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数列高考知识点归纳(非常全!)


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数列基本概念 数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将 数列分类: 依定义域分为:有穷数列、无穷数列; 依值域分为:有界数列和无界数列; 依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。 数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法) ; 数列通项: an 2、等差数列 1、定义 当 n ? N ,且 n

? f (n)

王新敞
奎屯

新疆

?2

时,总有

an?1 ? an ? d ,(d常) ,d 叫公差。

2、通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d an ? dn ? (a1 ? d ) 是 n 的一次函数,其图象是以点 (1, a1 ) 为端点,
斜率为 d 斜线上一些孤立点。

1) 、从函数角度看 2) 、从变形角度看 又 an

an ? an ? (n ? 1)?d , )即可从两个不同方向认识同一数列,公差为相反数。 (

? a1 ? (n ?1)d , am ? a1 ? (m ?1)d , an ? am ? (n ? m)d ,即 an ? am ? (n ? m)d . am 为第一项, an 是第 n-m+1 项,公差为 d;

相减得

若 n>m,则以 若 n<m ,则

am 以为第一项时, an 是第 m-n+1 项,公差为-d.
? aq ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d
? an ? a p ? aq ? 2ar .
, am

3) 、从发展的角度看 若 {an } 是等差数列,则 ap 如下命题:在等差数列中,若 m ? n ? 3、前 n 项和公式 由

? an ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d ,

因此有

p ? q ? 2r

, 则 am

Sn ? a1 ? a2 ? ?? an , Sn ? an ? an?1 ? ?? a1 ,
a1 ? an n, 2
还可表示为 S n 可得

相加得

Sn ?

? na1 ?

n(n ? 1) d , (d ? 0) ,是 n 的二次函数。 2

特别的,由 a1 ? a2n?1

? 2an

S2n?1 ? (2n ?1)an 。

3、等比数列 1、 定义 当 n ? N ,且 n

?2

时,总有

an ? q(q ? 0) an?1

, q 叫公比。 1

2、通项公式:

an ? a1qn?1 ? amqn?m ,

在等比数列中,若 m ? n ?

p ? q ? 2r

, 则 am ? an

? ap ? aq ? ar 2 .

3、前 n 项和公式: 由

Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , qSn ? a2 ? a3 ? ?? an ? an?1 ,
q ? 1 时, S ?

两式相减,



a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? ,(q ? 1) 1? q 1? q

;当 q

? 1时

, sn

? na1



关于此公式可以从以下几方面认识: ①不能忽视 S

?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q 1? q

成立的条件: q

? 1 。特别是公比用字母表示时,要分类讨论。②公式推导过程中,

所使用的“错位相消法” ,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。 如,公差为 d 的等差数列 {an } , Sn 相减得

? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn

,则 xSn

? a1x2 ? a2 x3 ?? an?1xn ? an xn?1 ,

Sn (1 ? x) ? a1x ? dx2 ? ?? dxn ? an xn?1 ,



x ? 1 时, Sn (1 ? x) ? a1 x ? ?1时
, Sn

a x ? an x n?1 dx 2 (1 ? x n?1 ) dx(1 ? x n?1 ) ? an x n?1 , Sn ? 1 ? 1? x 1? x (1 ? x)2
n(n ? 1)d 2


当x

? a1 ? a2 ? ? ? an ? na1 ?

3)从函数角度看

Sn 是 n 的函数,此时 q 和 a1 是常数。

4、等差与等比数列概念及性质对照表 名称 定义 等差数列 等比数列

an?1 ? an ? d ,(d常) an?2 ? an?1 ? an?1 ? an (n ? N*)

an ?1 a a ? q, (q常) , n? 2 ? n?1 (n ? N *) an an?1 an

通项 公式

an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d
变式: a1

an ? a1q n?1 ? am q n?m .

? an ? (n ?1)d

性质

m ? n ? p ? q ? 2r ? am ? an ? a p ? aq ? 2ar .

m ? n ? p ? q ? 2r ? am ? an ? a p ? aq ? (ar )2 .
(q ? 1可逆)

(d ? 0可逆)
中项

m ? n ? 2r ? am ? an ? 2ar .

m ? n ? 2r ? am ? an ? (ar )2 .
a1 ? 0, q ? 1 或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 增;
2

单调性

d ? 0时



d ? 0时 d ? 0时

常数列 减

a1 ? 0, q ? 1 或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 时减;
q ? 1 时常数列, q ? 0 时摆动数列

前 n 项 和

a ?a Sn ? 1 n n 2 n(n ? 1) ? na1 ? d , (d ? 0) 2
(推导方法:倒加法)

a1 (1 ? q n ) 1? q a ?a q ? 1 n , (q ? 1) 1? q S?
(推导方法:错位相消法)

sn ? na1 (d ? 0)
结论 1、

sn ? na1 (q ? 1)
,则 子

{an } 等差,公差 d
kd ;

{kan ? b} 等差

*

公差 列

{an } 等比,

公比 q,则 {kan } 等比, 公比 q ; {an

2

}

等比 ,公比

ak , ak ?m , ak ?2m ,?, ak ?nm ,(m ? N ) 等差,公
差 md; 若 {kn } 等差 , 公差 d1 , {ak 则 公差 d1 ? d 。 2、

q2 ; { an } 等 比 , 公 比 q
;
d

。子数列

a2 , a4 , a4 ,?a2n 等比,公比 q2
} 等差, n
公差 d, 则 {ak
n

若 {kn } 等差, 。

} 等比

, 公比为 q

{an } 等差,公差
2d;

d

则 {an

? an?1} 等差,公差
公差 3d.

{an } 等 比 ,

公比 q , 则

{an?1 ? an ? an?1} 等差,

?1? 1 ? ? 等比,公比 q ? an ?
, 公 比

;

Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k ? 等 差 ,
且 S3k

{an?1 ? an ? an?1}
公差 k
2





q3



d

,

? 3(S2k ? Sk ). 即连续相同个数的和成

{an?1 ? an ? an?1} 等比,公比 q;
(当 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k ?等比,公比 qk , 为偶数时, q
k

等差数列。

k

。 ? 0)

3、

{an } 等差.公差 d ?

an ? am . n?m

Sm ? Sn ? Sm?n ? 0.

{an } 等比,公比 q ? n ? m

an . am

Sn ? m, Sm ? n ? S ? ?(m ? n).
4、 等差 {an } 共 2n 项,则

Q偶 ? Q奇 ? (a1 ? a3 ? ?a2n?1 )(q ?1)

Q偶 ? Q奇 ? nd ,

Q偶 Q奇

?

an an ?1

a1 (1 ? q 2 n ) = 1? q
Q偶 Q奇 ? a2 ? a4 ? ? a2 n ? q. a1 ? a3 ? ? a2n?1

等差 {an } ,共 2n+1 项,则

3

Q奇 ? Q偶 ? an?1 (中),

Q偶 Q奇

?

n ; n ?1

5、

{an } 等差 ? an ? an?1 ? d
? Sn ? a1 ? an n 2

{an } 等比,

公比 q ? an

? a1qn?1

? Sn ?

? Sn ? An2 ? Bn ? an ? kn ? b
S ? an ? 2 n ?1 . 2n ? 1
联系 1、 各项不为 0 常数列,即是等差,又是等比。

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q 1? q

? Sn ? an ?1,(a ? 0, a ? 1).

2、 通项公式 3、

an ? {

S1 ,( n ?1) Sn ? Sn?1 ,( n? 2)

.

{an } 等差,公差 d, c ? 0, c ? 1 ,

则c

a1

, ca2 ?can ,即 {c an } 等比,公比 c d .

