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近五年(2011-2015)高考新课标Ⅱ理科数学试题分类汇编(精校版


§1. 集合及其运算

1. (2015· 1)已知集合 A={-2,-1,0,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则 A∩B= ()
A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2}

2.(2014· 1)设集合 M={0,1,2},N= ?x | x2 ? 3x ? 2 ? 0? ,则 M ? N =()
A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}

3.(2013· 1)已知集合 M={x|(x-1)2 < 4,x∈R},N={-1,0,1,2,3}, 则 M∩N=()
A.{0, 1, 2} B.{-1, 0, 1, 2} C.{-1, 0, 2, 3} D.{0, 1, 2, 3}

4.(2012· 1)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为()
A. 3
§2.复数计算
1.(2015· 2)若 a 为实数且(2+ai)(a-2i) = -4i,则 a=() A.-1 B.0 C.1 D.2

B. 6

C. 8

D. 10

2.(2014· 2)设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? () A.- 5 B.5 C.- 4+ i D.- 4 -i
·1·

3.(2013· 2)设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z ? () A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i

4.(2012· 3)下面是关于复数 z ? P1:|z|=2, A. P2,P3 P2:z2=2i, B. P1,P2

2 的四个命题中,真命题为() ?1? i

P3:z 的共轭复数为 1+i, C. P2,P4

P4:z 的虚部为-1 .

D. P3,P4

5.(2011· 1)复数
3 A. ? i 5

2?i 的共轭复数是() 1 ? 2i

3 B. i 5

C. ?i

D. i

§3.简易逻辑
1.(2011· 10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题中真命题是()

? 2? ? ? 2? ? P ,? ? 1 : a +b ? 1 ? ? ? ?0, ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?? ?? ? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ? 3? ?3 ?
A. P1,P4 B.P1,P3 C.P2,P3 D.P2,P4

§4.平面向量
r r r r r r r r 1.(2014· 3)设向量 a,b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b =()
A.1 B.2 C.3 D.5

2.(2015· 13)设向量 a,b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? = ____________. 3.(2013· 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______.
??? ? ??? ?

·2·

4.(2012· 13)已知向量 a,b 夹角为 45?,且|a| ? 1 , |2a ? b| ? 10 ,则 |b| ? .

§5.程序框图
1.(2015· 8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九 章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=() A.0 B.2 C.4 D.14

开始

输入 x,t
M ?1,S ? 3

2.(2014· 7)执行右面程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= () A.4 B.5 C.6 D.7
M?

k ?1


k ?t

否 输出 S 结束

M x k

S ?M ?S

k ? k ?1

3.(2013· 6)执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 10 ,那么输出的 S ? ()
1 1 1 A. 1 ? ? ? ? ? 2 3 10 1 1 1 C. 1 ? ? ? ? ? 2 3 11

B. 1 ?

1 1 1 ? ??? 2! 3! 10! 1 1 1 ? ? ?? 2! 3! 11!

D. 1 ?

4.(2012· 6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实 数 a1,a2,?,aN,输入 A、B,则()

·3·

A. A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 B. A ? B 为 a1,a2,?,aN 的算术平均数
2

C.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最小的数和最大的数

开始 输入 N

5.(2011· 3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输 是() A.120 B.720 C.1440 D.5040

k=1, p=1 p=p· k k<N 否 输出 p 结束 k=k+1 是

出的 p

§6.线性规划
? x? y?7 ? 0 ? 1.(2014· 9)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为() ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
A.10 B.8 C.3 D.2

?x ?1 ? 2. (2013· 9)已知 a ? 0 ,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,则 a=() ? y ? a ( x ? 3) ?

A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

·4·

?x ? y ?1 ? 0 ? 3.(2015· 14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为_______. ? x +2 y ? 2 ? 0 ?
? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 4.(2014· 14)设 x,y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的取值范围为. ? x ? 0 ? ? ?y ? 0
3 ? 2x ? y ? 9 5.(2011· 13)若变量 x,y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为. ? ?6 ? x ? y ? 9

§7.※二项式定理
1.(2013· 5)已知 (1 ? ax)(1 ? x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a ? () A. ?4 B. ?3 C. ?2 D. ?1

a 1 2.(2011· 8) ( x ? )(2 x ? )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为() x x

A.-40

B.-20

C.20

D.40

3.(2015· 15) (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a=_______.

4.(2014· 13) ( x ? a)10 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a =________.

§8.数列
1.(2015· 4)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7=() A.21 B.42 C.63 D.84

2.(2013· 3)等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ? ()
1 3

A.

B. ?

1 3

C.

1 9

D. ?

1 9
·5·

3.(2012· 5)已知{an}为等比数列,a4 + a7 = 2,a5 a6 = 8,则 a1 + a10 =() A. 7 B. 5 C.-5 D. -7

4.(2015· 16)设 Sn 是数列{an}的前项和,且 a1 ? ?1, an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn=________________. 5. (2013· 16)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0 ,S15 ? 25 ,则 nS n 的最小值为____. 6.(2012· 16)数列 {an } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {an } 的前 60 项和为. 7.(2014· 17)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3 an+1. (Ⅰ)证明 {an ? 1} 是等比数列,并求{an}的通项公式;
2

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …? 1 ? 3 . a1 a2 an 2 8.(2011· 17)等比数列 {an } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? L L ? log3 an ,求数列 { 1 } 的前 n 项和. bn

§9.三角函数
1. (2014· 4)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=()
2

A.5

B. 5

C.2

D.1

2.(2012· 9)已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(?x ?

?

? ) 在 ( , ? ) 单调递减,则 ? 的取值范围是() 4 2
D. (0, 2]

A. [ , ]

1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4

C. (0, ]

1 2

3. (2011· 5)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上, 则 cos2θ=()
·6·

A. ? 4
5

B. ? 3
5

C. 3
5

D. 4
5

4.(2011· 11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?
f (? x) ? f ( x) ,则()

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且

A. f ( x) 在 (0, ? ) 单调递减 2 C. f ( x) 在 (0, ? ) 单调递增 2

? 3? B. f ( x) 在 ( , ) 单调递减 4 4 ? 3? D. f ( x) 在 ( , ) 单调递增 4 4

5. (2014· 14)函数 f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) 的最大值为_________.

? 1 6.(2013· 15)设 ? 为第二象限角,若 tan(? ? ) ? ,则 sin ? ? cos ? ? _________.
4 2

7.(2011· 16)在△ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为. 8.(2015· 17)在?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,?ABD 面积是?ADC 面积的 2 倍. (Ⅰ)求
sin ?B ; sin ?C
2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

(Ⅱ)若 AD=1,DC=

9.(2013· 17)在△ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 10. (2012· 17)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,

a cosC ? 3a sin C ? b ? c ? 0 .
(Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c.
·7·

§9.立体几何
1.(2015· 6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视 图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为() A. 1 8 B. 1 7 C. 1 6 D. 1 5

2.(2015· 9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90?,C 为该球面上的动点,若三棱 锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为() A.36π B.64π C.144π D.256π

3.(2014· 6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm), 图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm, 高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体 积的比值为() A. 17 B. 5
9

27

C. 10

27

D. 1

3

4.(2014· 11)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90? ,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点, BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为() A. 1 B. 2
5

10

C. 30
10

D. 2
2

5. (2013· 4) 已知 m, n 为异面直线,m ? 平面 ? ,n ? 平面 ? .直线 l 满足 l ? m ,l ? n ,l ? ? ,
l ? ? ,则()

A.α // β 且 l // α

B. ? ? ? 且 l ? ?

C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l

D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

6.(2013· 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0), (0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以 为()
·8·

A.

B.

C.

D.

7.(2012· 7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几 何体的三视图,则此几何体的体积为() A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

8.(2012· 11)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三 角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为() A. 2 6 B.
3 6

C.

2 3

D.

2 2

9.(2011· 6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则 相应的侧视图可以为()

A.

B.

C.

D.

10. (2011· 15) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB ? 6, BC ? 2 3 , 则棱锥 O-ABCD 的体积为. 11. (2015· 19)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10, AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值. 12.(2014· 18)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.
A1 C1 B1

(Ⅰ)证明:PB // 平面 AEC; (Ⅱ) 设二面角 D-AE-C 为 60? , AP=1, AD= 3 , 求三棱锥 E-ACD
E A D B

·9· C

的体积. 13.(2013· 18)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点,
AA1 ? AC ? CB ? 2 AB . 2

(Ⅰ)证明: BC1 //平面 A1CD ;
? E 的正弦值. (Ⅱ)求二面角 D ? AC 1
A1

C1

B1

1 14.(2012· 19) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC ? BC ? AA1 , 2 D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD.
(Ⅰ)证明:DC1⊥BC; (Ⅱ)求二面角 A1-BD-C1 的大小.

D C A B

15. (2011· 18) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60° ,AB=2AD, PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

§10.排列组合、概率统计
1.(2015· 3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形 图,以下结论中不正确的是()

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著. B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效.
·10·

C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关. 2.(2014· 5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两 天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率 是() A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45

3. (2012· 2) 将 2 名教师, 4 名学生分成两个小组, 分别安排到甲、 乙两地参加社会实践活动, 每个小组由一名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有() A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种

4.(2011· 4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个 小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为() A.
1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

5.(2013· 14)从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等 于 5 的概率为 1 ,则 n=________. 14 6. (2012· 15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,
元件 1 元件 3 元件 2

且元件 3 正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使 用寿命(单位:小时)服从正态分布 N(1000,502),且各元 件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为.

7.(2015· 18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个 用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A 地区 B 地区 62 73 73 83 81 62 92 51 95 91 85 46 74 53 64 73 53 64 76 82 78 93 86 48 95 65 66 81 97 74 78 56 88 54 82 76 76 65 89 79

(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);

·11·

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的 评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概 率. 8. (2014· 19) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y (单位: 千元) 的数据如下表: 年份 年份代号 t 2007 1 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

人均纯收入 y 2.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附: 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分

?? 别为: b

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

? . ,a ? ? y ? bt

2

频率/组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

9.(2013· 19)经销商经销某种农产品,在一个销售 季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的 产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季 度内市场需求量的频率分布直方图,如有图所示.经 销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 x
100 110 120 130 140 150 需求量/ t

O

(单位:t,100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市

·12·

场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个需求量落入该区间的 频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x∈[100, 110),则取 x=105,且 x=105 的 概率等于需求量落入[100, 110)的概率),求利润 T 的数学期望. 10. (2012· 18)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元 的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店某天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单 位:枝,n∈N)的函数解析式; (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说 明理由. 11.(2011· 19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质 量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做 试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 B 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
·13·

[90,94) 8

[94,98) 20

[98,102) [102,106) [106,110] 42 22 8

频数

4

12

42

32

10

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2 , (t < 94) ? y ? ? 2 , (94 ? t < 102) ,从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元),求 ? 4 , (t ? 102) ?
X 的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标 值落入相应组的概率)

§11.解析几何
1.(2015· 7)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN =()

A. 2 6

B.8

C. 4 6

D.10

2.(2015· 11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形, 且顶角为 120° ,则 E 的离心率为() A. 5 B.2 C. 3 D. 2

3.(2014· 10)设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30? 的直线交 C 于 A, B 两 点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为() A. 3 3
4

