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山东省东营市2013年中考数学试题(word版,含解析)


秘密★启用前

试卷类型:A

二 0 一三年东营市初中学生学业考试

数 学 试 题
(总分 120 分 考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷为选择题,36 分;第Ⅱ卷为非选择题,84 分; 全卷共 6 页. 2. 数学试题答案卡共 8 页.答题前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题 卡上,考试结束,试题和答题卡一并收回. 3. 第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂 黑.如需改动,先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.第Ⅱ卷按要求用 0.5mm 签字笔答在答题卡 的相应位置上. 4. 考试时,不允许使用科学计算器.

第Ⅰ卷(选择题

共 36 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的 选项选出来.每小题选对得 3 分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1.(2-3 二次根式·2013 东营中考) 16 的算术平方根是( A. )

?4

B. 4

C.

?2

D. 2

1.D.解析:因为 16 ? 4 ,所以 为 2.

16 的算术平方根就是 4 的算术平方根,4 的算术平方根

2.(2-1 整式·2013 东营中考)下列运算正确的是( A. a
3



? a2 ? a
6

B. a ? a ? a
2 3
3

6

C. ( a ) = a

3 2

D. ?3a ? ? 9a 3

3 2 2 3 2?3 5 2.C.解析: a 与 a 不能合并同类项,故选项 A 错误. a ?a ? a ? a ,

所以选项 B 错误. (3a)3 ? 33 ?a 3 ? 27a 3 ,选项 D 错误.
3.(1-5 近似数、有效数字和科学记数法·2013 东营中考)国家卫生和计划生育委员会 公布 H7N9 禽流感病毒直径约为 0.0000001m,则病毒直径 0.0000001m 用科学记数法表示为( A. 0.10 ? 10 m C. 1.0 ? 10 m
?7 ?6 ?7

)(保留两位有效数字).

B. 1? 10 m D. 0.1? 10 m
?6

3.C.解析:把一个绝对值小于 1 的数表示成 a ? 10? n 的形式,其中 a 的聚会范围是 1≤|a|<10,n 为正整数,且等于第 1 个不为零的数字前面零的个数,所以 0.0000001m≈ 1.0 ? 10 m. 4.(7-2 平行线的性质与判定·2013 东营中考)如图,已知 AB∥CD,AD 和 BC 相交于点 O,∠A= 50 ,∠AOB= 105 ,则∠C 等于( A.
? ? ?7

) C.

20?

A B.

25?
O

B

35?
A?

y D.

B?
O

45?
A B x

C

D
(第 4 题图)

(第 5 题图)

4.B.解析:因为 ?A ? 50? , ?AOB ? 105? ,所以 ?B ? 180? ? ?A ? ?AOB ? 25? ,因为 AB ∥CD,所以 ?C ? ?B ? 25? . 5.(10-3 平移与旋转·2013 东营中考)将等腰直角三角形 AOB 按如图所示放置,然后绕点 O 逆时针旋转 90?至 ?A?OB? 的位置,点 B 的横坐标为 2,则点 A? 的坐标为( A.(1,1) B.( 2, 2 ) C.(-1,1) D.( ? 2, 2 ) )

5.C.解析:在 Rt ?AOB 中, OB ? 2 , ?AOB ? 45? , ?AOB ?

OA ,所以 OB

OA ? OB ?cos ?AOB ? 2?

2 ? 2 ,所以 OA? ? 2 ,过 A? 作 A?C ? y 轴于点 C,在 2
A?C , A?O

Rt ?A?OC , ?A?OC ? 45? , OA? ? 2 , sin ?A?OC ?
A?C ? A?O sin ?A?OC ? 2 ?
的坐标为(-1,1).

2 ? 1 ,又因为⊙O ? A?C ? 1 ,且点 A? 在第二象限,所以点 A? 2

6.(5-&函数的综合与创新· 2013 东营中考) 若定义: f (a, b) ? ( ?a, b) , g (m, n) ? ( m, ?n) , 例如 f (1, 2) ? ( ?1, 2) , g (?4, ?5) ? (?4,5) ,则 g ( f (2, ?3)) =( A. (2, ?3) B. (?2,3) C. (2,3) ) D. (?2, ?3)

6.B.解析:由题意得 f(2,3)=(-2,-3),所以 g(f(2,-3))=g(-2,-3)=(-2,3),故选 B.
7.(12-3 圆与圆的位置关系·2013 东营中考)已知 ⊙O1 的半径 r1 =2, ⊙O2 的半径 r2 是方程

3 2 的根, ⊙O1 与 ⊙O2 的圆心距为 1,那么两圆的位置关系为( ? x x ?1
A.内含 7.D.解析:解方程 B.内切 C.相交 D.外切 A

) D

3 2 得,x=3,经检验 x=3 是原方程的根,所以 ? x x ?1

r2 ? 3 ,因为 r2 ? r1 ? 1 ,所以两圆外切.
8.(12-4 圆的弧长与扇形面积·2013 东营中考)如图,正方形 ABCD 中,分别以 B、D 为圆心,以正方形 的边长 a 为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树 叶形图案的周长为( A. C. ) B. D. B C
(第 8 题图)

?a
1 ?a 2

2? a 3a

8.A.解析:由题意得,树叶形图案的周长为两条相等的弧长,所以其周长为 l ?