4、

公比 {an } 等比, q, an ? 0 (a ? 0, a ? 1) , loga a1 ,loga a2 ,?loga an , 即 {loga an } 等差,公差 log a q .

5、

{an } 等差, {bn } 等比,

则 {an ? bn } 前 n 项和求法,利用错位相消法

6、

求和方法:公式法,倒加法,错位相消法,裂项法,累加法,累积法,等价转化法等。

5、递推数列

表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数,数列可用递推式表示。求递推数列通项公

式常用方法:公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的,累加法是求形如

an?1 ? an ? f (n) 递推数列的基本方法,其中数列
递推数列通项公式

{ f (n)} 可求前

n 项和,即

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ;累乘法是求形如 an?1 ? g (n) ? an
a a2 a3 ? ? n , (a ? 0) . a1 a2 an?1

的基本方法,其中数列

{g (n)} 可求前 n 项积,即 an ? a1 ?

第一节 题根一

等差数列的概念、性质及前 n 项和

等差数列{an}中, a6

? a9 ? a12 ? a15 ? 20
?

,求 S20 :

[思路]等差数列前 n 项和公式 S n

(a1 ? an )n n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

1、 由已知直接求 a1 ,公差 d. 2、 利用性质 m ? n ? [解题 ] 由 a6

p ? q ? am ? an ? a p ? aq
, a6

? a9 ? a12 ? a15 ? 20

? a15 ? a9 ? a12 ? a1 ? a20

,得

2 (a1 ? a 2 0 )? 2 , 0

4

? a1 ? a20 ? 10 ,? S n ?

(a1 ? a20 ) ? 20 ? 100 。 2

[收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。

[请你试试 1——1] 1、 等差数列{an} 满足 a1 ? a2 A、

? ? ? a101 ? 0 a2 ? a 1 0 0 0 ?

,则有 (



a1 ? a101 ? 0

B、

C、

a3 ? a 9 9? 0

D、

a51 ? 51

2、 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求

S13 。

第1变 [变题 1] 等差数列{an}共 10 项, a1 ? a2 [思路] [解题]

求和方法——倒序相加法

? a3 ? a4 ? 20

, an

? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 60 ,求 Sn.

已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想 Sn 公式推导方法。 已知 a1 ? a2 又

? a3 ? a4 ? 20 , an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 60 ,
(a1 ? an ) ? n 20 ? ?10 ? 100 , 2 2

4(a1 ? an ) ? 80 ,得 a1 ? an ? 20 ,? Sn ?

[收获] 1、重视倒加法的应用,恰当运用通项性质: m ? n ?

p ? q ? am ? an ? a p ? aq ,快捷准确;

3、 求出 a1 ? an 后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。

[请你试试 1——2] 1、 等差数列{an}共 2k+1 项,所有奇数项和为 S奇 ,所有偶数项和为 S偶 ,求 2、 等差数列{an}前 n 项和为 18 ,若

S奇 : S偶

的值。

S3 ? 1 , an ? an?1 ? an?2 ? 3 ,

求项数 n .

3、 求由 1,2,3,4 四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。 4、 求和

S n ? C n ? 2C n ? ? ? nC n 。
1 2 n

第2变

已知前 n 项和及前 m 项和,如何求前 n+m 项和

[变题 2] 在等差数列{an}中,Sn=a,Sm=b,(m>n),求 Sn+m 的值。

[思路] [解题] 即

Sn , Sm , Sm?n 下标存在关系:m+n=m+n,
由 Sn=a,Sm=Sn+a n+1+an+2+??+am=b

这与通项性质

m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq 是否有关?

得 a n+1+an+2+??+am =b-a, 得

an ?1 ? am ( m ? n) ? b ? a 2 ?



an ?1 ? am b ? a ? 2 m?n

由(n+1)+m=1+(n+m), 故 S m? n

得 an+1+am=a1+am+n

a1 ? am ? n a ?a b?a (m ? n) ? n ?1 m (m ? n) ? (m ? n). 2 2 m?n
5

[请你试试 1——3] 1、在等差数列{an}中, S6 2、在等差数列{an}中, S3

? 15 , S9 ? 55 ,求 S15 ? 1 , S9 ? 3 ,求 S12




第3变 [变题 3]

已知已知前 n 项和及前 2n 项和,如何求前 3n 项和

在等差数列{an}中, S10

? 20 , S20 ? 40 ,求 S30 ? S10 , S30 ? S20 之间的关系。

[思路]

由 S10 , S20 , S30 寻找 S10 , S20 设数列{an}公差为 d , S10 ?

[解题]

? a1 ? a2 ? ? ? a10 , S20 ? S10 ? a11 ? a12 ? ? ? a20 ,S30 ? S20 ? a21 ? a22 ? ? ? a30 ,

?(S20 ? S10 ) ? S10 ? 10 ?10d , (S30 ? S20 ) ? (S20 ? S10 ) ? 10 ?10d ,
所 以

S10 , S20 ? S10 , S30 ? S20

成 等 差 数 列 , 公 差

100d

,

于 是

2(S20 ? S10 ) ? S10 ? (S30 ? S20 )

, 得

S30 ? 3(S20 ? S10 ) ? 3? 20 ? 60 。
[ 收 获 ] 1 、 在 等 差 数 列 {an} 中 ,

S1 0, S 2 0 S10 , S 3? S20 ? 0

成等差数列,即

a1 ? a2 ? ? ? a10



a11 ? a12 ? ? ? a20



a21 ? a22 ? ? ? a30 ,??,成等差数列,且 S30 ? 3(S20 ? S10 ) 。
3、 可推广为

S5n ? 5(S3n ? S2n ) , S7 n ? 7(S4n ? S3n ) ,??, S(2k ?1) n ? (2k ?1)[Skn ? S(k-1)n ] 。
[请你试试 1——4]

1、在等差数列{an}中, a1 ? a2 2、在等差数列{an}中, a1 ? a2 3、在等差数列{an}中, S10 4、数列{an}中, Sn

? 3 , a3 ? a4 ? 6 ,求 a7 ? a8 ? ? ? a10 ? 10 , a11 ? a12 ? ? ? a20 ? 20 ,求 a31 ? a32 ? ? ? a40

? 20 , S20 ? 30 ,求 S50 及 S100 。

? a , S2n ? b ,求 S3n 。
? 25
,后 2k 项和

5、等差数列{an}共有 3k 项,前 2k 项和 S2k

? S2k ? 75 ,求中间 k 项和 S中 。

第 4 变 迁移变换 重视 Sx=Ax2+Bx 的应用 [变题 4] 在等差数列{an}中,Sn=m,,Sm=n,(m>n),求 Sn+m 的值。

[思路] 等差数列前 n 项和公式是关于 n 的二次函数,若所求问题与 a1 , d 无关时,常设为 S=An2+Bn 形式。 [解题] 由已知可设 两式相减 ,得 Sn=An2+Bn=m Sm=Am2+Bm=n , 又 m>n , 所以

A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n ,

A(n ? m) ? B ? ?1,




Sm?n ? A(m ? n )2 ? B m ? n ? m ? n A [m ? n ? B ? ?] m ? ( ( ) ( ) ( ) n

)

[收获] “整体代换”设而不求,可以使解题过程优化。 6

[请你试试 1——5] 1、 在等差数列{an}中, S12 2、 在等差数列{an}中, Sm 3、 在等差数列{an}中, a1

? 84 , S20 ? 460 ,求 S32
,求 S m+n ? Sn ,(m ? n) ,

? 0 , S10 ? S15 ,求
第5变

当 n 为何值时, Sn 有最大值

归纳总结,发展提高

[题目] 在等差数列{an}中,Sn=a,Sm=b,(m>n),求 Sn+m 的值。 (仍以变题 2 为例) 除上面利用通项性质 m ? n ? 1、 基本量求解:

p ? q ? am ? an ? a p ? aq 求法外,还有多种方法。现列举例如下:

n(n ? 1) m(m ? 1) d ? a, S m ? ma 1 ? d ?b, 2 2 m ? n ?1 (m ? n)( m ? n ? 1) d ] ? a ? b , S m ? n ? (m ? n)a1 ? d 相减得 ( n ? m)[ a1 ? 2 2 (m ? n)( a ? b) 代入得 S m ? n ? 。 n?m
由 Sn

? na1 ?

