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高考文理科必备数学公式全


高中数学知识点归纳
新课标人教 A 版 引言
1.课程内容:
必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、 对、幂函数) 必修 2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3:算法初步、统计、概率。 必修 4:基本初等函数(三角函数) 、平面向量、 三角恒等变换。 必修 5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、 发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做 过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概 率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列: 系列 1:由 2 个模块组成。 选修 1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修 1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列 2:由 3 个模块组成。 选修 2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数 选修 2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。
-1-

系列 3:由 6 个专题组成。 选修 3—1:数学史选讲。 选修 3—2:信息安全与密码。 选修 3—3:球面上的几何。 选修 3—4:对称与群。 选修 3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3—6:三等分角与数域扩充。 系列 4:由 10 个专题组成。 选修 4—1:几何证明选讲。 选修 4—2:矩阵与变换。 选修 4—3:数列与差分。 选修 4—4:坐标系与参数方程。 选修 4—5:不等式选讲。 选修 4—6:初等数论初步。 选修 4—7:优选法与试验设计初步。 选修 4—8:统筹法与图论初步。 选修 4—9:风险与决策。 选修 4—10:开关电路与布尔代数。

2.重难点及考点:
重点:函数,数列,三角函数,平面向量, 圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用

⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 ⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数:复数的概念与运算

1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成 的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B . 3、全集、补集? CU A ? {x | x ?U , 且x ?U } §1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集 合 B 中都有惟一确定的数 f ?x ? 和它对应, 那么就 作: y ? f ?x ?, x ? A . 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同, 并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么 称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记

必修 1 数学知识点
第一章:集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合: N * 或 N ? ,整数集合:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格 式 : 解 : 设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 , 则 : (2)导数法:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个

f ?x1 ? ? f ?x2 ? =?

Z ,有理数集合: Q ,实数集合: R .
4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任 意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是 集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: ? .并规定: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子
n 集, 2 ? 1 个真子集. n

x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为
偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个

x ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为
奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 相应的切线方 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,

§1.1.3、集合间的基本运算
-2-

程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 2、几种常见函数的导数
' ① C ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ;

其中 n ? 1, n ? N ? . 2、 当 n 为奇数时, n a n ? a ;
n n 当 n 为偶数时, a ? a .

③ (sin x) ' ? cos x ; ④ (cos x) ' ? ? sin x ; ⑤ (a x ) ' ? a x ln a ; ⑥ (e x ) ' ? e x ;

3、 我们规定:
n

1 1 ' ⑦ (log a x) ? ;⑧ (ln x ) ? x ln a x
'

⑴am ?

m

an
*

3、导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v' . (2) (uv)' ? u 'v ? uv' .

?a ? 0, m, n ? N
⑵a
?n

,m ?1 ;

?

?

1 ?n ? 0 ? ; an
r ?s

u ' u 'v ? uv ' (v ? 0) . (3) ( ) ? v v2
4、复合函数求导法则 复合函数 y ? f ( g ( x)) 的导数和函数 y ? f (u ), u ? g ( x) 的导数间的关系为 y x? ? yu? ? u x? , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的 乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义: 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) < f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极大值; 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) > f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极小值. (2)判别方法: ①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0, 那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ( x) <0,右侧 f ( x) >0, 那么 f ( x 0 ) 是极小值. 6、求函数的最值 (1)求 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值 (极大或者极小值) (2)将 y ? f ( x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较, 其中 最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。 注:极值是在局部对函数值进行比较(局部性质) ; 最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。 第二章:基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根。
n

4、 运算性质: ⑴a a ? a
r s

?a ? 0, r, s ? Q? ;

⑵ ar

? ?

s

? a rs ?a ? 0, r , s ? Q? ;

⑶ ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? .
r

§2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象: y ? a ?a ? 0, a ? 1?
x
y

y=ax
0<a<1 1
o x

a>1

2、性质:

a ?1
' '
6

0 ? a ?1
6 5

图 象
1
-4 -2

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

(5) x ? 0, a ? 1 ;
x x

x ? 0, 0 ? a ? 1
x

(5) x ? 0,0 ? a ? 1 ;
x

x ? 0, a ? 1
x

§2.2.1、对数与对数运算 1、指数与对数互化式: a ? N ? x ? loga N ;
-3-

2、对数恒等式: a

log a N

?N.

3、基本性质: loga 1 ? 0 , loga a ? 1 . 4、运算性质:当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ⑴ loga ?MN ? ? loga M ? loga N ; ⑵ loga ?

?M ? ? ? loga M ? loga N ; ?N?
第三章:函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程 f ?x ? ? 0 有实根

⑶ loga M n ? n loga M . 5、换底公式: loga b ?

logc b logc a
m log a b n

?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? .
6、重要公式: log a n b ?
m

? 函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ?x ? 有零点.
2、 零点存在性定理: 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有 f ?a ? ? f ?b ? ? 0 ,那么函数

7、 倒数关系:loga b ?

