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浙江省温州中学2013届高三上学期期中 数学理试题


温 州 中 学 2012 学 年 第 一 学 期 期 中 考 试 高三数学试卷 2012.11
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数
2i
3

1? i

( i 是虚数单位)的虚部为( B. ?i

) C. 1 D. ?1 )

A. i 2.已知集合 A ? x | y ?

?

? x ? x , B ? ? x | ?1 ? x ? 0? ,则(
2

?

A. A ? B B. B ? A C. A ? B D. A ? B ? ? 3.已知 ? , ? 是相异两平面, m, n 是相异两直线,则下列命题中不正确的是( ) ... A.若 m ∥ n, m ? ? , 则 m ? ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? 4.设 x ? R 且 x ? 0 ,则“ x 2 A.充分不必要条件 C.充要条件 5.如果数列 a1 ,
a2 a1
? 1 x

B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? D.若 m ∥? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n ”是“ x ? 1 ”的( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ,…, ) C. ?32 ) B. k ? ?2 D. k ? ?3
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?
an an ?1



a3 a2

,…是首项为1 ,公比为 ? 2 的

开始 k=1

等比数列,则 a5 等于( A. 32 B. 64

D. ?64

S=0 否 是 S=S-2k k=k -1 输出 S 结束 )

6.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果为 10, 则判断框中应填入的条件是( A. k ? ?3 C. k ? ?3
??? ??? ? ?

7. 已知向量 OA , OB 的夹角为 60° | OA |=| OB |=2, OC =2 OA + OB ,则△ ABC 为 , 若 ( A. 等腰三角形 C. 直角三角形 B. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

8.如图,在 A, B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,而可能导致电路不通,如今发现 A, B 之 间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有( A.10 B.12 C.13 ) D.15
A 2 1 3
? 1( a ? 0, b ? 0) 的

4 B

9. 已知 A, B 是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 和双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

公共顶点.过坐标原点 O 作一条射线与椭圆、双曲线分别交于 M, N 两点,直线
MA, MB, NA, NB 的斜率分别记为 k1 , k2 , k3 , k 4 , 则下列关系正确的是(



A. k1 ? k2 ? k3 ? k4 C. k1 ? k2 ? ?(k3 ? k4 )

B. k1 ? k3 ? k2 ? k4 D. k1 ? k3 ? ?(k2 ? k4 )

10.设函数 f ( x) ? ( x 2 ? 20 x ? c1 )( x 2 ? 20 x ? c2 ) ? ( x 2 ? 20 x ? c10 ) ,集合 M ?
{x | f ( x ) ? 0} ? {x1 , x2 ,? , x19 } ? N ,设 c1 ? c2 ? ? ? c10 ,则 c1 ? c10 ? (
*



A. 83

B. 85

C. 79

D. 81

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。
骣 11. ? x ? ? 桫
6

2 ÷ ÷ 的展开式中常数项是 ÷ x



?x ?1 ? 0 ? 12.若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 4 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

. .

13.已知某个几何体的三视图如下图所示,则这个几何体的体积是

2 3 主视图 3 左视图 3 俯视图 14.直线 y ? ?3 与曲线 y ? 5 cos ? x ?
? ?

3

? ??

? ? ? x ? 0 ? 的交点为 P ,过点 P 作 x 轴的垂 ?? ? 4 ?? 2 ?

线,这条垂线与曲线 y ? 5 cos 2 x 的交点为 Q ,则线段 PQ 的长度为



15.口袋中有 7 个白球,3 个红球,依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么继续取球 且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.则取球次数 ? 的数学期望 为 .
x

16.已知函数 f ( x) ? 10 ,且实数 a, b, c 满足 f (a ) ? f (b) ? f (a ? b) , f (a ) ? f (b) ?
f (c ) ? f ( a ? b ? c ) ,则 c 的最大值为



17. 在△ ABC 中, A ,B ,C 所对应的边分别为 a ,b ,c , 角 若实数 ? , ? 满足 a ? b ? ? c ,
ab ? ? c ,则称数对 (? , ? ) 为△ ABC 的“Hold 对”,现给出下列四个命题:
2

①若△ ABC 的“Hold 对”为 (2,1) ,则 ?ABC 为正三角形;

②若△ ABC 的“Hold 对”为 ? 2, ? ,则 ?ABC 为锐角三角形;
? 9? ?7 1? , ? ,则 ?ABC 为钝角三角形; ? 6 3?