2、利用等差数列前 x 项和公式 Sx=Ax2+Bx 求解 由 Sx=Ax2+Bx,得 两式相减 ,得 即 Sn=An2+Bn, Sm=Am2+Bm

A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b

A(n ? m) ? B ?

a ?b n?m

故 Sm?n

? A(m ? n) 2 ? B(m ? n) ?

n?m ( a ? b) n?m

3、利用关系式

Sn ? An ? B 求解 n




Sn ? An ? B n

Sn n

与 n 成线性关系,从而点集{(n,

Sn n

)}中的点共线,即(n,

Sn n

),

sn sm sm?n sn sm ? n a a b ? ? ? ? Sm S m? n n m ? m?n n (m, ),(m+n, )共线,则有 , 即 n m ? m?n n m?n m n?m m?n?n n?m m n ma ? nb na ? nb n?m sm ? n ? ?a ? ( a ? b) . 化简, 得 , 即 sm ? n ? m?n n?m n?m n?m
4、利用定比分点坐标公式求解 由 A(n,
?



Sn n

), B(m,

Sm m

), P(m+n,

S m? n m?n

?

) 三 点 共 线 , 将 点 P 看 作 有 向 线 段

AB

的 定 比 分 点 , 则

??

AP
?

?

PB
即 sm ? n

m?n?n m ?? m ? ( m ? n) n

sn m s a b ? (? ) m ? sm ? n n n m ? n n ? a ?b , ,可得 ? m m n?m m?n 1 ? (? ) 1? n n

?

n?m ( a ? b) . n?m
[请你试试 1——6]

若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S2=3,S6=4 ,则 S12______. 7

第二节 题根二 等比数列{an} ,

等比数列的概念、性质及前 n 项和

a5 ? 4, a7 ? 6 ,

求 a9 。

[思路] 1、由已知条件联立,求,从而得 2、由等比数列性质,知成等比数列。 [解题 1] 由

a5 ? a1q4 ? 4, a7 ? a1q6 ? 9 ,

两式相除,得

q2 ?

3 3 2 ,? a9 ? a7 q ? 6 ? ? 9 。 2 2

[解题 2] 由 a5 , a7 , a9 成等比,得

a9 ?

a7 2 62 ? ? 9。 a5 4

[收获] 1、灵活应用性质,是简便解题的基础; 2、等比数列中,序号成等差的项,成等比数列。 [ 请你试试 2 ——1]

等比数列{an} ,

a1 ? 0, q ? 2 ,若 a1 ? a2 ? a3 ?? a30 ? 230 ,则 a3 ? a6 ? a9 ?? a30 ? _______。
第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列

[变题 2] 等比数列{an} , a1 ? a2

? a3 ? 2, a4 ? a5 ? a6 ? 6 ,求 a10 ? a11 ? a12 。

[思路] 等比数列中,连续若干项的和成等比数列。 [解题] 设 b1

? a1 ? a2 ? a3 , b2 ? a4 ? a5 ? a6 ,??, b4 ? a10 ? a11 ? a12 , ? 2, q ? 3 ,?b4 ? b1q3 ? 2 ? 33 ? 54 ,即 a10 ? a11 ? a12 ? 54 。
q ? ?1
时, Sk , S2k

则 {bn } 是等比数列, b1 [收获] 等比数列{an} , 当 k 为偶数时, q
k

? Sk , S3k ? S2k ,??

成等比数列,但总有 Sk

? (S3k ? S2k ) ? (S2k ? Sk )2



? 0 恒成立。
[请你试试 2——2]

1、等比数列{an} , 2、等比数列{an} ,

q ? ?1 q ? ?1

时, S2 时, S2

? 2, S4 ? 6 ,求 S6 。 ? 1, S6 ? 21 ,求 S4 。

第2变 [变题 3] 等比数列{an} 中, [思路]

S3 , S9 , S6 成等差,则 a3 , a9 , a6 成等差


S3 , S9 , S6 成等差,则 a3 , a9 , a6 成等差

S3 , S9 , S6 成等差,得 S3 ? S6 ? 2S9 ,要证 a3 , a9 , a6 等差,只需证 a3 ? a6 ? 2a9 。 S3 , S9 , S6 成等差,得 S3 ? S6 ? 2S9 , ? 3a1 , S6 ? 6a1 , S9 ? 9a1
, 由

[解题]由

当 q=1 时, S3

a1 ? 0



S3 ? S6 ? 2 S9,? q ? 1 。
8

由 S3

? S6 ? 2S9 ,



a1 (1? q3 ) a (1 q ) ? 6 1 ? ? 1? q 1? q

2 ? 9 ) a (1 q 1 , 1 q ?

整理得

, q3 ? q6 ? 2 q9 ? q ? 0 ,得 1 ? q3 ? 2q6 ,

两边同乘以

a3 ,



a3 ? a6 ? 2a9 ,即 a3 , a9 , a6

成等差。

[收获] 1、等比数列{an} 中, S3 , S9 , S6 成等差,则 2、等比数列{an} 中, Sn , Sm , Sk 成等差,则

a2 , a8 , a5 成等差。
(其中 m ? d , n ? d , k ? d ? N
* *

an?d , am?d , ak ?d

,d ?Z

)成等差

3、等比数列{an} 中, an , am , ak 成等差,则 an?d , am? d , ak ? d (其中 m ? d , n ? d , k ? d ? N

, d ? Z )成等差。

[请你试试 2——3] 1、 等比数列{an} ,

q ? 1 , a3 , a5 , a6

成等差, 求 a11 ? (a9

? a10 ) 的值。

2、等比数列{an} , a1 , a7 , a4 成等差,求证

2S3 , S6 , S12 ? S6 成等比。

第3变 [变题 4]数列 {an } 中, a1

{Sn } 是等比, {an } 也是等比数列 ?0
,欲证 且

S1 , S2 ,?, Sn ,? ,是等比数列,公比
an an ?1
为常数。

q (q

? 1 ),求证 {an } ( n ? 2 )

也是等比数列。

[思路]

? an ? Sn ? Sn?1

{an } 为等比数列,只需证

[ 解题]

? an ? Sn ? Sn?1 , an?1 ? Sn?1 ? Sn

, (

n ? 2 ),



an ?1 Sn ?1 ? Sn ? an Sn ? Sn ?1

,而

Sn ? Sn?1 ? q , Sn?1 ? Sn?1 ? q2 ,

?

an?1 Sn?1 ? q(q ? 1) ( ? ?q, n?2 an Sn?1 (q ? 1)
第4变 问题

), 故 {an } 从第二项起,构成等比数列,公比为 q 。

等比数列在分期付款问题中应用

顾客购买一售价为 5000 元的商品时,采用分期付款方法,每期付款数相同,购买后 1 个月付款一次,到第 12 次付款后全

部付清。如果月利润为 0.8%,每月利息按复利计算,那么每期应付款多少?(精确到 1 元) 分析一:设每期应付款 x 元,则 第 1 次付款后,还欠 第 2 次付款后,还欠 ???? 最后一次付款后,款已全部还清,则 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x(1+0.8%)10-??-x(1+0.8%)-x=0 , 5000(1+0.8%)-x(元) [5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)

第 3 次付款后,还欠 {5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)

移项 5000(1+0.8%) =x(1+0.8%) +x(1+0.8%) +??+x(1+0.8%)+x

12

11

10

, 即

1 ? 1.00812 x? ? 5000 ?1.00812 1 ? 1.008

9

算得

x?