2? 90? ?a ??a . 180

9.(6-6 概率的计算与实际应用·2013 东营中考)2013 年“五· 一”期间,小明与小亮两家准 备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景点,则两 家抽到同一景点的概率是( A. )

1 3

B.

1 6

C.

1 9

D.

1 4

9.A.解析:小明与小亮抽签等可能的结果共有 9 种,分别是(东营港、东营港),(东营港、黄 河入海口),(东营港、龙悦湖),(黄河入海口、东营港),(黄河入海口、黄河入海口), (黄河入海口、龙悦湖), (龙悦湖、东营港), (龙悦湖、黄河入海口), (龙悦湖、龙悦湖), 其 中 抽 到 同 一 景 点 的 有 三 种 , 所 以

P ?

3 1 1 x ? 4OH ? OD ? 5S ?BCN ? MN ? 10 ? 5MNS ?BMN ? S ?CMN 9 2 2 .

10. (9-2 图形的相似·2013 东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一 个与它相似的直角三角形边长分别是 3、4 及 x,那么 x 的值( A. 只有 1 个 B. 可以有 2 个 C. 可以有 3 个 ) D. 有无数个

10.B.解析:当直角边为 6,8 时,且另一个与它相似的直角三角形 3,4 也为直角边时,x 的 值为 5,当 8,4 为对应边且为直角三角形的斜边时,x 的值为 7 ,故 x 的值可以为 5 或 7 . 两种情况。

11.(4-4 一元二次方程·2013 东营中考)要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队 之间都赛一场),计划安排 21 场比赛,则参赛球队的个数是( A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 )

11.C.解析:设参赛球队有 x 个,由题意得 x(x-1)=21,解得, x1 ? 7, x2 ? ?6 (不合题意舍去), 故共有 7 个参赛球队. 12.(8-3 矩形、菱形、正方形·2013 东营中考)如图,E、F A 是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点,且 CE=DF,AE、BF 相 点 O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF;(3)AO=OE; O E D. 1 个 B C F D分 别 交 于 (4)

S ?AOB ? S四边形DEOF 中正确的有(
A. 4 个 B. 3 个



C. 2 个

12.B. 解 析 : 在 正 方 形 ABCD 中 , 因 为 CE=DF , 所 以 AF=DE , 又 因 为 AB=AD , 所 以

(第 12 题图)

?ABF ? ?DAE , 所 以

AE=BF , ?AFB ? ?DEA , ?DAE ? ?ABF , 因 为

?DAE ? ?DEA ? 90? ,所以 ?DAE ? ?ABF ? 90? ,即 ?AOF ? 90? ,所以 AE⊥BF,因为
S ?AOB ? S ?AOF ? S ?AOF ? S 四边形 DEOF,所以 S ?AOB ? S 四边形 DEOF,故(1),(2),(4)正确.

第Ⅱ卷(非选择题
2

共 84 分)
2

二、填空题:本大题共 5 小题,共 20 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 4 分. 13.(2-2 因式分解·2013 东营中考)分解因式 2a - 8b = 13. 2 ? a ? 2b ?? a ? 2b ? .解析:先提取公因式 2,再利用平方差公式进行因式分解. 14.(6-2 平均数、众数、中位数·2013 东营中考)一组数据 1,3,2,5,2,a 的众数是 a, 这组数据的中位数是 . .

14. 2.解析:因为众数是 a,故由题意得 a=2,把这组数据按从小到大排列得:1,2,2,2,3,5, 故中位数是中间两个数的平均数,即

2?2 ?2 2

.点拨:求一组数据的中位数应先将所有数据按由小到大(或由大到小)排列。若数据个数为奇 数,则中间位置的数据是中位数;若数据个数为偶数,则处于中间位置的两个数据的平均数是中 位数。 15.(11-4 解直角三角形的实际应用· 2013 东营中考)某校研究性学习小组测量学校旗杆 AB 的高度, 如图在教学楼一楼 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60?, 在教学楼三楼 D 处测得旗杆顶部的

仰角为 30?,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为 3 米,则旗杆 AB 的 高度为 米.

15. 9.解析:过 B 作 BE⊥CD 于点 E,设旗杆 AB 的高度为 x,在 Rt ?ABC 中, tan ?ACB ? 所 以 AC ?

AB , AC

AB x x 3 3 ? ? ? x , 在 Rt ?BDE 中 , BE ? AC ? x , 3 tan ?ACB tan 60? 3 3
3 3

BE BE ,所以 DE ? ?BOE ? 60? , tan ?BDE ? ? DE tan ?BDE

x 3

?

