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导数计算练习题答案(10)


导数计算练习题答案 1 用导数的定义求函数 y ? 1 ? 2 x 在点 x ? 1 处的导数。
2

解: f ?(1) ? lim
x ?1

f ( x) ? f (1) 1 ? 2 x 2 ? (?1) 2 ? 2 x2 ? lim ? lim ? ?2lim1 ? x ? ?4 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

3 2 一物体的运动方程为 s ? t ? 10 ,求该物体在 t ? 3 时的瞬时速度。

解: vt ?3 ? s?(3) ? 3t

2 t ?3

? 27

3 求在抛物线 y ? x 上横坐标为 3 的点的切线方程。
2

解: k ? f ?(3) ? 2x x?3 ? 6 ,切点为 (3,9) , 所求切线方程为 y ? 9 ? 6( x ? 3) ,即 6 x ? y ? 9 ? 0 4 求曲线 y ?
3

x 2 上点(1,1)处的切线方程与法线方程。
2 ?1 x 3 3 ?
x ?1

解:切线斜率 k ? f ?(1) ?

2 , 3

法线斜率为 ?

3 2 2 ( x ? 1) ,即 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 3 3 ( x ? 1) ,即 3x ? 2 y ? 5 ? 0 2
2 3

所求切线方程为 y ? 1 ?

所求法线方程为 y ? 1 ? ?

5 自变量 x 取哪些值时,曲线 y ? x 与 y ? x 的切线平行? 解:由已知, 2 x ? 3x ,解出 x ? 0 或 x ?
2

2 3

6 讨论函数 y ? x x 在点 x ? 0 处的可导性。 解: f ??(0) ? lim ?
x ?0

f ( x) ? f (0) ? xx ? 0 = lim ?0 ? x ? 0 x?0 x?0 f ( x) ? f (0) xx ? 0 = lim ?0 ? x ?0 x ? 0 x?0

f ??(0) ? lim ?
x ?0

f??(0) ? f ??(0) ,所以函数 y ? x x 在点 x ? 0 处的可导,且 f ?(0) ? 0 。

7 函数 f ( x) ? ?

? x2 ? 1 ? 3x ? 1

0 ? x ?1 1? x

在点 x ? 1 处是否可导?

解: f ??(1) ? lim ?
x ?1

f ( x) ? f (1) ( x 2 ? 1) ? 2 x2 ?1 ? lim ? lim ? lim x ?1 ? 2 x ?1? x ?1? x ? 1 x ?1? x ?1 x ?1
3

f ( x)? f ( 1 ) (x ? 3 ? 1) 2 x?3 3 f ??( 1 ) ? l ?i m ? ?l i m ? ? lim ? x ?1 x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1 x ?1

f ??(1) ? f ??(1) ,所以函数 f ( x) 在点 x ? 1 处不可导。
1 ? 2 ? x sin 8 函数 f ( x) ? ? x ? ?0
解: lim f ( x) ? lim x sin
2 x ?0 x ?0

x?0 x?0

在点 x ? 0 处是否连续?是否可导?

1 ? 0 ? f (0) , x

所以函数 f ( x ) 在点 x ? 0 处连续。

f ?(0) ? lim
x ?0

f ( x) ? f (0) 1 ? lim x sin ? 0 x ?0 x?0 x

所以函数 f ( x ) 在点 x ? 0 处可导,且 f ?(0) ? 0 。 9 求下列各函数的导数(其中 a,b 为常数) (1) y ? 3x ? x ? 5
2

解: y? ? 6 x ? 1 (2) y ? 2 x ?

1 ?4 3 x

解: y? ?

2 2 x

? (?

1 1 1 )? ? 2 2 x x x

(3) y ?

x2 2 ? 2 x2
1 4 (2 x) ? 2(?2) x ?3 ? x ? 3 2 x

解: y? ?

(4) y ?

1 ? x3 x

解: y ?

1 5 ? 1 ? x3 ? x 2 ? x2 x

1 ?3 5 3 y? ? (? ) x 2 ? x 2 2 2
(5) y ? ( x ? 1)(

1 ? 1) x

解: y ? ( x ? 1)(

1 1 ? 1) ? ? x x x

1 ?3 1 ?1 1 1 y? ? ? x 2 ? x 2 ? ? (1 ? ) 2 2 x 2 x
(6) y ? ( x ?1) 2x 解: y ? ( x ? 1) 2 x ?

