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排列组合的题型与方法


排列组合问题经典题型与 通用方法
高二数学组

(一)排序问题 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成 一个组,当作一个大元素参与排列. 例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻 且B在A的右边,则不同的排法有( D ) A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 解析:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题 4 相当于4人的全排列, A4 ? 24 种。

.

(一)排序问题 2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先 把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻, 那么不同的排法种数是( B ) A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
5 解析:除甲乙外,其余5个排列数为 A5 种,

2 再用甲乙去插6个空位有 A6 种,
5 2 不同的排法种数是 A5 A6 ? 3600 种。

(一)排序问题 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必 须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A 的右边(A,B可以不相邻)那么不同的排法有( B ) A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 解析:B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所 以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即

A ? 60 种。 A

5 5 2 2

(一)排序问题 4.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位 置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。

例4.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念, 若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
解析:老师在中间三个位置上选一个有 A1 种 ,
3

种,4名同学在其余4个位置上有 A4 种方法; 4
所以共有 A3 A4
1 4

? 72

(一)排序问题 5.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一 排考虑,再分段处理。 例5.(1) 6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素, 那么不同的排法种数是( C ) A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 解析:(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可 看成6个不同的元素排成一排,共 A66 ? 720种。

(一)排序问题 5.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一 排考虑,再分段处理。 例5. (2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其 中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少 种不同排法? 解析:看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选 2 排2个,有 A4 种, 1 某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有 A4 种, 其余5个元素任排5个位置上有 A55 种,故共有 1 2 5 A4 A4 A5 ? 5760 种排法.

(一)排序问题
6.圆排问题单排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的 排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而 顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它 与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分,下列 n个普通排列: a1, a2 , a3 ?, an ; a2 , a3 , a4 ,?, an ,?; an , a1,?, an?1 在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为相同, n! n个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成单排, n 其它的 n ? 1 元素全排列. 例6.有5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同 站法? 4 解析:首先可让5位姐姐站成一圈,属圆排列有 A4 种, 然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐的左边和右边,有2 种方式,故不同的安排方式 24 ? 25 ? 768 种不同站法.
1 m 说明:从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 m An

种不同排法.

(一)排序问题 7.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以 元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排 元素的位置. 一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有 m n 种 例7.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同 方法? 解析:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分 配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分 配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原 6 7 理知共有 种不同方案.

(一)排序问题 8.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几 个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法.

例8.(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中, 则恰有一个空盒的放法有多少种?
解析:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的 2 3 C A 方法有 4种,再排:在四个盒中每次排3个有 4 种,故 共有C42 A43 ? 144种。

(一)排序问题 8.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几 个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法.

例8.(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在 要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法? 解析:先取男女运动员各2名,有 C52C42 种,这四名运动 员混和双打练习有 A22 种排法,故共有 C52C42 A22 ? 120 种.

(一)排序问题 9.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先 把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如 此继续下去,依次即可完成. 例9.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个 方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数 字均不相同的填法有( B ) A 、6 种 B、9种 C、11种 D、23种 解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第 二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又 有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填 法,共有3×3×1=9种填法.

(一)排序问题
例10.五位同学坐在一排,现让五位同学重新坐,至多有两位同学 坐自己原来的位置,则不同的坐法有 种. 解析:可以分类解决: 第一类,所有同学都不坐自己原来的位置; 第二类,恰有一位同学坐自己原来的位置; 第三类,恰有两位同学坐自己原来的位置. 对于第一类,就是上面讲的全错位排列问题;对于第二、第三 类有部分元素还占有原来的位置,其余元素可以归结为全错位 排列问题,我们称这种排列问题为部分错位排列问题. 设n个元素全错位排列的排列数为Tn,则对于例3,第一类排列 数为T5,第二类先确定一个排原来位置的同学有5种可能,其余 四个同学全错位排列,所以第二类的排列数为5T4,第三类先确 定两个排原位的同学,有C52=10种, 所以第三类的排列数为10T3,因此例3的答案为: T5+5T4+10T3=109.

(一)排序问题
10.全错位排列问题公式法:全错位排列问题(贺卡问题,信封 问题)记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递 推公式: 用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封,a、 b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。 假设把a错装进B里了,包含着这个错误的一切错装法分两类: (1)b装入A里,这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无 关,应有f(n-2)种错装法。 (2)b装入A、B之外的一个信封,这时的装信工作实际是把 (除a之外的) 份信纸b、c……装入(除B以外的)n-1个信封 A、C……,显然这时装错的方法有f(n-1)种。 总之在a装入B的错误之下,共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入 C,装入D……的n-2种错误之下,同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装 法,因此:得到一个递推公式: f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)},分别代 入n=2、3、4等可推得结果。 也可用迭代法推导出一般公式:
f (n) ? n!(1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(?1) n ) 1! 2! 3! n!

(二)分组分配问题 1.平均分堆问题去除重复法 例1. 从7个参加义务劳动的人中,选出6个人,分成两 组,每组都是3人,有多少种不同的分法?
解:选3人为一组有 种,再选3人为另一组有 种,依分步 计数原理,又每 种分法只能算一种,所以不同的分法有
3 3 6 3 3 C7 C4 C7 C6 C3 ? 70(种)。也可以先选再分组为 ? 70 2 2 A2 A2

(二)分组分配问题 例2、6本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法? 分析:分出三堆书(a1,a2) ,(a3,a4) ,(a5,a6) 由顺序不同可 以有 =6种,而这6种分法只算一种分堆方式,故6本 不同的书平均分成三堆方式有 =15种.

练习:1.6本书分三份,2份1本,1份4本,则有不同 分法? 1 1 4 C6 C5C4 ? 15 2 A2 2.某年级6个班的数学课,分配给甲乙丙三名数学 教师任教,每人教两个班,则分派方法的种数。
2 2 2 C6 C4 C2 ? 90

(二)分组分配问题 2.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若 干组,可用逐步下量分组法. 例3.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一 人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选 法种数是( C ) A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
解析、(1)先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中 选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务, 2 1 1 不同的选法共有 C10 C8C7 ? 2520 种

(二)分组分配问题 2.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若 干组,可用逐步下量分组法.

例3、(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的 调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( A )
AC
4 12

CC

4 8

4 4

4 4 C84C4 B 3C12

C

C C A

4 12

4 8

3 3

D

4 4 C12 C84C4 3 A3

(二)分组分配问题 3.全员分配问题分组法: 例4.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学 校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?
2 3 C 答案:(1) 4 A3 ? 36

(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少 一本,不同的分法种数为( B ) A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
2 4 C5 A4 ? 240

(二)分组分配问题

4.名额分配问题隔板法(无差别物品分配问题隔板法): 例5:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少 一个名额,有多少种不同分配方案?
解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成 10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10 个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着 一种分配方案,故共有不同的分配方案为 C96 ? 84 种。

(二)分组分配问题 5.限制条件的分配问题分类法: 例6.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西 部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不 到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙 来分类,有以下四种情况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 A84 种; ②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余 3 3 学生有 A8 方法,所以共有3 A8 3 ③若乙参加而甲不参加同理也有3 A8 种; ④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其 2 余8人到另外两个城市有 A8 种,共有 7 A82 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 A84 ? 3A83 ? 3A83 ? 7 A82 ? 4088种.


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