B. 9 3 8

C. 63 32

D. 9 4

4.(2013· 11)设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上,| MF |? 5 ,若以 MF 为 直径的园过点 (0, 2) ,则 C 的方程为()

A. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x

B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x

C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x
·14·

D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x

5.(2013· 12)已知点 A(?1, 0) , B(1,0) , C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将 △ABC 分割为面积 相等的两部分,则 b 的取值范围是() A. (0,1) B. (1 ?
2 1 , ) 2 2

C. (1 ?

2 1 , ] 2 3

1 1 D. [ , ) 3 2

6. (2012· 4) 设 F1, F2 是椭圆 E:

3a x2 y2 P 为直线 x ? 上的一点, ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点, 2 2 a b

△F2 PF1 是底角为 30?的等腰三角形,则 E 的离心率为()
A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

7.(2012· 8)等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A, B 两点,|AB|= 4 3 ,则 C 的实轴长为()

A. 2

B. 2 2

C. 4

D. 8

8.(2011· 7)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为() A. 2 B. 3 C.2 D.3

9.(2014· 6)设点 M( x0 ,1),若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N,使得∠OMN=45? ,则 x0 的取 值范围是________. 10.(2011· 14)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上, 离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为.
2

11.(2015· 20)已知椭圆 C: 9 x2 ? y 2 ? m2 (m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;

·15·

(Ⅱ) 若 l 过点 (

m , m) , 延长线段 OM 与 C 交于点 P, 四边形 OAPB 能否平行四边形?若能, 3

求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. 12.(2014· 20)设 F1,F2 分别是椭圆 x2 ?
2

a

y2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点,M 是 C 上一点且 b2

MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率; 4 (Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a, b.
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点 F 的直线 a 2 b2 1 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2

13.(2013· 20)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M :

(Ⅰ)求 M 的方程; (Ⅱ)C , D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ACBD 面积的最大 值. 14.(2012· 20)设抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上的一点,已知 以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (Ⅰ)若∠BFD=90?,△ABD 面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (Ⅱ)若 A、B、F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m,n 的距离的比值. 15.(2011· 20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y =-3 上,M 点满足 uuu r uu u r uuu r uur uuu r uur MB / /OA , MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值 .

§12.函数与导数
·16·

1.(2015· 5)设函数 f ( x ) ? ?

?1 ? log2 (2 ? x ) ( x ? 1)
x ?1 ?2

( x ? 1)
C.9

,则 f (?2) ? f (log 212) ? ()

A.3

B.6

D.12

2.(2015· 10)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC, CD 与 DA 运动, 记∠BOP=x.将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x) , 则f (x) 的图像大致为()

A.

B.

C.

D.

3. (2015· 12) 设函数 f ?( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数,f ( ?1) ? 0 , 当 x>0 时, xf ?( x ) ? f ( x ) ? 0 , 则使得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是() A. (??, ?1) U (0,1) C. (??, ?1) U (?1,0) B. (?1,0) U (1, ??) D. (0,1) U (1, ??)

4.(2014· 8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=() A.0 B.1 C.2 D.3

5.(2014· 12)设函数 f ( x) ? 3 sin ? x ,若存在 f ( x) 的极值点 x0 满足 x02 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 ,则 m m 的取值范围是() A. (??, ?6) U (6, +?) B. (??, ?4) U (4, +?)

C. (??, ?2) U (2, +?)

D. (??, ?1) U (4, +?)

6.(2013· 8)设 a ? log3 6 , b ? log5 10 , c ? log7 14 ,则()

·17·

A. c ? b ? a

B. b ? c ? a

C. a ? c ? b

D. a ? b ? c

7.(2013· 10)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是()

A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图像是中心对称图形

C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0

8.(2012· 10)已知函数 f ( x) ?

1 ,则 y ? f ( x) 的图像大致为() ln(x ? 1) ? x
y 1 o 1 y 1 o 1

y 1 o 1

y 1 o 1

x

x

x

x

y A. y yy y B.

y y yy y C.

y y yy y D.

y y yy y

9.(2012· 12)设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 | PQ | 的最小值为() 2
C. 1 ? ln 2 D.

A. 1 ? ln 2

B.

2 (1 ? ln 2)

2 (1 ? ln 2)

(0, +?) 10.(2011· 2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是()
A. y ? x3 B. y ?| x | ?1 C. y ? ? x2 ? 1 D. y ? 2?|x|

11.(2011· 9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为() A.
10 3

B.4

C.

16 3

D.6

·18·

12.(2011· 12)函数 y ? 之和等于() A.2 B.4

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x,(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标 x ?1

C.6

D.8

13.(2014· 15)已知偶函数 f (x)在[0, +∞)单调递减,f (2)=0. 若 f (x-1)>0,则 x 的取值范围 是_________. 14.(2015· 21)设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx . (Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1,,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求 m 的取值范围. 15.(2014· 21)已知函数 f ( x) ? e x ? e? x ? 2 x .

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ,当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,求 b 的最大值;

(Ⅲ)已知 1.4142 ? 2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001). 16.(2013· 21)已知函数 f ( x) ? e x ? ln( x ? m) .

(Ⅰ)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x) 的单调性;

(Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 .

x ?1 17.(2012· 21)已知函数 f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ?

1 2 x . 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式及单调区间;

·19·

(Ⅱ)若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2
a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ?1 x

18.(2011· 21)已知函数 f ( x) ?
x ? 2y ? 3 ? 0 .

(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?
ln x k ? ,求 k 的取值范围. x ?1 x

§13.几何证明选讲
1. (2015· 22)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的

底边 BC 交于 M、N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB, AC 分别相切于 E,F 两点. (Ⅰ)证明:EF∥BC; (Ⅱ)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN= 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积.
2. (2014· 22)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线

PBC 与⊙O 相交于点 B、C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长 线交⊙O 于点 E. 证明:(Ⅰ)BE = EC; (Ⅱ)AD· DE = 2PB2.
3. (2013· 22)如图, CD 为 △ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点 D , E , F

分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC ? AE ? DC ? AF ,B、E、F、 C 四点共圆. (Ⅰ)证明: CA 是 △ABC 外接圆的直径; (Ⅱ) 若 DB ? BE ? EA , 求过 B、 E、 F、 C 四点的圆的面积与 △ABC 外接圆面积的比值.
A

·20·

G

E D

F

B

C

4. (2012· 22)如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交于△ABC 的外接圆

于 F,G 两点,若 CF//AB,证明: (Ⅰ)CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD.
5. (2011· 22)如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合. 已

知 AE 的长为 m,AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根. (Ⅰ)证明:C、B、D、E 四点共圆; (Ⅱ)若∠A=90?,且 m=4,n=6,求 C、B、D、E 所在圆的半径.

§14.坐标系与参数方程

1. (2015· 23) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1:?

? x ? t cos ? (t 为参数, t≠0) 其中 0 ? ? ? ? , ? y ? t sin ?

在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? . (Ⅰ)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.
2. (2014· 23)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C

的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , ? ?[0, ? ] . 2 (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的 参数方程,确定 D 的坐标.
? x ? 2cos t , 3. (2013· 23)已知动点 P , Q 都在曲线 C : ? ( t 为参数)上,对应参数分别为 t ? ? ? y ? 2sin t

与 t ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点.

·21·

(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

4. (2012· 23)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数),以坐标原点为极点, x 轴 ? y ? 3sin ?
?

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ= 2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2, ) . 3 (Ⅰ)点 A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2 的取值范围.
? x ? 2cos ? 5. (2011· 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数),M ? y ? 2 ? 2sin ?

uu u v uuuv 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2.

(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

? 与 C1 的异于极点的交 3

§15.不等式选讲
1. (2015· 24)设 a,b,c,d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明:

(Ⅰ)若 ab > cd ,则 a ? b ? c ? d ; (Ⅱ) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件.
2. (2014· 24)设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | (a ? 0) .

a

(Ⅰ)证明:f (x) ≥ 2;
·22·

(Ⅱ)若 f (3) < 5,求 a 的取值范围.
3. (2013· 24)设 a、b、c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 .

证明:(Ⅰ) ab ? bc ? ca ? ;(Ⅱ)

1 3

a 2 b2 c 2 ? ? ?1. b c a

4. (2012· 24)已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|.

(Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.
5. (2011· 24)设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集;

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1} ,求 a 的值.

·23·

参 考 答 案
§1. 集合及其运算
1. 【答案:A】 解析:由已知得 B ? ? x ?2 ? x ? 1? ,故,故选 A.
2. 【答案:D】
2 解析:∵ N ={x | x ? 3x ? 2 ? 0} ? {x |1 ? x ? 2} ,∴ M ? N ? {1, 2} .

3.【答案:A】 解析: 解不等式(x-1)2<4, 得-1<x<3, 即 M={x|-1<x<3}. 而 N={-1,0,1,2,3}, 所以 M∩N={0,1,2}, 故选 A.
4. 【答案:D】
2 解析:要在 1,2,3,4,5 中选出两个,大的是 x,小的是 y,共 C5 ? 10 种选法.

§2.复数计算
1. 【答案:B】 解析:由已知得 4a + (a2 -4)i = -4i,所以 4a = 0,a2 -4 = -4,解得 a = 0,故选 B.
2. 【答案:A】 解析:∵ z1 ? 2 ? i ,复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,∴ z2 ? ?2 ? i ,

·24·

∴ z1 z2 ? (2 ? i)(?2 ? i) ? i ? 2 ? ?1 ? 4 ? ?5 .
2 2

3. 【答案:A】

解析:由(1-i)· z=2i,得 z =

2i 2i?1 ? i ? ?2 ? 2i ? = =-1+i. 2 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

4. 【答案:C】 解析:经计算 z ?

2 ? ?1 ? i, ? | z |? 2,z 2 ? (?1 ? i ) 2 = 2i ,复数 z 的共轭复数为 ?1 ? i , z ?1 ? i

的虚部为 ?1 ,综上可知 P2,P4 正确. 5.【答案:C】 解析:

2 ? i (2 ? i )(1 ? 2i ) ? i, 共轭复数为 C. = 5 1 ? 2i

§3.简易逻辑
5.【答案:A】 解析:由 | a ? b |? a 2 ? b2 ? 2ab cos? ? 2 ? 2cos ? ? 1 得 cos ? ? ? 由 | a ? b |? a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ? 2 ? 2cos ? ? 1 得 cos ? ?

2? 1 ? ? ? [0, ) . 3 2

? 1 ? ? ? ( , ? ] ,故选 A. 3 2

§4.平面向量
1. 【答案:A】 解析:? | a ? b |? 10 | a ? b |? 6, ?a ? b ? 2a ? b ? 10, a ? b ? 2a ? b ? 6, 两式相减得:

?

?

?

?

?2

?2

? ?

?2

?2

? ?