2( x ? x )

3 2

1 2

3 1 1 ?1 1 y? ? 2( x 2 ? x 2 ) ? (3x ? 1) 2 2 2x
(7) y ? ( x ? a)( x ? b) 解: y ? ( x ? a)( x ? b) ? x ? (a ? b) x ? ab
2

y ? ? 2 x ? ( a ? b)
10 求下列各函数的导数(其中 a,b,c,n 为常数) (1) y ? x ln x 解: y? ? x? ln x ? x(ln x)? ? ln x ? x ? (2) y ? x ln x
n

1 ? ln x ? 1 x

解:

1 y? ? ( x n )? ln x ? x n (ln x)? ? nx n ?1 ln x ? x n ? ? x n ?1 (n ln x ? 1) x
x
y? ? 1 2 x ln a

(3) y ? loga 解: y ?

1 log a x 2

(4) y ?

x ?1 x ?1
( x ? 1)?( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 1)? ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? ?? 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1) 2

解: y? ?

(5) y ?

5x 1 ? x2

解: y? ?

(5x)?(1 ? x 2 ) ? (5 x)(1 ? x 2 )? 5(1 ? x 2 ) ? (5 x)(2 x) 5(1 ? x 2 ) ? ? (1 ? x 2 )2 (1 ? x 2 )2 (1 ? x 2 )2
2x 2? x

(6) y ? 3 x ?

解: y? ? 3 ?

(2 x)?(2 ? x) ? (2 x)(2 ? x)? 2(2 ? x) ? (2 x)(?1) 4 ? 3? ? 3? 2 2 (2 ? x) (2 ? x) (2 ? x) 2

11 求下列各函数的导数 (1) y ? x sin x ? cos x 解: y? ? sin x ? x cos x ? sin x ? x cos x (2) y ?

x 1 ? cos x

解: y? ?

(1 ? cos x) ? x(1 ? cos x)? 1 ? cos x ? x sin x ? (1 ? cos x)2 (1 ? cos x)2

(3) y ? tan x ? x tan x 解: y? ? sec2 x ? tan x ? x sec2 x ? (1 ? x)sec2 x ? tan x (4) y ?

5sin x 1 ? cos x

解: y? ?

(5cos x)(1 ? cos x) ? 5sin x(1 ? cos x)? (1 ? cos x)2

?

(5cos x)(1 ? cos x) ? 5sin x(? sin x) 5cos x ? 5 5 ? ? 2 2 (1 ? cos x) (1 ? cos x) 1 ? cos x

12 求下列各函数的导数(其中 a,n 为常数) (1) y ? (1 ? x )
2 5

解: y? ? 5(1 ? x ) (1 ? x )? ? 5(1 ? x ) (2 x) ? 10 x(1 ? x )
2 4 2 2 4

2 4

(2) y ? (2 ? 3x 2 ) 1 ? 5 x 2 解: y? ? 6 x 1 ? 5 x ? (2 ? 3x )
2 2

(1 ? 5x2 )? 2 1 ? 5x
2

? 6 x 1 ? 5 x 2 ? (2 ? 3x 2 )

5x 1 ? 5x2

?

6 x(1 ? 5x2 ) ? 10 x ? 15x3 1 ? 5x2

?

16 x ? 45x3 1 ? 5x2

(3) y ? 解: y? ?

x2 ? a2
( x2 ? a 2 )? 2 x2 ? a2
x 1 ? x2

?

2x 2 x2 ? a2

?

x x2 ? a2

(4) y ?

解: y? ?

( 1 ? x 2 ) ? x( 1 ? x 2 )? ( 1 ? x 2 )2

1 ? x2 ? x ?

(?2 x)

2 1 ? x2 ? ( 1 ? x 2 )2

1 ? x2 ?

x2

1 1 ? x2 ? ( 1 ? x 2 )2 ( 1 ? x 2 )3

(5) y ? loga (1 ? x2 ) 解: y? ?

(1 ? x 2 )? 2x ? 2 (1 ? x ) ln a (1 ? x 2 ) ln a

(6) y ? ln a 2 ? x 2 解: y ?

1 (a 2 ? x 2 )? ?x ln(a 2 ? x 2 ) , y? ? ? 2 2 2 2 2(a ? x ) a ? x 2

(7) y ? ln

1? x 1? x

解: y ? ln(1 ? x ) ? ln(1 ? x )

y? ?