5000 ?1.00812 ? (1.008 ? 1) ? 438.6 (元) 1.00812 ? 1
m

一般地,购买一件售价为 a 元的商品,采用分期付款时,要求在 m 个月内将款还至 b 元,月利润为 p,分 n(n 是 m 的约数)次

[a(1 ? p)m ? b][(1 ? p) n ? 1] 付款,那么每次付款数计算公式为 x ? (1 ? p)m ? 1
的利息,第二次还的钱应计算 10 月的利息??,于是得方程 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x(1+0.8%)10+??+x(1+0.8%)+x, 分析三:设每次还款 x 元,把还款折成现在的钱,可得 解得 x

.

分析二:设每月还款 x 元,将商家的 5000 元折算成 12 个月后的钱要计算 12 个月的利息,而顾客第一次还的钱也应计算 11 个月

? 438.6 (元)

5000 ?

x x x ? ??? 2 1 ? 0.8% (1 ? 0.8%) (1 ? 0.8%)11

, 解得

x ? 4 3 8 . (元) 6 。

将上述方法应用到其他实际问题中,如木材砍伐,人口增长等。

[请你试试 2——4] 某地现有居民住房的总面积为 a m2, 其中需要拆除的旧住房面积占了一半。 当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况 下, 仍以 10%的住房增长率建设新住房。 如果 10 年后该地的住房总面积正好比目前翻一番, 那么每年应拆除的旧住房总面积 x 是多少? (取 1.110 为 2.6) 第三节 [题根 3] 求分数数列 常见数列的通项及前 n 项和

1 1 1 , , ,? 的前 n 项和 Sn 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

[思路] 写出数列通项公式,分析数列特点:分母中两因数之差为常数 1。 [解题] 数列通项公式

an ?

1 1 1 ,亦可表示为 an ? ? n n ?1 n(n ? 1)



所以 [收获]

1 1 1 1 1 1 n Sn ? 1 ? ? ? ? ? ? ?1? ? 。 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

将数列每一项裂为两项的差,再相加,使得正负抵消。 第1变 分母中两因数之差由常数 1 由到 d

[变题 1]

求分数数列

1 1 1 , , ,? 的前 n 项和 Sn 。 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

[思路] 写出通项公式,裂项求和。 ,

[解题]

? an ?

1 1 ? 1 1 ? ? ?? ? ?, (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 ? 1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? n 。 ? Sn ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2 ? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1
[收获]1、求分数数列的前 n 项和 Sn 时,将数列每一项裂为两项的差,称裂项法。 2、用裂项法可求解: (1) 若 {an } 为等差数列, an

? 0, k ? 1, 2,? ,公差为 d,则
10

1 1 1 1 n ? ? ?? ? ? a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a4 an ? an?1 a1 ? an?1

.

3、常见裂项法求和有两种类型:分式型和根式型。如分式型 an

?

1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? n(n ? 3) 3 ? n n ? 3 ?



根式型

an ?
m

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n
m



1 1 ? ( a ? b) a ? b a ?b

。 另 外 还 有 : nn!=(n+1)!-n! ,

C

m ?1 n

? C n ?1 ? C n



[请你试试 1、求分数数列

3——1]

1 1 1 1 , , , ,? 的前 n 项和 Sn 2 6 12 20 1 1 1 1 , 2 , 2 , 2 ,? 的前 n 项和 Sn 。 2、求分数数列 2 1 ? 2 2 ? 4 3 ?6 4 ?8 8 ?1 8 ? 2 8 ? 3 8 ? 4 2、 求分数数列 2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 ,? 的前 n 项和 Sn 。 1 ?3 3 ?5 5 ?7 7 ?9
第 2 变 分母中因数由 2 到 3 [变题 2] 求分数数列

1 1 1 , , ,? 的前 n 项和 Sn 。 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5

[思路] 数列中的项的变化:分母因数由两个变为三个,是否还可裂项呢? [解题] 由 an

?

? 1 1 ? 1 1 ? ?? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ?





? 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? ? ?( ? )?( ? ) ??? ? 2 ? 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ? ? 1 ? 1 1 n(n ? 3) 。 ? ?? ? ?? 2 ? 1? 2 (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)(n ? 2)

[收获] 1、分母为连续三因数的积,仍拆为两项的差,再相加,使得正负抵消。 2、对于公差为 d ( d

? 0 )的等差数列 {an }

,有

1 1 1 1 ? ?( ? ) a1 ? a2 ? ak (k ? 1)d a1 ? a2 ? ak ?1 a2 ? a3 ? ak

.

[请你试试 1、求分数数列

3——2]

1 1 1 , , , ??的前 n 项和 Sn 。 1? 3 ? 5 3 ? 5 ? 7 5 ? 7 ? 9 1 1 1 , , , ??的前 n 项和 Sn 。 2、求分数数列 1? 2 ? 3 ? 4 2 ? 3 ? 4 ? 5 3 ? 4 ? 5 ? 6
3、求分数数列

1
3 3

C C C
4

,

1
3

,

1
3 5

,?,

1

C

3 n

,? ??的前 n 项和 Sn 。

第3变

由分数数列到幂数列 11

[变题 3]

求数列 1

2

, 22 ,32 , ??的前 n 项和 Sn 。 (k ? 1)3 ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1 ,取 k=1 , 2 , 3 ,??,相加正负抵消可解。

[思路] 利用恒等式 [解题] 由恒等式

(k ? 1)3 ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1

取 k=1、2、3??, 得

23 ? 13 ? 3 ?12 ? 3 ?1 ? 1 33 ? 23 ? 3 ? 22 ? 3 ? 2 ? 1
????

(n ? 1)3 ? n3 ? 3n2 ? 3n ? 1
各式相加得
3 3 2 (n ? 1) ? 1 ? 3 (1? 22? n ? ? 2

) 3 (1?? n ? n ? ? ? 2 )



1 1? n(n ? 1) ? Sn ? 12 ? 22 ? ? ? n2 ? [(n ? 1)3 ? 3(1 ? 2 ? ? ? n) ? n ? 1] ? ?(n ? 1)3 ? 3 ? ? n ? 1? 3 3? 2 ?
? 1 n( n ? 1 ) ( 2 ? 1。 n ) 6
4

[收获] 利用恒等式 (k ? 1)

? k ? 4k ? 6k ? 4k ? 1
4 3 2

,类似可得

? n(n ? 1) ? Sn ? 1 ? 2 ??? n ? ? ? 2 ? ?
3 3 3

2



注意:正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。

[请你试试 3——3] 求和 (1) Sn
3 3 3 3 3 3 (2) Sn ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ?1) , (3) Sn ? 2 ? 4 ? ?? (2n) 。 ? 22 ? 42 ??? (2n)2 ,

第4变

由幂数列到积数列

[变题 4] 求数列 1? 2, 2 ? 3,3 ? 4, ??的前 n 项和 Sn 。 [思路 1]写通项公式,由通项特征求解。 [解题 1]? an

? n(n ? 1) ? n2 ? n ,

?Sn ? (12 ?1) ? (22 ? 2) ? ?? (n2 ? n) ? (12 ? 22 ? ? ? n2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n)
1 n(n ? 1) 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 。 6 2 3 1 [思路 2] 利用 an ? n(n ? 1) ? ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ( n ? 1) n( n ? 1) ? 3 1 [解题 2] 由 an ? n(n ? 1) ? ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ( n ? 1) n( n ? 1) ? 3 ?