? ? a ?b ?1 .
2. 【答案:

1 】 2

·25·

解析:因为向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,所以 ?a ? b ? k (a ? 2b ) ,则 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?? ? k 1 ,所以 ? ? . 2 ?1 ? 2k

3. 【答案:2】 解析:以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则点 A 的坐标为(0,0),

uuu r uuu r 点 B 的坐标为(2,0),点 D 的坐标为(0,2),点 E 的坐标为(1,2),则 AE =(1,2), BD =(-2,2),所以 uuu r uuu r AE ? BD = 2 .
4. 【答案: 3 2 】 解析:由已知得 | 2a ? b | ? (2a ? b ) ? 4a ? 4a ? b ? b ? 4| a | ?4| a | ? | b | cos45 ? | b |
2 2 2 o

r r

r r

r2

r r r2

r

r

r

r

2

r r r ? 4 ? 2 2 | b | ? | b |2 ? 10 ,解得 | b |? 3 2 .
§5.程序框图
1. 【答案:B】 解析: 程序在执行过程中, a, b 的值依次为 a=14, b=18, b=4, a=10, a=6,a=2,b=2,此时 a=b=2 程序结束,输出 a 的值为 2,故选 B.
2. 【答案:D】 解析:输入的 x , t 均为 2.判断 1 ? 2 ?是, M ? ? 2 ? 2 , S ? 2 ? 3 ? 5 , k ? 1 ? 1 ? 2 ;判断

1 1

2 ? 2 ?是, M ?
3. 【答案:B】

2 ? 2 ? 2 , S ? 2 ? 5 ? 7 , k ? 2 ? 1 ? 3 ,判断 3 ? 2 ?否,输出 S ? 7 . 2

解析:由程序框图知,当 k=1,S=0,T=1 时,T=1,S=1; 当 k=2 时, T ?

1 1 , S =1+ ; 2 2 1 1 1 , S ? 1+ ? ; 2?3 2 2?3

当 k=3 时, T ?

·26·

当 k=4 时, T ? …………;

1 1 1 1 ? , S ? 1+ ? ; 2 ? 3? 4 2 2 ? 3 2 ? 3? 4

当 k=10 时, T ?

1 1 1 1 , S ? 1+ ? ? ? ? , 2 ? 3 ? 4 ? ??10 2! 3! 10!

k 增加 1 变为 11,满足 k>N,输出 S,故选 B. 4. 【答案:C】 解析:由程序框图判断 x>A 得 A 应为 a1,a2,?,aN 中最大的数,由 x<B 得 B 应为 a1,a2,?, aN 中最小的数. 5.【答案:B】 解析:框图表示 an ? n ? an?1 ,且 a1 ? 1 所求 a6 ? 720,故选 B.

§6.线性规划
1. 【答案:B】

?x ? y ? 7 ? 0 解析:作出 x , y 满足约束条件 ? ? x ? 3 y ? 1 ? 0 所表示的平面区域 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
为如图阴影部分,做出目标函数 l0:y=2x,∵y=2x-z,∴当 y=2x-z 的截距最小时,z 取最大值.
2 1

y A o B C
5

l2
x-3y+1=0

2

x
x+y-7=0

x ? 3y ?1 ? 0 当 y=2x-z 经过 C 点时,z 取最大值.由 ? 得 C(5,2),此时 ? x ? y ? 7 ? 0 ?
z 取最大值为 2× 5-2=8. 2. 【答案:B】

l0 l 3x-y-5=0 1

?x ? 1 ? 解析:由题意作出 ? x ? y ? 3 所表示的区域如图阴影部分所示,当目 ? y ? a( x ? 3) ?
标函数表示的直线经过点 A 时, 取得最小值, 而点 A 的坐标为 (1, -2a) ,
A(1, -2a)

·27·

所以 2-2a=1,解得 a ?

1 .故选 B. 2

3. 【答案:

3 】 2
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

解析:画出可行域,如图所示,将目标函数变形为 y=-x+z,当 z 取到最大时,直线 y=-x+z 的纵截距最大,故将直线尽可能地向 上平移到 D(1, 1 ) ,则 z=x+y 的最大值为 3 . 2 2
4. 【答案: [?3,3] 】
C

B D
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

A

解析:画出可行域,易知当直线 Z ? x ? 2 y 经过点 (1, 2) 时,Z 取最小值 -3;当直线 Z ? x ? 2 y 经过点 (3, 0) 时,Z 取最大值 3.

C O B

故 Z ? x ? 2 y 的取值范围为 [?3,3] . 5.【答案:-6】

解析:画出可行域如图,当直线 z ? x ? 2 y 过 ?

?2 x ? y ? 3 的交点(4,-5)时, ?x ? y ? 9

zmin ? ?6 .

§7.※二项式定理
1. 【答案:D】 解析:因为(1+x)5 的二项展开式的通项为 C5 x (0≤r≤5,r∈Z),则含 x2 的项为 C5 x +ax· C5 x = (10+5a)x2,所以 10+5a=5,a=-1.故选 D. 2.【答案:D】
r r 2 2 1

·28·

1 1 a 1 解析: 由 ( x ? )(2 x ? )5 的展开式中各项系数的和为 2, 得 a=1 (令 x=1) .故原式= ( x ? )(2 x ? )5 , x x x x
所以通项 Tr ?1 ? C5r (2x)5?2r ( ?x ?1) r ? C5r ( ?1) r 25?r x5?2r ,由 5-2r=1 得 r=2,对应的常数项=80,由 5-2r=-1 得 r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为 40,故选 D .

3. 【答案:3】 解析:由已知得 (1 ? x)4 ? 1 ? 4 x ? 6 x2 ? 4 x3 ? x4 ,故 (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂 项分别为 4ax , 4ax3 , x , 6 x 3 , x5 ,其系数之和为 4a ? 4a ? 1+6+1=32 ,解得 a ? 3 .

4. 【答案:

1 】 2
r 10?r 3 7 3 ar ,∴ 10 ? r ? 7 ,即 r ? 3 ,∴ T4 ? C10 x a ? 15x7 ,解得 a ?

解析:∵ Tr ?1 ? C10 x

1 . 2

§8.数列
1. 【答案:B】 解析:设等比数列公比为 q,则 a1+a1q2+a1q4=21,又因为 a1=3,所以 q4+q2-6=0,解得 q2=2, 所以 a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42,故选 B.
2. 【答案:C】 解析:由 S3=a2+10a1,得,a1+a2+a3=a2+10a1 即,a3=9a1,亦即 a1q2=9a1,解得 q2=9.∵a5=a1· q4=9, 即 81a1=9,∴a1= 1 .
9

3. 【答案:D】 解析:∵a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ,? a4 ? 4,a7 ? ?2 或 a4 ? ?2,a7 ? 4 ,

∵a1,a4,a7,a10 成等比数列,? a1 ? a10 ? ?7 .
4. 【答案: ?

1 】 n

·29·

解析:由已知得 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? Sn ,两边同时除以 Sn?1 ? Sn ,得

1 1 ? ? ?1,故数 Sn ?1 Sn

列?

?1? 1 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? ?n ,所以 S n ? ? . ? 是以 ?1 为首项, ?1 为公差的等差数列,则 n Sn ? Sn ?

5. 【答案:-49】

10 ? 9 d =10a1+45d=0①,S15= 2 15 ?14 2 15a1 ? d =15a1+105d=25②,联立①②,得 a1=-3, d ? ,所以 Sn 2 3 1 10 20 n(n ? 1) 2 1 2 10 ? ?3n ? ? ? n ? n .令 f(n)=nSn,则 f (n) ? n3 ? n 2 , f ?(n) ? n 2 ? n .令 f′(n)=0,得 n 2 3 3 3 3 3 3 20 20 20 20 =0 或 n ? .当 n ? 时, f′(n)>0, 0<n < 时, f′(n)<0, 所以当 n ? 时, f(n)取最小值, 而 n∈N 3 3 3 3
解析:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 S10= 10a1+


,则 f(6)=-48,f(7)=-49,所以当 n=7 时,f(n)取最小值-49.

6. 【答案:1830】

解析:由 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 得 ?

? ?a2 k ? a2 k ?1 ? 4k ? 3L ① ,由② ? ①得, a2k ?1 ? a2k ?1 ? 2 ③由 a ? a ? 4 k ? 1 L ② ? ? 2 k ?1 2 k
(1 ? 117) ? 30 ? 1770 .由③得, 2

①得, S偶 ? S奇 ? (a2 ? a1 ) ? (a4 ? a3 ) ? (a6 ? a5 ) ? L ? (a60 ? a59 ) ? 1 ? 5 ? 9 ? L ? 117 ?

S奇 ? (a3 ? a1 ) ? (a7 ? a5 ) ? (a11 ? a9 ) ? L ? (a59 ? a57 ) ? 2 ?15 ? 30 ,
所以 S60 ? S偶 ? S奇 ? (S偶 ? S奇 ) ? 2S奇 ? 1770 ? 2 ? 30 ? 1830 .

1 an ?1 ? 1 1 1 3 2 ? 3, 7. 解析: (Ⅰ) 证明: ∵ an?1 ? 3an ? 1 , ∴ an ?1 ? ? 3( an ? ) , 即: 又 a1 ? ? , 1 2 2 2 2 an ? 2

3n ? 1 1 3 1 3 n ?1 { a ? } a ? ? ? 3 a ? ∴ n 是以 为首项,3 为公比的等比数列.∴ n ,即 n . 2 2 2 2 2 3n ? 1 1 2 3 1 ? n ? n ? n ?1 (n ? N*) , ,∴ 2 an 3 ? 1 3 3

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 an ?

·30·

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 1 3 ? 3 [1 ? ( 1 ) n ] ? 3 ∴ ? ? ??? ? ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n ? 1 a1 a2 an 3 3 3 2 3 2 1? 3
故:

1 1 1 3 ? ? ??? ? ? a1 a2 an 2

1 . 由条件可知 a>0, 9 1 1 1 故 q ? . 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? . 故数列{an}的通项式为 an ? n . 3 3 3
2 3 2 8.解析: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q 2 ? ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ?? ? log3 an = ? (1 ? 2 ? ?? ? n ) ? ?

n( n ? 1) , 2



1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n , ?? ? ?2( ? ) , ? ? ? ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 bn n(n ? 1) n n ?1

所以数列 { } 的前 n 项和为 ?

1 bn

2n . n ?1

§9.三角函数
1. 【答案:B】

解析:∵ S ?ABC ?
?

1 1 1 2 ? | AB | ? | BC | ? sin B ,即: ? ?1? 2 ? sin B ,∴ sin B ? ,即 B ? 45 2 2 2 2
2 2 2 2

或 135 .又∵ | AC | ?| AB | ? | BC | ?2 | AB | ? | BC | ? cos B ,∴ | AC | ?1 或 5,又∵ ?ABC 为 钝角三角形,∴ | AC | ? 5 ,即: | AC |? 5 .
2

2. 【答案:A】 解析:由

1 5 ? ? ? ? 3? ? 2k? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2k? , k ? Z 得, ? 4k ? ? ? ? 2k , k ? Z , 2 4 2 2 4 4 2

1 5 ∵? ? 0, ∴ ?? ? . 2 4
·31·

3.【答案:B】

解析:由题知 tan ? ? 2 , cos 2? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 ? ? ? ,故选 B. 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 5

4.【答案:A】 解析:? f ( x ) ? 2 sin(? x ? ? ?

?
4

)(? ? 0,| ? |?