1 ?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? . logb a

§2..2.2、对数函数及其性质 1、记住图象: y ? loga x?a ? 0, a ? 1?
y

y ? f ?x ? 在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ? ?a, b ? ,
使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ?x ? ? 0 的根.

y=logax
0<a<1
o

1 a>1

x

2、性质:

a ?1
3
3

0 ? a ?1
2.5 2 1.5

2.5

2

1.5


-1

1 0

1

1
1

1

§3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. §3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函 数拟合,最后检验.
6 7 8

0.5

0.5



-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2
-2.5

-2.5

必修 2 数学知识点
第一章:空间几何体 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:
圆柱、圆锥、圆台、球。

(1)定义域: (0,+∞)
性 质

(2)值域:R (3)过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0
(4)在 (0,+∞)上是增函数

(5) x ? 1, loga x ? 0 ; §2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:

(4)在(0,+∞)上是减函数

0 ? x ? 1, loga x ? 0

(5) x ? 1, loga x ? 0 ;

0 ? x ? 1, loga x ? 0

⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围 成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与
截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
-4-

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影 的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影,平行投影的投影线是平行的。

该直线与此平面平行(简称线线平行,则线面平行) 。

⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行(简称线面平行,则 线线平行) 。

3、空间几何体的表面积与体积

10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行(简称线面平行,则面面平行) 。

⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么
它们的交线平行(简称面面平行,则线线平行) 。

⑴圆柱侧面积; S侧面 ? 2? ? r ? l

11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,
那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,
则该直线与此平面垂直(简称线线垂直,则线面垂直) 。

⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l

⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面
角,就说这两个平面互相垂直。

⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个
平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直) 。

⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的 ⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l ⑷体积公式:
直线垂直于另一个平面。 (简称面面垂直, 则线面垂直) 。

第三章:直线与方程 1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? 2、直线方程: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? b

1 V柱体 ? S ? h ; V锥体 ? S ? h ; 3 1 V台体 ? S 上 ? S 上 ? S 下 ? S 下 h 3

?

?

y 2 ? y1 x2 ? x1

⑸球的表面积和体积:

S球

4 ? 4?R ,V球 ? ?R 3 . 3
2

第二章:点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条
直线在此平面内。

⑶两点式:

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。

y ? y1 y2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

⑷截距式:

4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这
两个角相等或互补。

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0

6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。

3、对于直线:

l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有:
⑴ l1 // l 2 ? ?

8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则
-5-

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

2、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑷ l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1. 4、对于直线:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2 有:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
⑴ l1 // l 2 ? ?

? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
3、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 3、空间中两点间距离公式:

? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C 2 ? B2 C1

⑵ l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C2 ? B2 C1

⑷ l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 5、两点间距离公式:

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2

必修 3 数学知识点
第一章:算法 1、算法三种语言: 自然语言、流程图、程序语言; 2、流程图中的图框: 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等 规范表示方法; 3、算法的三种基本结构: 顺序结构、条件结构、循环结构 ? ⑴顺序结构示意图:

6、点到直线距离公式:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

7、两平行线间的距离公式:

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 平行,
则d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2

?当型循环结构 ?直到型循环结构

第四章:圆与方程 1、圆的方程: ⑴标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

语句 n

其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r . ⑵一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

语句 n+1

其中圆心为 ( ?

D 2

,?

E 2

), 半径为 r ?

1 2

D 2 ? E 2 ? 4F .
-6-

(图 1)

⑵条件结构示意图: ①IF-THEN-ELSE 格式:

(图 5) 4、基本算法语句: ①输入语句的一般格式: INPUT“提示内容” ;变量 ②输出语句的一般格式:PRINT“提示内容” ;表达式 ③赋值语句的一般格式:变量=表达式 ( “=”有时也用“←” ). ④条件语句的一般格式有两种: IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为:

满足条件? 是 语句 1



语句 2

IF 条件 语句 1
(图 2) ②IF-THEN 格式: 是 满足条件? 否 语句

THEN

ELSE 语句 2 END IF
(图 2)

IF—THEN 语句的一般格式为:

IF 条件 THEN 语句 END IF
(图 3)

(图 3) ⑶循环结构示意图: ①当型(WHILE 型)循环结构示意图:

⑤循环语句的一般格式是两种: 当型循环(WHILE)语句的一般格式:

WHILE
循环体 满足条件? 否

条件
(图 4)

循环体 WEND



直到型循环(UNTIL)语句的一般格式:

DO
(图 4) ②直到型(UNTIL 型)循环结构示意图:

循环体 LOOP UNTIL 条件
(图 5)

循环体 否 满足条件? 是

⑹算法案例: ①辗转相除法—结果是以相除余数为 0 而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: ⅰ) : 用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 S0 和 一个余数 R0 ; ⅱ) :若 R0 =0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余
-7-

数 R1 ; ⅲ) : 若 R1 =0, 则 R1 为 m, n 的最大公约数; 若 R1 ≠ 0, 则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;?? 依次计算直至 Rn =0, 此时所得到的 Rn ?1 即为所求 的最大公约数。 ②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下: ⅰ) :任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。 若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。 ⅱ) :以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与 所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直 到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的 最大公约数。 ③进位制 十进制数化为 k 进制数—除 k 取余法 k 进制数化为十进制数 第二章:统计 1、抽样方法: ①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显) 注意: 在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本, n 每个个体被抽到的机会(概率)均为 。 N 2、总体分布的估计: ⑴一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据 的分布,以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大 书写,相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计: x ? x ? x3 ? ? ? x n ⑴平均数: x ? 1 2 ; n 取值为 x1 , x 2 , ? , x n 的频率分别为 p1 , p 2 , ? , p n ,则其 平均数为 x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差:一组样本数据 x1 , x 2 , ? , x n
1 方差: s ? n
2

标准差: s ?

