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1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(习题课)


第一章

三角函数

1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象







海南中学 唐盛彪 2013年12月5日

不患位之不尊,而患德之不崇;不耻禄之 不伙,而耻智之不博. ——张衡
不要担心职位不够高,而应该想想自己的道德 是不是完善;不要以自己的收入不够高而感到耻辱, 而应该想想自己的学识够不够渊博。 不要在官位俸禄上患得患失,而去追求个人道德 和学识的进步。

温故知新
探究点一 “五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的 图象 利用“五点法”作出函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一 个周期上的图象,要经过“取值、列表、描点、连线”这 四个步骤.请完成下面的填空. π ωx+φ 0 π 2 φ π φ π φ -ω -ω+2ω -ω+ω x y 0 A 0 3 π 2π 2 φ 2π φ 3π - ω + 2ω - ω + ω -A 0

温故知新
所以,描点时的五个关键点的坐标依次是
? φ ? ?- ,0? ? ω ?



? ? ? φ 2π ? φ ?? φ ? ? φ 3π π π - + ,0? ?- + ,A? ?- + ,0? ?-ω+2ω,-A? ? ω ?. ? ,? ω ? ω 2ω ? ,? ω ω ?, ?

φ T φ 2π - + - 若设 T= ω ,则这五个关键点的横坐标依次为 ω , ω 4 ,

φ T φ 3 φ - + ω 2 , -ω+4T , -ω+T

.

温故知新

A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象变化的影响 1.φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响





温故知新
2.ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
缩短 伸长

3.A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
伸长 缩短

温故知新
【知识点拨】1.函数图象的三种变换 (1)由y=sin x到y=sin(x+φ)的图象的变换称为相位变换.

(2)由y=sin x到y=sin ωx图象的变换称为周期变换.
(3)由y=sin x到y=Asin x图象的变换称为振幅变换.

温故知新
2.变换法作图的两种途径
平移变换 伸缩变换 ? y ? sin(x ? ?) ???? ? ?1? y ? sin x ???? 伸缩变换 y ? sin(?x ? ?) ???? ? y ? Asin(?x ? ?). 伸缩变换 平移变换 ? y ? sin ?x ???? ? ? 2? y ? sin x ???? 伸缩变换 y ? sin(?x ? ?) ???? ? y ? Asin(?x ? ?).

注意:两种途径的变换顺序不同,其中的变换量也不同,但 平移的方向是一致的.

温故知新

一、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中各参数的物理意义

A
2? ?
? 2?

ωx+φ

φ

例题讲解
类型一 函数图象变换
? 例1.(2013·临沂高一检测)为得到函数 y=cos(2x ? ) 的图象, 3
只需将函数y=sin 2x的图象(
5? A.向左平移 个单位长度 12 C.向左平移 5? 个单位长度 6

)
5? B.向右平移 个单位长度 12 D.向右平移 5? 个单位长度 6

? ? ? 5? ). 3 2 3 6 5? 由题意知,要得到 y=sin(2x ? ) 的图象只需将y=sin 2x的 6 5? 图象向左平移 个单位长度. 12
1.选A.因为 y=cos(2x ? )=sin[ ? (2x ? )]=sin(2x ?

变式训练
【变式训练】1.先作函数y=sin x的图象关于y轴的对称图象,

? 再将所得图象向左平移 个单位,所得图象的函数解析式 4
是________________.

【解析】作函数y=sin x的图象关于y轴的对称图象,其函数
解析式为y=sin(-x),再将函数y=sin(-x)的图象向左平

? 移 个单位,得到函数图象的函数解析式为: 4 ? ? y=sin[?(x ? )]=sin(? x ? ). 4 4 ? 答案:y=sin(? x ? ) 4

例题讲解

类型一 函数图象变换

? ? 【例2】把函数 y ? sin(3x ? ) 的图象向左平移 个单位长 4 3
度,再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,则所得 图象的解析式为( A. y ? sin(3x ? ? ) ) B.y ? sin(6x ? 3? )