1 x ,因为 CE=AB=x,所以 3

1 DC ? CE ? DE ? x ? x ? 6 ,所以 x=9,故旗杆的高度为 9 米. 3
16. (10-4 图形变换综合与创新·2013 东营中考)如图,圆柱形容器中,高为 1.2m,底面周 长为 1m,在容器内壁 离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁 ,离 .. .. 容器上沿 0.3m 与蚊子相对 的点 A 处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 .. 度忽略不计). 16. 1.3.解析:因为壁虎与蚊子在相对的位置,则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上,如图 所示,要求壁虎捉蚊子的最短距离,实际上是求在 EF 上找一点 P,使 PA+PB 最短,过 A 作 EF 的对称点 A? ,连接 A?B ,则 A?B 与 EF 的交点就是所求的点 P,过 B 作 BM ? AA? 于点 M,在 m(容器厚

1 Rt ?A?MB 中,A?M ? 1.2 ,BM ? , 所以 A?B ? A?M 2 ? BM 2 ? 1.3 , 因为 A?B ? AP ? PB , 2
所以壁虎捉蚊子的最短距离为 1.3m.

16 题答案图

17.(5-7 函数的综合与创新·2013 东营中考)如图,已知直线 l:y=

3 x,过点 A(0,1) 3

作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B,过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1;过点 A1 作 y 轴的垂线交直

线 l 于点 B1,过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2;??按此作法继续下去,则点 A2013 的坐标 为 .

B
30?

D

A

A2 l B A1 A O
(第 16 题图)

B1 B x

60?

A

C (第 15 题图)
2013 4026

(第 17 题图)

17.

? 0, 4 ? 或 ? 0, 2 ? (注:以上两答案任选一个都对)
y? 3 x 与 x 轴的正方向的夹角为 30°,所以 ?AOB ? 60? ,在 Rt ?AOB 3

解析:因为直线

中,因为 OA=1,所以 OB=2, Rt ?A1OB 中,所以 OA1 =4,即点 A1 的坐标为(0,4),同理 OB1 =8, 所在 Rt ?A2OB1 中, OA2 =16,即点 A2 的坐标为 (0, 4 )
2

依次类推,点 A2013 的坐标为 (0, 4

2013

) 或 (0, 24026 ) .

三、解答题:本大题共 7 小题,共 64 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 7 分,第⑴题 3 分,第⑵题 4 分) (1)(1-4 实数的比较与运算·2013 东营中考)
2? 0 ? 计算: ? ? ? ? ?? ? 3.14 ? ? 2sin 60 ? 12 ? 1 ? 3 3 . ?3?
?1

(2)(2-5 代数式的化简与求值·2013 东营中考) 先化简再计算:
a2 - 1 a - 1 a ,再选取一个你喜欢的数代入求值. ? 2 a - 2a +1 a +1 a - 1

18.分析:(1) ( ) ?1 ?

2 3

1
2 3

?

3 3 0 , (? ? 3.14) ? 1 , sin 60? ? , 12 ? 2 3 . 2 2

(2)先做乘除法,再做加减法,然后代入求值. (1)解:

原式=

3 3 +1 ? 2 ? ? 2 3 ? 1? 3 3 2 2

?

?

=

3 +1 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 3 2 3 2
??????????3 分

=

(2)解: 原式=
?

a2 ?1 a ?1 a ? ? a ? 2a ? 1 a ? 1 a ? 1
2

? a ? 1?? a ? 1? ? a ? 1 ? a 2 a ?1 a ?1 ? a ? 1?
a a ?1

? 1? ?

1 ??????????6 分 1? a

选取任意一个不等于 ?1 的 a 的值,代入求值.如:当 a ? 0 时, 原式 ?

1 ? 1 ?????????????7 分 1? a

点拨:(1)分别根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算出各数,再根据实数 混合运算的法则进行解答即可. (2)当分式的分子与分母是多项式时,应先分解因式,再约分. 19.(6-4

400 D 350 E .某中学为了搞好“创城”活动的宣传,校学生会就本校学生对东营“市情市 动如火如荼的展开 35% 300 A 况”的了解程度进行了一次调查测试.经过对测试成绩的分析,得到如下图所示的两幅不完整的 250 10% 200 统计图(A:59 分及以下; B:60—69 分;C:70—79 分;D:80—89 分;E:90—100 分).请 C 150 B 30% 你根据图中提供的信息解答以下问题: 100 50 A (第 19 题图) B C D E D E
成绩

统计图(表)·2013 东营中考)(本题满分 8 分)东营市“创建文明城市”活

人数

(1)求该校共有多少名学生; (2)将条形统计图补充完整; (3)在扇形统计图中,计算出“60—69 分”部分所对应的圆心角的度数; (4)从该校中任选一名学生,其测试成绩为“90—100 分”的概率是多少? 19. (本题满分 8 分)分析:(1)由扇形统计图可以看出,C 种情况占总数的 30%,而且 C 种情况 共有学生 300 人,故该校有学生 300÷30%=1000(人). (2)A、D 两种情况的学生数为 1000×10%=100(人),1000×35%=350(人). (3)B 种情况共有学生 1000-300-100-350-50=200(人),故 B 种情况在扇形统计图中所对的圆 心角为 360?? (