1 1 1 1 1 1 (1 ? x )? ? (1 ? x )? ? ? ? 1? x 1? x 1? x 2 x 1? x 2 x

1 x (1 ? x)

(8) y ? sin nx 解: y? ? cos nx(nx)? ? n cos nx

(9) y ? sin x

n

解: y? ? cos x ( x )? ? nx
n n

n?1

cos xn

(10) y ? sin x
n

解: y? ? n sin

n?1

x(sin x)? ? n cos x sin n?1 x

(11) y ? ln tan 解: y? ?

x 2

x 1 x x 1 x 1 1 x 1 1 1 (tan )? ? (sec2 )( )? ? (tan )? ? sec2 ? ? x x x 2 2 2 2 2 tan x 2 2 sin x cos x sin x tan tan tan 2 2 2 2 2 2
2

1

(12) y ? x sin

1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 ? x 2 cos ( )? ? 2 x sin ? x 2 cos (? 2 ) ? 2 x sin ? cos x x x x x x x x

解: y? ? 2 x sin

(13) y ? lg( x ? x2 ? a 2 )

解: y? ?

2 2 x2 ? a2 ? x 2 x ? a ? ? ( x ? x 2 ? a 2 ) ln10 ( x ? x 2 ? a 2 ) ln10 ( x ? x 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 ln10 2 2

( x ? x ? a )?

1?

2x

(14) y ?

1 cos n x
?n ? n?1

解: y? ? [(cos x) ]? ? (?n)(cos x) 13 求下列各函数的导数: (1) y ? arcsin

(cos x)? ? n sin x(cos x)?n?1

x 2

解: y? ?

x 2 1 1 ( )? ? ? 2 x 4 ? x2 2 4 ? x2 1 ? ( )2 2
2x 1 ? x2

1

(2) y ? arctan

2x 1 2x (1 ? x 2 ) 2 2(1 ? x 2 ) ? 2 x( ?2 x) ? ? y ? ( ) ? 解: y ? arctan 2x 2 1 ? x2 1 ? x2 (1 ? x 2 ) 2 (1 ? x 2 ) 2 1? ( ) 2 1? x

?

2(1 ? x 2 ) 2 ? 2 2 (1 ? x ) (1 ? x 2 )
x 2
2

(3) y ? (arcsin )

解: y? ? 2(arcsin )(arcsin )? ? 2(arcsin )

x 2

x 2

x 2

x x 2 1 ( )? ? 2(arcsin ) 2 2 2 4? x 2 x 1 ? ( )2 2

1

x 1 ? 2(arcsin ) 2 4 ? x2
(4) y ? x 1 ? x 2 ? arc sin x 解: y? ? 1 ? x 2 ? x( 1 ? x 2 )? ?

1 1? x
2

? 1 ? x2 ? x

?x 1? x
2

?

1 1? x
2

?

2(1 ? x2 ) 1? x
2

? 2 1 ? x2

(5) y ? sin x ? cos x ? sin(cos x) 解: y? ? cos x ( x )? ?

1 (cos x)? ? cos(cos x)(cos x)? 2 cos x

?cos x
2

1 2 x

?
2

? six n ? cos(c xo ?s ) (x s i n ) 2 c oxs

(6) y ? tan (1 ? 2 x ) 解: y? ? 2tan(1 ? 2 x )[tan(1 ? 2 x )]? ? 2tan(1 ? 2 x )sec (1 ? 2 x )(1 ? 2 x )?
2 2 2 2 2 2

?2 tan( ? 1 x2 2

2 )2 s e? cx (2 1 x 2 ? 8x) t4a n ( ? 1 x 2

2 )2 s e? c x (1

2

)

14 下列各题中的方程均确定 y 是 x 的函数,求 y? x (其中 a,b 为常数) (1) x ? y ? xy ? 1
2 2

解:方程两边对 x 求导,有 2 x ? 2 yy? ? y ? xy? ? 0 即 (2 y ? x) y? ? y ? 2 x , 解出 y? ?

y ? 2x 2y ? x

(2) y ? 2axy ? b ? 0
2

解:方程两边对 x 求导,有 2 yy? ? 2ay ? 2axy? ? 0 即 (2 y ? 2ax) y? ? 2ay , 解出 y? ?

ay y ? ax

(3) y ? x ? ln y 解:方程两边对 x 求导,有 y? ? 1 ?

y? 1 即 (1 ? ) y? ? 1 , y y

解出 y? ?

y y ?1
y

(4) y ? 1 ? xe

解:方程两边对 x 求导,有 y? ? e ? xe y? 即 (1 ? xe ) y? ? e
y y y

y



解出 y? ?
3

ey 1 ? xe y
2

15 求曲线 y ? y ? 2 x 在点 (1,1) 处的切线方程和法线方程。 解:点 (1,1) 在曲线上即 (1,1) 为切点,切线斜率为 y? x ?1 , 方程两边对 x 求导,有 3 y y? ? 2 yy? ? 2 ,解出 y? ?
2

2 3y ? 2 y
2

于是得点 (1,1) 处切线斜率为 y? (1,1) ?