?
2

) 的最小正周期为 π,所以 ? ? 2 ,

又 f (? x) ? f ( x) ,∴f(x)为偶函数,?? = 故选 A. 5. 【答案:1 】

? ? +k? , k ? Z ,? f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x , 4 2

解析:∵ f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) ? sin[? ? ( x ? ? )] ? 2sin ? cos( x ? ? )

? sin ? cos( x ? ? ) ? cos ? sin( x ? ? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) ? cos ? sin( x ? ? ) ? sin ? cos( x ? ? ) ? sin x
∵ x ? R ,∴ f ( x ) 的最大值为 1.

6. 【答案: ?

10 】 5

解析:由 tan ? ? ?

? ?

1 1 π ? 1 ? tan ? 1 ? ,得 tan θ= ? ,即 sin θ= ? cos θ.将其代入 sin2θ+cos2θ ?? 3 3 4 ? 1 ? tan ? 2

=1,得

10 3 10 10 cos 2? ? 1 .因为 θ 为第二象限角,所以 cos θ= ? ,sin θ= , 9 10 10

sin θ+cos θ= ?

10 . 5

7.【答案: 2 7 】
·32·

解析: A ? C ? 1200 ? C ? 1200 ? A , A ? (0,1200 ) ,

BC AC ? ? 2 ? BC ? 2sin A , sin A sin B

AB AC ? ? 2 ? AB ? 2sin C ? 2sin(1200 ? A) ? 3 cos A ? sin A ,? AB ? 2 BC ? sin C sin B
3cos A ? 5sin A ? 28 sin( A ? ? ) ? 2 7 sin( A ? ? ) ,故最大值是 2 7 .
8. 解析: (Ⅰ) S?ABD ?
1 1 因为 S?ABD ? 2S?ADC , AB ? AD sin ?BAD , S?ADC ? AC ? AD sin ?CAD , 2 2 sin ?B AC 1 ?BAD ? ?CAD ,所以 AB ? 2 AC ,由正弦定理可得 ? ? . sin ?C AB 2

(Ⅱ)因为 S?ABD : S?ADC ? BD : DC ? 2 , DC ?

2 ,所以 BD ? 2 ,在 ?ABD 和 ?ADC 中, 2

由余弦定理知, AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos ?ADB , AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC , 故 AB2 ? 2 AC 2 ? 3 AD2 ? BD2 ? 2DC 2 ? 6 ,由(Ⅰ)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 .
9.解析: (Ⅰ)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B①,又 A=π-(B+C),故 sin A =sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C②,由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B,又 B∈(0,π),所 以B ?

?.
4

(Ⅱ)△ABC 的面积 S ? ac sin B ? c2≥2ac,故 ac ?

1 2

? 2 ac .由已知及余弦定理得 4=a 2 +c 2 ? 2ac cos .又 a2+ 4 4

4 ,当且仅当 a=c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为 2+1 . 2? 2

10.解析: (Ⅰ)由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 及正弦定理可得 sin A cos C ? 3sin A sin C

? sin B ? sin C ? 0 ,sin A cos C ? 3sin Asin C ? sin( A ? C) ? sin C ? 0 , 3sin A sin C ? cos A sin C ? sin C ? 0 ,

? 2sin( A ? Q sin C ? 0 , ? 3 sin A ? cos A ?1 ? 0 , ??

?

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ? ,? A ? ? ,? A ? . 6 6 6 3

? 1 ) ?1 ? 0 , sin( A ? ) ? , Q0? A?? , 6 6 2

·33·

(Ⅱ) Q SV ABC ? 3 ,? bc sin A ?

1 2

? 3 bc ? 3 ,? bc ? 4 , Q a ? 2, A ? , 3 4

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? bc ? 4 ,? b2 ? c 2 ? 8 ,解得 b ? c ? 2 .
§10.立体几何
1. 【答案:D】
D1 C1

解析: 由三视图得, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 截去四面体 A-A1B1D1,

1 1 1 如图所示,设正方体棱长为 a ,则 VA? A1B1D1 ? ? a 3 ? a 3 ,故剩余几何体 3 2 6 1 5 体积为 a 3 ? a 3 ? a 3 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为, 6 6
故选 D. 2. 【答案:C】 解析:如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥
O ? ABC 的体积最大,设球 O 的半径为 R,此时
1 1 1 VO ? ABC ? VC ? AOB ? ? R 2 ? R ? R 3 ? 36,故 R=6,则球 O 的表面积为 3 2 6

A1 D

B1 C

A

B

C

O A B

S ? 4? R 2 ? 144? ,故选 C.
3. 【答案:C】 解析:原来毛坯体积为 π· 32· 6=54π(cm2),由三视图得,该零件由左侧底 面半径为 2cm,高为 4cm 的圆柱和右侧底面半径为 3cm,高为 2cm 的圆 柱构成,所以该零件的体积为:π· 32· 2+π· 2 2· 4=34π(cm2),则切削掉部分的 体积为 54π-34π=20π(cm2),所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比 值为

20? 10 . ? 54? 27

4. 【答案:C】

C
解析:取 BC 的中点 P,连结 NP、AP,∵M,N 分别是 A1B1, A1C1 的中点,∴四边形 NMBP 为平行四边形,∴BM//PN,∴所

P

B

A

C1
N
·34·

B1
M

A1

求角的余弦值等于∠ANP 的余弦值,不妨令 BC=CA=CC1=2,则 AN=AP= 5 ,NP=MB= 6 ,

∴ cos ?ANP ?

| AN |2 ? | NP |2 ? | AP |2 ( 5)2 ? ( 6)2 ? ( 5)2 30 . ? ? 10 2? | AN | ? | NP | 2? 5 ? 6

【另解】如图建立坐标系,令 AC=BC=C1C=2,则 A(0, 2, 2),B(2, 0, 2),M(1, 1, 0),N(0, 1, 0),

???? ? ???? ???? ? ???? BM ? AN 0 ?1 ? 4 30 ? ???? ? ? BM ? (?1,1, ?2), AN ? (0, ?1, ?2), cos θ ? ???? ? . 10 | BM | ? | AN | 6 5
5. 【答案:D】 解析:因为 m⊥α,l⊥m,l ? α,所以 l∥α.同理可得 l∥β.又因为 m,n 为异面直线,所以 α 与 β 相交,且 l 平行于它们的交线.故选 D. 6. 【答案:A】 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为右 图,则它在平面 zOx 上的投影即正视图为右图,故选 A. 7. 【答案:B】 解析:由三视图可知,此几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形(俯视图) ,高为 3 的三棱

1 1 锥,故其体积为 V ? ? ? 3 2 ? 3 2 ? 3 ? 9 . 3 2
8. 【答案:A】 解析:易知点 S 到平面 ABC 的距离是点 O 到平面 ABC 的距离的 2 倍.显然 O-ABC 是棱长为 1 的 正四面体,其高为 9.【答案:D】 解析:条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的. 故选 D. 10.【答案: 8 3 】

1 3 6 2 2 6 ,故 VO ? ABC ? ? , VS ? ABC ? 2VO? ABC ? . ? ? 3 4 3 12 6 3

解析:设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM=

1 (2 3) 2 ? 62 ? 2 3 , 2
·35·

OM= 4 2 ? (2 3 ) 2 ? 2 , VO ? ABCD ?

1 ?6?2 3 ?2 ? 8 3 . 3

11.解析:(Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图: (Ⅱ) 作 EM ? AB , 垂足为 M, 则A M ?AE ? 4 ,EM ? AA1 ? 8 1 因为 EHGF 为正方形,所以 EH ? EF ? BC ? 10 ,于是

MH ? EH 2 ? EM 2 ? 6 ,所以 AH ? 10 ,以 D 为坐标原点, ??? ? DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所以的空间直角坐标系 D ? xyz ,则 A(10,0,0) ,

??? ? ??? ? ? H (10,10,0) , E (10,4,8) , F (0,4,8) , FE ? (10,0,0) , HE ? (0, ?6,8) ,设 n ? ( x, y, z ) 是 ? ? ??? ???? ? n ? FE ?0 0 x0 ? ?1 ? ? 平面 EHGF 的法向量, 则 ? ???? , 即? , 所以可取 n ? (0,4,3) , 又 AF ? (? , 1 8 0 4 ) , ? 6 y ? 8 z 0 ? n ? HE ? 0 ? ? ??
? ???? 4 15 ? ???? | n ? AF | 4 5 故 | cos ? n, AF ?|? ? ???? ? ,所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为 . 15 | n || AF | 15
12.解析: (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 OE .∵底面 ABCD 为矩形, ∴点 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中点,∴ OE / / PB ,∵

OE ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,∴ PB //平面 AEC .
(Ⅱ)以 A 为原点,直线 AB 、 AD 、 AP 分别为 x 、 y 、 z

P E A

D
C

轴建立空间直角坐标系, 设 AB ? a , 则 D0 , (3 0 , )

A(0, 0, 0) , ,
B

??? ? 3 1 3 1 E (0, , ) , C(a, 3,0) ,∴ AE ? (0, , ) , 2 2 2 2

? ? ? ??? 3 1 ???? y? z?0 ? ? n ? AE ? ,解得: AC ? (a, 3,0) ,设 n ? ( x, y, z ) 是平面 AEC 的法向量,则 ? 2 2 ? ???? ?n ? ? AC ? ax ? 3 y ? 0 a ? ??? ? x ? ?y ? ? 3 , 令x ? 3, 得n ? ( 3 又∵ AB ? (a,0,0) 是平面 AED 的一个法向量, , ?,a ? 3 )a , ? ?z ? ? 3y ?

·36·

∴ | cos ? AB, n ?|?

??? ??

3 1 1 1 1 ? cos60? ? ,解得 a ? ,∴ VE ? ACD ? ? ? | AD | ? | CD | ? | AP | 2 2 3 2 2 2 a ? 3 ? 4a
3a

1 1 3 1 3 ? ? ? 3? ? ? . 3 2 2 2 8
13. 解析: (Ⅰ) 连结 AC1 交 A1C 于点 F, 则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点, 连结 DF, 则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 ? 平面 A1CD,所以 BC1 // 平面 A1CD.

(Ⅱ)由 AC=CB=

uur 2 AB 得,AC⊥BC.以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴正方向,建立如图 2

所示的空间直角坐标系 C-xyz.设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),CD =(1,1,0),CE = (0,2,1), CA1 =(2,0,2).设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,则

uuu r

uur

uuu r

uuu r ? ? x1 ? y1 ? 0, ?n ? CD ? 0 ,即 ? 可取 n=(1, -1, -1).同理,设 m 是 r ? uuu 2 x1 ? 2 z1 ? 0. n ? CA ? 0 ? ? ? 1 uur ? ?m ? CE ? 0 平面 A1CE 的法向量,则 ? ,可取 m=(2,1, -2).从而 cos uuu r m ? CA ? 0 ? ? 1
〈n,m〉=

6 n· m 3 ,故 sin〈n,m〉= .即二面角 D-A1C ? 3 | n || m | 3 6 . 3
1 AA1 ? a , ? 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , ? DC1 ? DC ? 2a , 2

-E 的正弦值为

14. 解析: (Ⅰ) 证明: 设 AC ? BC ?

