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2012年江苏省高中数学竞赛试题(扫描版


⒛12年 全 国高中数学联赛江苏赛区
初赛参 考答案与评分细则
-、 填空题 (本 题满分 90分 ,每 小题 7分 )

|

1.当 J∈ [-3,sl时 ,函 数们 =旷 —3州 的蕞大值为
答案 :18

2.在 △ zBC中 ,已 知
答案 :4

三 ? 虍 BC=12,'C?

BZ=工 4,则 ZC=

3.从 集合 (3,4,5,6,7,8)中 随机选取 3个 不同的数 ,这 3个 数可 以构成等差数列的概
率是 。

答:斋 案
4.已 知 ε为实数 ,方 程
的值为⊥~⊥ __'

'十

←+》 +4+0=0的 丁个实数根是 3c是 虚数单位),则 u+圳

答 :^洹 案

`
双 曲线 C交 于
`与
'、

5.在 平雨直角坐标系 石 中,双 曲线 C:钅 — =1的 右焦点为 F,~丁 条苎 C” 咩 愿枣 o且 倾斜
角为锐角的直线

B两 点 。砉△nB的 面识为 而 ∴疝叠蕴÷菡齑幸

答:: 案
6.设 四为正实数 ,庀 =四 【
g° ~
F r 苜

,

则 攵的取值范 围是



; ∵

△ ?
r

答案 :ll,+∞ )

〓一

ˉ攵 Ⅰ



7.在 :四 面濉切 CD中


,



F'C=/D=DB=5,BC=3,∞
?

=4,该 四面体 的体积

∷ ∷

f

?

答 :珀 、 ∶∵ 案 ∶
贝 ‰+3刀 = 刂 答案 :‰ +箩 冖

8.已 知等差数列 伽勿 等比数列 抄刀 足 :四 1+31=3,饧 +饧 =7,臼 +D3=15,助 +助 =35, )和 )满

0∈

N? J.

∵ ;∷
,

9.将 刀 ,3T,钾 ,娴 ,ss,71,%这 7个 数排成∵列 ,使 任意连续 4个 数的和为 3的 倍数
则这样的排法有 答案 :1狃 ⒛12年 全国高中数学联赛江苏赛区 初赛答案第 1页 共 4页 种。

10.三 角形 的周长为 31,三 边 ε b,c均 为整数 ,且 夕 D≤ o,则 满足条件 的三 元数组 ≤
,?

(曰

,3,c,的 个数为



答案 :" 二 、解答题 (本 题满分 sO分 ,每 小题 20分 )

,3,c,证 明 11.在 A/BC中 ,角 应 的边分别为 四 ',B,C对 (1)bcosC+ccosB=c:

:

.⑵ 嘿



筚 罕。
飞缶

:⑴ 在 A/BC中 ,由 I° ,z趔斋
=四吣m臼 +Q =⒉ 怂幽
=ε 。

=茹F狄

淇 中 R是 AzBC外 胴





,

况 osC+ccosB=狄 曲沼 ∞ sC+狄

shCcosB

………………………………………… 10分 故命题得证 。 (2)由 (1)知 沅osC+c∞ sB=c,同 理有 四 sC+ccos/=D, ∞ 所 以 DcosC+ccosB+∞ osC+cco“ =四 +3,

Ⅱ 厶 c(cosB+∞ “ 即 )=@+D)(1_∞ s0=@+θ ? 考
,

姒 荜。 缂羿
12.已 知 四 ,D为 实数 ,c)2,函 数 翔
)± 阳
;

… ∴ ∴。∴ ….… ∴ ⒛ 分
一 +3← >0)? 若 灭1)=e+1,″ )=号 一m+I? 争

(1)求 实数 c,D; (2)求 函数 乃 o的 单调区间 (3)若 实数 c,'满 足 c)〃 ,刃 =I,求 证 :乃 )(顶 o?


(D由 题 设 灭I)=e+1,″ )=号 一lnz+1得 凵+3=e+1,|匝 一旬+b=号 一匝 +1,
釜 ,所 以 汾 九陀 ,从 而 纩汤 =e+△ 因为 ε ’ 瞒

+莎 谔 +L
5分

=e,D=1。 解得 曰
(2)由
因为

………… …… ……… …… … …… … …

⑴ 得 =|lnF芍 +⒈ 炯
h,一
量 在 ⑩ ,+oo,上 均 单 调 递 增 ,heT:=0?

? g⑺ ,所 有 令 =h一 量 以
当 r、 时 ,⒅ >跃Φ=0,从 而 们

=h《 +1单 调递增

;

工 当 卜臼 <e时 ,酮 (gre,=⒍ 从而炯 谔 h十 1单 调递减

.

zO12年 全 国高 中数学联赛江苏赛 区初赛答案第 2页 共

4页

故炯 的单调递减区间为tO,蚣 单调递增区间为fe,+∞ ) … ………………Ⅱ∴? ? ……∴?∴.… 。15分 ¨ ⑶ 鼬 少 冼 醛叱 刖 仁

:,少 L

于帚灭c)=号 一Ⅱ |+1,灭 奶≡ 》=hc+hd+1± ec+hc+1。 灭

因当 又 为 c)1时 ,∝ +hc>hc+∶ )|hc— :7
所 以灭c沪 顶 o。 命题得证 。 ……………¨………………………… 20分 交 圆 @于 另 一 点

13.如 图 ,半 径为 1的 圆 0上 有 一 定点 M,彳 为圆 0上 的动点 。在射线 @盯 上 有 一 动点 B,

/B=1,oB)1.线 段 躬
值范 围
.

C,D为 线段 oB的 中点 。求线段 CD长 的取

解 :设 Z彳 oB=J。
因为

a=zB,所

o=180° -2J. 以 Z洮 λ =卩 ,Z助 £
? s卩 =∞ sJ. ∞ ? … … …… … …… … …¨… ∴ ? … …¨ 5分 …



o/=oC,得 ZOC/=180° -2卩 ,于 是 ZBOC=180° -3汐 。 因为 @彳 =z锣 ,D为 线 段 oB的 中点 ,所 以 /D⊥ oB,从 而 oD=α
CDz=od+oD2-2oC.oD?
卜 cos3汐 ==1+cos2汐 爿 2cos汐 ? ∞ sZBOC

在△oCD中 ,由 余弦定理得

=1+cos勹 一2cos汐 .cos(180° -30
==8cosV-ˉ 5cosV+1
=〓

8(cosV工

i1p2-卜


:.
,
,

△ ~3汐 <z'oB=汐 又 ZBOC=1gO° Zoα =180° -2汐 >ZOBz=汐
得 180° —3卩 (矽 , 180° -2卩 )J。 ° <汐 所 以 绣 ° <ω
.

¨ ………………………? 10分

……………¨………………………?15分 …

从:(cosv(磅 ?
7可

于兢 姒 缴

≤∞

2<:,骅

≤∞

(乎



在 ∞萨 平 嘁 … … …

立 … … … ?? … … ? ? ? … … ? ? 20彡卜

∞ 长 鲰 值 范眼



g…

zO12年 全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 3页 共

4页

尹叮

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u《 夕 +b+c9]



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≡ 革 △∶∶ 辜∶ Ⅱ ∴
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