3 4 3? D.y ? sin( x ? ) 2 4 ? 【解析】选D.把函数 y ? sin(3x ? ) 的图象向左平移 ? 个单位 4 3 ? ?① 长度,可得函数 y ? sin[3(x ? ) ? ] 的图象,即函数解析式 3 4 3? 为 y ? sin(3x ? ), 再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来 4 3 3? ② 的2倍,可得函数 y ? sin( x ? ) 的图象. 2 4

12 C. y ? sin( 3 x ? ? ) 2 12

变式训练
【变式训练】

2.(2013·南昌高一检测)给出几种变换:(1)横坐标伸长到原

1 来的2倍,纵坐标不变.(2)横坐标缩小到原来的 倍,纵坐标 2 ? ? 不变.(3)向左平移 个单位长度.(4)向右平移 个单位长 3 ? 3 度.(5)向左平移 个单位长度.(6)向右平移 ? 个单位长度. 6 ? 6 则由函数y=sin x的图象得到 y=sin(2x ? ) 的图象,可以实 3
施的方案是( A.(1)→(3) ) B.(2)→(3) C.(2)→(4) D.(2)→(5)

变式训练
【解析】2.选D.由y=sin x的图象到 y=sin(2x+ ? ) 的图象可

3

以先平移变换再伸缩变换,即(3)→(2);也可以先伸缩变换
再平移变换,即(2)→(5).

例题讲解
类型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 例3.函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,?>0) 的图象如图所示,求f(x) 的解析式.

例题讲解
3.方法一:由图象可知,振幅A=3, T?

? 所以ω=2.又由点 (? , 0),根据五点作图原理(可判为“五点 6 ? ? 法”中的第一点),所以 ? ? 2 ? ? ? 0, 得 ? ? , 所以 6 3 ? f ? x ? ? 3sin(2x ? ). 3 5? ? 方法二:由图象知,振幅A=3,T ? ? (? ) ? ?, 6 6
所以ω=2.

5? ? ? (? ) ? ?, 6 6

? ? ? 6 ? 6 ? 6 所以 sin(? ? ?) ? 0, ? ? ? ? k? ? k ? Z ?. 3 ? 3 ? ? 又 | ? | < , 所以 k ? 0,? ? , 所以 f ? x ? ? 3sin(2x ? ). 2 3 3
又图象过点 (? , 有 f (? ) ? 3sin[2(? ) ? ?] ? 0, 0),

变式训练
【变式训练】3.(2013·四川高考)函数f(x)=2sin(ωx+φ), ? ? (?>0, ? <?< ) 的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是 2 2 ( )

A. 2, ? ? B.2, ? ? 6 3 C.4, ? ? D.4, ? 6 3 3 5? ? 9? 3? T ? ? (? ) ? ? , 所以函 【解析】选A.根据图示可知 4 12 3 12 4 5? 数的周期为π,可得ω=2,根据图象过 ( ,2) 代入解析式, 12 ? ? ? 结合 ? <?< , 可得 ? ? ? , 故选A. 2 2 3

4:如图,某地一天从6~14 时的温度变化曲线近似满足 函数
30 20 10

T/℃

y ? Asin(?x ? ?) ? b.

(1)求这一天6~14时的 O 最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式.

6 8 10 12 14

t/h

解:(1)观察图象可知,这段时间的最大温差是20 ℃. (2)从图中可以看出,从6时到14时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,

所以

1 1 A ? (30 ? 10) ? 10, b ? (30 ? 10) ? 20, 2 2 1 2? ? 因为 ? ? 14 ? 6, 所以? ? . 8 2 ?

因为点(6,10)是五点法作图中的第四点,故

? 3? 3? ?6 ? ? ? , 解得? ? . 2 4 8 ? 3? 故所求函数解析式为 y ? 10sin( x ? ) ? 20,x ? [6,14]. 8 4

变式训练

类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用

1.(2011·山东高考)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0, ? ] 上单调递增,在区间[ ? , ? ]上单调递减,则ω=(
3 2 3

)

(A)3

(B)2

3 (C) 2

(D) 2
3

【解析】选C.由f(x)=sinωx(ω>0)知其图象过原点,所以
T ? 4? 2? 4? 3 ? ,T ? , ? ,解得? ? . 4 3 3 ? 3 2

例题讲解
类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用
例 4.已知函数
? π? f(x)=sin?ωx+3 ?(ω>0)的最小正周期为 ? ?

