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湖北省武汉二中09-10学年高一下学期期末考试(数学)


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湖北省武汉二中 09-10 学年高一下学期期末考试(数学)

一、选择题(5′×10=50′) 1. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n(n-40), 则下列判断正确的是 A. a19>0, a21<0 B. a20>0, a21<0 C. a19<0, a21>0 ( D. a19<0, a20>0 ( D. x+2y-3=0 ( D. 2 条 ( ) ) ) )

2. 直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是 A. x+2y-1=0 B. 2x+y-1=0 C. 2x+y-3=0

3. 与圆 C: x2+(y+5)2=3 相切, 且横、纵截距相等的直线共有 A. 6 条 B. 4 条 C. 3 条

4. 设 a, b 为两条直线, α 、β 为两个平面, 下列四个命题中, 正确的命题是 A. 若 a, b 与α 所成的角相等, 则 a∥b B. 若 a∥α , b∥β , α ∥β , 则 a∥b C. 若 a ? α , b ? β , a∥b, 则α ∥β D. 若 a⊥α , b⊥β , α ⊥β , 则 a⊥b

5. 如图, BC 是单位圆 A 的一条直径, F 是线段 AB 上的点, 且 BF=2FA, 若 DE 是圆 A 中绕圆心 A 运动的一 条直径, 则 FD · FE 的值是 A. - C. - 6. ( )

3 4
1 4

B. -

8 9

D. 不确定

在三棱锥 P-ABC 中, PA⊥平面 ABC, ∠BAC=90°, AB≠AC, D、E 分别是 BC, AB 中点, AC> AD, 设 PC 与 DE 所成的角为 α , PD 与平面 ABC 所成的角为 β , 二面角 P-BC-A 的平面角为γ , 则α 、β 、γ 的大小关系是 A. α <β <γ B. α <γ <β C. β <α <γ ( D. γ <β <α ( ) )

7. 某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 A. B. C. 1 D. 2

1 3 2 3

第 1 页(共 8 页)

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8. 点 P(-2, -1)到直线 l: (1+3λ )x+(1+2λ )y=2+5λ 的距离为 d, 则 d 的取值范围是 ( A. 0≤d< 13 B. d≥0 C. d> 13 D. d≥ 13 )

9. 已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内切球, 则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 ( A. )

?
6

3 4 1 10. 设 a>b>c>0, 则 2a2+ 1 ? -10ac+25c2 的最小值是 ab a(a ? b)
A. 2 B. 4 C. 2 5

B.

?

C.

?

D.

6π 6
( )

D. 5

二、填空题(5′×5=25′) 11. 过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦长为 12. 已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为 90°半径为 4 的扇形, 则圆锥的体积为 . .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 13. 设 x, y 满足的约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 , 若目标函数 z=abx+y 的最大值为 8, 则 a+b 的最小值 ? x ? 0, y ? 0 ?
为 .ab 均大于 0.

14. 设直线系 M: x cosθ +(y-2)sinθ =1(0≤θ <2π ), 下列四个命题中: ①存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上; ②M 中所有直线均经过一个定点; ③对于任意整数 n(n≥3), 存在正 n 边形, 其所有边均在 M 中的直线上; ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).

15. 如图所示, C 是半圆弧 x2+y2=1(y≥0)上一点, 连接 AC 并延长至 D, 使|CD|=|CB|, 则当 C 点在半圆弧上从 B 点移动至 A 点时, D 点所经过的路程为 三、解答题(75′) 16.(本小题 12 分) 在△ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 且 tanA= (1) 求 tanC 的值; 第 2 页(共 8 页) .

1 , sinB= 10 . 2 10

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(2) 若△ABC 最长的边为 1, 求 b.

17. (本小题 12 分) 已知两条直线 l1: ax-by+4=0 和 l2: (a-1)x+y+b=0, 求满足下列条件的 a, b 的值. (1) l1⊥l2, 且 l1 过点(-3, -1); (2) l1∥l2, 且坐标原点到这两条直线的距离相等.

18. (本小题 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形, PA⊥底面 ABCD, PA=2,
P

∠PDA=45°, 点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点. (1) 求证: AF∥平面 PCE; (2) 求证: 平面 PCE⊥平面 PCD;
E A C D F

(3) 求 AF 与平面 PCB 所成的角的大小.

B

19. (本小题 12 分)已知: 以点 C (t, O 为原点.