裂项相加。

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3? 4 ? ?? n(n ? 1)
12

1 ?(1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2) ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) ? ? ? n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1) ? 3 1 ? n(n ? 1)(n ? 2) 。 3 ?
[收获] 对于通项为两因数的积,可推广到通项为 k 个因数的积,如求数列 1? 2 ? 3? k , 2 ? 3?(k ? 1),3 ? 4?(k ? 2), ??的前 项和 Sn 。 由 an

? n ? (n ? 1) ?? (n ? k ? 1) ?

1 [n(n ? 1)? (n ? k ) ? (n ? 1)n ? (n ? k ? 1)], k ?1

将每一项裂为两项的差,相加

即可正负抵消。 [思路 3] 联想组合数公式,可见 由 an

C

2 n

?

1 n(n ? 1) ,利用组合数性质可得。 2

[解题 3]

1 2 2 2 2 2 ? n(n ? 1) ? 2C n ,得 S n ? 2(C 2 ? C 3 ? ? ? C n ?1) ? 2C n ? 2 ? n(n ? 1)(n ? 2) 。 3
[请你试试 3——4]

求数列 1? 2 ? 3, 2 ? 3 ? 4,3 ? 4 ? 5, ??的前 n 项和 Sn 。

第4变

由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列
n

[变题 5]

? 10 ? 2 在数列 {an } 中, an ? (n ? 1) ? ? (1) ? ? n ? n, 11 ? ?
求数列最大项; (3)求数列前 n 项和 Sn 。

分别求出 an?1 ? an

?0



(2) an?1 ? an ? 0 的 n 取值范围;

[思路]

1、解正整数不等式,2、利用函数单调性,3、利用错位相消法。

[解题] (1)由

? 10 ? an?1 ? an ? (n ? 2) ? ? ? ? 11 ?

n ?1

? 10 ? 9 ? n ? 10 ? ? (n ? 1) ? ? ? ? ?? ? 11 ? 11 ? ? 11 ?
n

n

,当 n<9 时, an?1 ? an

?0

,即

an?1 ? an ;

当 n<9 时 , an?1 ? an

? 0,



an?1 ? an 。
9

(2)

9 ? 9 ? 10 ? 当 n=9 时, a10 ? a9 ? ?? ? ? 0 11 ? 11 ?
2

? 10 ? ,? a9 ? a10 ? 10 ? ? ? ? 11 ?
n

9

是数列的最大项。

(3)



10 ? 10 ? ? 10 ? Sn ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 11 ? 11 ? ? 11 ?
2 3

????(1)



10 ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? Sn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 11 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?
2 3 n

n ?1

????(2)

相减得

1 10 ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 120 ? 10 ? Sn ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? ? ? (n ? 12) ? ? ? 11 11 ? 11 ? ? 11 ? 11 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?
[请你试试 3——5]

n

n



1、 求数列

{n ? 2n } ??的前 n 项和 Sn 。
13

2、 求和 Sn 3、 求和 S n

? 1 ? 3x ? 5x2 ? 7 x3 ??? (2n ?1) xn?1 。
? 1 3 5 2n ? 1 ? ? ??? n 。 2n 4n 8n 2 ?n

4、 已知数列

{an } , a1 ? ?1, an ? 2n ? 3
第四节

数列 {bn } , b 1

a ? 4, bn ? 2n?1 ,求数列 { n } 的前 n 项和 Sn 。 bn

递推数列的通项公式及前 n 项和

1、利用不动点求数列通项 [题根三] 数列

{an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 ,求通项公式 an 。
a1 , a2 , a3 , a4 ? ,由不完全归纳法得 an 表达式。 ? 2an ? 1 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

[思路] 1、写出

2、构造新数列,转化成等比数列求解。 [解题] 在的 an?1 得 两边加 1,则数列

an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ,即 an ? 2 ? 2n?1 ?1 ? 2n ?1 即为所求。
数列为等差数列;当 q

[收获]

an?1 ? pan ? q( p ? 1) 型递推数列,当 p=1 时,

? 0, p ? 0 时,数列为等比数列。下面给出 p ? 1 时

递推式的通项公式的求法: 方法 1、因为

p ? 1,

所以一定存在

?

满足

? ? p? ? q

, 从而得

??

q , 1? p

此为函数

f ( x) ? px ? q 的不动点。



an?1 ? ? ? p a ? q ? ? p ? q ? np ?, 得 {an ? ?} 是 首 项 为 a1 ? ? ( ) ( a? ) n
, 即

,公比为 p 的等比数列,于是

an ? ? ? (a1 ? ? ) pn?1
an ?

an ? ? ? (a1 ? ? ) pn?1

, 将

??

q 1? p

代 入 上 式 ,



通 项 公 式 为

q q ? (a1 ? ) p n?1. 1? p 1? p

??????(I)

方法 2、由 an?1

? pan ? q , an ? pan?1 ? q ,


得 an?1 ? an
n ?1

? p(an ? an?1 ) ,令 bn ? an ?1 ? an

, 则 bn

? pbn?1 ,则 {bn }

是首项为 b1 ,公比为 q 的等比数列,

an ? a1 ? ? bk ? a1 ?
k ?1

b1 (1 ? p n ?1 ) 1? p

? a1 ?

(a2 ? a1 )(1 ? p n?1 ) (n ? 2) 1? p

(*) ;当 n=1 时,(*)式也成立。

[请你试试 4——1] 数列 {an } 满足

a1 ? 9 , 3an?1 ? an ? 4

, 求

an 。
求通项公式 an 。

[变题 1] 数列

{an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

2an 2an ? 1

14

[思路] 常见解法:先求数列

?1? ? ? 的通项公式 ? an ?
1 1 1 ? ? ?1, an?1 2 an
由(#)式 得

[解题]由将已知关系式取倒数得

1 ?1? ? 2?? ? an ?2?

n ?1

,所以 an

?

1 2 ? 21? n



[收获]

an ?1 ?

pan 型递推数列的通项公式的求法: ran ? s
px ,得 x1 ? 0 rx ? s
或 x2



x?

?

p?s r

为两不动点。由于

1 1 s 1 r ? ? ? ? , an?1 ? x1 an ?1 p an p
模型。 同样,



bn ?

1 an

,则

bn ?1 ?

s r ? bn ? p p

,此为

an?1 ? pan ? q( p ? 1)

1 an ?1 ? x2


也可化为

an?1 ? pan ? q( p ? 1) 模型,由(I)式

可求得 an 。更为特殊的是 p=s 时,

1 1 1 r ? ? ? , an ?1 ? x1 an ?1 an p

bn ?

1 an

则数



{bn } 是等差数列

。我们常取 an ?1

?

pan 的倒数求解 ran ? p

,原因恰是为此 。

[变题 2]

(06 年江西理第 22 题)数列

{an } 满足 a1 ?

3 3nan?1 , an ? (n ? 2, n ? N * ) 2 2an?1 ? n ? 1

求通项公式 an 。

[解答]

an ?

1 2 2 1 1 3 3nan?1 n 1 n ?1 2 即 又 得 ? ? ? ? , bn ? ? bn ?1 ? ? bn ? 1 ? ? (bn ?1 ? ) , a1 ? , b1 ? ? 1 , 3 3 3 3 3 2 2an?1 ? n ? 1 an 3 an?1 3
n ?1

所以

2 ?1? bn ? ( ? 1) ? ? ? 3 ? 3?
f ( x) ?