π,

则该函数的图象说法正确的有________. ?π ? π ①关于点?3,0?对称;②关于直线 x= 对称; 4 ? ? ?π ? π ? ? ③关于点 4,0 对称;④关于直线 x= 对称. 12 ? ?

①④

温故知新
二、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质

1.定义域:R.
[-A,A] 2.值域:_______.

2? ? 3.最小正周期:T=_____. k? ? ? , 0). 4.对称中心: ( ? ? 2k ? 1? ? ? 2? (k ? Z). 对称轴: x ? 2?
5.单调区间:利用整体化思想,将ωx+φ作为一个整体,将函数 转化为求正弦函数的单调区间.

变式训练
4.函数y=sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的
? 图象恰好关于x= 对称,则φ的最小值是_________. 6

4.函数y=sin 2x的图象向右平移后得到 y=sin[2(x-?)]

的图象,而 x= ? 是对称轴,即 2( ? ? ?)=k?+ ? ? k ? Z ?, 6 6 2 ?k? ? 所以 ?= - ? k ? Z ?. 2 12 5 5 当k=-1时, 答案: ?= ?. ? 12 12

变式训练

变式训练
类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用
5. 函数
?kπ π ? ? ? - ,0? (k∈Z) π? 3 ? ?2 y=3tan?x+3 ?的对称中心的坐标是_______________ . ? ?

π kπ 解析 由 x+ = (k∈Z), 3 2 kπ π 得 x= - (k∈Z). 2 3 ?kπ π ? ∴对称中心坐标为? 2 -3,0? (k∈Z).
? ?

变式:函数 f ( x) ? tan(3x ? ? ) 图象的一个对称中心

? ?? ? 是 ? ,0 ? ,其中 0 ? ? ? ,求 f ( x ) 的解析式. 2 ?4 ?

变式训练

类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用
k? ① ,0) , 2

【规范解答】由于函数y=tan x的对称中心为 (


其中k∈Z.???????????????????2分

? k? 3? k ? 故令 3x ?φ? ,其中 x ? ,即φ? ? . ?????4分 4 2 4 2 ? 由于 0 ?φ? , 2 ② ? 所以当k=2时, φ? . 4 ? 故函数解析式为 f ? x ? ? tan(3x ? ). ?????????6分 4

例题讲解

类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用

引例: ①若函数 f(x)=sin(2x+φ)是奇函数, 则 φ= ②函数 f(x)=sin(2x+φ)是偶函数,则 φ=

k? ? k ? Z . ?

k? ?

?
2

? k ? Z. ?

得出结论
探究点三 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性 关于函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性有以下结论: ①函数 f(x)=Asin(ωx+φ)是奇函数?f(x)=Asin(ωx+φ)的图 象关于原点对称?f(0)=0?φ=kπ(k∈Z). ②函数 f(x)=Asin(ωx+φ)是偶函数?f(x)=Asin(ωx+φ)的图 π 象关于 y 轴对称?f(0)=A 或 f(0)=-A?φ=kπ+ (k∈Z). 2

变式训练

类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用

变式训练

类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用

例题讲解

类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用

例5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的

? 上是单 偶函数,其图象关于点 M( 3? , 对称,且在区间 [0, ] 0)
调函数,求ω和φ的值. 【解题探究】

4

2

? 5.函数为偶函数说明该三角函数是什么类型?在区间 [0, ] 上 2
是单调函数说明什么?

探究提示:
5.函数为偶函数说明该三角函数是余弦函数类型;在区间

? ? [0, ] 上是单调函数说明该函数的半个周期应不小于 . 2 2

例题讲解

类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用
? 2

例5.因为f(x)=sin(ωx+φ)是R上的偶函数,

? 2 ? 所以 f ? x ?=sin(?x ? )=cos ?x. 2 3? 对称,所以 3? 因为图象关于点 M( , 0) cos ?=0. 4 4 3? ? 所以 ?= +n?,n ? Z. 所以 ?= 2+ 4 n,n ? Z. 4 2 3 3 ? 又因为f(x)在区间 [0, ] 上是单调函数, 2 T ? 2? 1 ? 所以 ? -0,即 ? ? , 所以ω≤2. 2 2 ? 2 2 又因为ω>0,所以 ?= 2 或?=2. 3