2 )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A, 与 y 轴交于点 O, B, 其中 t

(1) 求证:△OAB 的面积为定值; (2) 设直线 y = –2x+4 与圆 C 交于点 M, N, 若 OM = ON, 求圆 C 的方程.

20. ( 本 小 题 13 分 ) 如 图 所 示 , PQ 为 平 面 ?、? 的 交 线 , 已 知 二 面 角 ? - PQ - ? 为 直 二 面 角 ,
A ? PQ, B ?? , C ? ? , CA ? CB ? kAB(k ? R*) , ∠BAP=45°.

(1) 证明: BC⊥PQ; (2) 设点 C 在平面 ? 内的射影为点 O, 当 k 取何值时, O 在平 面 ABC 内的射影 G 恰好为△ABC 的重心? (3) 当 k ?
6 时, 求二面角 B-AC-P 的大小. 3

第 3 页(共 8 页)

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21. (本小题 14 分) 已知 f ( x)( x ? R, x ? ) 满足 ax·f(x)=2bx+f(x), a≠0, f(1)=1 且使 f ( x) ? 2 x 成立的实数 x 有且只有一个. (1)求 f ( x) 的表达式;

1 a

2 a (2)数列 {an } 满足: a1 ? , an?1 ? f (an ), bn ? n (n ? N *) , 证明: {bn } 为等比数列. 3 1 ? an
(3)在(2)的条件下, 若 cn ? 求证: Sn ?

1 (n ? N *), Sn ? c1 ? c2 ? bn ? (?1) n

? cn ,

3 (n ? N *) 2

第 4 页(共 8 页)

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参考答案
一、选择题(本题包括 10 小题,每小题只有一个选项符合题意。每小题 5 分,共 50 分) 1 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 B 6 A 7 C 8 A 9 0 A B

二、填空题(本题包括 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 2 3 三、解答题 16. 解(1)∵sinA= 12.

15 π 3

13.

4

14. ①③

15.



5 3 10 >sinB, ∴∠A>∠B, ∴∠B 为锐角. ∴cosB= 5 10

? tan B ?

sin B 1 ? , cos B 3

1 1 ? tan A ? tan B 2 3 ? ?1 ? tan C ? tan ?? ? ( A ? B)? ? ? tan( A ? B) ? ? ?? 1 1 1 ? tan A ? tan B 1? ? 2 3
(2)由(1)知 C 为钝角, C 是最大角,最大边为 c=1,

tan C ? ?1,? C ? 135?,? sin C ?

2 , 2
1? 10 10 ? 5 5 2 2

c sin B b c ? ? 由正弦定理: 得b ? sin B sin C sin C
?a ? ?a ? 2 ? 3 (2) ? 或? ?b ? ?2 ? 2 ?b ? 2

17. (1)

?a ? 2 ? ?b ? 2

18. 证明: (1)取 PC 的中点 G,连结 FG、EG,∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG // ∵四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点 ∴AB //
1 CD 2

1 CD 2
P

∴FG // AE ∴四边形 AEGF 是平行四边形 ∴AF∥EG

F

又 EG ? 平面 PCE,AF ? 平面 PCE ∴AF∥平面 PCE
E

A C

D

(2)∵ PA⊥底面 ABCD ∴PA⊥AD,PA⊥CD,又 AD⊥CD,PA ? AD=A ∴CD⊥平面 ADP ,又 AF ? 平面 ADP 直角三角形 PAD 中,∠PDA=45° 第 5 页(共 8 页) ∴CD⊥AF

B

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∴△PAD 为等腰直角三角形

∴PA=AD=2

∵F 是 PD 的中点,∴AF⊥PD,又 CD ? PD=D ∴AF⊥平面 PCD ∵AF∥EG ∴EG⊥平面 PCD

又 EG ? 平面 PCE 平面 PCE⊥平面 PCD (3)过 E 作 EQ⊥PB 于 Q 点, 连 QG, CB⊥面 PAB

?CB ? EQ ∴? ? QE⊥面 PCB, 则∠QGE 为所求的角. ? PB ? EQ
S△PEB=

1 BE·PA= 1 PB·EQ EQ= 1 ? 2 2 2

在△PEC 中, PE=EC= 5 , G 为 PC 的中点, ∴EG= 2 , 在 Rt△EGQ 中, sin∠EGQ= ∴∠EGQ=30° 19. 解: (1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?
2 2

QE 1 ? EG 2

4 . t2 2 2 4 2 2 设圆 C 的方程是 ( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ? 2 …………2 分 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值. 2 2 t

(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .

? k MN ? ?2,? k oc ? ?

1 1 ,? 直线 OC 的方程是 y ? x . 2 2

2 1 ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 t 2

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

9 5

? 5,

圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点.当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) ,

OC ? 5 ,
此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交, 第 6 页(共 8 页)

9 5

? 5

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? t ? ?2 不符合题意舍去. ? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5
20. (1)在平面 ? 内过点 C 作 CE⊥PQ 于点 E, 由题知点 E 与点 A 不重合, 连接 EB.
? ? ? ,? ? ? PQ,?CE ? ? , 即点 C 在平面 ? 内的射影为点 E,

1 13 3 1 37 所以 E? ? 0 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 5 30 10 15 15

又 CA ? CB,? EA ? EB .
?B A E?4 5 ?, ? ? ABE? 45 ? , ? AEB? 9 , 0 故? BE⊥PQ, 又

CE ? PQ , ? PQ ? 平面EBC ,

BC ? 平面 EBC, 故 BC⊥PQ.

(2)由(1)知, O 点即为 E 点, 设点 F 是 O 在平面 ABC 内的射影, 连 接 BF 并 延长交 AC 于点 D, 由题意可知, 若 F 是△ABC 的重心, 则点 D 为 AC 的中点.
BO ? PQ , 平面角 ? ? PQ ? ? 为直二面角, ? BO ? ? ,? OB ? AC , 由三垂线定理可

知 AC⊥BF, 即 AC⊥BD, ?AB ? BC ? AC , 即 k=1;反之, 当 k=1 时, 三棱锥 O—ABC 为正三棱锥, 此时, 点 O 在平面 ABC 内的射影恰好为△ABC 的重心. (3)由(2)知, 可以 O 为原点, 以 OB、OA、OC 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系 O—xyz(如图所示) 不妨设 AB ? 6 , 在 Rt△OAB 中, ∠ABO=∠BAO=45°, 所以 BO=AO= 3 , 由 CA=CB=kAB 且
k? 6 得, AC=2, ?OC ?1 , 则 O(0,0,0), B( 3,0,0), A(0, 3,0), C(0,0,1) . 3

所以 AB ? ( 3, ? 3,0), AC ? (0, ? 3,1)
? ? ? 3x ? 3 y ? 0 ?n ? AB ? 0 设 n1 ( x, y, z ) 是平面 ABC 的一个法向量, 由 ? 1 得? ? ?? 3 y ? z ? 0 ?n1 ? AC ? 0 ?

取 x=1, 得 n1 ? (1,1, 3) 易知 n2 ? (1,0,0) 是平面 ? 的一个法向量, 设二面角 B-AC-P 的平面角为 ? , 所以 cos? ?
5 . 5
n1 ? n2 1 5 ? ? , 由图可知, | n1 | ? | n2 | 5 ?1 5

二面角 B-AC-P 的大小为 arccos 21. (1)f(x)=

? f ?1 ?2b ? a ? 1 ?a ? ?1 2bx ∴ ? 1 ?? ? f ( x) ? 2 x ?? ? 2 bx ax ? 1 ? x ?1 b ? ? 1 ? 2 x仅有一根 ?b ? 1 ? 0 ? ? ax ? 1

(2)bn+1=2bn ∴{bn}是首项为 2, 公比为 2 的等比数列;

第 7 页(共 8 页)

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(3)bn=2n

Cn=

1 2 ? ( ?1) n
n

2 2 k ? 2 2 k ?1 2 2 k ? 2 2 k ?1 1 1 < 2 k 2 k ?1 ? 2 k ? 2 k ?1 2 k ?1 2k 2 ?1 2 ?1 2 ? 2 ? 2 ?1 2 ?2 2 2 ∴n 为奇数时, Sn=C1+(C2+C3)+…+(Cn-1+Cn)<1+ 1 ? 1 ? ... ? 1 2 3 2 2 2n
C2k+C2k+1=

1

2k

?

1

2 k ?1

?

2k

1 (1 ? 1 ) 4 2 n ?1 = 3 ? 1 < 3 =1+ 2 2 2n 1? 1 2
n 为偶数时, Sn<Sn+1< 综合以上, Sn<

3 2

3 2

第 8 页(共 8 页)


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