,得

an ?

n ? 3n 。 3n ? 1

[请你试试 4——2] 函数

x 3x ? 1

,数列 {an }

满足 a1

? 1 , an?1 ? f (an ) , (n ? N * )

, (1)求 {an } 的通项公式

(2)设 an ;

Sn ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ,求 Sn 。
[变题 2] 数列 {an } 中, a1

? 0, an ?

an?1 ? 4 ,(n ? 2) an?1 ? 2

,求

an

[思路 1] 令

x?

x?4 x?2

,得

?a ? 4? x1 ? 4, x2 ? ?1 ,即两不动点,可得 ? n ?1 ? 是等比数列, ? an ?1 ? 1 ?

[解法 1] 由 an

?4 ?

an?1 ? 4 ?3an?1 ? 12 3(an?1 ? 4) , ?4 ? ?? an?1 ? 2 an?1 ? 2 an?1 ? 2
则 bn

令 bn

? an ? 4 ,

??

3bn ?1 an ?1 ? 2

????????(a )

15

由 an

?1 ?

an?1 ? 4 2(an?1 ? 1) , ?1 ? an?1 ? 2 an?1 ? 2


令 cn

? an ? 1 ,

cn ?

2cn ?1 an ?1 ? 2

????????(b)

(a) 式除以(b)式



?b ? bn b a ?4 3 b ? ? ? n ?1 ,即 ? n ? 是首项为 1 ? 1 ? ?4, c1 a1 ? 1 cn 2 cn ?1 ? cn ?
n ?1

b 3 ? 3? 公比为 ? 的等比数列,? n ? ?4 ? ? ? ? 2 cn ? 2?
n ?1

?

an ? 4 , an ? 1

? 3? ?4 ? ? ? ? 4 20 ? 2? ? an ? ? 4? . n ?1 n ?1 ? 3? ? 2? 4 ?? ? ? ?1 4??? ? ? 2? ? 3?
[思路 2]

1 1 和 均可化为 an?1 ? pan ? q( p ? 1) 型递推式, an ?1 ? x1 an ?1 ? x2


[解法 2]

a ?2 1 2 1 ? ? n?1 ?? ? . an ? 4 3(an?1 ? 4) 3(an?1 ? 4) 3 ? 1 , an ? 4


令 bn

2 1 bn ? ? bn ?1 ? , 3 3

由(I)式 得

n ?1 1 ? 1 ? n ?1 ? ? ? 1 2 ? ? ? 1 ? 1 ?? ? 2 ? ? 1 3 ? ? ? 3 ?? ? ? ? bn ? ? 5 20 ? 3 ? an ? 4 2 ? 4 2? ? ? 1? 1? ? ? 3 ? 3 ? 3?

?

所以

an ? 4 ?

1 1 1 ? 2? ? ? ?? ? 5 20 ? 3 ?
n ?1

? 4?

20 ? 2? 4??? ? ? 3?
n ?1

.

[解法 3]



1 3 1 1 ?? ? ? , an ? 1 2 an?1 ? 1 2

亦可求得 an

? 4?

20 ? 2? 4??? ? ? 3?
n ?1

.

[收获] 求解 an ?1

?

pan ? q 型递推数列的通项公式的方法: ran ? s
, 设其两根为



x?

px ? q rx ? s

x1 , x2

即两不动点。于是 ?

? an?1 ? x1 ? 1 1 和 均可化 ? 是等比数列, 并且 an ?1 ? x1 an ?1 ? x2 ? an?1 ? x2 ?

为 an?1

? pan ? q( p ? 1) 型递推式



[请你试试 4——3] 写出解法 3 的详细过程。 16

[变题 3] 设数列 {an } 前 n 项和为 Sn [思路] 将已知关系中 由 Sn

? 4an ? 3n ? 2 ,求 an 及 Sn 。

Sn 的化为 an ,再进一步变形。
即 a1

[解题]

? 4an ? 3n ? 2 ,得 a1 ? 4a1 ?1,

1 ? . 3
得 an

, an ? Sn ? Sn?1 ? 4an ? 3n ? 2 ? [4an?1 ? 3(n ?1) ? 2] ? 4an ? 4an?1 ? 3 这是 an

?

4 an ?1 ? 1 . 3

? pan?1 ? q

型递推式,由(#)式得

? ? n ?1 ?1 1 1 ? ?4? 4n?1 an ? ? ? ? ? ?3 ? 10 ? n . 4 ?3 4? ? ? 3 ? 1? 1? ? ? 3 ? 3 ? 3?
? 4? ? Sn ? 4an ? 3n ? 2 ? ?10 ? 10 ? ? ? 3n. ? 3?
第 1 变 递推式 2、累积错位相消法求数列通项 [变题 4] 数列 [思路] 观察
n

an?1 ? f (n)an

{an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2n an ,求通项公式 an 。
存在的关系,思考解题方法。

a1 与 a2 、 a2 与 a3

[解题]

? a2 ? 2a1 , a3 ? 2a2 , a4 ? 2a3 ,??, an ? 2an?1 ,各式相乘得 an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 。 ? f (n)an 型递推式,通项公式求解方法如下:

[收获] 1、若 f(n)为常数, 则 {an } 为等比数列。2、 an?1

an a a ? f (n ? 1), n?1 ? f (n ? 2),? 2 ? f (1). an?1 an?2 a1
各式两边分别相乘,得 当 n=1 时, (II)仍成立 [变题 5] 在数列 {an } 中, a1

an ? a f(1) f ( 2 ) f ? ? (n 1

1) ,

???????????(II)

? 1, nan?1 ? 2(a1 ? a2 ??an ) ,
(2)令 bn

(1)

求 {an } 通项公式

?

4an?1 an 2 an? 2 2

,求 {bn } 的前 n 项和 Sn 。

[思路] 将题中递推式转化、归类,再求解。 [解题] (1)将题中递推式转化为:

nan?1 ? 2(a1 ? a2 ? ?an ) ? 2(a1 ? a2 ? ?? an?1 ) ? 2an ? (n ?1)an ? 2an .


an ?1 ?

n ?1 an n

.由 (II) 式 得 {an } 通项公式 an

2 3 n ? a1 ? ? ? ? n. 1 2 n ?1

(2) 由

{an } ? n ,



bn ?

4an?1 4 (n ? 1) 1 1 ? 2 ? ? . 2 2 2 2 an an? 2 n (n ? 2 ) n n ? 2 )2 (
17

所以数列 {bn } 前 n 项和 :

Sn ? ? bk ? ? [
k ?1 k ?1

n

n

1 1 ? ] 2 k (k ? 2)2

? 1?

5 2n 2 ? 6 n ? 5 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? ? ? 2? ? ? . 32 2 4 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n (n ? 2)2 4 (n ? 1)2 ? (n ? 2) 2
第2变

an?1 ? an ? f (n) 型递推数列
? 1 , an ?1 ? an ?

3、累加错位相消法求数列通项

[变题 6] 已知数列 {an } 中, a1

1 , (n ? 1)n

求 {an } 的通项公式。

[思路] 将题中递推式变形

an ?1 ? an ?

1 1 ? ,利用错位相消法。 n ?1 n 1 1 ? , n ?1 n ? an ?1 ? 1 1 ? n ? 2 n ?1



将题中递推式表示为: an ?1

? an ?

于是

a2 ? a1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 , a3 ? a2 ? ? , a4 ? a3 ? ? ,??, an 2 2 3 3 4

各式相加得

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?(an ? an?1 ) ? an ? a1,



1 1 1 1 1 1 1 ) ( ? ? (? ? ? ? ? ) ) ( ? ) 2 2 3 3 4 n ? 2n ? 1 1 1 ? 1?1? ? 2? 即为所求通项公式。 n ?1 n ?1 an ? a1 ? ( 1?