200 ?100%) ? 72? . 1000 50 1 . ? 1000 20

(4)由题意得该校共有 1000 名学生,而 E 种情况共有 50 名学生,所以任选一名学生抽得 E 种 情况学生的概率为

解:(1)该学校的学生人数是: 300 ? 30% 1000 (人).?????????2 分 (2)条形统计图如图所示.?????????????????????4 分 (3)在扇形统计图中,“60—69 分”部分所对应的圆心角的度数是:

200 360?? ( ?100%) ? 72? ?????????????????????6 分 1000
(4)从该校中任选一名学生,其测试成绩为“90—100 分”的概率是:

50 1 = ????????????????????????8 分 1000 20
人数

400 350 300 250 200 150 100 50 A B C D E 成绩 D (第 19 题答案图) E

点拨:制作扇形统计图时,扇形圆心角的度数等于该组百分比乘 360°.

20.(12-2 直线与圆的位置关系·2013 东营中考)(本题满分 8 分)如图, AB 为 ⊙O 的直径, 点 C 为 ⊙O 上一点,若 ? BAC

CAM ,过点 C 作直线垂直于射线 AM,垂足为点 D.

(1)试判断 CD 与 ⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若直线与 AB 的延长线相交于点 E , ⊙O 的半径为 3,并且 ?CAB ? 30° . 求 CE 的长. M D C l

E

B

O

A

(第 20 题图)

20. (本题满分 8 分)分析: (1) 连接 CO,根据 ?OCA ? ?DAC ,证明 DC∥AD, 再根据 AD ? l , 得 OC ? CD ,从而证明 CD 是⊙O 的切线. (2)由题意得 ?COE ? 2?CAB ? 60? ,则在 Rt ? COE 中,CE ? OC ?tan 60? ? 3? 3 ? 3 3 . (1)解:直线 CD 与⊙O 相切. ??????1 分 理由如下:连接 OC. ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∵∠BAC=∠CAM ∴∠OCA=∠CAM
(第 20 题答案图)

M D C

l

E

B

O

A

∴OC∥AM??????????3 分 ∵CD⊥AM ∴OC⊥CD ∴直线 CD 与 ⊙O 相切. ??????????5 分 (2)解: ∵ ?CAB ? 30° ∴∠COE=2∠CAB= 60? ∴在 Rt△ COE 中,OC=3,CE=OC·tan 60? = 3 3 .??????????8 分

点拨:要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时,只需连结圆心和这点,再证过已知点的半径垂 直于这条直线即可.

21. (5-4 反比例函数·2013 东营中考)(本题满分 9 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函 y 数 y = nx + 2(n

0) 的图象与反比例函数 y =

m (m x

0) 在第一象限内的图象交于点 A,与 x
B O C x

A

4 轴交于点 B,线段 OA=5,C 为 x 轴正半轴上一点,且 sin∠AOC= . 5 (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)求△AOB 的面积.

(第 21 题图)

21. (本题满分 9 分)分析:(1)过点 A 作

AD ? x 轴,在 Rt ?AOD 中,由 sin ?AOC ?

4 , 5

OA=5,可得 AD=4,由勾股定理得 OD=3,故可得点 A 的坐标为(3,4),把(3,4)分别代 入 y ? nx ? 2 ,与 y ?

m 中可求得 m,n 的值. x 1 OB ?AD . 2

(2)根据直线 y ? nx ? 2 与 x 轴的交点可求点 B 的坐标,故 OB 可得,所以 S ?AOB ? 解:(1)过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D, AD 4 ∵sin∠AOC= = ,OA=5 AO 5 ∴AD=4. 由勾股定理得:DO=3, ∵点 A 在第一象限 ∴点 A 的坐标为(3,4)??????2 分 将 A 的坐标为(3,4)代入 y=
(第 21 题图)

y A B

OD

C x

m m ,得 4 = ,∴m=12 x 3 12 ??????4 分 x 2 3

∴该反比例函数的解析式为 y =

将 A 的坐标为(3,4)代入 y = nx + 2 得: n =

∴一次函数的解析式是 y =

2 x + 2 ??????????6 分 3

(2)在 y =

2 2 x + 2 中,令 y=0,即3x+2=0,∴x= - 3 3

∴点 B 的坐标是 (- 3, 0) ∴OB=3,又 DA=4 ∴ SDAOB =

1 OB? AD 2

1 创 3 4 = 6 ,所以△AOB 的面积为 6.???9 分 2

点拨:用待定系数法求函数解析式时,正确求出函数图象上点的坐标是解题的关键.

22.