1 n

? (x
i ?1

n

2 i

? x)

注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的 稳定水平。 ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ?b ? n 2 ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx
?

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。 第三章:概率 1、随机事件及其概率: ⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母 表示; ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点; ⑶随机事件 A 的概率: P( A) ?
m ,0 ? P( A) ? 1 . n

2、古典概型: ⑴基本事件: 一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵古典概型的特点: ①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事 件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事件,则 事件 A 发生的概率 P( A) ?
m . n

3、几何概型: ⑴几何概型的特点: ①所有的基本事件是无限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式: P( A) ?
d的测度 ; D的测度

? (x
i ?1

n

2 i

? x) ;

其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、 体积等。 4、互斥事件: ⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件; ⑵如果事件 A1 , A2 , ? , An 任意两个都是互斥事件, 则称
-8-

事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥。 ⑶如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率, 等于事件 A,B 发生的概率的和, 即: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ⑷如果事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥,则有:
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

余弦线:OM; 正切线:AT

5、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270 等的三角函数值. 0
?
? 6

⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称 这两个事件为对立事件。 ①事件 A 的对立事件记作 A
P( A) ? P( A) ? 1, P( A) ? 1 ? P( A)

?
4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

?

3? 2

2?

sin ?
cos ?

②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事 件。

tan ?

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .
2 2

必修 4 数学知识点
第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合:

sin ? . cos ? 3、 倒数关系: tan ? cot ? ? 1
2、 商数关系: tan ? ? §1.3、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限” k ? Z ) 1、 诱导公式一:

?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?.
§1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角. 2、

? ? .

n?R ? ?R. 3、弧长公式: l ? 180
4、扇形面积公式: S ?

l r

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .
2、 诱导公式二:

n?R 2 1 ? lR . 360 2

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
3、诱导公式三:

§1.2.1、任意角的三角函数 1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点

P?x, y ? ,那么: sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ?
2、 设点 A? x , y

y x

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
4、诱导公式四:

那么: (设 ? 为角 ? 终边上任意一点,

r?

x ?y )
2 2

sin ? ?

y x y x cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? , r r x y

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .
5、诱导公式五:

3、 sin ? ,cos? , tan? 在四个象限的符号和三角 函数线的画法. y
P T

正弦线:MP;
O M Ax

?? ? sin ? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
-9-

6、诱导公式六:

?? ? sin ? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定 义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、 奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

y ? sin x 在 x ? [0, 2? ] 上的五个关键点为:
7? 2

1 o -1y 1 o -1
? 2 ? ? 2 ?

3? 2 2? 5? 3? 2 3? 2 2? 5? 2

4?

x

? 3? (0, 0) ( , , 1 ) ( , ?, 0) ( , ,) -1( , 2?, 0) . 2 2

y=cosx

-4? -7? 2

-5? -3? 2

? -? - 2 -2? -3? 2

7? 3? 2

4?

x

§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:
y

2、记住余切函数的图象:
y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义:对于函数 f ?x ? ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ?x ? T ? ? f ?x ? ,那么函数 f ?x ? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.
图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R
[-1,1]
- 10 -

R
[-1,1]

{x | x ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

x ? 2 k? ?

?
2

, k ? Z时,y max ? 1 , k ? Z时,y min ? ?1

最值
x ? 2 k? ?

x ? 2k? , k ? Z时,ymax ? 1 x ? 2k? ? ? , k ? Z时,ymin ? ?1

?
2



周期性 奇偶性
2

T ? 2?
奇 在 [2k? ? ? , 2k? ? ? ] 上单调递增
2

T ? 2?
偶 在 [2k? ? ? , 2k? ] 上单调递增 在 [2k? , 2k? ? ? ] 上单调递减

T ??
奇 在 (k? ? ? , k? ? ? ) 上单调递增 2 2

单调性

k?Z

在 [2k? ? ? , 2k? ? 3? ] 上单调递减
2 2

对称性

对称轴方程: x ? k? ? 对称中心 ( k? , 0)

?
2

对称轴方程: x ? k? 对称中心 ( k? ?

无对称轴 对称中心 (

k?Z

?
2

, 0)

k? 2

, 0)

§1.5、函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象 1、对于函数:

纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的 | 平移
? ?

y ? A sin ? x
1

y ? Asin ??x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 有:振幅 A,周
期T ?

2?

?

|倍

2、能够讲出函数 y ? sin x 的图象与

?

, 初相 ? , 相位 ?x ? ? , 频率 f ?

1 T

?

2?

?

.

个单位

y ? As i n ?? ? ?? x y ? A sin ?? x ? ? ? ? B

(左加右减) 平移 | B | 个单位 (上加下减)

y ? A sin ?? x ? ? ? ? B 的图象之间的平移伸缩变
换关系. ① 先平移后伸缩:

y ? sin x

平移

| ?| 个单位

y ?sin ? x ?? ? y ? As i n ?? ? ? x y ? A sin ?? x ? ? ?

