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2013年浙江中考数学第一轮复习课件 专题突破强化训练专题九数学思想方法问题


2013年浙江中考第一轮复习

数 学

专题九 数学思想方法问题

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【专题分析】数学思想方法在中考中的常考点有:分类讨论思想方法,数形结合思想方 法,方程函数建模思想,化归思想方法以及代入法、消元法、待定系数法等;代数与几何的 综合题所涉及到的思想方法很多, 以数形结合思想为主线, 综合考查其他思想方法的灵活运 用,难度较大,一般为中考中的压轴题.

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(2012· 镇江)关于 x 的二次函数 y=(x+1)(x-m),其图象的对称轴在 y 的右侧,则 实数 m 的取值范围是( ) A.m<-1 B.-1<m<0 C.0<m<1 D.m>1

【思路点拨】 确定图象开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等 → 画出简图 → 确定范围 .
【解析】D 二次函数 y=(x+1)(x-m)与 x 轴的交点为(-1,0)和(m,0),由于对称轴在 y 轴的右侧,则点(m,0)在 x 轴正半轴上,画出函数的简图如下,可得 m>1.

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(2012· 徐州)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,且 CD⊥AB,AC=8,BC=6,则 sin∠ABD = ______.

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(2012· 毕节)某商品的进价为每件 20 元,售价为每件 30 元,每个月可卖出 180 件; 如果每件商品的售价每上涨 1 元,则每个月就会少卖出 10 件,但每件售价不能高于 35 元, 设每件商品的售价上涨 x 元(x 为整数),每个月的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式,并直接写出自变量 x 的取值范围; (2)每件商品的售价为多少元时,每个月可获得最大利润?最大利润是多少? (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰好是 1 920 元?
由销售利润=每件的利润×售出件数 【思路点拨】(1) → 化简 → 确定范围 列出函数关系式 (2) 根据对称轴公式求出x的值 → 代入函数求出y的值 (3) 根据题意得出方程 → 解方程求出方程的解 → 根据x的范围确定x的值

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【解析】(1)y=(30-20+x)(180-10x)=-10x2+80x+1 800(0≤x≤5,且 x 为整数); -80 (2)当 x= =4 时,y 最大=1 960 元; 2×?-10? ∴每件商品的售价为 34 元. 答:每件商品的售价为 34 元时,商品的利润最大,为 1 960 元; (3)1 920=-10x 2+80x+1 800,整理,得 x 2-8x+12=0, ∴(x-2)(x-6)=0,解得 x=2 或 x=6. ∵0≤x≤5,∴x=2, ∴售价为 32 元时,利润为 1 920 元.

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如图,在矩形 ABCD 中,AB=12 cm,BC=8 cm,点 E、F、G 分别从点 A、B、 C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点 E、G 的速度均为 2 cm/s,点 F 的速度 为 4 cm/s,当点 F 追上点 G(即点 F 与点 G 重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第 t 秒时,△EFG 的面积为 S(cm2).

(1)当 t=1 秒时,S 的值是多少? (2)写出 S 和 t 之间的函数解析式,并指出自变量 t 的取值范围. (3)若点 F 在矩形的边 BC 上移动, t 为何值时, 当 以点 E、 F 为顶点的三角形与以 F、 B、 C、G 为顶点的三角形相似?请说明理由.

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【解析】(1)如图甲,当 t=1 秒时,AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=2, 1 1 1 由 S=S 梯形 EBCG-S△EBF-S△FCG= (10+2)×8- ×10×4- ×4×2=24; 2 2 2 (2)①如图甲,当 0≤t≤2 时,点 E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上移动,此时 AE=CG =2t,EB=12-2t,BF=4t,FC=8-4t,S=8t 2-32t+48(0≤t≤2);

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②如图乙,当点 F 追上点 G 时,4t-2t=8,解得 t=4,当 2<t≤4 时,CF=4t-8,CG =2t,FG=CG-CF=8-2t,即 S=-8t+32(2<t≤4); (3)如图甲,当点 F 在矩形的边 BC 上移动时,0≤t≤2,在△EBF 和△FCG 中,∠B= 12-2t 4t EB BF 2 2 2 ∠C=90° ;①若 = ,即 = ,解得 t= ,又 t= 满足 0≤t≤2,所以当 t= 时 3 3 3 FC CG 8-4t 2t 12-2t EB BF 4t 3 3 △EBF∽△FCG;②若 = ,即 = ,解得 t= ,又 t= 满足 0≤t≤2,所以 2t 2 2 GC CF 8-4t 3 2 3 当 t= 时△EBF∽△GCF.综上所述,当 t= 或 时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、 2 3 2 C、G 为顶点的三角形相似.