? DC1 ? DC .又 Q DC1 ? BD , ? DC1 ? ? DC12 ? DC 2 ? CC12 , CC1 ? 2a , DC1 I DC ? D ,
平面 BDC . Q BC ? 平面 BDC ,? DC1 ? BC .
A1 C1 B1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, DC1 ? 2a , BC1 ? 5a ,又已知 DC1 ? BD ,

D C A B

? BD ? 3a .在 Rt△ABD 中, BD ? 3a , AD ? a, ?DAB ? 90o ,

·37·

? AB ? 2a .? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,? AC ? BC .
<法一>取 A1B1 的中点 E , 则易证 C1E ? 平面 BDA1 , 连结 DE , 则 C1E ? BD , 已知 DC1 ? BD ,

? BD ? 平面 DC1E , ? BD ? DE , ??C1DE 是二面角 A1 ? BD ? C1 平面角.在 Rt△C1DE 中,

sin ?C1DE ?

C1E 2a 2 1 ? ? ,??C1DE ? 30? .即二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30? . C1D 2 2a

<法二>以点 C 为坐标原点,为 x 轴, CB 为 y 轴, CC1 为 z 轴,建立空间直角坐标系 C ? xyz .则

A1 ? a,0,2a ? , B ? 0, a,0? , D ? a,0, a ? , C1 ?0,0,2a ? . DB ? ? ?a, a, ?a ? , DC1 ? ? ? a, 0, a ? ,设平面 r r uuu ? r ?n ? DB ? ?ax1 ? ay1 ? az1 ? 0 ,不妨令 x1 ? 1 ,得 DBC1 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? r uuur n ? DC ? ? ax ? az ? 0 ? ? 1 1 1 r r r r y1 ? 2, z1 ? 1 ,故可取 n1 ? (1, 2,1) .同理,可求得平面 DBA1 的一个法向量 n2 ? (1,1,0) .设 n1 与 n2
r r n1 ? n2 3 3 ? ? 的夹角为 , 则 cos ? ? r , ?? ? 30 .由图可知, 二面角的大小为锐角, ? r ? | n1 | ? | n2 | 2 6? 2
故二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30 .
?

uuu r

uuur

15.解析: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?,AB ? 2 AD ,由余弦定理得

BD ? 3 AD ,从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD,又 PD ? 底面
ABCD,可得 BD ? PD,所以 BD ? 平面 PAD,故 PA ? BD. (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz, 则 A1 ( ,0 ,0 ) ,B(0,3,0) ,

uur uuu r uuu r C(?1, 3,0) , P(0,0,1) . AB ? (?1, 3,0) , PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0) ,设平面 PAB 的法向量
uuu r ?? x ? 3 y ? 0 ?n ? AB ? 0 为 n=(x,y,z), 则? , 即? , 因此可取 n ? ( 3,1, 3) , 设平面 PBC 的法向量为 m, ? ? uur 3 y ? z ? 0 ? ? ? ?n ? PB ? 0

·38·

uur ? m ? PB ? 0 ?4 2 7 ? 则 ? uuu ,可取 m ? (0, ?1, ? 3) , cos ? m, n ?? ,故二面角 A-PB-C 的余弦值为 ?? r 7 2 7 m ? BC ? 0 ? ?
? 2 7 . 7

§11.排列组合、概率统计
1. 【答案:D】 解析:由柱形图可知,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,所以二氧化硫排 放量与年份负相关,故选 D.
2. 【答案:A】 解析:设 A=“某一天的空气质量为优良” ,B=“随后一天的空气质量为优良” ,则

P( B | A) ?

P( AB) 0.6 ? ? 0.8 . P( A) 0.75

3. 【答案:A】 解析:只需选定安排到甲地的 1 名教师 2 名学生即可,共有 C2C4 种安排方案. 4.【答案:A】 解析:每个同学参加的情形都有 3 种,故两个同学参加一组的情形有 9 种,而参加同一组的情形 只有 3 种,所求的概率为 P= 5. 【答案:8】 解析:从 1,2,?,n 中任取两个不同的数共有 Cn 种取法,两数之和为 5 的有(1,4),(2,3),共 2
2 4 1 种,所以 22 ? 1 ,即 2 ? ? ,亦即 n -n-56=0,解得 n=8. n? n ? 1? n? n ? 1? 14 Cn 14

1

2

3 1 ? ,故选 A. 9 3

2

2
3 6. 【答案: 】 8

·39·

1 解析:由已知可得,三个电子元件使用寿命超过 1000 小时的概率均为 ,所以该部件的使用寿 2
命超过 1000 小时的概率为 [1 ? (1 ? ) 2 ] ?

1 2

1 3 ? . 2 8

7.解析: (Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下: 通过茎叶图可以看出, A 地区用户满意度评分的平均值 高于 B 地区用户满意度评分的平均值; A 地区用户满意 度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散。 6 4 2 6 2 4 5 5 (Ⅱ)记 C A1 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为 6 8 8 6 4 3 7 3 3 4 6 9 满意或非常满意”; C A 2 表示事件:“A 地区用户的满 9 2 8 6 5 1 8 3 2 1 意度等级为非常满意”; CB1 表示事件:“B 地区用户 7 5 5 2 9 1 3 A 地区 B 地区 4 6 8 3 5 1 3 6 4

的满意度等级为不满意” ;C B 2 表示事件: “B 地区用户的满意度等级为满意” , 则 C A1 与 CB1 独立, C A 2 与 C B 2 独立, CB1 与 C B 2 互斥, C ? CB1CA1 UCB 2CA2 ,

P(C) ? P(CB1CA1 ? CB 2CA2 ) ? P(CB1CA1 ) ? P(CB2CA2 ) ? P(CB1 )P(CA1 ) ? P(CB2 )P(CA2 ) ,
由所给数据得 CA1 , CA2 , CB1 , CB 2 发生的频率分别为 故 P(C A1 ) ?

16 4 10 8 , , , , 20 20 20 20

16 4 10 8 16 4 10 8 , P (C ) ? , P(C A 2 ) ? , P(CB1 ) ? , P(CB 2 ) ? ? ? ? ? 0.48 20 20 20 20 20 20 20 20

8.解析: (Ⅰ)由题意得: t ? 4 , y ?

2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9 ? 4.3 , 7

?? ∴b

(?3) ? (?1.4) ? (?2) ? (?1) ? (?1) ? (?0.7) ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.5 ? 2 ? 0.9 ? 3 ?1.6 ? 0.5 , (?3)2 ? (?2)2 ? (?1) 2 ? 02 ? 12 ? 22 ? 32

? ? 4.3 ? 0.5 ? 4 ? 2.3 ,故所求线性回归方程为: y ? ? 0.5t ? 2.3 . ? ? y ? bt ∴a

·40·

(Ⅱ)由(Ⅰ)中的回归方程的斜率 k ? 0.5 ? 0 可知,2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人 均纯收入逐渐增加.令 t ? 9 得: ? y ? 0.5 ? 9 ? 2.3 ? 6.8 ,故预测该地区 2015 年农村居民家庭人 均纯收入为 6.8 千元。 9.解析: (Ⅰ)当 x∈[100,130)时,T=500x-300(130-x)=800x-39 000,当 x∈[130,150]时,T= 500× 130=65 000.所以 T ? ?

?800 x ? 39000,100 ? x ? 130 . ?65000,130 ? x ? 150

(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150.由直方图知需求量 X∈[120,150] 的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T P 45 000 0.1 53 000 0.2 61 000 0.3 65 000 0.4

所以 ET=45 000× 0.1+53 000× 0.2+61 000× 0.3+65 000× 0.4=59 400. 10.解析: (Ⅰ)当 n≥16 时,y=16× (10-5)=80,当 n≤15 时,y=5n-5× (16-n)=10n-80,得

?10n ? 80,( n ? 15) y?? (n ? N ) . (n ? 16) ?80,
(Ⅱ) (ⅰ)X 可能取 60,70,80. P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7, X 的分布列为: X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

X 的数学期望 E(X) =60× 0.1+70× 0.2+80× 0.7=76, X 的方差 D(X) =(60-76)2× 0.1+(70-76)2× 0.2+(80-76)2× 0.7=44. (ⅱ)若花店计划一天购进 17 枝玫瑰花,X 的分布列为 X P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

·41·

X 的数学期望 E(X) =55× 0.1+65× 0.2+75× 0.16+85× 0.54=76.4,因为 76.4 ? 76,所以应购进 17 枝玫 瑰花. 11.解析: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配 100

方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3 . 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率 为

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 . 100

(Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间[90, 94), [94, 102), [102, 110]的频率 分别为 0.04,0.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即 X 的分布列为: X P -2 0.04 2 0.54 4 0.42

X 的数学期望值 E(X)=-2× 0.04+2× 0.54+4× 0.42=2.68 .

§12.解析几何
1. 【答案:C】 解析:由已知得,,所以 kABkCB=-1,所以 AB⊥CB,即△ABC 为直角三角形,其外接圆圆心 为(1, -2),半径为 5,所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令 x=0,得,所以,故选 C. 2. 【答案:D】

解析: 设双曲线方程为

x2 y2 如图所示, |AB|=|BM|, ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

∠ABM=120? , 过点 M 作 MN⊥x 轴, 垂足为 N, 在 Rt△BMN 中, |BN|=a,
| MN |? 3a ,故点 M 的坐标为 M (2a, 3a) ,代入双曲线方程得

a2=b2=c2-a2,即 c2=2a2,所以 e ? 2 ,故选 D.
3. 【答案:D】

解析:∵ F ( , 0) ,∴设直线 AB 的方程为 y ?

3 4

3 3 ( x ? ) ,代入抛物线方程得: 3 4

x2 ?

21 9 21 9 x ? ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,∴ x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ,由弦长公式得 2 16 2 16

·42·

| AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 12 ,由点到直线的距离公式得: O 到直线 AB 的距离

d?

|

3 3 ?0 ?0 ? | 1 3 9 3 4 ? 3 ,∴ S ?12 ? ? . ?OAB ? 2 8 4 8 3 ( ) 2 ? (?1) 2 3
3 3 ( x ? ) 代入抛物线方程得: 4 y2 ?12 3 y ? 9 ? 0 , 3 4

【另解】直线 AB 的方程 y ?

1 3 9 9 ∴ y1 ? y2 ? 3 3 , y1 ? y2 ? ? ,∴ S ?OAB ? ? ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? . 2 4 4 4
4. 【答案:C】

p p =5,则 x0=5- .又点 F 的 2 2 y 2 25 p 5 2 坐标为 ( , 0) ,所以以 MF 为直径的圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? 0 ) ? .将 x=0,y=2 代入 2 2 2 4
解析:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+

y0 2 p ? 2 y0 ? 4 ? 0 ,所以 y0=4.由 y0 2 =2px0,得 16 ? 2 p(5 ? ) ,解之得 p=2,或 p=8.所以 得 2 4
C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.故选 C. 5. 【答案:B】 解析:由题意知 b∈(0, 1),当直线过点(-1, 0)时,要将△ABC 分割为面积相等的两部分,直线必 须过点 ( , ) ,此时有-a+b=0 且 a ? b ?