3、三角函数的周期,对称轴和对称中心 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A, ? , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ? 数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? 常数,且 A≠0)的周期 T ?

(左加右减) 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的 | 平移 | B | 个单位 (上加下减)

2? ;函 |? |

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为

? . |? |

1

?

|倍

y ? A sin ?? x ? ? ? ? B

( x ?? 和 ) y ? A cos(? x ? ? ) 来 对 于 y ? As i n? 说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系. 求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图像的对称轴与对称中心,
只需令 ? x ? ? ? k? ?

② 先伸缩后平移:

( k ? Z ) 与 ? x ? ? ? k? ( k ? Z ) 2 解出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征: A ?
- 11 -

?

y ? sin x

横坐标不变

y ? A sin x

ymax ? ymin y ? ymin , B ? max . 2 2

? 要根据周期来求, ? 要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值:

§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
( 其 中 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决

?
? 12

sin ?
6? 2 4

cos?
6? 2 4

tan?
2? 3

定, tan ? ?

b ). a

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 2、 sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 3、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 4、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 5、 tan ?? ? ? ? ? 6、 tan ?? ? ? ? ?

第二章:平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三 个要素:起点、方向、长度. 2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称 模) ,记作 AB ;长度为零的向量叫做零向量;长 度等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共 线向量).规定:零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

??? ?

tan? ?tan ? . 1?tan? tan ? tan? ?tan ? . 1?tan? tan ?

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , 变形: sin ? cos ? ? 1 . 2 sin 2? 2、 cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? .
变形如下: 升幂公式: ?
2 ? ?1 ? cos 2? ? 2 cos ? 2 ? ?1 ? cos 2? ? 2sin ?

2、 a ? b ≤ a ? b . §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

?cos 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2 降幂公式: ? ?sin 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2
3、 tan 2? ?

2 tan? . 1 ? tan2 ?
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
- 12 -

4、 tan ? ?

sin 2? 1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2? sin 2?

1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运 算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向 规定如下: ⑴

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 a ? b ? a b cos? . 2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? . 3、 a ? a . 4、 a ?
2 2

?a ? ? a ,

⑵当 ? ? 0 时 , ? a 的方向与 a 的方向相同;当

a .

2

? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反.
2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当 且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . §2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两 个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a ? xi ? y j ? ?x, y ? . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?, ⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ⑶ ? a ? ??x1 , ?y1 ? , ⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

5、 a ? b ? a ? b ? 0 . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑵a ?

?

?

x12 ? y12

⑶ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ⑷ a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

?

?

? ?

?

?

?

?

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .
x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y 12 ? x 2 2? y
2 2

3、 两向量的夹角公式

? ? a ?b co? s ? ? ? ? a b

4、点的平移公式 平移前的点为 P ( x, y ) (原坐标) ,平移后的对应点 为 P?( x?, y?) (新坐标) ,平移向量为 PP? ? (h, k ) , 则?

????

? x? ? x ? h ? y? ? y ? k .
函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? (h, k ) 平移后的

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? .
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则 ⑴线段 AB 中点坐标为

?

图像的解析式为 y ? k ? f ( x ? h). §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 知识链接:空间向量
- 13 -

?

x1 ? x2 2

y2 , , y1 ? 2

?

⑵△ABC 的重心坐标为

?

x1 ? x2 ? x3 3

, y1 ? y32 ? y3 .

?

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 . 下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行 总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴.直线的方向向量: 若 A、 B 是直线 l 上的任意两点, 则 AB 为直线 l 的 一个方向向量; 与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. ⑵.平面的法向量: 若向量 n 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量

量是 u , 则要证明 l ∥ ? , 只需证明 a ? u , 即 a ?u ? 0 . 即:直线与平面平行 直线的方向向量与该平面 的法向量垂直且直线在平面外 ②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可 以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可. ⑶面面平行 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要 证 ? ∥ ? ,只需证 u ∥ v ,即证 u ? ? v . 即:两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明

?

?

?

? ?

??? ?

??? ?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? 垂直于平面 ? ,记作 n ? ? ,如果 n ? ? ,那么向量 n
叫做平面 ? 的法向量. ⑶.平面的法向量的求法(待定系数法) : ①建立适当的坐标系. ②设平面 ? 的法向量为 n ? ( x, y, z) . ③求出平面内两个不共线向量的坐标

? ?

?

? ? ? ? l1 ? l2 ,只需证明 a ? b ,即 a ? b ? 0 .
即:两直线垂直 ⑵线面垂直 两直线的方向向量垂直。

? ?? a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) . ? ? ? ?n ? a ? 0 ④根据法向量定义建立方程组 ? ? ? . n ? b ? 0 ? ?
⑤解方程组, 取其中一组解, 即得平面 ? 的法向量. (如图)

①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向 量是 u , 则要证明 l ? ? , 只需证明 a ∥ u , 即 a ? ?u . ②(法二)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 内的两

?

?

?

?

?

?

?