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一、选择题 1. 若x是2的相反数,|y|=3,则x-y的值是( )

A.-5
C.-1或5 答案:D

B.1
D.1或-5

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k1 2.如图,反比例函数 y1= 和正比例函数 y 2=k 2x 的图象交于 A(-1,-3)、B(1,3)两 x k1 点,若 >k2x,则 x 的取值范围是( ) x

A.-1<x<0 C.x<-1 或 0<x<1

B.-1<x<1 D.-1<x<0 或 x>1

答案:C

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3. 如图是某月的日历表, 在此日历表上可以用一个矩形圈出 3×3 个位置相邻的 9 个数 (如 6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的 9 个数中,最大数与最小数的积为 192,则这 9 个数 的和为( )

A.32

B.126

C.135

D.144

解析:由图可以得出,圈出的 9 个数,最大数与最小数的差为 16,设最小数为 x,则最 大数为 x+16,根据题意,得 x(x+16)=192,解得 x1=8,x2=-24(不合题意舍去),故最小 的三个数为 8,9,10.下面一行的数字分别比上面三个数大 7,即为 15,16,17.第 3 行三个数,比 上一行三个数分别大 7,即为 22,23,24.这 9 个数的和为:8+9+10+15+16+17+22+23+ 24=144.

答案:D
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4.如图,一牧童在 A 处牧马,牧童家在 B 处,A、B 处距河岸的距离 AC、BD 的长分 别为 500 m 和 700 m,且 C、D 两地的距离为 500 m,天黑前牧童从 A 点将马牵引到河边去 饮水后,再赶回家,那么牧童至少要走( )

A.100 29 m C.1 300 m

B.1 200 m D.1 700 m

解析:作 A 关于直线 CD 的对称点 A′,连结 A′B,则 A′B 的长就是最短路程.根 据题意,得 A′B= 5002+1 2002=1 300(m).

答案:C

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二、填空题 1 5.如图,△ABC 内接于⊙O,AB、CD 为⊙O 直径,DE⊥AB 于点 E,sin A= ,则 2 ∠D 的度数是________.

1 解析:∵sin A= ,∴∠A=30° ,∵AB 是直径,∴∠ACB=90° ,于是∠B=90° -30° = 2 60° ,∵OC=OB,∴△OBC 为等边三角形,于是∠AOD=∠COB=60° ,∵DE⊥AB, ∴∠D=90° -60° =30° .

答案:30°
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4 ? 2 6.(2012· 温州市实验中学模拟)若直线 y=m(m 为常数)与函数 y=?x ?x≤2??x ?x>2? 的 ? 图象恒有三个不同的交点,则常数 m 的取值范围是________.
解析:根据题意可画图,如图,直线与函数有三个交点,所以常数 m 的取值范围是 0<m<2.

答案:0<m<2

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7.如图,在平面直角坐标系中,⊙O 1 过原点 O,且⊙O 1 与⊙O 2 相外切,圆心 O 1 与 O2 在 x 轴正半轴上,⊙O1 的半径 O 1P1、⊙O2 的半径 O 2P2 都与 x 轴垂直,且点 P1(x1,y 1)、 1 P2(x2,y 2)在反比例函数 y= (x>0)的图象上,则 y 1+y 2=________. x

解析:∵OO1=O1P1,∴x 1=y 1, 1 1 ∴P1(y1,y 1),代入 y= 得 y1=1,∴P2(2+y 2,y 2),代入 y= 得 y2= 2-1,∴y1+y 2 x x = 2.故答案为 2.
答案: 2

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?ab +b -3a+1 ?5=________. 8.设 a +2a-1=0,b -2b -1=0,且 1-ab ≠0,则? ? a ? ?
2 2 2 4 2 2

解析:b4-2b2-1=0 可变为(-b2)2+(-2b2)-1=0,又 a2+2a-1=0,所以,a 和 -b2 可以看作方程 x2+2x-1=0 的两个不同的根.根据韦达定理得 a-b2=-2,-ab2 =-1.即 b2=a+2,ab2=1,与已知矛盾,所以 a 和-b2 只能是 x2+2x-1=0 的同一个根, -a2-a-3a+1 5 -a2-4a+1 5 2a-1-4a+1 5 -2a 5 2 即 a=-b ,代入得( ) =( )= ( ) =( ) =(-2)5 a a a a =-32.

答案:-32

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9. 如图①,在边长为 a 的大正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形,再将图中的阴影 简拼成一个长方形,如图②,这个拼成的长方形的长为 30,宽为 20,则右图中Ⅱ部分的面 积是________.

解析:根据图形,第 2 个图形的长为 a+b,宽为 a-b,由此得 a+b=30,a-b=20, 所以 a=25,b=5,则第Ⅱ部分的面积=5×20=100.