1 1 2 2

1 2

1 1 ,解得 b ? ;当 a=1 时,直线 y=ax+b 平行于直线 2 3

AC,要将△ABC 分割为面积相等的两部分,可求此时的 b ? 2 ? 1 . 6. 【答案:C】 解析:由题意可得,△F2 PF1 是底角为 30?的等腰三角形可得 PF2 ? F1F2 ,即 2( 以e ?

3a ? c) ? 2 c ,所 2

c 3 ? . a 4

7. 【答案:C】

·43·

解析:抛物线的准线方程是 x=4,所以点 A (?4, 2 3) 在 x2 ? y 2 ? a2 上,将点 A 代入得 a 2 ? 4 ,所 以实轴长为 2a ? 4 . 8.【答案:B】 解析:通径|AB|=

2b2 2 2 2 2 2 ? 2a 得 b ? 2a ? a ? c ? 2a ,故选 B. a


1 ? , 1 9. 【答案: []

解析:由图可知点 M 所在直线 y ? 1 与圆 O 相切,又 ON ? 1 ,由正

弦定理得

ON OM 1 OM ,∴ , ? ? sin ?OMN sin ?ONM 2 sin ?ONM 2

2 即 OM ? 2 sin ?ONM , ∵ 0 ?? ONM ? ? , ∴ OM ? 2 , 即 x0 解得:?1 ? x0 ? 1. ?1 ? 2 ,

【另解】过 OA⊥MN,垂足为 A,因为在 Rt△OMA 中,|OA|≤1,∠OMN=45?,所以

| OA |?| OM | sin 45o =

2 解得 | OM |? 2 , 因为点 M(x0,1), 所以 | OM |? x0 2 ? 1 ? 2 , | OM |? 1 , 2

解得 ?1 ? x0 ? 1,故 x0 的取值范围是 [?1,1] .

10.【答案: ?

x2 y2 ? ? 1】 16 8

?c 2 x2 y2 ? 解析:由 ? 得 a =4 , c = ,从而 b =8 , ? ? ? 1. 2 2 ?a 2 16 8 ?4a ? 16 ?

11. 解析: (Ⅰ) 设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( xM , yM ) ,将 y ? kx ? b 代入 9 x2 ? y 2 ? m2 得 (k 2 ? 9) x2 ? 2kbx ? b2 ? m2 ? 0 ,故 xM ?

x1 ? x2 ?kb ? 2 , 2 k ?9

·44·

y M ? kxM ? b ?

y 9 9b . 于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即 kOM ? k ? ?9 ,所以直线 k ?9 xM k
2

OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.

m , m ) ,所以 l 不过原点且与 C 有两 3 9 个交点的充要条件是 k ? 0, k ? 3 ,由(Ⅰ)得 OM 的方程为 y ? ? x . k
(Ⅱ)四边形 OAPB 能为平行四边形,因为直线 l 过点 (

9 ? ? km k 2 m2 m ?y ? ? x 2 设点 P 的横坐标为 xP , 由? , 得 xP ? 2 , 即 xP ? , 将点 ( , m ) k 3 9k ? 81 3 k2 ? 9 2 2 2 ? ?9 x ? y ? m
的坐标代入 l 的方程得 b ?

k (k ? 3)m m(3 ? k ) , 因此 xM ? . 四边形 OAPB 为平行四边形当且 3 3(k 2 ? 9)

仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP ? 2xM ,于是

?km 3 k2 ? 9

? 2?

k (k ? 3)m ,解得 3(k 2 ? 9)

k1 ? 4 ? 7, k2 ? 4 ? 7 ,因为 ki ? 0, ki ? 3, i ? 1, 2 ,
所以当 l 的斜率为 4 ? 7 或 4 ? 7 时,四边形 OAPB 为平行四边形.

b2 b 3 3 2 2 M (c, ) , b2 c ? 12. 解析: (Ⅰ) 由题意得: ∵ MN 的斜率为 , ∴ a ? , 又a ? F1 (?c,0) , 4 a 2c 4 3 1 c 1 解得 e ? ? 或 ?2 (舍) ,故直线 MN 的斜率为 时,C 的离心率为 . 4 2 a 2
2



(Ⅱ)由题意知,点 M 在第一象限, F1 (?c,0) , M (c,

b2 b2 ) ,∴直线 MN 的斜率为: ,则 a 2ac

MN: y ?

b2 b2 x ? 2 ;∵ F1 (?c,0) 在直线 MN 上,∴ 0 ? ? ( ?c) ? 2 , 2ac 2ac ???? ? b2 ), a

2 得 b ? 4a ?①,∵ MN ? 5 F 1 ? ( ?2c, ? 1 N ,∴ MF 1 ?4 F 1 N ,且 MF

·45·

???? ? c b2 3c b 2 3c b 2 ) ,∴ N (? , ? ) ,又∵ N (? , ? ) 在椭圆 C 上, ∴ F1 N ? (? , ? 2 4a 2 4a 2 4a
b4 9c 2 16a 2 ? 1 ??②,联立①、②解得: a ? 7 , b ? 2 7 . ∴ 4 ? a2 b2

x12 y12 x2 2 y2 2 y ? y1 = ? 1, 13. 解析: (Ⅰ) 设 A(x1, y1), B(x2, y2), P(x0, y0), 则 2 ? 2 =1 , 2 ? 2 =1 , 2 a b a b x2 ? x1
由此可得

y 1 b2 ? x2 ? x1 ? y ?y ? ? 2 1 =1 .因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 0 ? ,所以 a2=2b2. 2 x0 2 a ? y2 ? y1 ? x2 ? x1

又由题意知, M 的右焦点为( 3 , 0), 故 a2-b2=3.因此 a2=6, b2=3.所以 M 的方程为

x2 y2 ? =1 . 6 3

? 4 3 ? x ? y ? 3 ? 0, , ?x ? ? 4 6 ? x ? 0, ? 2 ? 3 2 (Ⅱ)由 ? x 解析得 或 因此|AB|= .由题意可设直线 CD ? ? y 3 ? 1, ? y ? 3. ? ? ?y ? ? 3 , ? 3 ?6 ? 3 ?
? y ? x ? n, 5 3 ? ? n ? 3) ,设 C(x3,y3),D(x4,y4).由 ? x 2 y 2 的方程为 y ? x ? n (? 得 3x2+4nx 3 ?1 ? ? 3 ?6

?2n ? 2?9 ? n2 ? +2n -6=0.于是 x3,4= .因为直线 CD 的斜率为 1,所以|CD|= 3
2

2 | x4 ? x3 |?

4 1 8 6 9 ? n 2 .由已知,四边形 ACBD 的面积 S ? | CD | ? | AB |? 9 ? n2 .当 n=0 时,S 3 2 9
8 6 8 6 .所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 3 3

取得最大值,最大值为

·46·

14. 解析: (Ⅰ) 由对称性可知,△BFD 为等腰直角三角形, 斜边上的高为 p , 斜边长 BD ? 2 p . 点 A 到准线 l 的距离 d ? FB ? FD ?

2 p .由 S△ABD ? 4 2 得,

1 1 ? BD ? d ? ? 2 p ? 2 p ? 4 2 ,? p ? 2 . 圆 F 的方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 8 . 2 2
(Ⅱ)由对称性,不妨设点 A( xA , yA ) 在第一象限,由已知得线段 AB 是圆 F 的在直径,

?ADB ? 90o ,? BD ? 2 p ,? y A ?
率为 k AF ?

3 p ,代入抛物线 C : x 2 ? 2 py 得 xA ? 3 p .直线 m 的斜 2

x x2 3p p 3 ? 0 .由 x 2 ? 2 py 得 y ? .直线 m 的方程为 x ? 3 y ? , y ? ? .由 ? p 2 2p 3 3p

y? ?

3 3p p x 3 p .故直线 n 与抛物线 C 的切点坐标为 ( , ) ,直线 n 的方程为 得, x ? ? 3 3 6 p 3 3p 3p 3p ? 0 .所以坐标原点到 m , n 的距离的比值为 : ?3. 6 4 12
uuu r
uuu r

x ? 3y ?

15. 解析: (Ⅰ) 设 M(x,y), 由已知得 B(x,-3), A(0,-1).所以 MA ? (? x, ?1 ? y) ,MB ? (0, ? 3 ? y) ,

uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r AB ? ( x, ?2) .再由题意可知 ( MA ? MB ? MB) ? AB ? 0 ,即 (? x, ?4 ? 2 y ) ? ( x, ?2) ? 0 .
所以曲线 C 的方程式为 y ?

1 2 x ?2. 4

(Ⅱ)设 P(x0,y0)为曲线 C: y ? l 的方程为 y ? y0 ?

1 1 2 x ? 2 上一点,因为 y ? 1 x ,所以 l 的斜率为 x0 ,因此直线 2 4 2

2 1 | 2 y0 ? x0 | 2 . x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0 . 则 O 点到 l 的距离 d ? 2 2 x0 ?4

1 2 x0 ? 4 1 4 1 2 2 2 又 y0 ? x0 ? 2 ,所以 d ? 2 ? ( x0 ?4? ) ? 2 ,当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 2 2 4 2 x0 ? 4 x0 ? 4
l 距离的最小值为 2.

§13.函数与导数

·47·

1. 【答案:C】 解析:由已知得 f (?2) ? 1 ? log2 4 ? 3 ,又 log2 12 ? 1 ,所以 f (log2 12) ? 2log2 12?1 ? 2log2 6 ? 6 ,故
f (?2) ? f (log2 12) ? 9 .

2. 【答案:B】 解析:由已知得,当点 P 在 BC 边上运动时,即 0 ? x ?

? 时, PA ? PB ? tan2 x ? 4 ? tan x ;当 4

? ? ? 3? 1 1 x ? 时, 点 P 在 CD 边上运动时, 即 ?x? , 当x ? PA ? PB ? ( ? 1)2 ? 1 ? ( ? 1)2 ? 1 , 2 2 4 4 tan x tan x
时, 当点 P 在 AD 边上运动时, 即 PA ? PB ? 2 2 ; 从点 P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线 x ? 故选 B. 3. 【答案:A】 解析:记函数 g ( x ) ?
f ( x) x?f ( x ) ? f ( x ) ,则 g ?( x ) ? ,因为当 x>0 时,xf ? (x)-f(x)<0,故当 x>0 x x2

3? PA ? PB ? ? x ? ? 时, 4

tan2 x ? 4 ? tan x ,

?

? ? 对称,且 f ( ) ? f ( ) ,且轨迹非线型, 2 4 2

时,g? (x)<0,所以 g(x)在(0, +∞)单调递减;又因为函数 f(x)(x∈R)是奇函数,故函数 g(x)是偶 函数, 所以 g(x)在(-∞, 0)单调递增, 且 g(-1)=g(1)=0.当 0<x<1 时,g(x)>0, 则 f(x)>0; 当 x<-1 时,g(x)<0,则 f(x)>0,综上所述,使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞, -1)∪(0, 1),故选 A.
4. 【答案:D】 解析:∵ y ' ? a ? 5. 【答案:C】 解析:∵ f ?( x) ? 3

1 1 ? 2 ,即 a ? 3 . ,且在点 (0, 0) 处的切线的斜率为 2,∴ y ' | x ? 0 ? a ? x ?1 0 ?1

?
m

cos

?x
m

,令 f ?( x) ?

