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【课堂新坐标】2013届高考数学一轮复习 第二章第十节 变化率与导数、导数的计算课件 理 (广东专用)


第十节 变化率与导数、导数的计算

1.导数的概念 (1)函数在 x=x0 处的导数 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是

f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim Δx→0 Δx lim =_________________________,称其为函数 y=f(x)在 x Δx→0 Δx =x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0. f?x+Δx?-f?x? lim Δx→0 (2)导函数:称函数 f′(x)=_____________________为函数 f(x) Δx 的导函数.

(3)导数的几何意义:f′(x0)是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的 y-y0=f′(x0)(x-x0). 切线斜率 ______________,相应的切线方程是______________________

2.基本初等函数的导数公式
导函数 n·n-1 x f′(x)=_________ cosx f′(x)=________ -sinx f′(x)=__________ axlna f′(x)=_____ (a>0) ex f′(x)=_____ 1 f(x)=logax(a>0,a≠1) f′(x)= xln a f(x)=ln x 原函数 f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0,a≠1) f(x)=ex

1 f′(x)=______ x

3.运算法则 f′(x)±g′(x) (1)[f(x)±g(x)]′=___________________; f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)[f(x)·g(x)]′=__________________________;

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? [g?x?]2 (3)[ ]′=_____________________ (g(x)≠0). g?x?
4.复合函数的导数

设u=v(x)在点x处可导,y=f(u)在点u处可导,则复合函数
f′(u)· v′(x) f[v(x)]在点x处可导,且y′x=____________________.

1.曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线与过点P0(x0,y0)的切线,

两说法有区别吗?
【提示】 有.前者P0一定为切点,而后者P0不一定为切点.

2.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系?

【提示】

f′(x)是一个函数,f′(x0)是常数,f′(x0)是函数f′(x)在

点x0处的函数值.

1.(教材改编题)函数 y=f(x)的图象在点 x=5 处的切线方 程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)等于( ) 1 A.1 B.2 C.0 D. 2

【解析】

因f(5)=-5+8=3,f′(5)=-1,

故f(5)+f′(5)=2. 【答案】 B

2.函数 f(x)在 x=a 处有导数,则lim h→a A.f(a) C.f′(h) B.f′(a) D.f(h)

f?h?-f?a? 为( h-a

)

f?h?-f?a? 【解析】 由导数定义,lim =f′(a). h→a h-a

【答案】 B

(

3.(2011· 江西高考)曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为 ) 1 A.1 B.2 C.e D. e

【解析】

∵y′=ex,∴当x=0时,y′=e0=1.

【答案】 A

x 4.(2012· 江门质检)曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线 x+2 方程为________.

x′?x+2?-x?x+2?′ x+2-x 【解析】 ∵y′= = ?x+2?2 ?x+2?2 2 = , ?x+2?2 ∴k=y′|x=-1=2. 由点斜式得直线方程 y+1=2(x+1),即 y=2x+1.

【答案】 y=2x+1

导数的计算

求下列各函数的导数: (1)y=(3x3-4x)(2x+1); x x (2)y=-sin (1-2cos2 ); 2 4 ln?x+1? (3)y= 2 . x +1

【尝试解答】 (1)法一 ∵y=(3x3-4x)(2x+1) =6x4+3x3-8x2-4x, ∴y′=24x3+9x2-16x-4. 法二 y′=(3x3-4x)′(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′ =(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)· 2 =24x3+9x2-16x-4. x x 1 (2)∵y=-sin (-cos )= sin x, 2 2 2 1 1 1 ∴y′=( sin x)′= (sin x)′= cos x. 2 2 2

[ln?x+1?]′?x2+1?-ln?x+1?· 2+1?′ ?x (3)y′= ?x2+1?2 ?x+1?′ 2 · +1?-2x· ?x ln?x+1? x+1 = ?x2+1?2 x2+1-2x?x+1?ln?x+1? = . ?x+1??x2+1?2

1.常见错误:(1)商的求导中,符号判定不清;(2)导数 公式与求导法则不能正确运用.

2.对于复杂函数求导,首先要进行合理变形,转化为较
易求导的结构形式,再求导数,但必须注意等价变形. 3.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,

防止与乘法公式混淆.

(1)f(x)=x2·cos x, (2)g(x)=e2x+ln x.分别求f(x)与g(x)的导数.

【解】 (1)f′(x)=(x2· x)′ cos =(x2)′· x+x2· x)′ cos (cos =2xcos x-x2sin x. (2)g′(x)=(e2x)′+(ln x)′ 1 1 2x 2x =e · (2x)′+ =2e + . x x

导数的几何意义及应用 设f(x)=xln x+1,若f′(x0)=2,则f(x)在点(x0,y0)处的切

线方程为________.

【尝试解答】 因为 f(x)=xln x+1, 1 所以 f′(x)=ln x+x·=ln x+1. x 因为 f′(x0)=2,所以 ln x0+1=2, 解得 x0=e,y0=e+1. 由点斜式得,f(x)在点(e,e+1)处的切线方程为 y-(e+1) =2(x-e),即 2x-y-e+1=0.