? ?? ?? ?? ? ? ?a ? m ? 0 , 则l ? ? . 个相交向量分别为 m 、 n ,若 ? ? ? ? ?a ? n ? 0
即:直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的 法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要

?

?

2、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ∥

证 ? ? ? ,只需证 u ? v ,即证 u ? v ? 0 . 即:两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知 a , b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是 a , b 上的任意两点, a , b 所成的角为 ? ,

?

?

? ?

? ?

? ? ? ? l2 ,只需证明 a ∥ b ,即 a ? kb(k ? R) .
即:两直线平行或重合 ⑵线面平行 两直线的方向向量共线。

? ①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向
- 14 -

???? ??? ? AC ? BD 则 cos ? ? ???? ??? ?. AC BD
⑵求直线和平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
王新敞
奎屯 新疆

?? ? m?n ◆ 如果 ? 是钝角,则 cos ? ? ? cos ? ? ? ?? ? , m n
?? ? ? m?n ? 即 ? ? arccos ? ? ?? ? ? . ? m n? ? ?
5、利用法向量求空间距离 ⑴点 Q 到直线 l 距离

②求法: 设直线 l 的方向向量为 a , 平面 ? 的法向量

?

? ? ? 为 u ,直线与平面所成的角为 ? , a 与 u 的夹角为 ? ,
则 ? 为 ? 的余角或 ? 的补角 的余角.即有:

若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线 l 上,a 为直线 l 的 方向向量, b = PQ ,则点 Q 到直线 l 距离为

?

? ? ???

? ? a ?u sin ? ? cos ? ? ? . a u

1 ? ? ? ? h ? ? (| a || b |) 2 ? (a ? b ) 2 |a|
⑵点 A 到平面 ? 的距离 若点 P 为平面 ? 外一点,点 M 为平面 ? 内任一点, 平面 ? 的法向量为 n ,则 P 到平面 ? 的距离就等于

⑶求二面角 ①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分, 其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面 角的棱,每个半平面叫做二面角的面
王新敞
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?

? ???? MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值.
即 d ? MP cos n, MP

????

??????

二面角的平面角是指在二面角 ? ? l ? ? 的棱上 任取一点 O,分别在两个半平面内作射线

AO ? l , BO ? l ,则 ?AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平
面角. 如图: A

B
O

l B

? ???? ???? n ? M P ? MP ? ? ???? n MP ? ???? n ? MP ? ? n
⑶直线 a 与平面 ? 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平 面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化 为求直线上任一点到平面的距离, 即转化为点面距离。

②求法: 设二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量 分 别为 m、 n , 再设 m、 n 的夹角为 ? ,二面角

O

A

?? ?

?? ?

?? ? ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则二面角 ? 为 m 、 n 的夹角

? 或其补角 ? ? ?.
根据具体图形确定 ? 是锐角或是钝角:

? ???? n ? MP 即d ? ? . n
⑷两平行平面 ? , ? 之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平 面间的距离转化为求点面距离。

?? ? m?n ◆如果 ? 是锐角,则 cos ? ? cos ? ? ?? ? , m n ?? ? m?n 即 ? ? arccos ?? ? ; m n
- 15 -

? ???? n ? MP 即d ? ? . n

⑸异面直线间的距离

设向量 n 与两异面直线 a , b 都垂直, M ? a, P ? b, 则两异面直线 a , b 间的距离 d 就是 MP 在向量 n 方向 上投影的绝对值。

?

长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射 影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 ?1、? 2、? 3 ,则有

????

?

l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1

? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

? ???? n ? MP 即d ? ? . n

6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个 平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直 P 推理模式:
王新敞
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必修 5 数学知识点
第一章:解三角形 1、正弦定理:

PO ? ? , O ? ? ? ? PA ? ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C (其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径)

O A a

? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C;
a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C. ? sin A ?
用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其它元素; ⑵已知三角形两边和其中一边的对角,求其它 元素。 2、余弦定理:

?

概括为:垂直于射影就垂直于斜线. ⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果 和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的 射影垂直
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PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO a ? ? , a ? AP ? ?
概括为:垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面 ? 内的任一条直线, AD 是 ? 的一条 斜线 AB 在 ? 内的射影,且 BD⊥AD,垂足为 D.设 AB 与 ? (AD)所成的角为 ? 1 , AD 与 AC 所成的角为 ? 2 , AB 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 .

?a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B, ?c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C. ?
? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , ? 2 bc ? a 2 ? c2 ? b2 ? , ?cos B ? 2ac ? ? a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . ? 2ab ?
用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素; ⑵已知三角形三边,求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式:

B A ?
8、 面积射影定理
?1 ?2 ?

D C

已知平面 ? 内一个多边形的面积为 S S原 , 它在 平面 ? 内的射影图形的面积为 S ? S 射 ,平面 ? 与平 面 ? 所成的二面角的大小为锐二面角 ? ,则

? ?

? ?

S ?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2
C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

4、三角形内角和定理: 在△ABC 中, 有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

cos ? ?
9、一个结论

S ' S射 = . S S原
- 16 -

?

5、一个常用结论:

在 ?ABC 中, a ? b ? sin A ? sin B ? A ? B; 若 sin 2 A ? sin 2 B, 则A ? B或A ? B ?

