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2015-2016学年高中数学 3.1.1 倾斜角与斜率课件


3.1.1 倾斜角与斜率

3.1.1 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)理解直线倾斜角的唯一性. (3)理解直线斜率的存在性. (4)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 【过程与方法】 引导帮助学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题, 进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决,使 学生不断体会“数形结合”的思想方法.

3.1.1 │ 三维目标

【情感、态度与价值观】 (1)通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关 系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言的表达能 力,数学交流与评价的能力. (2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步 理解数形结合的思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学 生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

3.1.1 │ 重点难点 重点难点
【重点】 直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 【难点】 两点式斜率公式的推导.

3.1.1 │ 教学建议 教学建议
(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,让学生了解确定直 线位置的几何要素可以是一个点与直线的方向或两个点,两个 点可以确定直线的方向,这与“一个点和直线的方向确定一条 直线”是一致的. (2)教学中可通过引导学生讨论倾斜角的范围,刻画直角坐标系 中直线的倾斜程度,使学生感受直线的倾斜角α 的范围是 0°≤α <180°. (3)本小节从一个具体的一次函数与它的图像入手,引入直线的 倾斜角概念,注重了由浅入深的学习规律,并体现了由特殊到 一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角 坐标系中的倾斜角和斜率概念,是进一步研究直线方程的需要.

3.1.1 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 情境导入 珠穆朗玛峰是喜玛拉雅山的主峰,是世界上最高的山峰,海拔 8848.13米,自1953年5月29日英国两名探险队员首次从尼泊尔 境内的南坡登顶成功后,已经有数百人登上了珠峰,而登山的 路径主要有三条,它们的坡度不同,即倾斜度不一样,如果让 你选择登山路径,你选哪一条呢? [解析] 首选坡度小的路径登顶.

3.1.1 │ 新课导入
【导入二】 如图所示,在直角坐标系中,过点P的一条直线绕P点旋转,不 管旋转多少周,它对x轴的相对位置有几种情形?

[解析] 直线与x轴的相对位置关系有三种:平行、垂直、相 交.

3.1.1 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 直线的倾斜角 定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准, x轴正向 与________________ ________ 直线l向上方向 之间所成的角α叫做直线l的倾 直线l与x轴平行或重合 时,我们规定它的 斜角.特别地,当____________________ 倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α < 180°.

3.1.1 │ 预习探究

用运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由 x 轴按逆时 针方向旋转到与直线重合时所转的角,谨记倾斜角的取值范 围是 0°≤α <180°. [ 探究 ] 已知直线的倾斜角,则确定唯一的直线. ( 填 “对”或“错”)( 错 )

3.1.1 │ 预习探究

知识点二 直线的斜率 1.直线斜率的定义 倾斜角 α 的正切值 我们把一条直线的______________________ 叫做这条直 线的斜率.直线的斜率常用小写字母k表示,即 倾斜角 ,但不是所有的直线 k =tanα .所有的直线都有__________ ________ 没有 斜率 ,倾斜角是90°的直线________ 都有________ 斜率.

?

3.1.1 │ 预习探究

(1)倾斜角是 90°的直线没有斜率, 但并不是该直线不存 在,此时,直线垂直于 x 轴. (2)倾斜角 α 与斜率 k 的关系是: k>0 ;当 α k=0 ;当 0<α<90° 当 α=0 时,________ 时,________ =90°时,____________ . k<0 k 不存在 ;当 90°<α<180°时,________

3.1.1 │ 预习探究

2.斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公 y2-y1 k= x2-x1 式是:____________________ . 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1)k 与 P1,P2 的顺序无关,即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中 同时交换 ,但分子与分母不能交换; 的前后顺序可以____________

3.1.1 │ 预习探究

(2) 当 x1 = x2 时 , 公 式 右 边 无 意 义 , 直 线 与 x 轴 90° 垂直 __________ , 倾 斜 角 α = __________ ,直线的斜率 不存在 ; __________ 0 , (3)当 y1=y2 时, 直线与 x 轴____________ 斜率 k=____ 平行或重合 ,

0° ; 直线的倾斜角 α=_______ (4)因为斜率 k 可以由直线上两点的坐标求得,所以求直 线的倾斜角也可以由直线上两点的坐标先求斜率,再由斜率 求倾斜角.

3.1.1 │ 预习探究
[思考] 当倾斜角 α 变化时,斜率 k 是如何变化的?
解:当 0° ≤α<90° 时,随 α 的增大,斜率 k 在[0,+∞)范围 内增大;当 90° <α<180° 时,随 α 的增大,斜率 k 在(-∞,0)范 围内增大.

3.1.1 │ 备课素材 备课素材
1.倾斜角定义解读 (1)倾斜角的定义含有三个条件:①直线向上的方向;②x 轴正方向;③小于平角的非 负角. (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对 x 轴正向的倾斜程度. (3)平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线倾斜 角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.即直线与倾斜角是多对一的映射关系. 2.直线倾斜角与斜率的关系 (1)直线都存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为 90°的直线没 有斜率. (2)直线的倾斜角是一个角(图形),而斜率是一个实数值(数),斜率的绝对值越大,直线 的倾斜程度就越大,直线的倾斜角越接近 90°. (3)不同的倾斜角对应不同的斜率,因此,要确定一条不垂直于 x 轴的直线,只要知道 直线上一个定点和它的斜率即可.

