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高中数学《必修2》立体几何知识点及解题思路


高中数学《必修 2》知识点

版权所有 王子安

第一章 空间几何体 一、常见几何体的定义 能说出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义和性质。 二、常见几何体的面积、体积公式 1.圆柱:侧面积 S侧 ? cl ? 2?rl (其中 c 是底面周长,r 是底面半径,l 是圆柱的母线,也是高) 表面积 S表 ? S侧 ? S底 ? 2?rl ? 2 ? ?r 2 ? 2?r(r ? l )

V柱体 ? sh ? ?r 2h 1 2.圆锥:侧面积 S侧 ? cl ? ?rl (其中 c 是底面周长, r 是底面半径, l 是圆锥的母线) 2 表面积 S表 ? S侧 ? S底 ? ?rl ? ?r 2 ? ?r(r ? l ) 1 1 V椎体 ? sh ? ?r 2 h 3 3 (2?r ? 2?R )l ? ? (r ? R )l (其中 r 、 R 是上下底面半径,l 是圆台的母线) 3.圆台:侧面积 S侧 ? 2 表面积 S表 ? S侧 ? S底 ? ? (r ? R)l ? ?r 2 ? ?R2 ? ? (rl ? Rl ? r 2 ? R2 ) 1 V台体 ? ( S ' ? S ' S ? S ) h (其中 S ' 、 S 是上下底面面积, h 是圆台的高) 3 4 4.球:表面积 S表 ? 4?R 2 ,体积 V球 ? ?R 3 3 三、直观图:会用斜二侧画法画出平面图形的直观图。 画法步骤:①在原图中画一个直角坐标系,在新图中画一个夹角为 45°的坐标系; ②与 x 轴平行的线段仍然与 x 轴平行,长度不变; 与 y 轴平行的线段仍然与 y 轴平行,但是长度减半。 四、三视图 1.投影:光线照射物体留在屏幕上的影子。 ①中心投影:光由一点向外散射形成的投影。 ②平行投影:在平行光线照射下形成的投影。 ③正投影:光线正对着投影面时的平行投影。 2.三视图:正视图:光线从前向后的正投影; 侧视图:光线从左向右的正投影; 俯视图:光线从上向下的正投影。 三视图的性质: 侧视图和正视图的高相同;俯视图和正视图的长相同;侧视图和俯视图的宽相同。 第二章:点、直线、平面之间的位置关系
一、立体几何中的公理与基本关系 1.平面公理: 公理 1:如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 公理 2:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面。 推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面。 推论 2:两条相交直线确定一个平面。 推论 3:两条平行直线确定一个平面。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的平面。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 【本公理也称为平行直线的传递性】
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高中数学《必修 2》知识点

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2.等角定理:空间中如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 3.空间四边形:四个顶点不在同一个平面内的四边形。 4.点、线、面之间的位置关系的表示方法: ①点 A 在直线 l 上,记作 ②点 A 在平面 ? 内,记作 ③直线 l 在平面 ? 内,记作 ④直线 l 与平面 ? 相交,记作 ⑤平面 ? 与平面 ? 平行,记作 二、线面间的位置关系 1.线线间的位置关系:相交、平行、异面。 ①异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 ②异面直线所成的角:过空间任意点 O 分别作两条异面直线的平行线,所得的两条相交直线 所成的锐角或直角。异面直线所成的角的取值范围是 ? ? (0? ,90? ] 。 2.线面间的位置关系:平行,相交,线在面内。 【线在面外是指:平行或相交。 】 3.面面间的位置关系:平行、相交。 【注:垂直是相交的一种特殊情况。 】 三、平行关系 1.线线平行:在同一个平面内没有公共点的两条直线称为平行直线。 2.线面平行 ①定义:直线 a 与平面 ? 没有公共点,叫做直线 a 与平面 ? 平行,记作: a // ? 。 ②判定定理:若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 符号语言:若 a ? ? , b ? ? , a // b ,则 a // ? 。 ③性质定理:若一直线与一平面平行,则过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平行。 符号语言:若 a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ,则 a // b 。 3.面面平行 ①定义:平面 ? 与平面 ? 没有公共点,则称平面 ? 与平面 ? 平行,记作 ? // ? 。 ②判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号语言:若 a ? ? , b ? ? , a ? b ? p, a // ? , b // ? ,则 ? // ? 。 ③性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号语言:若 ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ,则 a // b 。 四、垂直关系 1.线线垂直:若两条直线的夹角为 90°,则称为两直线垂直。 2.线面垂直
l ①定义: 若直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直, 则直线 l 与平面 ? 互相垂直; 记作: ? ? 。