?

8?

③若△ ABC 的“Hold 对”为 ?

④若△ ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形, 则以“Hold 对” (? , ? ) 为坐标的点构成的图形
2 ?1 2

是矩形,其面积为 其中正确的命题是

. (填上所有正确命题的序号) .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5 13

18. (本题满分 14 分)如图,在△ ABC 中,点 D 在 BC 边上, AD ? 33 ,sin ?BAD ?
cos ?ADC ? 3 5



A .

(Ⅰ)求 sin ?ABD 的值; (Ⅱ)求 BD 的长. C A

B A

D A

19. (本题满分 14 分)对于数列 ?a n ? ,定义其平均数是 Vn ? (Ⅰ)若数列 ?a n ? 的平均数 Vn ? 2n ? 1 ,求 a n ;

a1 ? a 2 ? ? a n n

, n ? N* .

(Ⅱ)若数列 ?a n ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,其平均数为 Vn ,
Vn ? t ? 1 n

对一切 n ? N* 恒成立,求实数 t 的取值范围.

20. (本题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 为直角梯形, AD ∥ BC , AD ? CD . AD ? AB ? 2 BC ,四边形 ABEF 为矩形,平面 ABEF ? 平面 ABCD . (Ⅰ) C、D、E、F 四点共面吗?证明你的结论;
F E

(Ⅱ)设 AF ? kAB (0 ? k ? 1) ,二面角 A ? FD ? B 的余弦值 为
1 3

,求实数 k 的值.
A B C

D

21. (本题满分 15 分)已知椭圆 坐标为 (0,1) . (Ⅰ) 求该椭圆的的方程; (Ⅱ)如图,过点 P ?0, ?
? 桫 骣

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为

2 2

,且有一个顶点的

1÷ ÷的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,是否存在定点 Q ,使以 AB 为直 3÷

径的圆恒过这个定点?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

y

O P A

B x

22. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a )e .
2 x

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 R 上不是单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,讨论函数 g ( x) ? f ?( x) ? 4 xe ? x( x ? 1) 的零点个数.
x

学号 班级 姓名 …………………………………………密…………………………………………封………………………………………线…………………………………

温 州 中 学 2012 学 年 第 一 学 期 期 中 考 试 高三数学答题卷 2012.11
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 题目 选项 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. 13. 15. 12._________________ 14._________________ 16. 17._____________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) A

B A

D A

C A

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

19. (本题满分 14 分)

20. (本题满分 14 分)

F

E

A

B C

D

21. (本题满分 15 分)

y

O P A

B x

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

22(本题满分 15 分)

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

温 州 中 学 2012 学 年 第 一 学 期 期 中 考 试 高三数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 题目 选项 1 D 2 B 3 D 4 B 5 A 6 A 7 C 8 C 9 C 10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. ?160 16. lg
4 3

12.

7 2

13. 6

14.

9 5

15.

11 8

17. ①③

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解: (Ⅰ)因为 cos ?ADC ? 因为 sin ?BAD ?
5 13 3 5

,所以 sin ?ADC ? 1 ? cos 2 ?ADC ?
12 13

4 5

.-------2 分

,所以 cos ?BAD ? 1 ? sin 2 ?BAD ?



---------------4 分

因为 ?ABD ? ?ADC ? ?BAD , 所以 sin ?ABD ? sin ? ?ADC ? ?BAD ?
? sin ?ADC cos ?BAD ? cos ?ADC sin ?BAD
? 4 5 ? 12 13 ? 3 5 ? 5 13 ? 33 65 BD sin ?BAD ? AD sin ?ABD

--------6 分 ------------------9 分

. ,

(Ⅱ)在△ ABD 中,由正弦定理得
33 ? ?

