α ∵α ∈(0,π ),∴sin α >0. 1 只要证明 4cos α ≤ . 1-cos α 1 上式可变形为 4≤ +4(1-cos α ). 1-cos α ∵1-cos α >0, ∴ 1 +4(1-cos α )≥2 1-cos α 1 ·4?1-cos α ?=4, 1-cos α sin α . 1-cos α

1 π 当且仅当 cos α = ,即 α = 时取等号. 2 3 1 ∴4≤ +4(1-cos α )成立. 1-cos α sin α ∴不等式 2sin 2α ≤ 成立. 1-cos α (综合法) ∵ 1 +4(1-cos α )≥4, 1-cos α

1 π (1-cos α >0,当且仅当 cos α = ,即 α = 时取等号) 2 3 1 ∴4cos α ≤ .∵α ∈(0,π ),∴sin α >0. 1-cos α sin α sin α ∴4sin α cos α ≤ .∴2sin 2α ≤ . 1-cos α 1-cos α 跟踪训练 2 sin?2α +β ? sin β 求证: -2cos(α +β )= . sin α sin α

证明 ∵sin(2α +β )-2cos(α +β )sin α =sin[(α +β )+α ]-2cos(α +β )sin α =sin(α +β )cos α +cos(α +β )sin α -2cos(α +β )sin α =sin(α +β )cos α -cos(α +β )sin α
-3-

=sin[(α +β )-α ]=sin β , 两边同除以 sin α 得 sin?2α +β ? sin β -2cos(α +β )= . sin α sin α 题型三 反证法

反证法是一种间接证明命题的方法,它从命题结论的反面出发引出矛盾,从而肯定命题的结 论. 反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性, 从逻辑角度看, 命题: “若 p 则 q”的否定是“若

p 则綈 q”,由此进行推理,如果发生矛盾,那么就说明“若 p 则綈 q”为假,从而可以导出
“若 p 则 q”为真,从而达到证明的目的. 例3 1+x 1+y 若 x,y 都是正实数,且 x+y>2,求证: <2 或 <2 中至少有一个成立.

y

x

1+x 1+y 证明 假设 <2 和 <2 都不成立,

y

x

1+x 1+y 则有 ≥2 和 ≥2 同时成立.

y

x

因为 x>0 且 y>0, 所以 1+x≥2y 且 1+y≥2x, 两式相加,得 2+x+y≥2x+2y, 所以 x+y≤2. 这与已知 x+y>2 矛盾. 故 1+x 1+y <2 与 <2 至少有一个成立.

y

x

反思与感悟

反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题;涉及“都是??”“都

不是??”“至少??”“至多??”等形式的命题时,也常用反证法. 跟踪训练 3 已知:ac≥2(b+d). 求证:方程 x +ax+b=0 与方程 x +cx+d=0 中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根, 则 Δ 1=a -4b<0 与 Δ 2=c -4d<0, 有 a +c <4(b+d),而 a +c ≥2ac, 从而有 4(b+d)>2ac, 即 ac<2(b+d),与已知矛盾,故原命题成立.
2 2 2 2 2 2 2 2

-4-


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