(3-3 列不等式(组)解应用题·2013 东营中考)

(本题满分 10 分)在东营市中

小学标准化建设工程中,某学校计划购进一批电脑和电子白板,经过市场考察得知,购买 1 台电 脑和 2 台电子白板需要 3.5 万元,购买 2 台电脑和 1 台电子白板需要 2.5 万元. (1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元? (2) 根据学校实际, 需购进电脑和电子白板共 30 台, 总费用不超过 30 万元, 但不低于 28 万元, 请你通过计算求出有几种购买方案,哪种方案费用最低. 22. (本题满分 10 分)分析:(1)设电脑、电子白板的价格分别为 x,y 元,根据等量关系:1 台电 脑+2 台电子白板凳 3.5 万元,2 台电脑+1 台电子白板凳 2.5 万元,列方程组即可. (2)设购进电脑 x 台,电子白板有(30-x)台,然后根据题目中的不等关系列不等式组解答. 解: (1)设每台电脑 x 万元,每台电子白板 y 万元,根据题意得:

? x ? 2 y ? 3.5, ??????????3 分 ? ?2 x ? y ? 2.5
解得: ?

? x ? 0.5, ??????????4 分 ? y ? 1.5

答:每台电脑 0.5 万元,每台电子白板 1.5 万元. ??????????5 分 (2)设需购进电脑 a 台,则购进电子白板(30-a)台, 则?

?0.5a ? 1.5(30 ? a )≥28, ??????????6 分 ?0.5a ? 1.5(30 ? a )≤30
17 ,即 a=15,16,17.??????????7 分

解得: 15 # a

故共有三种方案: 方案一:购进电脑 15 台,电子白板 15 台.总费用为 0.5 ? 15 ? 1.5 ? 15 ? 30 万元; 方案二:购进电脑 16 台,电子白板 14 台.总费用为 0.5 ? 16 ? 1.5 ? 14 ? 29 万元;

方案三:购进电脑 17 台,电子白板 13 台.总费用为 0.5 ? 17 ? 1.5 ?13 ? 28 万元; 所以,方案三费用最低. ??????????10 分

点拨: (1)列方程组或不等式组解应用题的关键是找出题目中存在的等 量关系或不等关系。(2)设计方案题一般是根据题意列出不等式组,求 不等式组的整数解。

23.(9-3 全等与相似的综合与创新·2013 东营中考)(本题满分 10 分) (1)如图(1),已知:在 △ABC 中,∠BAC=90° ,AB=AC,直线 m 经过点 A,BD⊥直线 m, CE⊥直线 m,垂足分别为点 D、E.证明:DE=BD+CE. (2) 如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB=AC,D、A、E 三点都在直线 m 上,并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC= a ,其中 a 为任意锐角或钝角.请问结论 DE=BD+CE 是否成立?如成立,请 你给出证明;若不成立,请说明理由. (3) 拓展与应用:如图(3),D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点(D、A、E 三点互不 重合),点 F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形,连接 BD、CE,若 ∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF 的形状.

C B A
(图 1)

C B B A
(图 2) (第 23 题图)

F C m

D

E

m

D

E

m

D

A
(图 3)

E

23. (本题满分 10 分)分析:(1)因为 DE=DA+AE,故通过证 ?BDA ? ?AEC ,得出 DA=EC, AE=BD,从而证得 DE=BD+CE. (2)成立,仍然通过证明 ?BDA ? ?AEC ,得出 BD=AE,AD=CE,所以 DE=DA+AE=EC+BD. ( 3 )由 ?BDA ? ?AEC 得 BD=AE , ?BDA ? ?EAC , ?ABF 与 ?ACF 均等边三角形,得 ?FBA ? ?FAC ? 60? , FB=FA , 所 以 ?FBA ? ?DBA ? ?FAC ? ?EAC , 即 ?FBD ? ?FAB , 所 以 ?BDF ? ?AEF , 所 以 FD=FE , ?BFD ? ?AFE , 再 根 据 ?BFD ? ?DFA ? ?BFA ? 60? ,得 ?AFE ? ?DFA ? 60? ,即 ?DFE ? 60? ,故 ?DFE 是等

边三角形. 证明:(1)∵BD⊥直线 m,CE⊥直线 m ∴∠BDA=∠CEA=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠ABD=90° ∴∠CAE=∠ABD??????1 分 又 AB=AC ∴△ADB≌△CEA??????2 分 ∴AE=BD,AD=CE ∴DE=AE+AD= BD+CE ??????3 分 (2)∵∠BDA =∠BAC= ? , ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180° —? ∴∠DBA=∠CAE??????4 分 ∵∠BDA=∠AEC= ? ,AB=AC ∴△ADB≌△CEA??????5 分 ∴AE=BD,AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE??????6 分 (3)由(2)知,△ADB≌△CEA, BD=AE,∠DBA =∠CAE ∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ∴∠DBF=∠FAE??????8 分 B ∵BF=AF ∴△DBF≌△EAF??????9 分 ∴DF=EF,∠BFD=∠AFE ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF 为等边三角形.??????10 分 O D A
(图 3)

C B

D

A
(图 1)

E

m

C B A
(图 2)

D

E

m

F C m

E

点拨:利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.