. 特别注意, 2 在三角函数中, sin A ? sin B ? A ? B 不成立。
第二章:数列 1、数列中 a n 与 S n 之间的关系:

?

ⅲ) d ? 0 ? ?an ? 为常数列; ⑥数列{ a n }为等差数列 ? an ? pn ? q(p,q 是常数) ⑦若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

S3k ? S2 k ? 是等差数列。
3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等 比数列。

, (n ? 1) ?S1 注意通项能否合并。 an ? ? ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2).
2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数,即 a n - a n ?1 =d , (n≥ 2,n∈N ? ) , 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数 a、A、b 成等差数列

G、 b 成等比数列 ? G2 ? ab, ⑵等比中项:若三数 a、
( ab 同号) 。反之不一定成立。 ⑶通项公式: an ? a1qn?1 ? amqn?m ⑷前 n 项和公式: Sn ? ⑸常用性质 ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

? A?

a?b 2

⑶通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 或 an ? pn ? q ( p 、q是常数). ⑷前 n 项和公式:

am ? an ? a p ? aq ;
② ak , ak ?m , ak ?2m ,? 为等比数列,公比为 q (下标成 等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列 ?? an ? ( ? 为不等于零的常数) 仍是公比为 q 的 等比数列;正项等比数列 ?an ? ;则 ?lg an ? 是公差为
k

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2

⑸常用性质: ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

lg q 的等差数列;
2 ④若 ?an ? 是等比数列,则 ?can ?,an , ?

am ? an ? a p ? aq ;
②下标为等差数列的项 ?ak , ak ?m , ak ?2m ,?? ,仍组成 等差数列; ③数列 ??an ? b?( ? , b 为常数)仍为等差数列; ④若 {an } 、{bn } 是等差数列,则 {kan } 、{kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、{a p?nq }( p, q ? N ) 、 ,?也成等
*

? ?

?1? ?, ? an ?
2 r

1 ,q . ?a ? (r ? Z ) 是等比数列,公比依次是 q,q , q
r n

⑤单调性:

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1 ? ?an ? 为递增数列;

差数列。 ⑤单调性: ?an ? 的公差为 d ,则: ⅰ) d ? 0 ? ?an ? 为递增数列; ⅱ) d ? 0 ? ?an ? 为递减数列;
- 17 -

a1 ? 0,0 ? q ? 1或a1 ? 0, q ? 1 ? ?an ? 为递减数列;
q ? 1 ? ?an ? 为常数列; q ? 0 ? ?an ? 为摆动数列;

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

S3k ? S2 k ? 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列 的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从 而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 公式法: 若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式

? an ? a ? f (n ? 1) ? n ?1 ? an ?1 ? f (n ? 2) ? 中 f ( n) 是关于 n 的函数) 可构造:? an ? 2 ?... ? ? a2 ? a ? f (1) ? 1

将上述 n ? 1 个式子两边分别相乘,可得:

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... ? f (2) f (1)a1,(n ? 2)
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这 种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法:

, (n ? 1) ?S1 构造两式作差求解。 an ? ? S ? S ,( n ? 2) n ?1 ? n
用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一 分为二” , 即分段式; 另一种是 “合二为一” , 即 a1 和 an 合为一个表达, (要先分 n ? 1 和 n ? 2 两种情况分别进 行运算,然后验证能否统一) 。 类型Ⅲ 累加法: 形如 an?1 ? an ? f (n) 型的递推数列(其中 f ( n) 是关

㈠形如 an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数且 p ? 0 ) 型的递推式: (1)若 p ? 1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 q ? 0 时,数列{ a n }为等比数列; ( 3) 若 p ? 1 且 q ? 0 时, 数列{ a n }为线性递推数列, 其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有 如下两种:

?an ? an ?1 ? f (n ? 1) ?a ? a ? f (n ? 2) ? n ?1 n ? 2 于 n 的函数)可构造: ? ?... ? ?a2 ? a1 ? f (1) 将上述 n ? 1 个式子两边分别相加,可得:

法一:设 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ,展开移项整理得

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... f (2) ? f (1) ? a1,(n ? 2)
①若 f ( n) 是关于 n 的一次函数, 累加后可转化为等差 数列求和; ② 若 f ( n) 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等 比数列求和; ③若 f ( n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ④若 f ( n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法:

an?1 ? pan ? ( p ?1)? ,与题设 an?1 ? pan ? q 比较系
数(待定系数法)得

??

q q q , ( p ? 0) ? an?1 ? ? p(an ? ) p ?1 p ?1 p ?1

? an ?
以 a1 ?

? q q q ? ? p(an ?1 ? ) ,即 ? a n ? ? 构成 p ?1 p ?1 p ? 1? ?

q 为首项,以 p 为公比的等比数列.再利用 p ?1

形如 an?1 ? an ? f (n) ?

? an?1 ? (其 ? f (n) ? 型的递推数列 a ? n ?

等比数列的通项公式求出 ?a n ?

? ?

q ? ? 的通项整理可 p ? 1?

得 an .

