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1.2.3《简单复合函数的导数》使用


1.在练习本上默写求导公式和求导法则 2.求下列函数的导数

(1) y ? (3x ? 2) ; (2) y ? sin 2 x; ?x (3) y ? e ; (4) y ? ln( x ? 2).
2

复合函数:
一般的,对于两个函数 y ? f (u )和u ? g ( x),

如果通过变量

u, y可以表示成 x 的函数,那么

称这个函数为 y ? f (u )和u ? g ( x) 的复合函数, 记作 y ? f ( g ( x)).

(1) y ? (3x ? 2) ;
2

(2) y ? sin 2 x;

(3) y ? e ;

?x

(4) y ? ln( x ? 2).

简单复合函数的导数

问题探究: 求函数 y ? (3x ? 2) 的导数 。
2

方法一:

y?x ? [(3x ? 2) ]? ? (9 x ? 12 x ? 4)? ? 18x ? 12
2 2

方法二:将函数 y ? (3x ? 2)
看作是函数

2

y ?u

2

和函数

u ? 3x ? 2

复合函数,并分别求对应变量的导数如下:

? yu ? (u )? ? 2u u? ? (3x ? 2)? ? 3 x
2

两个导数相乘,得

? yu ? u?x ? 2u ? 3 ? 2(3x ? 2) ? 3 ? 18 x ? 12
从而有

y ' x ? y 'u ?u ' x

问题探究: 考察函数

y ? sin 2 x

的导数 。

一方面 : y ? sin 2 x ? 2 sin x ? cos x

y ? ? (sin 2 x)? x


? ( 2 sin x ? cos x )? ? 2(sin x )? ? cos x ? 2 sin x ? (cos x )? ? 2 cos x ? 2 sin x
2 2

? 2 cos 2 x

y ? sin 2 x 看作是函数 y ? sin u 和函数 u ? 2 x
另一方面: 将函数 复合函数,并分别求对应变量的导数如下:

? yu ? (sin u)? ? cosu u? ? (2 x)? ? 2 x ? x 两个导数相乘,得 yu ? u? ? (cos u ) ? 2
,

从而有

y ' x ? y 'u ?u ' x

? 2 cos2x

复合函数的求导公式:

y ' x ? y 'u ?u ' x


y 对 x 的导数等于
?x

y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积。

(1). y ? e ;

(2). y ? ln( x ? 2).

复合函数求导的基本步骤是:
(1)分解 (2)求导 (3)相乘 (4)回代

(2) y ? ln( x ? 1)
2

解:(2)y=ln(x2+1) 令u=x2+1,则y=lnu,
1 所以y’= ·(2x) u

2x ? 2 x ?1

(3) y ? e

?2 x ?3

解:y=e-2x-3
令u=-2x-3,则y=eu, 所以y’=eu· (-2)=-2e-2x-3 .

(4) y ? sin(2 x ? )
? 解:令u=2x+ 3
3

?

则y=sinu

y ' ? [sin(2 x ? )]' ? 2(sin u)u ' 3 ?
? 2cos u ? 2cos(2 x ? ) 3

?

数学运用
例1.试说明下列函数是怎样复合而成的,并求 下列函数的导数:

(1) y ? ( 2 x ? 3) ; ( 2) y ? ln(5 x ? 1)
3

1 (3) y ? ; ( 4) y ? cos ( ? 2 x ) 1 3x ? 1

数学运用
练习:试说明下列函数是怎样复合而成的, 并求下列函数的导数:

(1) y ? (2 ? x) ;       y ? sin x ; (2)
2 2

(3) y ? cos( ? x)    y ? ln sin(3x-1) (4) 4

?

? 1、求下列函数的导数:

(1) y ? (2 x ? 3) ; (2) y ? (1 ? 3x) ;
2 3

1 (3) y ? e ; (4) y ? ln x
2x

练习题 1.函数y=(5x-4)3的导数是( C ) (A)y’=3(5x-4)2

(B)y’=9(5x-4)2
(C)y’=15(5x-4)2 (D)y’=12(5x-4)2

2.函数 y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的导数
是( )D

(A)y’=Asin(ωx+φ)

(B)y’=-Asin(ωx+φ)
(C)y’=Aωcos(ωx+φ) (D)y’=-Aωsin(ωx+φ)

3.函数y=sin(x2+1)+cos3x的导数是 (B )

(A)y’=cos(x2+1)-sin3x
(B)y’=2xcos(x2+1)-3sin3x

(C)y’=2xcos(x2+1)+3sin3x
(D)y’=cos(x2+1)+sin3x

4.函数y=(1+cosx)3是由

y=u3, u=1+cosx 两

个函数复合而成.
5.函数y=3sin2x+l在点(π,1)处的切线方 程是 y=1 .

1.3.1 函数的单调性与导数

预习课本P22-P26,完成下列问题
1.在某个区间(a,b)内,

如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在这个区间内
单调 递增 ;

如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在这个区间内
单调 递减 . 2.求单调区间的步骤是什么?单调区间如何书写?

例1、已知导函数 f '( x) 的下列信息:

f 当1<x<4时,'( x) >0; f 当x>4,或x<1时, '( x) <0; f 当x=4,或x=1时, '( x) =0.试画出函数f(x)图象
的大致形状。
y
y=f(x)

临界点
O 1 4 x

练习:寒假作业 P15典例1和P17自主2
答案均为:C

展示例2
补充练习: 求 y ? ln x 的单调区间.

归纳求单调区间的步骤: (1)求定义域; (2)求导函数 y ? f ?(x); (3)解不等式; (4)写出单调区间.

板演课本P26练习1



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