所以 ?= +k?,k ? Z. 又因为0≤φ≤π,所以 ?= ,

变式训练

类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用

8.(2011·安徽高考)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实
? 数,若f(x)≤|f( ? )|对x∈R恒成立,且f( )>f(π),则f(x) 6 2

的单调递增区间是(
3 6

)

(A) [k? ? ? , k? ? ? ] (k∈Z) (B) [k?, k? ? ? ] (k∈Z) (C)[k? ? ? , k? ? 2? ] (k∈Z)
6 3 (D) [k? ? ? , k?] (k∈Z) 2 2

变式训练

类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用
? )|对x∈R恒成立知, 6

【解析】选C.由f(x)≤|f(

? ? (k∈Z),得到 ? 5? 2 ? ? ? ? 2k? ? ? ? 2k? ? 或? ? 2k? ? 6 2 6 6 ? (k∈Z),代入f(x)并由f( )>f(π)检验得,φ的取值为 2 ? 5? ? 5? (k∈Z),不妨取 5? 所以 2k ? ? ? 2x ? ? 2k ? ? , 2k? ? ?= ? , 2 6 2 6 6 计算得单调递增区间是 [k? ? ? , k? ? 2? ] (k∈Z). 6 3

布置作业
高一(20)班数学作业(2013.12.7)
(必做)课本P.57—59.习题1.5 A组 2.(3)(4),B组 2
【选做】3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
? )的 2

图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第
一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).

(1)求f(x)的解析式及x0的值;
(2)求f(x)的增区间; (3)若x∈[-π,π],求f(x)的值域.

典型例题

【例3】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的

? 2

图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第
一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).

(1)求f(x)的解析式及x0的值;
(2)求f(x)的增区间; (3)若x∈[-π,π],求f(x)的值域.

典型例题
【解题指南】根据已知条件结合图象先求出解析式,再根据解
析式求出单调区间和值域.

【规范解答】(1)由图象知A=2,由 T =2π得T=4π,
所以 ? ? . ∴f(x)= 2sin( 1 x ? ?),
? ? ? , ∴f(0)=2sinφ=1,又∵ 2 ? ∴ ?? , 6 1 ? ? f ? x ? ? 2sin( x ? ), 2 6 2 1 2 2

典型例题
由 f (x 0 ) ? 2sin( 1 x 0 ? ? ) ? 2, ∴ 1 x 0 ? ? ? ? ? 2k?,x 0 ? 4k? ? 2? , k∈Z,
2 6 2 3 2 6 2? . 3

又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点,∴x0= (2)由 ? ? ? 2k? ? 1 x ? ? ? ? ? 2k?, k∈Z得
2

2 6 2 4? 2? 所以f(x)的增区间为 ? ? 4k? ? x ? ? 4k?, 3 3 4? 2? [? ? 4k?, ? 4k?], k∈Z. 3 3 (3)∵-π≤x≤π,∴ ? ? ? 1 x ? ? ? 2? , 3 2 6 3 所以 ? 3 ? sin( 1 x ? ? ) ? 1,所以 ? 3 ? f (x) ? 2, 所以f(x)的值域 2 2 6

为 [? 3,2].

变式训练
2.在锐角 ?ABC 中,求证: sin A ? sin B ? cos A ? cos B

变式:在锐角 ?ABC 中,

sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 成立吗?

变式训练
变式训练 3 已知定义在(-∞,3]上单调减函数 f(x)使得 f(1+sin2x)≤f(a-2cos x)对一切实数 x 都成立,求 a 的取值范围.
解 根据题意,对一切 x∈R 都成立,有:

?1+sin2x≤3 ?sin2x≤2 ? ? ?a-2cos x≤3 ??a≤2cos x+3 ?a-2cos x≤1+sin2x ?a≤1+sin2x+2cos x ? ? ? ?a≤?2cos x+3?min ?? 2 ? ?a≤?1+sin x+2cos x?min
? ?a≤1 ?? ? ?a≤[-?cos
? ?a≤1 ?? ? ?a≤-1

x-1?2+3]min

,∴a≤-1.


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