24. (5-6 与二次函数相关的综合题· 2013 东营中考) (本题满分 12 分) 已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 A(2,0),与 y 轴的交点为 B(0,-1). (1)求抛物线的解析式; (2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点 C,使以 BC 为直径的圆经过抛物线的顶点 A.并求出点 C 的坐标以及此时圆的圆心 P 点的坐标. (3)在(2)的基础上,设直线 x=t(0<t<10)与抛物线交于点 N,当 t 为何值时,△ BCN 的面积最 y 大,并求出最大值.
O B A

x

(第 24 题图)

24. (本题满分 12 分)分析:(1)已知抛物线的顶点坐标,可直接设抛物线的解析式为顶点式进 行求解. (2)设 C 点坐标为(x,y),由题意可知 ?BAC ? 900 .过点 C 作 CD ? x 轴于点 D,连接 AB,AC. 易证 ?AOB ? ?CDA ,根据对应线段成比例得出 x, y 的关系式 y ? ?2 x ? 4 ,再根据点 C 在抛物 线上得 y ? ?

1 2 x ? x ? 1 ,联立两个关系式组成方程组,求出 x, y 的值,再根据点 C 所在的象 4

限确定点 C 的坐标。P 为 BC 的中点,取 OD 中点 H,连 PH,则 PH 为梯形 OBCD 的中位线.可 得 OH ?

1 OD ? 5 ,故点 H 的坐标为(5,0)再根据点 P 在 BC 上,可求出直线 BC 的解析式,求 2 1 MN ?10 ? 5MN ,所以求 S ?BCN 的最大值就是求 2

出点 P 的坐标。 (3) 根据 S ?BCN ? S ?BMN ? S ?CMN ,得 S ?BCN ?

MN 的最大值,而 M,N 两点的横坐标相同,所以 MN 就等于点 N 的纵坐标减去点 M 的纵坐标, 从而形成关于 MN 长的二次函数解析式,利用二次函数的最值求解。 解:(1) ∵抛物线的顶点是 A(2,0),设抛物线的解析式为 y = a ( x - 2) .
2

由抛物线过 B(0,-1) 得 4a = - 1 ,∴ a = ∴抛物线的解析式为 y = 即 y =-

1 .????????2 分 4

1 ( x - 2) 2 . 4

1 2 x + x - 1 .????????????3 分 4

(2)设 C 的坐标为(x,y). ∵A 在以 BC 为直径的圆上.∴∠BAC=90°. 作 CD⊥x 轴于 D ,连接 AB、AC. ∵ ?BAO ? ?DAC ? 900 , ?DAC ? ?DCA ? 900 ∴ ?BAO ? ?DCA ∴ △AOB∽△CDA.?????????4 分 ∴ ∴OB·CD=OA·AD. 即 1·y =2(x-2).∴ y =2x-4. ∵点 C 在第四象限. ∴ y = - 2 x + 4 ????????????5 分
P

OB OA = AD CD

y
O B A H D

x

C (第 24(2)答案图)

ì y = - 2 x + 4, 祆 x1 = 10 x2 = 2 ? 镲 , 由í 解得 眄 . 1 2 y1 = 10 y2 = 0 ? y = - x +x- 1 镲 铑 ? 4
∵点 C 在对称轴右侧的抛物线上. ∴点 C 的坐标为 (10,-16).????????6 分 ∵P 为圆心,∴P 为 BC 中点. 取 OD 中点 H,连 PH,则 PH 为梯形 OBCD 的中位线. ∴PH= y
O B A

x=t

17 1 (OB+CD)= .????????7 分 2 2

N

x

∵D(10,0)∴H (5,0)∴P (5, -

17 ). 2

M

故点 P 坐标为(5, -

17 ).??????????8 分 2
(第 24(3)答案图)

C

骣 1 2 (3)设点 N 的坐标为 琪 t, - t + t - 1 ,直线 x=t(0<t<10)与直线 BC 交于点 M. 琪 桫 4

1 1 SDBMN = MN t , SDCMN = MN ? (10 t ) 2 2
所以 SDBCN = SDBMN + SDCMN =

1 MN 10 ?????????9 分 2

设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ,直线 BC 经过 B(0,-1)、C (10,-16)

ì 3 ì ? k =- , ? b = - 1, 所以 í 成立,解得: í 2 ??????????10 分 ? ? ? 10k + b = - 16 ?b =-1
所以直线 BC 的解析式为 y = -

骣 3 3 x - 1 ,则点 M 的坐标为. 琪 t, - t-1 琪 2 桫 2

MN= 琪 琪 -

骣1

骣3 1 5 琪 t 2 +t - 1 - 琪 - t - 1 = - t 2 + t ?????????11 分 4 2 桫4 桫2

1 1 5 SDBCN = (- t 2 + t ) 10 2 4 2
=-

5 2 25 5 125 t + t = - (t - 5) 2 + 4 2 4 4 125 .??????????12 分 4
2

所以,当 t=5 时, SDBCN 有最大值,最大值是

点拨:(1)已知抛物线的顶点坐标(h,k)一般可设其解析式为 y ? a ? x ? h ? ? k .(2)求最值问 题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.