【答案】

2x-y-e+1=0

1.在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:求曲线 在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程,在点P处的切 线,一定是以点P为切点;过点P的切线,不管点P在不在曲线 上,点P不一定是切点. 2.求曲线的切线方程时,若不知切点,应先设切点,列 关系式求切点.再利用导数的几何意义求出切线斜率,然后由 点斜式写出切线方程.

(2011·山东高考)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的 切线与y轴交点的纵坐标是( )

A.-9
【解析】

B.-3

C.9

D.15

∵y′=(x3+11)′=3x2,切点P(1,12),

∴k=y′|x=1=3. 因此在点P(1,12)处的切线方程为3x-y+9=0, 令x=0,得y=9. 【答案】 C

1 设函数 f(x)=ax+ (a, b∈Z), 曲线 y=f(x)在点(2, x+b f(2))处的切线方程为 y=3. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)证明曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值.

1 【尝试解答】 (1)f′(x)=a- ,且 a,b∈Z. ?x+b?2

?2a+ 1 =3, ? 2+b 于是? ?a- 1 2=0, ? ?2+b?
(舍) 1 故 f(x)=x+ . x-1

?a=9, ? 4 ?a=1, 解得? 或? ?b=-1, ?b=-8. 3 ?

1 (2)在曲线上任取一点(x0,x0+ ). x0-1 1 由 f′(x0)=1- 知,过此点的切线方程为 ?x0-1?2

x2-x0+1 1 0 y- =[1- ](x-x0). x0-1 ?x0-1?2 x0+1 令 x=1,得 y= , x0-1 x0+1 切线与直线 x=1 的交点为(1, ). x0-1 令 y=x,得 y=2x0-1, 切线与直线 y=x 的交点为(2x0-1,2x0-1). 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1). 1 x0+1 从而所围三角形的面积为 | -1|· 0-1-1| |2x 2 x0-1 1 2 = | ||2x -2|=2 是定值. 2 x0-1 0

1.切点(2,f(2))既在切线上,又在曲线f(x)上,从而得到 关于a,b的方程组. 2.当曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此 时导数不存在)时,切线方程为x=x0;当切点坐标不知道时, 应首先设出切点坐标,再求解.

1 3 1 2 (2012· 惠州质检)已知 f(x)=ln x,g(x)= x + x 3 2 +mx+n,直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0). (1)求直线 l 的方程; (2)求函数 g(x)的解析式.

【解】 (1)∵l 是 f(x)=ln x 在点(1,0)处的切线, ∴其斜率 k=f′(1)=1, 因此直线 l 的方程为 y=x-1. (2)又 l 与 g(x)相切于点(1,0), ∴g′(1)=1,且 g(1)=0. ?1+1+m+n=0, ?m=-1, ?3 2 ? 因此? ∴? 1 ?1+1+m=1, ?n=6, ? ? 1 3 1 2 1 所以函数 g(x)= x + x -x+ . 3 2 6

从近两年的高考试题来看,求导公式和运算法则,以及
导数的几何意义是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又 可做为解答题的一问,难度中、低档为主,除了考查导数运算,

几何意义,还常与函数相关知识渗透交汇命题.

易错辨析之五 导数计算中忽视函数定义域致误 (2011·江西高考)若f(x)=x2-2x-4ln x,则f′(x)>0的解

集为(

)
B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0)
2

A.(0,+∞) C.(2,+∞)

4 2x -2x-4 【错解】 ∵f′(x)=2x-2- = , x x x2-x-2 ∴由 f′(x)>0,可得 >0, x 解得 x>2 或-1<x<0,故选 B.

【答案】

B

错因分析:(1)忽视函数的定义域(0,+∞). 1 (2)记错导数公式(ln x)′= ,导致盲目作答致错. x 防范措施:(1)树立函数定义域优先意识. (2)熟练掌握导数的计算公式与运算法则.

【正解】 函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 2 4 2x -2x-4 ∵f′(x)=2x-2- = , x x ∴由 f′(x)>0,可得 x2-x-2>0,∴x>2.选 C.
【答案】 C

sin x 1 π 1.(2011· 湖南高考)曲线 y= - 在点 M( ,0) 4 sin x+cos x 2 处的切线的斜率为( ) 1 1 2 2 A.- B. C.- D. 2 2 2 2
【解析】 y′= ?sin x?′?sin x+cos x?-sin x?sin x+cos x?′ ?sin x+cos x?2 sin2x+cos2x 1 = = , ?sin x+cos x?2 1+sin 2x π 1 故切线斜率 k=y′|x= = . 4 2
【答案】 B

2.(2012·江门模拟)已知函数f(x)=x3 +(1-a)x2 -a(a+2)x+b(a, b∈R).

(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,
求a,b的值; (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范

围.

【解】 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2). ?f?0?=b=0, (1)由题意得? 解得 b=0, a=- ?f′?0?=-a?a+2?=-3, 3 或 a=1.

(2)∵曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线, ∴关于 x 的方程 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个 不相等的实数根, 1 ∴Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即 4a2+4a+1>0,∴a≠- . 2 1 1 ∴a 的取值范围为(-∞,- )∪(- ,+∞). 2 2

课时知能训练


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