法二:由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q(n ? 2) 两式
- 18 -

相减并整理得

an ?1 ? an ? p, 即 ?an?1 ? an ? 构成以 an ? an ?1

①②两式相减得 an?1 ? an q ? p(an ? qan?1 ) ,即

?an?1 ? an ? 的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求
出 an . ㈡形如 an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 1) 型的递推式: ⑴当 f ( n) 为一次函数类型(即等差数列)时:

a2 ? a1 为首项,以 p 为公比的等比数列.求出

an ?1 ? qan ? p ,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 an . an ? qan ?1
法三:递推公式为 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均
为常数) 或 an?1 ? pan ? rqn(其中 p, q, r 均为常数) 时,要先在原递推公式两边同时除以 q
n ?1

法一:设 an ? An ? B ? p ?an?1 ? A(n ?1) ? B? ,

,得:

B 的值, 通过待定系数法确定 A 、 转化成以 a1 ? A ? B
为首项,以 p 为公比的等比数列 ?an ? An ? B? ,再利 用等比数列的通项公式求出 ?an ? An ? B? 的通项整 理可得 an .

a n?1 p a n 1 ? ? ? ,引入辅助数列 ?bn ? (其中 q n?1 q q n q bn ? an p 1 ) ,得: bn ?1 ? bn ? 再应用类型Ⅴ㈠的方 n q q q

法解决。 ⑶当 f ( n) 为任意数列时,可用通法: 在 an?1 ? pan ? f (n) 两边同时除以 p
n ?1

法二:当 f ( n) 的公差为 d 时,由递推式得:

可得到

an?1 ? pan ? f (n) , an ? pan?1 ? f (n ?1) 两式相减
得:an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ? d , 令 bn ?an ?1 ? an 得:

a an ?1 an f (n) f ( n) ? bn , ? n ? n ?1 , 令 n 则 bn ?1 ? bn ? n ?1 , n n ?1 p p p p p
在转化为类型Ⅲ (累加法) , 求出 bn 之后得 an ? pnbn . 类型Ⅵ 对数变换法:

bn ? pbn?1 ? d 转化为类型Ⅴ㈠求出 bn ,再用类型Ⅲ
(累加法)便可求出 an . ⑵当 f ( n) 为指数函数类型(即等比数列)时:

形如 an?1 ? paq ( p ? 0, an ? 0) 型的递推式: 在原递推式 an?1 ? pa q 两边取对数得

法一:设 an ? ? f (n) ? p ?an?1 ? ? f (n ?1)? ,通过
待定系数法确定 ? 的值, 转化成以 a1 ? ? f (1) 为首项, 以 p 为公比的等比数列 ?an ? ? f (n)? ,再利用等比数 列的通项公式求出 ?an ? ? f (n)? 的通项整理可得 an .

lg an?1 ? q lg an ? lg p ,令 bn ? lg an 得: bn?1 ? qbn ? lg p ,化归为 an?1 ? pan ? q 型,求出 bn
之后得 an ? 10 n .(注意:底数不一定要取 10,可根据
b

法二:当 f ( n) 的公比为 q 时,由递推式得:

题意选择) 。 类型Ⅶ

倒数变换法:

an?1 ? pan ? f (n) ——①,an ? pan?1 ? f (n ?1) ,两
边同时乘以 q 得 an q ? pqan?1 ? qf (n ?1) ——②,由
- 19 -

形如 an?1 ? an ? pan?1an ( p 为常数且 p ? 0 )的递推 式:两边同除于 an ?1an ,转化为

1 1 ? ? p 形式, an an ?1

化归为 an?1 ? pan ? q 型求出 1 的表达式,再求 an ;
an

采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: 设 an ?

还有形如 an ?1 ? man 的递推式,也可采用取倒数方 pan ? q 法转化成 1 ? m 1 ? m 形式, 化归为 an?1 ? pan ? q an ?1 q an p 型求出 1 的表达式,再求 an .
an

?
an ? b1

?

?
an ? b2

, 通分整理后与原式相

比较,根据对应项系数相等得 ? ?

c ,从而可得 b2 ? b1

类型Ⅷ

形如 an? 2 ? pan?1 ? qan 型的递推式:

c c 1 1 = ( ? ). (an ? b1 )(an ? b 2 ) (b2 ? b1 ) an ? b1 an ? b 2
常见的拆项公式有: ①

用待定系数法,化为特殊数列 {an ? an?1} 的形式 求解。方法为:设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较

1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1

k ,于是 系数得 h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h 、

{an?1 ? kan } 是公比为 h 的等比数列,这样就化归为 an?1 ? pan ? q 型。
总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上 不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列, 可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 an .



1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? ( a ? b ); a ? b a ?b



m?1 m m ④ Cn ? Cn ?1 ? Cn ;

⑤ n ? n ! ? (n ? 1)!? n !.

5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列, 则数列 ?an ? bn ? 的求和就要采用此法. ②将数列 ?an ? bn ? 的每一项分别乘以 ?bn ? 的公比, 然后在错位相减,进而可得到数列 ?an ? bn ? 的前 n 项 和.