秘密★启用前

试卷类型:A

2013 年东营市初中学生学业考试

数学试题参考答案与评分标准
评卷说明: 1. 选择题和填空题中的每小题,只有满分和零分两个评分档,不给中间分. 2. 解答题中的每小题的解答中所对应的分数,是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分 数.本答案对每小题只给出一种解法,对考生的其他解法,请参照评分意见相应评分. 3. 如果考生在解答的中间过程出现计算错误,但并没有改变试题的实质和难度,其后续部 分酌情给分, 但最多不超过正确解答分数的一半; 若出现严重的逻辑错误, 后续部分就不再给分. 一.选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选 出来.每小题选对得 3 分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 B 7 B 8 A 9 A 10 B 11 C 12 B

二、填空题:本大题共 5 小题,共 20 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 4 分. 13. 2 ? a ? 2b ?? a ? 2b ? ; 14. 2; 15. 9; 16. 1.3; 17.

? 0, 4 ? 或 ? 0, 2 ? (注:以上两答案任选一个都对)
2013 4026

三、解答题:本大题共 7 小题,共 64 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 7 分,第⑴题 3 分,第⑵题 4 分) (1)解: 原式=

3 3 +1 ? 2 ? ? 2 3 ? 1? 3 3 2 2

?

?

=

3 +1 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 3 2 3 2
??????????3 分

=

(2)解: 原式=
?

a2 ?1 a ?1 a ? ? a 2 ? 2a ? 1 a ? 1 a ? 1

? a ? 1?? a ? 1? ? a ? 1 ? a 2 a ?1 a ?1 ? a ? 1?
a a ?1

? 1? ?

1 ??????????6 分 1? a

选取任意一个不等于 ?1 的 a 的值,代入求值.如:当 a ? 0 时, 原式 ?

1 ? 1 ?????????????7 分 1? a

19. (本题满分 8 分) 解:(1)该学校的学生人数是: 300 ? 30% 1000 (人).?????????2 分 (2)条形统计图如图所示.?????????????????????4 分 (3)在扇形统计图中,“60—69 分”部分所对应的圆心角的度数是:

200 360?? ( ?100%) ? 72? ?????????????????????6 分 1000
(4)从该校中任选一名学生,其测试成绩为“90—100 分”的概率是:

50 1 = ????????????????????????8 分 1000 20
人数

400 350 300 250 200 150 100 50 A B C D E 成绩 D (第 19 题答案图) E

20. (本题满分 8 分) (1)解:直线 CD 与⊙O 相切. ??????1 分 理由如下:连接 OC. ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∵∠BAC=∠CAM ∴∠OCA=∠CAM
(第 20 题答案图)

M D C

l

E

B

O

A

∴OC∥AM??????????3 分 ∵CD⊥AM ∴OC⊥CD ∴直线 CD 与 ⊙O 相切. ??????????5 分

(2)解: ∵ ?CAB ? 30° ∴∠COE=2∠CAB= 60? ∴在 Rt△ COE 中,OC=3,CE=OC·tan 60? = 3 3 .??????????8 分 21. (本题满分 9 分) 解:(1)过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D, AD 4 ∵sin∠AOC= = ,OA=5 AO 5 ∴AD=4. 由勾股定理得:DO=3, ∵点 A 在第一象限 ∴点 A 的坐标为(3,4)??????2 分 将 A 的坐标为(3,4)代入 y=
(第 21 题图)

y A B

OD

C x

m m ,得 4 = ,∴m=12 x 3 12 ??????4 分 x 2 3

∴该反比例函数的解析式为 y =

将 A 的坐标为(3,4)代入 y = nx + 2 得: n =

∴一次函数的解析式是 y =

2 x + 2 ??????????6 分 3

(2)在 y =

2 2 x + 2 中,令 y=0,即3x+2=0,∴x= - 3 3

∴点 B 的坐标是 (- 3, 0) ∴OB=3,又 DA=4 ∴ SDAOB =

1 OB? AD 2

1 创 3 4 = 6 ,所以△AOB 的面积为 6.???9 分 2

22. (本题满分 10 分) 解: (1)设每台电脑 x 万元,每台电子白板 y 万元,根据题意得:

? x ? 2 y ? 3.5, ??????????3 分 ? ?2 x ? y ? 2.5

解得: ?

