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3.3.2简单的线性规划2


例题分析:关于取整数解的问题
例1 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 :
规格类型 钢板类型

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

第一种钢板 X张 第二种钢板 y张

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问 各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所 用钢板张数最少。 解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0

目标函数为 z=x+y
作出可行域(如图)

例题分析

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N

y
15

调整优值法

作出一组平行直线z=x+y,

10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y 8 A(18/5,39/5) 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8

12

2x+y=15

x+y=12 x+2y=18
作直线x+y=12

18

x

27
x+3y=27

当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解.

解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8) 直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.

答(略)

在可行域内找出最优解、线性规划整数 解问题的一般方法是:
1.若区域“顶点”处恰好为整点,那么它就是最优解;
(在包括边界的情况下) 2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时,应先求出 该点坐标,并计算目标函数值Z,然后在可行域内适当 放缩目标函数值,使它为整数,且与Z最接近,在这条 对应的直线中,取可行域内整点,如果没有整点,继续 放缩,直至取到整点为止。

?4 ? x ? y ? 6 例2.若实数x,y满足 ? 求2x+y的取值范围 ?2 ? x ? y ? 4
解法1:由待定系数法: 设 2x+y=m(x+y)+n(x-y) =(m+n)x+(m-n)y ∴m+n=2,m-n=1 m=3/2 ,n=1/2

∴ 2x+y=3/2×(x+y)+ 1/2 ×(x-y)
∵4≤x+y≤6,2≤x-y≤4

∴7≤2x+y≤11

要求z的范围,现在就 转化为求这一组平行线

我们设我们设z=2x+y方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为-2, 纵截距为z的直线,把z看成参数,方程表示的是一组平行线. y
6

x? y ?2

中,与阴影区域有交点, x? y ?4 且在y轴上的截距达到 最大和最小的直线.
由图,我们不难看出,这 种直线的纵截距的最小值为 过A(3,1)的直线,纵截距最 大为过C(5,1)的直线。 过A(3,1)时,因为z=2x+y,所 以 z ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 -2 同理,过C(5,1)时,因为 z=2x+y,所以

x5 y ? 6 ?
4 3 2 A 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 ? 1 B 2 3 D C 4 5 6 7

x? y ?4

x

z ? 2 ? 5 ? 1 ? 11 所以 z min ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 z max ? 2 ? 5 ? 1 ? 11

l1
l0

l2l

y 6 5 4 3 2 A 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 B 2 3 D C 4 5 6 7 x

y 6 5 4 3 2 A 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 B 2 3 D C 4 5 6 7 x

?4 ? x ? y ? 6 错解分析:我们画出 ? ?2 ? x ? y ? 4 当x=3,y=0时,得出2x+y的 y 最小值为6,但此时x+y=3,点 6 (3,0)不在不等式组的所表 示的平面区域内,所以上述 5 4 解答明显错了. 3 从图中我们可以看出

表示的平面区域

x? y ?2 x? y ?4
D A C 3 4B 5 6 7 x

?3 ? x ? 5 没错 解得 ? ?0 ? y ? 2
但不等式 ?

2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2

4? x? y ?6 ? ?2 ? x ? y ? 4
?3 ? x ? 5 ?0 ? y ? 2

与不等式 ?

x? y ?4

x? y ?6

所表示的平面区域却不同? (扩大了许多!)

-4



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