2 , 5

得切线方程为 y ? 1 ?

2 ( x ? 1) ,即 2 x ? 5 y ? 3 ? 0 5 5 ( x ? 1) ,即 5x ? 2 y ? 7 ? 0 2

法线方程为 y ? 1 ? ?

16 利用取对数求导法求下列函数的导数(其中 a1 , a2 , (1) y ? x

an , n 为常数):

1? x 1? x

解:方程两边取自然对数, ln y ? ln x ?

1 (ln(1 ? x) ? ln(1 ? x)) , 2

方程两边对 x 求导,

1 1 1 ?1 1 y? ? ? [( )? ] y x 2 1? x 1? x

得 y? ? y ( ?

1 x

1 1 ? ) 2( x ? 1) 2(1 ? x)

(2) y ?

x2 3? x ?3 1 ? x (3 ? x)2
1 3 2 ln(3 ? x) , 3

解:方程两边取自然对数, ln y ? 2 ln x ? ln(1 ? x) ? ln(3 ? x) ?

方程两边对 x 求导,

1 1 ?1 1 ?1 2 1 y? ? 2 ? ? ? y x 1? x 3 3 ? x 3 3 ? x

得 y? ? y ( ?

2 x

1 1 2 ? ? ) x ? 1 3( x ? 3) 3(3 ? x)

(3) y ? (sin x)tan x 解:方程两边取自然对数, ln y ? tan x ln(sin x) , 方程两边对 x 求导,
2

1 cos x y? ? sec2 x ln(sin x) ? tan x ? sec2 x ln(sin x) ? 1 y sin x

得 y? ? y[sec x ln(sin x) ? 1]

17 求下列各函数的导数(其中 f 可导) (1) y ? f (e x )e f ( x ) ,求 y? x, 解: y? ? f ?(e x )e xe f ( x ) ? f (e x )e f ( x ) f ?( x) ? e f ( x ) [ f ?(e x )e x ? f ?( x) f (e x )]

(2) y ? f (e x ? xe ) ,求 y? x, 解: y? ? f ?(e x ? xe )(e x ? exe?1 )

(3) y ? f (sin x) ? f (cos x) ,求 y? x
2 2

解: y? ? f ?(sin 2 x)2sin x cos x ? f ?(cos2 x)2cos x(?sinx)

? sin 2x[ f ?(sin 2 x) ? f ?(cos2 x)]
18 求下列函数的导数:
2 ? dy ? x ? 2t ? t ? (1) 3 ,求 dx ? ? y ? 3t ? t

dy yt? 3 ? 3t 2 3(1 ? t ) 解: dx ? x? ? 2 ? 2t ? 2 t
(2) ? y ? a sin 3? sin ? , (其中 a 为常数),求 dx ? ?? ?

? x ? a sin 3? cos ?

dy

3

t 解: dx ? x? ? a(3cos3? cos ? ? sin 3? sin ? ) ? 3cos3? cos ? ? sin 3? sin ? t

dy

y?

a(3cos3? sin ? ? sin 3? cos ? )

3cos3? sin ? ? sin 3? cos ?

3 3(?1) dy 2 ? 3 ? 1 ? dx ? ? 3(?1) 3 2
x?0 ? x ?1 ? 2 x ? 0 ,试分析在点 x ? 0 处, k 为何值时, f ( x) 有极限; 19 设有函数 f ( x) ? ? k ?kxe x ? 1 x ? 0 ?

k 为何值时, f ( x) 连续, k 为何值时, f ( x) 可导。
f ( x) ? lim? ( x ? 1) ? 1 解:(1) lim ?
x ?0 x ?0

x ? 0?