,点 A 不在直线 l 上,记作 ,点 A 不在平面 ? 内,记作 ,直线 l 不在平面 ? 内,记作 ,直线 l 与平面 ? 平行,记作 ,平面 ? 与平面 ? 相交,记作

; ; ; ; 。

②判断定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号语言:若 l ? m, l ? n, m ? ? , n ? ? , m ? n ? P ,则 l ? ? 。 ③性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号语言:若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n 。
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3.面面垂直 ①定义:若两个相交平面所成的二面角是直二面角,则这两个平面互相垂直。记作:? ? ? 。 ②判断定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号语言:若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? 。 ③性质定理:若两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。 符号语言:若 ? ? ? , m ? ? , m ? l , ? ? ? ? l ,则 m ? ? 。 四、空间中的角 1.线线角:线线角的范围 ? ?[0? ,90? ] 。 2.线面角:平面的斜线和它在平面上的射影所成的角。线面角的范围 ? ?[0? ,90? ] 。 3.面面角: 【二面角】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的 棱,这两个半平面叫做二面角的面。二面角的范围 ? ?[0? ,180? ] 。 【二面角的平面角】在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足,在半平面 ? 和 ? 内分别作垂直于棱 l 的垂线 OA和OB ,则射线 OA和OB 所成的角 ?AOB 叫做二面角的平面角。 注:二面角的大小等于它的平面角的大小。 五、空间的距离(略) 【常见题型与思路】 【一、平行的证明方法】 1.线线平行的证明方法: ①平行线的传递性:若 a // b, a // c ,则 b // c 。 ②平行四边形:平行四边形的对边平行。 ③中位线定理:三角形中位线定理和梯形中位线定理。 ④若一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 符号语言:若 l // ? , l ? ? , ? ? ? ? m ,则 l // m 。 ⑤若两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行。 符号语言:若 ? // ? , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n ,则 m // n 。 ⑥垂直于同一平面的两条直线平行。 符号语言:若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n 。 2.线面平行的证明方法: ①若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 符号语言:若 l ? ? , m ? ? , l // m ,则 l // ? 。 ②若两个平面平行,则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。 符号语言:若 ? // ? ,l ? ? ,则 l // ? 。 ③若平面外的两条平行线中的一条平行于平面,则另一条也平行这个平面。 符号语言:若 m ? ? , n ? ? , m // n, m // ? ,则 n // ? 。
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3.面面平行的证明方法: ①若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号语言:若 m ? ? , n ? ? , m ? n ? A, m // ? , n // ? ,则 ? // ? 。 ②若两个平面同时与一条直线垂直,则这两个平面平行。 符号语言:若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? 。 ③若两个平面同时与一个平面平行,则这两个平面平行。 符号语言:若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? 。 【二、垂直的证明方法】 1.线线垂直的证明方法: ①定义:若两条直线的夹角为 90°,则两条直线垂直。 ②勾股定理逆定理:在 ?ABC 中,若 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,则 ?A ? 90? ,即 AB ? AC 。 ③若一条直线垂直一个平面,则这条直线垂直这个平面里的所有直线。 符号语言:若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m 。 ④若直线垂直两平行直线中的一条,则也垂直另一条。 符号语言:若 m // n, l ? m ,则 l ? n 。 2.线面垂直的证明方法: ①若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号语言:若 m ? ? , n ? ? , m ? n ? A, l ? m, l ? n ,则 l ? ? 。 ②若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直这个平面。 符号语言:若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? 。 ③若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则该直线也垂直另一个平面。 符号语言:若 ? // ? ,l ? ? ,则 l ? ? 。 ④若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 符号语言:若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l ,则 m ? ? 。 3.面面垂直的证明方法: ①定义:若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 90°,则 ? ? ? 。 ②若一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号语言:若 l ? ? , l ? ? ,则 ? ? ? 。 【三、角的求法】 1.线线角:首先把把两条直线平移到相交,其次把夹角放在三角形中。 2.线面角:首先找出线面角(斜线与射影的夹角) ,然后按照线线角求解。 3.面面角:首先找出二面角的平面角,然后按照线线角求解。 【四、距离的求法(略) 】 【注意:以上每句话都有文字、符号、图像三种形式,理解并熟练转化才能学好,加油! 】
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