3

?
m

cos

?x

1 ? 0 得 x ? m( ? k ), k ? Z , m 2

∴ x0 ? m( ? k ), k ? Z ,即 |x0 | ? |m( ? k )| ?

1 2

1 2

|m| πx ,? f ( x) ? 3 sin 的极值为 ? 3 , 2 m

·48·

m2 m2 2 2 2 ? 3, ? 3 ? m2 , ∴ [ f ( x0 )] ? 3 ,? x0 ? [ f ( x0 )] ? ? x0 ? [ f ( x0 )] ? m ,∴ 4 4
2
2 2

即: m ? 4 ,故: m ? ?2 或 m ? 2 .
2

6. 【答案:D】

解析:根据公式变形, a ?

lg 6 lg 2 lg10 lg 2 lg14 lg 2 ? 1? ? 1? ? 1? ,b ? ,c ? , lg 5 lg 5 lg 7 lg 7 lg 3 lg 3
lg 2 lg 2 lg 2 ? ? ,即 c<b<a.故选 D. lg 7 lg 5 lg 3

因为 lg 7>lg 5>lg 3,所以

7. 【答案:C】 解析:∵f ? (x)=3x2+2ax+b,∴y=f(x)的图像大致如右图所示,若 x0 是 f(x)的极 小值点,则则在(-∞,x0)上不单调,故 C 不正确. 8. 【答案:B】 解析:易知 y ? ln( x ? 1) ? x ? 0 对 x ? (?1,0) U (0, ??) 恒成立,当且仅当 x ? 0 时,取等号,故的 值域是(-∞, 0). 所以其图像为 B. 9. 【答案:B】 解析:因为 y ?

1 x 1 e 与 y ? ln(2 x) 互为反函数,所以曲线 y ? e x 与曲线 y ? ln(2 x) 关于直线 y=x 2 2

对称, 故要求|PQ|的最小值转化为求与直线 y=x 平行且与曲线相切的直线间的距离, 设切点为 A, 则 A 点到直线 y=x 距离的最小值的 2 倍就是|PQ|的最小值.则 y ? ? ( e )? ?
x

1 2

1 x e ? 1 ,? e x ? 2 , 2

即 x ? ln 2 , 故切点 A 的坐标为 (ln 2,1) , 因此, 切点 A 点到直线 y=x 距离为 d ? 所以 | PQ |? 2d 10.【答案 B】 解析:由各函数的图像知,故选 B.

| ln 2 ? 1| 1 ? ln 2 ? , 2 2

? 2(1 ? ln 2) .

·49·

11.【答案:C】
3 2 2 1 2 16 4 ?0 ( x ? x ? 2)dx ? ( 3 x ? 2 x ? 2 x) |0 ? 3 ,故选 C. 4

解析:用定积分求解 S ?

12.【答案:D】 解析: y ?

1 的对称中心是(1,0)也是 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的中心, ?2 ? x ? 4 他们的图像 x ?1

在 x=1 的左侧有 4 个交点, 则 x=1 右侧必有 4 个交点. 不妨把他们的横坐标由小到大设为 x1, x2, x3,x4,x5,x6,x7,x8,则 x1 ? x8 ? x2 ? x7 ? x3 ? x6 ? x4 ? x5 ? 2 ,故选 D .

3 ) , 1 13. 【答案: (?



解析:∵ f ( x ) 是偶函数,∴ f ( x ? 1) ? 0 ? f (|x ? 1|) ? 0 ? f (2) ,又∵ f ( x ) 在 [0, ??) 单调递 减,∴ |x ? 1| ? 2 ,解得: ?1 ? x ? 3

14. 解析: (Ⅰ)f ?( x) ? m(emx ?1) ? 2 x , 若m ? 0, 则当 x ? (??,0) 时, emx ?1 ? 0, f ?( x) ? 0 ;

e 当 x ? (0, ??) 时,

mx

? 1 ? 0 ,f ?( x) ? 0 . 若 m ? 0 , 则当 x ? (??,0) 时, emx ?1 ? 0, f ?( x) ? 0 ; ? 1 ? 0 , f ?( x) ? 0 ,所以, f ( x) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调

当 x ? (0, ??) 时, e 递增.

mx

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, 对任意的 m , f ( x ) 在[-1, 0]单调递减, 在[0,1]单调递增, 故 f ( x) 在 x ? 0 处取得最小值,所以对于任意 x1, x2 ?[?1,1] , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 的充要条件是
m ? ? f (1) ? f (0) ? e ? 1 ?e ? m ? e ? 1 ,即 ①. 设函数 g (t ) ? et ? t ? e ? 1 ,则 g ?(t ) ? et ? 1, ? ?m ? ? ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1 ?e ? m ? e ? 1

当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ;当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ,故 g (t ) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递 增.又 g (1) ? 0 , g (?1) ? e?1 ? 2 ? e ? 0 ,故当 t ? [?1,1] 时, g (t ) ? 0 .当 m ? [?1,1] 时,

·50·

m m ?e ? 1 ; g (m) ? 0, g (?m) ? 0 , g ( m) ? 0 , 即①式成立; 当 m ? 1 时, 由 g (t ) 的单调性, 即e ?

当 m ? ?1 时, g (?m) ? 0 ,即 e? m ? m ? e ? 1,综上, m 的取值范围是[-1,1].

? f ?( x) ? e ? e ? 2=e ? 15.解析: (Ⅰ)? f ( x) ? e ? e ? 2 x,x ? R,
x ?x x ?x x

1 1 ? 2 ? 2 e x ? x ? 2 ? 0. ∴当且 x e e

仅当 x=0 时等号成立,所以函数 f ( x ) 在 R 上单调递增.

(Ⅱ)? g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ? e2 x ? e?2 x ? 4 x ? 4b(e x ? e? x ? 2 x), ∴当 x>0 时,

e2 x ? e?2 x ? 4x ? 4b(ex ? e? x ? 2x) ? 0, ? g?( x) ? 2[e2 x ? e?2 x ? 2b(ex ? e? x ) ? (4b ? 2)] ? 2(ex ? e? x ? 2)[ex ? e? x ? (2b ? 2)] ,?ex ? e? x ? 2 ex ? e? x ? 2 ,?2(ex ? e? x ? 2) ? 0 ,
(1) 当 b ? 2 时,g ?( x) ? 0 , 当且仅当 x=0 时等号成立. 所以此时 g(x)在 R 上单调递增, 而 g(0)=0, 所以对任意 x>0,有 g(x)>0. (2) 当 b ? 2 时,若 x 满足 2 ? e x ? e? x ? 2b ? 2 时,即 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) 时, g ?( x) ? 0 ,而 g(0)=0,因此当 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) 时,g(x)<0. 综上可知,当 b ? 2 时,才对任意的 x>0,有 g(x)>0,因此 b 的最大值为 2. (Ⅲ)由(Ⅱ)知, g (ln 2) ?

3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1) ln 2 , 2

当 b=2 时, g (ln 2) ?

3 8 2 ?3 ? 4 2 ? 6ln 2 ? 0 , ln 2 ? ? 0.6928 ; 2 12

当b ?

3 2 3 ? 1 时, ln(b ?1 ? b2 ? 2b ) ? ln 2 , g (ln 2) ? ? ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 ? 0 , 2 4
18 ? 2 ? 0.6934 ,所以 ln2 的近似值为 0.693. 28
·51·

ln 2 ?

1 .由 x=0 是 f(x)的极值点得 f′(0)=0, 所以 m=1.于是 f(x)=ex-ln(x+1), x?m 1 1 x x 定义域为(-1,+∞),f′(x)= e ? .函数 f′(x)= e ? 在(-1,+∞)单调递增,且 f′(0)=0.因此 x ?1 x ?1
16. 解析: (Ⅰ) f′(x)= e ?
x

当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.所以 f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调 递增. (Ⅱ)当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时,f(x)>0.当 m=2 时,函 数 f′(x)= e ?
x

1 在(-2,+∞)单调递增.又 f′(-1)<0,f′(0)>0,故 f′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x?2

x0,且 x0∈(-1,0).当 x∈(-2,x0)时,f′(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当 x=x0 时,f(x) 取得最小值.由 f′(x0)=0 得 e 0 = 上,当 m≤2 时,f(x)>0.
x

1 1 ? x ? 1?2 ,ln(x0+2)=-x0,故 f(x)≥f(x0)= +x0= 0 >0.综 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

1 17.解析: (Ⅰ) f ?( x) ? f ?(1)ex?1 ? f (0) ? x ,令 x=1 得,f (x)=1,再由 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? x 2 , 2
令 x ? 0 得 f ?(1) ? e .所以 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2 x ,∴ f ?( x) ? ex ?1 ? x ,易知 2

且 f ?(0) ? 0 .所以 f ?( x) ? 0 ? x ? 0 ,f ?( x) ? 0 ? x ? 0 , f ?( x) ? ex ?1 ? x 是 R 上的增函数, 所以函数 f ( x) 的增区间为 (0, ??) ,减区间为 (??, 0) .

(Ⅱ)若 f ( x) ?

1 2 1 x ? ax ? b 恒成立,即 h( x) ? f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 恒成立, 2 2

Q h?( x) ? ex ? (a ? 1) .
(1)当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 恒成立, h( x) 为 R 上的增函数,且当 x ??? 时, h( x) ? ?? ,不 合题意; (2)当 a ? 1 ? 0 时, h( x) ? 0 恒成立,则 b ? 0 , (a ? 1)b ? 0 ;

(3)当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? e ? (a ? 1) 为增函数,由 h?( x) ? 0 得 x ? ln(a ? 1) ,故
x

f ?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) , f ?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) ,当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x) 取最小值

h(ln(a ? 1)) ? a ? 1 ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b .依题意有 h(ln(a ? 1)) ? a ? 1 ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0 ,即
·52·

b ? a ? 1 ? (a ? 1) ln(a ? 1) , Q a ? 1 ? 0 ,?(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ? 1) ,令
则 u?( x) ? 2 x ? 2 x ln x ? x ? x(1 ? 2ln x) , u( x) ? x2 ? x2 ln x (x ? 0) , u?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e, u?( x) ? 0 ? x ? e ,

u ( x) 取最大值 u ( e ) ? 所以当 x ? e 时,
若 f ( x) ?

e e e .故当 a ? 1 ? e , b ? 时, (a ? 1)b 取最大值 .综上, 2 2 2

e 1 2 x ? ax ? b ,则 (a ? 1)b 的最大值为 . 2 2

18. 解析: (Ⅰ)f ?( x ) ?

?(

x ?1 ? ln x ) b 1 x ? 2 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? , 且过点 (1,1) , 2 ( x ? 1) x 2

故?