-----12 分

5

所以 BD ?

AD ? sin ?BAD sin ?ABD

13 ? 25 . 33 65

--------------------- 14 分

19.解: (Ⅰ)因为 Vn ?

a1 ? a 2 ? ? a n n

,所以

a1 ? a 2 ? ? a n n

? 2n ? 1 .

变形得 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2n 2 ? n 当 n ? 2 时有


2

---------------------2 分 ② ---------------------5 分 ---------------------6 分

a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? 2( n ? 1) ? ( n ? 1)
( n ? 2) .

①-②得 a n ? 4n ? 1

又当 n ? 1 时, V1 ? a1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 ,适合 a n ? 4n ? 1 .

故 a n ? 4n ? 1 ( n ? N * ) . (Ⅱ)因为 a n ? 2 n ?1 ,其平均数 Vn ?
2 ?1
n

--------------------7 分 ---------------------9 分



n

由已知 Vn ? t ?
n

1 n

对一切 n ? N* 恒成立,即 ? ?

2

n

恒成立.

n

令 f ?n? ?

2

,则

f

? n ? 1?
f

n

?n?
? 1,

?

2n n ?1

=2 ?

2 n ?1



当 n ? 1 时,

f ? n ? 1? f ?n?

当 n ? 1, n ? N* 时,

f ? n ? 1? f ?n?

? 1,

所以 f (n) ? f (1) ? 2 ,因此实数 t 的取值范围 t ? 2 .

---------------------14 分

20.解: 解法一: (Ⅰ) C、D、E、F 四点不共面. 证明:假设 C、D、E、F 四点共面. EF 因为 EF / / AB ,AB ? 平面 ABCD , ? 平面 ABCD , 所以 EF / / 平 面 ABCD , EF ? 平 面 CDEF , 且 平 面 ABCD ? 平 面
CDEF ? CD , EF / / CD ,又 EF / / AB ,所以 AB / / CD .这与已

知矛盾.所以假设不成立.因此 C、D、E、F 四点不共面.------6 分 T (Ⅱ) 因为平面 ABEF ? 平面 ABCD , AF ? AB , 且 所以 AF ? 平 面 ABCD , 所以平面 AFD ? 平面 ABCD . 易得 ?ABD 为正三角形, 连接 BM , BM ? AD , 则 所以 BM ? 平面 ADF . MT 垂直于 FD 做 于 T ,连接 BT ,则由三垂线逆定理可知 BT ? FD ,所以 ?MTB 就 是所求二面角的平面角. 不妨设 AB ? 2 ,则易得 BM ?
6 4

M

---------9 分
3 .由于 cos ?MTB ?
1 3

,所以 tan ?MTB ? 2 2 ,所以

MT ?

.由 ?DMT ∽ ?DFA ,

可得

AF MT

?

FD MD

?

AF ? AD
2

2

,解得 AF ?

2 15 5

,所以 k ?

AF AB

?

15 5

.--------14 分

MD

z 解法二:以 D 为原点, DC 为 x 轴, DA 为 y 轴建立右手 直角坐标系. 不妨设 AB ? 2 , AF ? 2k . 则 易得 D (0, 0, 0) ,
C ( 3, 0, 0) , B ( 3,1, 0) , A(0, 2, 0) , F (0, 2, 2k ) , E ( 3,1, 2k ) .

F

E

y A

--------3 分

B C

x

(Ⅰ)若 C、D、E、F 四点共面,则存在实数 ?,? 使得
??? ? ???? ???? DE ? ? DF ? ? DC ,即

D

? 3 ? 3? ? , ?1 ? 2? ? 2k ? 2k ? ?

?,? 无解,因此 C、D、E、F 四点不共面.