? x ? 0.5, ??????????4 分 ? y ? 1.5

答:每台电脑 0.5 万元,每台电子白板 1.5 万元. ??????????5 分 (2)设需购进电脑 a 台,则购进电子白板(30-a)台, 则?

?0.5a ? 1.5(30 ? a )≥28, ??????????6 分 ?0.5a ? 1.5(30 ? a )≤30
17 ,即 a=15,16,17.??????????7 分

解得: 15 # a

故共有三种方案: 方案一:购进电脑 15 台,电子白板 15 台.总费用为 0.5 ? 15 ? 1.5 ? 15 ? 30 万元; 方案二:购进电脑 16 台,电子白板 14 台.总费用为 0.5 ? 16 ? 1.5 ? 14 ? 29 万元; 方案三:购进电脑 17 台,电子白板 13 台.总费用为 0.5 ? 17 ? 1.5 ?13 ? 28 万元; 所以,方案三费用最低. ??????????10 分 23. (本题满分 10 分) 证明:(1)∵BD⊥直线 m,CE⊥直线 m ∴∠BDA=∠CEA=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠ABD=90° ∴∠CAE=∠ABD??????1 分 又 AB=AC ∴△ADB≌△CEA??????2 分 ∴AE=BD,AD=CE ∴DE=AE+AD= BD+CE ??????3 分 (2)∵∠BDA =∠BAC= ? , ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180° —? ∴∠DBA=∠CAE??????4 分 ∵∠BDA=∠AEC= ? ,AB=AC ∴△ADB≌△CEA??????5 分 ∴AE=BD,AD=CE B A
(图 2)

C B

D

A
(图 1)

E

m

C

D

E

m

∴DE=AE+AD=BD+CE??????6 分 (3)由(2)知,△ADB≌△CEA, BD=AE,∠DBA =∠CAE ∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ∴∠DBF=∠FAE??????8 分 B ∵BF=AF ∴△DBF≌△EAF??????9 分 ∴DF=EF,∠BFD=∠AFE ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF 为等边三角形.??????10 分 24. (本题满分 12 分) 解:(1) ∵抛物线的顶点是 A(2,0),设抛物线的解析式为 y = a ( x - 2) . 由抛物线过 B(0,-1) 得 4a = - 1 ,∴ a = ∴抛物线的解析式为 y = 即 y =2

F C O D A
(图 3)

E

m

1 .????????2 分 4

1 ( x - 2) 2 . 4

1 2 x + x - 1 .????????????3 分 4
y
O B A H D

(2)设 C 的坐标为(x,y). ∵A 在以 BC 为直径的圆上.∴∠BAC=90°. 作 CD⊥x 轴于 D ,连接 AB、AC. 则有 △AOB∽△CDA.?????????4 分

x

OB OA = AD CD
∴OB·CD=OA·AD. 即 1·y =2(x-2).∴ y =2x-4. ∵点 C 在第四象限. ∴ y = - 2 x + 4 ????????????5 分

P

C (第 24(2)答案图)

ì y = - 2 x + 4, ? ? x1 ? 10 ? x2 ? 2 ,? 由í 解得 ? . 1 2 ? y = - x +x- 1 ? y1 ? 10 ? y2 ? 0 ? 4
∵点 C 在对称轴右侧的抛物线上. ∴点 C 的坐标为 (10,-16).????????6 分 ∵P 为圆心,∴P 为 BC 中点. 取 OD 中点 H,连 PH,则 PH 为梯形 OBCD 的中位线. ∴PH= y
O B A N x=t

17 1 (OB+CD)= .????????7 分 2 2

x

∵D(10,0)∴H (5,0)∴P (5, -

17 ). 2

M

故点 P 坐标为(5, -

17 ).??????????8 分 2
(第 24(3)答案图)

C

1 ? ? (3)设点 N 的坐标为 ? t , ? t 2 ? t ? 1? ,直线 x=t(0<t<10)与直线 BC 交于点 M. 4 ? ?

1 1 SDBMN = MN t , SDCMN = MN ? (10 t ) 2 2
所以 SDBCN = SDBMN + SDCMN =

1 MN 10 ?????????9 分 2

设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ,直线 BC 经过 B(0,-1)、C (10,-16)

ì 3 ì b = - 1, ? k =- , ? 所以 í 成立,解得: í 2 ??????????10 分 ? ? 10k + b = - 16 ? ?b =-1
所以直线 BC 的解析式为 y = -

3 3 ? ? x - 1 ,则点 M 的坐标为. ? t , ? t ? 1? 2 2 ? ?

MN= ? ?

5 ? 1 2 ? ? 3 ? 1 t ? t ? 1? ? ? ? t ? 1? = - t 2 + t ?????????11 分 4 2 ? 4 ? ? 2 ?

1 1 5 SDBCN = (- t 2 + t ) 10 2 4 2
=-

5 2 25 5 125 t + t = - (t - 5) 2 + 4 2 4 4

所以,当 t=5 时, SDBCN 有最大值,最大值是

125 .??????????12 分 4


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