? f (1) ? 1 ?b ? 1 ? ? ,即 ?a 1 1 ,解得 a ? 1 , b ? 1 . ? f (1) ? ? ? b ? ? ? ? ? ?2 2 2
ln x 1 ln x k 1 (k ?1)( x 2 ?1) ? ,所以 f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? ) .考虑函数 x ?1 x x ?1 x 1 ? x2 x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

h( x ) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x (k ? 1)( x 2 ? 1) . ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x x2 k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知, 当 x ? 1 时,h?( x ) ? 0 . 而 h(1) ? 0 , 故当 x ? (0,1) x2

(i)设 k ? 0 , 由 h?( x ) ? 时,h( x) ? 0 , 可得

1 1 当 x ? (1, + ? )时, h(x)<0, 可得 h( x ) ? 0 ,从而当 x>0, h( x) ? 0 ; 2 1 ? x2 1? x ln x k ln x k 且 x ? 1 时, f ( x ) ? ? ? 0 ,即 f ( x ) ? ? . x ?1 x x ?1 x
1 1 (ii) 设 0<k<1.由于当 x ? (1, )时, (k-1)(x2 +1)+2x>0, 故 h?(x)>0, 而 h(1)=0, 故当 x? (1, ) 1? k 1? k
时,h(x)>0,可得

1 h(x)<0,与题设矛盾. 1? x2

(iii)设 k ? 1.此时 h?(x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得 设矛盾. 综上可得,k 的取值范围为(- ? ,0].

1 h(x)<0,与题 1? x2

·53·

§14.几何证明选讲
1.解析:(Ⅰ)由于 ?ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线,又 因为⊙O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE ? AF ,故 AD ? EF ,从而 EF // BC . (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, AE ? AF , AD ? EF , 故 AD 是 EF 的垂直平分线.又 EF 为⊙O 的弦, 所以 O 在 AD 上. 连结 OE , OM ,则 OE ? AE ,由 AG 等于⊙O 的 半径得 AO ? 2OE ,所以 ?OAE ? 30? ,因此 ?ABC 和 ?AEF 都是 等边三角形. 因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4, OE ? 2 . 因为

10 3 1 . 所以四边形 EBCF 的面 OM ? OE ? 2, DM ? MN ? 3 ,所以 OD ? 1 . 于是 AD ? 5, AB ? 2 3
1 10 3 2 3 1 3 16 3 积为 ? ( . ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 2 3 2 2 2 3
2.解析: (Ⅰ)∵PC=2PA,PD=DC,∴PA=PD,△PAD 为等腰三角形. 连接 AB,则∠PAB= ∠DEB=β,∠BCE=∠BAE=α,∵∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠ PDA=∠DEB+∠DBE, ∴β+α=β+∠DBE, 即 α=∠DBE, 亦即∠BCE=∠DBE, 所以 BE=EC. (Ⅱ)∵AD· DE=BD· DC,PA2=PB· PC,PD=DC=PA, ∴BD· DC=(PA-PB) · PA=PB· PC-PB· PA=PB· (PC-PA), ∴PB· PA=PB· 2PB=2PB2. 3.解析: (Ⅰ)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知

BC DC ,故 ? FA EA

△CDB∽△AEF, 所以∠DBC=∠EFA.因为 B, E, F, C 四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA =∠CFE=90° .所以∠CBA=90° ,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (Ⅱ)连结 CE,因为∠CBE=90° ,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直 径为 CE,由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC2=DB· BA=2DB2,所以 CA2 =4DB2+BC2=6DB2.而 DC2=DB· DA=3DB2,故过 B,E,F,C 四点的 圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为
·54·

1 . 2

4. 解析: (Ⅰ) ∵D, E 分别为△ABC 边 AB, AC 的中点, ∴DE//BC.∵CF//AB, DF//BC, ∴CF//BD 且 CF=BD, ∵又 D 为 AB 的中点, ∴CF//AD 且 CF=AD, ∴CD=AF.∵CF//AB,∴BC=AF,∴CD=BC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC//GF,∴GB=CF=BD,∠BGD=∠BDG=∠DBC=∠ BDC,∴△BCD∽△GBD. 5.解析: (Ⅰ)连结 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD× AB=mn=AE×AC,即
G

A

E D

F

B

C

AD AE , ? AC AB

又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,因此∠ADE=∠ACB,所以 C、B、D、E 四点共圆. (Ⅱ) m=4, n=6, 方程 x2-14x+mn=0 的两根为 2, 12.即 AD=2, AB=12, 取 CE 的中点 G, DB 的中点 F, 分别过 G、 F 作 AC、 AB 的垂线,两垂线交于点 H,连结 D、H,因为 C、B、D、 E 四点共圆,所以圆心为 H,半径为 DH.由于∠A=90?,故 GH∥AB,HF∥AC.从而 HF=AG=5,DF=5,故半径为 5 2 .

§15.坐标系与参数方程
1.解析:(Ⅰ)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ,曲线 C3 的直角坐标方程为

? 2 2 x? ? ? x ? y ? 2 y ? 0 x ? 0 ? ? ? ,解得 ? 或? x2 ? y2 ? 2 3x ? 0 . 联立 ? 2 2 ? ?y ? 0 ?y ? ? x ? y ? 2 3x ? 0 ? ?
点的直角坐标为 (0, 0) 和 (

3 2 ,所以 C 与 C 交 2 3 3 2

3 3 , ). 2 2

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? ,因此 A 的极坐标为

? (2sin ? , ? ) ,B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? ) ,所以 | AB |?| 2sin ? ? 2 3 cos ? |? 4 | sin(? ? ) | ,
3
当? ?

5? 时, | AB | 取得最大值,最大值为 4. 6

2 2 2.解析: (Ⅰ)设点 M(x, y)是曲线 C 上任意一点,∵ ? ? 2cos ? ,∴ x ? y ? 2 x ,

·55·

即: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,∴C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? ). ? y ? sin ?

(Ⅱ)设点 D(1+cosφ, sinφ),∵C 在 D 处的切线与直线 l: y ? 3x ? 2 垂直,∴直线 CD 和 l 的

? sin ? ? ? sin ? ? ? tan ? ? 3 ,∵ 0 ? ? ? ? ,?? ? ? ,∴ ? 斜率相同,∴ cos ? 3 ?cos ? ? ? ?

3 2 , 1 2

∴点 D 的坐标为 ( ,

3 3 ). 2 2

3.解析: (Ⅰ)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此 M(cos α+cos 2α,sin α+ sin 2α).M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? (α 为参数,0<α<2π). ? y ? sin ? ? sin 2?

(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离 d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0<α<2π).当 α=π 时,d=0, 故 M 的轨迹过坐标原点. 4.解析: (Ⅰ)依题意,点 A,B,C,D 的极坐标分别为 (2, ), (2,

?

3

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ). 6 3 6

所以点 A,B,C,D 的直角坐标分别为 (1, 3) 、 (? 3,1) 、 (?1, ? 3) 、 ( 3, ?1) . (Ⅱ)设 P ? 2cos?,3sin ? ? ,则 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 ? (1 ? 2cos ?)2 ? ( 3 ? 3sin ?)2

?(? 3 ? 2cos?)2 ? (1? 3sin ?)2 ? (?1 ? 2cos?)2 ? (? 3 ? 3sin ?)2 ? ( 3 ? 2cos ?)2 ? (?1 ? 3sin ? )2
? 16cos2 ? ? 36sin2 ? ?16 ? 32 ? 20sin 2 ? ??32,52? .
所以 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围为 ?32,52? .

·56·

?x ? 2 ? 2 cos ? x y 5.解析: (I)设 P(x,y),则由条件知 M ( , ) .由于 M 点在 C1 上,所以 ? , ? 2 2 ? y ? 2 ? 2 sin ? ?2 ?

即?

? x ? 4cos ? ? x ? 4cos ? ,从而 C2 的参数方程为 ? ( ? 为参数). y ? 4 ? 4sin ? y ? 4 ? 4sin ? ? ?

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? . 射线 ? ? C1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 所以 | AB |?| ?2 ? ?1 |? 2 3 .

?
3



?
3

,射线 ? ?

? ? 与 C2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin . 3 3

§16.不等式选讲
1.解析:(Ⅰ)因为 ( a ? b )2 ? a ? b ? 2 ab ,( c ? d )2 ? c ? d ? 2 cd ,由题设

a ? b ? c ? d , ab ? cd 得 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 ,因此 a ? b ? c ? d .
(Ⅱ)(i)若 | a ? b |?| c ? d | ,则 (a ? b)2 ? (c ? d )2 ,即 (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd ,因 为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,由(Ⅰ)得 a ? b ? c ? d . (ii)若 a ? b ? c ? d ,则 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 ,即 a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd , 因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,于是 (a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd ? (c ? d )2 , 因此 | a ? b |?| c ? d | ,综上, a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件.
2.解析: (Ⅰ)∵ f ( x) ?| x ?

1 1 1 | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a) |?| ? a | ,∵ a ? 0 , a a a

∴ f ( x) ?

1 ? a ? 2 ,当且仅当 a ? 1 时,取“ ? ”号. 故 f ( x) ? 2 . a

·57·

(Ⅱ)∵ f (3) ? 5 , a ? 0 ,∴ f (3) ?| 3 ?

1 1 | ? | 3 ? a |? 3 ? ? | a ? 3 |? 5 , a a

?a ? 3 ?0 ? a ? 3 1 ? ? ? 3 ? | a ? 3 | ? 5 即: ,∴ ? 1 或 ?1 , a ?3? a ?3 ? 5 ? ?3?3? a ? 5 ? ?a ?a

解得:

?1 ? 5 5 ? 21 ?1 ? 5 5 ? 21 ?a? , ). . 故 a 的取值范围是 ( 2 2 2 2

3.解析: (Ⅰ)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a +b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤

1 . 3

(Ⅱ) 因为

2 2 a2 b2 c2 a2 b c ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c , ? ? ? (a ? b ? c) ≥2(a+b+c), 故 b b c a c a

a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 2 ? ? ≥a+b+c.所以 ? ? ≥1. 即 b c a b c a
? ?x ? 2 4.解析: (Ⅰ)当 a ? ?3 时,不等式 f ( x) ? 3 ? | x ? 3| ? | x ? 2 |? 3 ? ? 或 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ?

? ? ?2 ? x ? 3 ?x ? 3 或? ? 或 x ? 4 .所以当 a ? ?3 时,不等式 f ( x) ? 3 的 ? ? ? ? ? x ? 3? ? ? x ? 2 ? ? 3 ? ?? x ? 3? ? ? x ? 2 ? ? 3
解集为 x x ? 1 或 x ? 4? . (Ⅱ) f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1,2] ,即 | x ? a | ? | x ? 2 |?| x ? 4 | 对 x ? 1, 2 恒成立,

?

? ?

即 | x ? a |? 2 对 x ? 1, 2 恒成立,即 ?2 ? a ? x ? 2 ? a 对 x ? 1, 2 恒成立,所以 ? 即 ?3 ? a ? 0 .故 a 的取值范围为 ?3,0 .

? ?

? ?

??2 ? a ? 1 , ?2 ? a ? 2

?

?

5.解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 . 由此可得 x ? 3 或 x ? ?1 . 故不等式

f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} .
·58·

(Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得 | x ? a | ?3x ? 0 ,此不等式化为不等式组 ?

?x ? a ?x ? a 或? , ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0
由题设可得 ? ?,

?x ? a ?x ? a a ? ? 即? 因为 a ? 0 , 所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? a 或? a, 2 x? a?? ? ? ? 4 ? 2
故a ? 2.

a ? ?1 , 2

·59·


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