[收获] 对于数列 {an } ,设 bn

? an?1 ? an , n ? 1,2,?

则称数列 {bn } 是 {an } 差数列, 则

b1 ? b2 ? ?? bn?1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?(an ? an?1 ) ? an ? a1,
? a1 ? ? f (k ), (n ? 2) ????
k ?1 n ?1

得 an

? a1 ? ? bk .
k ?1

n ?1

所以 {an } 的通项公式为 an

(III).

当 n=1 时,也满足(III)式。

[变题 7]

在数列 {an } 中, a1

? 2 , nan?1 ? (n ? 1)an

, 求 {an } 通项公式。

[思路] 题中关系式不是 an?1

? an ? f (n) 型的递推式,但两边同除以 n(n+1),经过变量替换,可化为 an?1 ? an ? f (n) 型递推式。
两边同除以 n(n+1) , 得

[解题]

在递推式

nan?1 ? (n ? 1) n a
bn?1 ? bn ?

an?1 an 1 ? ? n ? 1 n n(n ? 1)

令 bn

?

an n



a1 1 ? 2 。由(III)式得 bn 表达式为: , b1 ? 1 n(n ? 1)

18

bn ? b1 ? ?

n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 3? . ? b1 ? ? ( ? ) ? 2 ? (1 ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n ?1 n n k ?1 k ?1 k (k ? 1) k ?1 k

n ?1

于是 {an } 通项公式为

an ? nbn ? n( 3?

1 )? n ? 1 . 3 n

[请你试试 4——4] 求数列 1、4、11、26、57、120、??,的通项公式。

第3变

an?1 ? pan ? q(n) 型递推数列
? an ? f (n) 型递推式
, 求

4、两边同除以

pn?1

,经过变量替换,化为 an?1

[变题 8]

数列 {an } 满足

a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 2n ? 3
n?1

an 。

[思路] 递推式两边同除以 2 [解题] 在 an?1 令

,经过变量替换,可化为 an?1 两边同除以

? an ? f (n) 型递推式。

? 2an ? 2n ? 3
bn ?1 ? bn ?

2 n?1 ,



an ?1 an 2n ? 3 ? ? n ?1 2n ?1 2n 2

bn ?

an 2n

,则
n ?1

2n ? 3 , 2n ?1

此为模型

an?1 ? an ? f (n) 。
1 2n ? 1 ? n . 2 2 8.

于是 bn

? b1 ? ?

a 2k ? 3 , b1 ? 1 ? 1. k ?1 2 k ?1 2



bn ? 1 ?

所以

3 2n ? 1 ? an ? bn ? 2n ? ( ? n ) n ? n21 ? ? 2 2 2

16 n?

[收获] 在 an?1

? pan ? q(n),( p ? 1) 中,

当 q(n)是常数 q 时,即为模型 an?1

? pan ? q( p ? 1) 。
, 令



an?1 ? pan ? q(n),( p ? 1)
即可求出

两边同除以

pn?1

,



an ?1 an q(n) ? ? p n ?1 p n p n ?1

bn ?

an q(n) , ? f ( n) p n p n ?1

, 得

3 2n ? 1 {bn } 的通项公式,从而得 an ? pnbn = p n ( ? n ). 2 2 4 1 n ?1 2 ? ,n=1,2,??,求通项 an 。 [变题 9](2006 年全国理第 22 题)设数列 {an } 前 n 项和为 S n ? an ? ? 2 3 3 3 4 1 n ?1 2 4 1 2 2 ? ? a1 ? a1 ? ? 2 ? ? a1 ? 2 。因为 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) ,所以由 题 设得: [ 解答] S n ? an ? ? 2 3 3 3 3 3 3

bn?1 ? bn ? f (n)

a a 2n 4 1 2 4 1 2 an ? ( an ? ? 2n ?1 ? ) ?( an ?1 ? ? 2n ? ) ? an ? 4an?1 ? 2n ? n ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 4n 4n ?1 4
1 ?1? bn ? bn?1 ? ? ? ? bn ? 1 ? n 2 ?2?
[规律小结] 根据数列性质 an
n

,即

,得

an ? 4n ? 2n 。

? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 可得出递推关系,然后再根据结构特征求通项公式。

[请你试试 4——5] 19

1、数列 {an } 满足

a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3? 5n

, 求

an 。 an

2、数列 {an } 的前 n 项和

Sn ? an?1 ? n2 , a1 ? 0 ,
第3变



an?1 ? p aq , ( p? 0 , a ? 0 ) 型 n n
? f (n)an
,令 bn

4、两边取对数,变形转化为模型 an?1

[变题 10]

数列 {an } 中 a1

? 10, an?1 ? n an

? lgan ,

(1)求数列 {bn } 的通项公式, (2)设 T

??

bk ?1 k ? 2 bk ?1

n

,求 lim T 。
n ??

[思路] 利用对数运算法则变形转化。 解: (1)由已知得

b1 ? 1, bn ?1 ? lg an?1 ? lg

n

an

?

1 an 1 lg ? bn ,即模型 an?1 ? f (n)an , n n

由(II)式,得 bn

1 1 1 1 1 1 ? b1 ? ? ? ? ? ? 。 1 2 3 n ? 1 1? 2 ? 3? (n ? 1) (n ? 1)!

(2) 由

1 n bk ?1 bn ?1 1 1 1 1 ? ? ?? , 得 T ?? ? n! ? 1 1? 2 2 3 ? n(? ?1 ) n bn?1 (n ? 1)n k ? 2 bk ?1 (n ? 2)! 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ?? ? ? ? 1 ? . 则 lim T ? lim(1 ? ) ? 1 。 n ?? n ?? 2 2 3 n ?1 n n n
an?1 ? panq ,( p ? 0, an ? 0) , 当
得 q=1 时 , {an } 为 等 比 数 列 。 当

[收获]

q ?1 时,对递推式两边取常用对数,得


, l gan?1 ? q l an ? lpg 令 bn ? lgan , g

bn?1 ? qbn ? lg p ,此为模型 an?1 ? pan ? q( p ? 1) ,即题根

第4变 5、利用特征根求通项公式 [变题 11] 在数列

an?1 ? pan ? qan?1 型

{an } 中, a1 ? 0, a2 ? 1 , 4an?1 ? 4an ? an?1

,求

an

[思路]

在数列 {an } 中,已知

a1 , a2 ,且 an?1 ? pan ? qan?1 ,求其通项公式方法介绍如下:当 p ? q ? 1 时,存在 ?1 , ?2 满足 ? (?1 ? ?2 )an ? ?1?2 an?1 an?1 ? pan ? qan?1 比较系数,得

an?1 ? ?1an ? ?2 (an ? ?1an?1 )

(*) 即 an?1 ,

, 与

{? ?

?1 ? ?2 ? p
1 2 ?q



由根与系数的关系知 ?1 , ?2 是二次方程

t 2 ? pt ? q ? 0 两实根,此方程称为递推式的特征方程。易见,只需将递推式中的

an?1 , an , an?1
或 是以

换成

t 2 , t ,1 即可得特征方程。由 (*)式知数列 an ? ?1an?1 是等比数列,于是 an?1 ? ?1an ? ?2n?1 (a2 ? ?1a1 )
, 则

an?1 ? ? 2an ? ? n?1 (a ? ? a2 ) 。当 p ? q ? 1时,将 p=1-q 代入递推式,得 an?1 ? an ? ?q(an ? an?1 ) 1 2 1

{an?1 ? an }

a2 ? a1 为首项,-q 为公比的等比数列,从而 an?1 ? an ? (?q)n?1 (a2 ? a1 )
20

,利用错位相消法即可求解。

[解题] 递推式特征方程为

4? 2 ? 4? ? 1 ,解得 ?1 ? ?2 ?