--------6 分

(Ⅱ)因为平面 ABEF ? 平面 ABCD ,且 AF ? AB ,所以 AF ? 平面 ABCD ,所以
???? AF ? DC ,又因为 AD ? DC ,所以 DC ? 平面 AFD ,所以 DC 平面 AFD 的一个法向
???? ? n ? DF ? 0 ? 2 y ? 2kz ? 0 ? ? 量.设平面 BDF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则有 ? ??? ,即 ? ,则可以 ? ? 3x ? y ? 0 ? n ? DB ? 0 ? ?
3 k
1 3

得到其中的一个法向量为 n ? (1, ? 3,
???? ? | n ? DC | 1 ???? ? ,解得 k ? 以 | n | ? | DC | 3
2

) .由因为二面角 A ? FD ? B 的余弦值为

,所

15 5
2



----------------14 分

21.解: (Ⅰ)由题意得 a ? 2b , b ? 1 , a 2 = 2 .
x
2

所以椭圆的方程为

? y

2

? 1.

----------------5 分

2

(Ⅱ)假设存在定点 Q ,使以 AB 为直径的圆恒过这个定点. 当 AB ? x 轴时,以 AB 为直径的圆的方程为 x ? y ? 1 .
2 2

当 AB ? y 轴时,以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 ? ( y ? ) 2 ?
3

1

16 9



解得这两个圆的交点坐标为 ?0,1? ,那么这个定点坐标为 ?0,1? . ----------------9 分 下证以 AB 为直径的圆恒过定点 Q ? 0,1? .

设直线 l : y ? kx ?

1 3

,代入

x

2

? y ? 1 ,有 (2k ? 1) x ?
2
2 2

4 3

kx ?

16 9

? 0.

2 4k 3(2k ? 1)
2

设 A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
??? ? ??? ?

, x1 x2 ?

?16 9(2k ? 1)
2

.

----------------11 分

则 QA ? ? x1 , y1 ? 1? , QB ? ? x2 , y2 ? 1? ,
??? ??? ? ? 4 ?? 4? ? QA ? QB ? x1 x2 ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? x1 x2 ? ? kx1 ? ? ? kx2 ? ? 3 ?? 3? ?

? 1? k ? 1? k

? ?

2

?x x
1

2

?

4 3

k ? x1 ? x2 ? ? ? 4 3 k

16 9
2

2

?

? 16 9 2k ? 1
2

4k 3 2k ? 1

?

?

?

?

?

16 9

?0

? 存在定点 Q ? 0,1? ,使以 AB 为直径的圆恒过这个定点.
2 x

----------------15 分

22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? ( x ? 2 x ? a )e ,由题意知方程 x 2 ? 2 x ? a ? 0 有两个不同的实数 解, 所以? =4+8a ? 0 ,解得 a ? ?
2 x

1 2

.因此,实数 a 的取值范围是 a ? ?
x 2

1 2

.--------6 分 --------7 分

(Ⅱ) g ( x) ? ( x ? 1) e ? x( x ? 1) , g ?( x) ? e ( x ? 1) ? 1 . 设 h( x) ? e ( x ? 1) ? 1( x ? 1) , h?( x) ? e ( x ? 2 x ? 1) ,
x 2 x 2

因为 x ? 1 ,所以 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (1, ??) 上是增函数, 又 h(1) ? ?1 ? 0 , h(2) ? 3e ? 1 ? 0 ,
2

---------9 分

因此在 (1, 2) 内存在唯一的实数 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,

--------------11 分

因为 h( x) 在 (1, ??) 上市增函数,所以在 (1, ??) 内存在唯一的实数 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 .
h( x ) 与 h?( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
g ?( x )

(1, x0 )

x0

( x0 , ??)

?
?
2

0

?

g ( x)

极小值
y

?

由上表可知, g ( x0 ) ? g (1) ? ?1 ? 0 ,又 g (2) ? e ? 2 ? 0 , 故 g ( x) 的大致图象右图所示: 所以函数 g ( x) 在 (1, ??) 内只有一个零点. --------15 分

x0

O

1

2

x


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