3.1.1 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 求直线的斜率问题
例1 (1)过坐标平面内两点 A(a,b),B(ma,mb)(m≠1,

b a≠0)的直线 l 的斜率为________ . a

3.1.1 │ 考点类析
(2)已知直线 PQ 的斜率为- 3,则将此直线绕点 P 沿顺 时针方向旋转 60°所得的直线的斜率是( 3 A. 3 B.0 C.- 3 D. 3 )

A [解析] 由直线 PQ 的斜率为- 3得直线的倾斜角为 120°,所以绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直线的倾斜角为 60°,斜率为 3.

3.1.1 │ 考点类析

(3)设坐标平面内三点 A(m, -m-3), B(2, m-1), C(-1, 4),直线 AC 的斜率等于直线 BC 的斜率的三倍,求实数 m 的 值.

4-(-m-3) 4-(m-1) 解:由 kAC=3kBC,得 =3· ,解 -1-m -1-2 得 m=1 或 m=2,经验证均符合题意,故 m 的值是 1 或 2.

3.1.1 │ 考点类析

?

考点二
例2

利用直线的倾斜角与斜率解题

已知坐标平面内三点 A(-1,1),B(1,1),C(2, 3

+1).若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点,则直线 CD 的斜率 k 的取值范围为( ) ? 3 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3,+∞? A. ? , 3? B. ?0, ? ∪ ? ? 3? ? 3 ? ? ? ? 3 ? ? C. ? ,+∞? D.[ 3,+∞) ? ? 3 ?

[答案] A

3.1.1 │ 考点类析

例 3 若过点 P(1-a,1+a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角 α 为钝角,求实数 a 的取值范围.

a-1 解: 因为 k=tanα= <0,所以-2<a<1. 2+a

3.1.1 │ 考点类析
【变式】已知直线 l 过点 P(-1,2),且与以 A(-2,- 3),B(3,0)为端点的线段相交,求直线 l 的斜率 k 的取值范 围.

解:易知满足条件的直线 l 的斜率 kl≥kPA 或 kl≤kPB.又 -3-2 0-2 1 因为 kPA= =5,kPB= =-2,所以 kl≥5 或 kl≤- -2+1 3+1 1 2.

3.1.1 │ 备课素材 备课素材
1.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有 时要根据情况分类讨论.分类主要有:①0°角;②锐角;③90°角;④钝角. [例]若直线 l 向上方向与 y 轴的正方向成 30°角,则直线 l 的倾斜角为( A.30° [解析] D B.60° D.60°或 120° 如图 312 所示,直线 l 有两种情况,故 l 的倾斜角为 60°或 120°. C.30°或 150° )

图 312

3.1.1 │ 备课素材
2. 直线倾斜角与斜率的关系: (1)直线的倾斜角 α 与斜率 k 的关系: k=tan α (α≠90°);(2)在 0°<α <90°范围内,k>0 且 k 随着 α 的增大而增大;在 90°< α <180°范围内,k<0 且 k 随着 α 的增大而增大.但在 0°<a<180°范围内,k 并 不随着 α 的增大而增大. [例]直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段有公共点, 则直线 l 斜率的取值范围为________.

图 313 [答案] (-∞,- 3]∪[1,+∞) [解析] 如图 313,∵kAP= ∪[1,+∞). 1-0 3-0 =1,kBP= =- 3,∴k∈(-∞,- 3] 2-1 0-1

3.1.1 │ 当堂自测 当堂自测
1.若直线 x=2 的倾斜角为 α,则 α( π A.等于 0 B.等于4 π C.等于2 D.不存在 )

C

π [解析] 因为直线 x=2 垂直于 x 轴,故其倾斜角为 2 .

3.1.1 │ 当堂自测
2.若过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( ) A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4

A

4-m [解析] 由题意知, =1,解得 m=1. m+2

3.1.1 │ 当堂自测
1 3.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则a 1 +b的值等于________.

1 [答案] 2

3.1.1 │ 当堂自测
4.若直线 AB 与 y 轴的夹角为 60° ,则直线 AB 的倾斜 角为________,斜率为________.

3 3 30°或 150° 3 或- 3 [解析] 如图,直线 AB 的倾斜角为 30°或 150°,其斜 3 3 率为 3 或- 3 .

3.1.1 │ 备课素材 备课素材
一、归纳感悟 1.本节主要题型: (1)已知倾斜角求斜率,该类题目必须注意 α 是否为 90°. (2)已知直线上两点求直线的斜率.若已知两点中的横坐标含有参数,必须注意讨 论,即分类讨论. (3)在解决斜率的取值范围问题时,常采用数形结合,注意该思想的应用. 2.掌握两种求斜率的基本方法: (1)斜率与倾斜角的关系,即 k=tan α (α≠90°). (2)过两点的斜率公式,即 k= 二、下节课预习问题: 1.平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种? 2.两直线平行、垂直的条件. y2-y1 (x ≠x ). x2-x1 1 2



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