lim f ( x) ? lim (kxe x ? 1) ? 1 ?
x ?0
x ?0

所以 k 为任意实数时, lim f ( x) ? 1 。 (2)而 f (0) ? k ,
2

所以 k ? 1,即k ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 x ? 0 处连续。
2

(3) f ?(0) ? lim
x ?0

f ( x) ? f (0) f ( x) ? k 2 ? lim x ?0 x?0 x

f ??( 0 ) ?

x ?1? k 2 l ?i m x ?0 x (kxe x ? 1) ? k 2 x
2

f ??(0) ? lim ?
x ?0

由连续的条件, k ? 1 , 因此 f ??(0) ? lim ?
x ?0

x ?1? k 2 x ?1 ?1 ? lim ?1 ? x ?0 x x

f ??( 0 ) ?

x (k x e ? 1) ? 2k l ?i m ? x ?0 x

(kx x?e ? 1) 1 l i m ? ? x ? 0 ? x x

?

0

x k xe lim ?k x

所以 k ? 1 函数 f ( x ) 在点 x ? 1 处可导。

20 设 f ( x) ? ?

? x2 ?1 ? ax ? b

x ?1 x ?1

在点 x ? 1 处可导,求 a , b 的值。

解:函数 f ( x ) 在点 x ? 1 处可导,必先在该点连续,

x ?1?

lim f ( x) ? lim( x 2 ? 1) ? 0 ?
x ?1

x ?1?

lim f ( x) ? lim( ax ? b) ? a ? b ?
x ?1

f (1) ? 0
所以 a ? b ? 0 时,函数 f ( x ) 在点 x ? 1 处连续,

f ?(1) ? lim
x ?1

f ( x) ? f (1) f ( x) ? lim x ?1 x ? 1 x ?1

f ??(1) ? lim ?
x ?1

x2 ? 1 ? lim( x ? 1) ? 2 x ? 1 x?1?
ax ? b ax ? a ? lim ?a ? x ? 1 x ?1 x ? 1

f ??(1) ? lim ?
x ?1

所以 a ? 2, b ? ?2 函数 f ( x ) 在点 x ? 1 处可导。

21 求下列各函数的二阶导数: (1) y ? ln(1 ? x )
2

解: y ? ?

2x 2(1 ? x 2 ) ? 2 x2 x 2(1 ? x 2 ) ?? y ? ? 1 ? x2 , (1 ? x 2 )2 (1 ? x 2 )2
2

(2) y ? (1 ? x )arctan x

y? ? 2 x arctan x ? (1 ? x 2 ) 解:
y?? ? 2 arctan x ?
2

1 ? 2 x arctan x ? 1 1 ? x2

2x 1 ? x2

22 设 y ? f ( x ? b) ,其中 b 为常数, f 存在二阶导数,求 y?? 。 解: y? ? 2xf ?( x ? b)
2

y?? ? 2 f ?( x2 ? b) ? 2xf ??( x2 ? b)2x ? 2 f ?( x2 ? b) ? 4x2 f ??( x2 ? b)
23 验证: y ? e sin x 满足关系式 y?? ? 2 y? ? 2 y ? 0
x

? 解: y ? e sin x ? e cos x
x x

y?? ? ex sin x ? ex cos x ? ex cos x ? ex sin x ? 2ex cos x y?? ? 2 y? ? 2 y ? 2ex cos x ? 2(e x sin x ? e x cos x) ? 2(e x sin x) ? 0
24 求下列各函数的微分: (1) y ? 1 ? x 2 解: y? ?

?x 1? x
x 1 ? x2
2

, dy ?

?x 1 ? x2

dx

(2) y ?

解: y? ?

1 ? x 2 ? x(?2 x) 1 ? x2 1 ? x2 ? dy ? dx (1 ? x 2 )2 (1 ? x2 )2 , (1 ? x2 )2

(3) y ? arcsin x 解: y? ?

1 1 1 1 ? dx , dy ? 1 ? x 2 x 2 x(1 ? x) 2 x(1 ? x)

(4) y ? (e ? e )
x

?x 2

解: y? ? 2(e ? e )(e ? e ) , dy ? [2(e ? e )(e ? e )]dx ? 2(e
x ?x x ?x x ?x x ?x

2x

? e?2 x )dx

25 求隐函数 xy ? e

x? y

的微分 dy 。
x? y

解:方程两边对 x 求导 y ? xy? ? e

(1 ? y?) , y? ?

ex? y ? y e x? y ? y dy ? dx x ? e x? y , x ? e x? y


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