答案:100

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10.某市出租车公司规定:出租车收费与行驶路程关系如图所示.如果小明姥姥乘出租 车去小明家花了 22 元,那么小明姥姥乘车路程有________千米.

答案:13
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11.如图,相距 2 cm 的两个点 A,B 在直线 l 上,它们分别以 2 cm/s 和 1 cm/s 的速度 在 l 上同时向右平移,当点 A,B 分别平移到点 A 1,B1 的位置时,半径为 1 cm 的⊙A1 与半 径为 BB1 的⊙B 相切,则点 A 平移到点 A 1 时所用时间为________s.

解析:当点 A1 在线段 AB 上,设所用时间为 x s,两圆相切于点 D,则 A 1B=AB-AA1 1 =2-2x;A1B=A 1D+DB=1+x,所以 2-2x=1+x,x= ;点 A1 在线段 AB 的延长线上, 3 则 BA1=BB1+B 1A 1=x+1,BA1=AA1-AB=2x-2,那么 x+1=2x-2,x=3.

答案:3 或

1 3

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三、解答题 12. (2012· 衢州兴华中学模拟)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的单价对外批发 销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价 格经过两次下调后,以每千克 3.2 元的单价对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率; (2)小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供 选择: 方案一:打九折销售; 方案二:不打折,每吨优惠现金 200 元. 试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.

解:(1)设平均每次下调的百分率为 x. 由题意,得 5(1-x) 2=3.2.解这个方程,得 x 1=0.2,x2=1.8.因为降价的百分率不可能大 于 1,所以 x2=1.8 不符合题意,符合题目要求的是 x 1=0.2=20%. 答:平均每次下调的百分率是 20%. (2)小华选择方案一购买更优惠. 理由:方案一所需费用为:3.2×0.9×5 000=14 400(元), 方案二所需费用为:3.2×5 000-200×5=15 000(元). ∵14 400 <15 000,∴小华选择方案一购买更优惠.
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13.如图,在直角坐标系中,梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上,底边 CD 的端点 D 在 y 4 16 轴上.直线 CB 的解析式为 y=- x+ ,点 A、D 的坐标分别为(-4,0),(0,4).动点 P 自 A 3 3 点出发,在 AB 上匀速运行.动点 Q 自点 B 出发,在折线 BCD 上匀速运行,速度均为每秒 1 个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点 P 运动 t(秒)时,△OPQ 的面积为 S(不能构成△OPQ 的动点除外). (1)求出点 B、C 的坐标; (2)求 S 随 t 变化的函数关系式; (3)当 t 为何值时 S 有最大值?并求出最大值.

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4 16 解:(1)把 y=4 代入 y=- x+ ,得 x=1. 3 3 ∴C 点的坐标为(1,4).

4 16 当 y=0 时,- x+ =0, 3 3 ∴x=4.∴点 B 坐标为(4,0).

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(2)作 CM⊥AB 于 M,则 CM=4,BM=3. ∴BC= CM 2+BM 2= 32+42=5. CM 4 ∴sin∠ABC= = . BC 5 ①当 0<t<4 时,作 QN⊥OB 于 N, 4 则 QN=BQ· sin∠ABC= t. 5 1 1 4 2 8 ∴S= OP· QN= (4-t)× t =- t2+ t(0<t<4). 2 2 5 5 5

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②当 4<t≤5 时, 连结 QO,QP,作 QN⊥OB 于 N. 4 同理可得 QN= t. 5 1 1 4 2 8 ∴S= OP· QN= ×(t-4)× t= t2- t(4<t≤5). 2 2 5 5 5

③当 5<t≤6 时,连结 QO,QP. 1 1 S= ×OP×OD= (t-4)×4= 2 2 2t-8(5<t≤6).

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(3)①在 0<t<4 时, 8 8 -? ?2 5 5 8 当 t=- =2 时,S 最大= = . 2 2 5 2×?- ? 4×?- ? 5 5 8 - 5 22 8 ②在 4<t≤5 时,对于抛物线 S= t - t,当 t=- =2 时, 5 5 2 2× 5 2 8 8 S 最小= ×22- ×2=- . 5 5 5 2 8 8 ∴抛物线 S= t2- t 的顶点为(2,- ). 5 5 5 ∴在 4<t≤5 时,S 随 t 的增大而增大. 2 8 ∴当 t=5 时,S 最大= ×52- ×5=2. 5 5 ③在 5<t≤6 时,在 S=2t-8 中, ∵2>0,∴S 随 t 的增大而增大. ∴当 t=6 时,S 最大=2×6-8=4. ∴综合三种情况,当 t=6 时,S 取得最大值,最大值是 4.
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