1 2

,所以递推式可表示为 an ?1 ?
n ?1

1 1 1 an ? (an ? an ?1 ) 2 2 2

,数列

1 1 1 ? ? ?an?1 ? an ? 是首项为 a2 ? a1 ? 1 ,公比为 2 2 2 ? ?


1 ?1? 的等比数列,所以 an ?1 ? an ? ? ? 2 ?2?

, n ? 1, 2, ??,两边同除以 2 n?1 ,

2n?1 an?1 ? 2n?2 an ? 1,

于是

?2

n?2

? an ?

是首项为 0,公差为 1 等差数列,故 2

n ?2

? an ? n ?1,? an ?

n ?1 。 2n ? 2
两根为 ?1 , ?2 ,则,当

[收获] 一般的,在数列 {an } 中,已知

a1 , a2 ,且 an?1 ? pan ? qan?1 ,它的特征方程 ? 2 ? p? ? q ? 0
,通项公式

?1 ? ?2 时
数,可由

,通项公式

an ? ( An ? B)?1n?1 ;当 ?1 ? ?2 时

an ? A?1n?1 ? B?2n?1, n ? 1, 2, ??,其中 A,B 为常

a1 , a2 推出。

利用这一结论可方便的推出通项公式 an 。 [变题 12] 在数列 解:特征方程 ?
2

{an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 , an?2 ? 7an?1 ?12an
? 7? ? 12
两根为 ?1

,求

an
A=2,B=-1, 故

? 3, ?2 ? 4 。设 an ? A ? 3n?1 ? B ? 4n?1 ,由 a1 ? 1, a2 ? 2 ,得

an ? 2 ? 3n?1 ? 4n?1,(n ? 1, 2,?) 。
[请你试试 1、在数列 4——6] ,求

{an } 中, a1 ? 1, a2 ? 3 , an?2 ? 6an?1 ? 9an {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 , an ? 2
?a a
3 n ?1 2 n

an 。

2、在数列

,求

an 。

第六章

数列 请你试试

答案与提示

[请你试试 1—1]:1、? S101

?

(a1 ? a101 ) ?101 ? 0 ,? a1 ? a101 ? 0 ? a3 ? a99 ? 0 ,选 2

C

2、a3+a7-a10+a11-a4= a7

? 12 ,得 S13 ? 13a7 ? 156 。
? 555 ? 24 ? 6660 ; 2

[请你试试 1—2]:1、略; 2、n=27; 3、由 123 ? 432 ? 555 , S 24

4、倒加法

Sn ? n ? 2n?1 。

[请你试试 1—3]:1、200; 2、4 。

21

[请你试试 1—4]:1、12; 2、40; 3、 0、110; 4、3 (b-a);5、 S2k

? ? S2k ? 100 ? 4S中 ? S中 ? 25 。

[请你试试 1—5]:1、 [请你试试 1—6]: S12

1504;2、0;3、12 或 13。

? ?7 。 A ? a1 ? a4 ? a7 ?? a28 ,
B ? a2 ? a5 ? a8 ?? a29
, B 得
3

[ 请 你 试 试 2—1] : 等 比 数 列 中 某 些 项 的 积 的 问 题 , 利 用 性 质 解 。 设



C ? a3 ? a6 ? a9 ?? a30 ,易见 A,B,C 成等比,公比为 q? ? 210


。由

B 2 ? A ? C 且 A ? B ? C ? 230

? 230



B ? 210 ,?C ? Bq? ? 210 ? 210 ? 220 。

[请你试试 2—2]:1、 S6

? 14

;2、

。 S4 ? 5 或 S4 ? ?4 (舍去)

[请你试试 2—3]:1、 S8 , S10 , S11 等差,则 S11 ? S10 2、略。

? S10 ? S8 ,得 a11 ? a9 ? a10

,即 a11 ? (a9

? a10 ) =0;

[请你试试 2—4]:由上例分析得 a(1+10%)10-x(1+10%)9-??-x(1+10%)-x=2a,即 x

?

(1.110 a ? 2a)(1.1 ? 1) , 1.110 ? 1



2.6a-16x=2a

?x ?

3 a 80



[请你试试 3—1]:1、 S n

?

n n ?1

;2、 Sn

1 ?3 2n ? 3 ? ? ?? ? ? 2 ? 2 (n ? 1)(n ? 2) ?

;3、 Sn

?

(2n ? 1)2 ? 1 (2n ? 1)2



[请你试试 3—2]:1、

? n(n ? 2) 1 ?1 1 ;2、 ? ? ? ? 3(2n ? 1)(2n ? 3) 3 ? 6 (n ? 1)(n ? 2) ?
? 1
3 4



3、 Sn

?

1
3 3

C C C

?

1
3 5

? ??

1

C

3 n

? 1 ? 1 1 1 ? 6?? ? ? ? ?? ? (n ? 2)(n ?1)n ? ? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5

? 1 ? 1 1 6n(n ? 3) 。 ? 6? ?? ? ?? 2 ? 1? 2 (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)(n ? 2)
[请你试试 3—3]:1、

2 n(n ? 1)(2n ? 1) ;2、 n2 (2n2 ?1) ;3、 2n2 (n ? 1)2 。 3

[请你试试 3—4]:

1 n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 。 4

[请你试试 3—5]:1、 Sn

1? 2n ? 3 ? ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ;2、分 x ? 1 和 x ? 1 两种情形;3、 Sn ? ? 3 ? n ? ; n? 2 ?

4、 S n

?

1 2n ? 1 ? 。 2 2n ?1

[请你试试 4—1]:由 3an?1 ? an 或由 3(an?1 ? 1) ? ?(an

?4



1 4 ? 1? an ?1 ? ? an ? ,可得 an ? 1 ? 8 ? ? ? ? 3 3 ? 3?

n ?1



?1) 求。
22

[请你试试 4—2]:提示: an [请你试试 4—3]:略

?

1 n ; Sn ? 。 3n ? 2 3n ? 1

[请你试试 4—4]:由原数列得一阶差数列 4、8、16、32、??,易得 cn

{bn } :3、7、15、31、63、??;由 {bn } 得

二阶差数列

{cn } :

? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,得 bn ,最后得原数列通项公式 an ? 2n?1 ? n ? 2 。
, 得

[请你试试 4—5]: 两边同除以 2 1、

n?1

an?1 an 3 ? 5 ? ? ? ?? ? 2n?1 2n 2 ? 2 ?

n

, bn ?1 即

3 ?5? ? bn ? ? ? ? 2 ?2?

n

, 得

an ? 5n ? 2n?1 。2、由 Sn ? an ,



an ? Sn ? Sn?1 ? an?1 ? n2 ? [an ? (n ?1)2 ] ? an?1 ? an ? 2n ?1 , ? an?1 ? 2an ? 2 ? 1 n 。
2

[请你试试 4—6]:1、特征方程 ?

? 6? ? 9

两根为 ?1

? ?2 ? 3 ,设 an ? ( An ? B) ? 3n?1 ,由 a1 ? 1, a2 ? 3 ,得
,令

A=0,B=1,



an ? 3n?1

。2、取对数, ??, an

lgan?2 ? 3lgan?1 ? 2lgan
n?1

bn ? lgan

,则

b1 ? lga1 ? 0



b2 ? lg2

,且

bn?2 ? 3bn?1 ? 2bn ,

? 10(2

?1)lg 2



23


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