⑶分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常 见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两 步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. ⑷倒序相加法 如果一个数列 ?an ? , 与首末两项等距的两项之和等于 首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式 相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为 倒序相加法。特征: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ... ⑸记住常见数列的前 n 项和: ① 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方 法.
⑵裂项相消法

c 一般地,当数列的通项 an ? (an ? b1 )(an ? b 2 )

n(n ? 1) ; 2
2

② 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ?1) ? n ; ③ 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
2 2 2 2

(a, b1, b2 , c为常数) 时,往往可将 an 变成两项的差,
- 20 -

1 n(n ? 1)(2n ? 1). 6

第三章:不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b c d

b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? ⑦ ? a a?m b?n b
⑥ 若ab ? 0, 则 其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1)

a?b?0? ⑧ (倒数法则)
2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

3、几个著名不等式 ①平均不等式:
?

① a2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? , (当且仅当 a ? b 时取

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a ?1 ? b?1 2 2

" ? " 号).

变形公式: ab ?

a 2 ? b2 . 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
变形公式:
2 2 ? a ?b ? a ?b ab ? ? ? ; ? 2 ? 2 ? 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当
?

且仅当 a ? b 时取到等号). 变形公式:

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?

2

a 2 ? b2 ?
②幂平均不等式:

( a ? b) 2 . 2
1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最 大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式)

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

③二维形式的三角不等式:

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 3
a ? b ? c 时取到等号).
④ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ?
2 2 2

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且
仅当 ad ? bc 时,等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式:

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)
3 3 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:
- 21 -

(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 )

? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式:

1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1
5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0)

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当

?? ? ? ?? ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成
立. ⑧排序不等式(排序原理) : 设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实 数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排列,则

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律: 当二次项系数为正时, 小于取中间, 大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿 (奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等式的 解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn
? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和)
当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时, 反序 和等于顺序和. ⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x ) ,对于定义域中任 意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) f( 1 2)? 或 2 2 x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) f( 1 2)? . 2 2

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“? 或 ?” ( 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴

? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、 分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法, 函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: ①舍去或加上一些项,如 ( a ? ) ?
2





1 2

3 1 ? (a ? )2 ; 4 2


②将分子或分母放大(缩小) ,如

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)


(

2 2 k

?

2 1 2 ?) ? , k? k k k ? k ?1

规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在
- 22 -

于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法: ⑴当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ⑵当 0 ? a ? 1 时, a
f ( x)

⑴不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成
2

立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?
2

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x)

规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当 a ? 1 时,

?a ? 0 ?? ? 0.

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
⑵当 0 ? a ? 1 时,

⑵不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法: ⑴定义法: a ? ?

?a ? 0 ?? ? 0.

⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;
⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a;

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)
2 2

⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x). ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0);

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.
15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的 坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相同.所

③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ( g ( x) ? 0) ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中 取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要
2

以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特 殊点 ( x0 , y0 )(如原点) , 由 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可 判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的 平面区域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选 原点. 法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的

对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有: ⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题
- 23 -

Ax ? By ? C ? 0 ( 符号与不等式开口的符号, 若同号,
或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上 方的区域. 即:同号上方,异号下方.

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的 平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常 数)的最值: 法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、y 即为公共区域 中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都 在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标 代入目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数为 目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的 最小值 法二:画——移——定——求: 第一步, 在平面直角坐标系中画出可行域; 第二步, 作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可行域,将 直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解

②“斜率”型: z ?

y ?b y ; 或z ? x?a x
x2 ? y 2 ;

③“距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ?

z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线 性规划与代数式的几何意义求解, 从而使问题简单化.

选修数学知识点
专题一:常用逻辑用语
1、命题:可以判断真假的语句叫命题; 逻辑联结词: “或” “且” “非”这些词就叫做逻辑 联结词; 简单命题:不含逻辑联结词的命题; 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母 p , q , r , s ,??表示命 题. 2、四种命题及其相互关系

( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数

z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ? 纵截距. ①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直 线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直 线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最大值.

A z z x ? , 为直线的 B B B

四种命题的真假性之间的关系: ⑴、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系. 3、充分条件、必要条件与充要条件 ⑴、一般地,如果已知 p ? q ,那么就说: p 是 q 的 充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 p ? q, 则 p 是 q 的充分必要条件, 简称充要条件. ⑵、充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命 题的条件 p 与结论 q 之间的关系: Ⅰ、从逻辑推理关系上看: ①若 p ? q , 则 p 是 q 充分条件, q 是 p 的必要条件; ②若 p ? q , 但q p , 则 p 是 q 充分而不必要条件; ③若 p q , 但q ? p , 则 p 是 q 必要而不充分条件; ④若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件;
- 24 -

⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;

⑤若 p

q且q

p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要

“非 p ”形式复合命题的真假判断方法:真假相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称 量词,并用符号“ ? ”表示.含有全称量词的命题,叫 做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词, 并用符号 “?” 表示.含有存在量词的命题, 叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定 ① 全 称 命 题 p : ?x ??, p( x) , 它 的 否 定 ?p :

条件. Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看: 已知 A ? x x 满足条件 p? , B ? x x 满足条件 q? : ①若 A ? B ,则 p 是 q 充分条件; ②若 B ? A ,则 p 是 q 必要条件; ③若 A ④若 B B,则 p 是 q 充分而不必要条件; A,则 p 是 q 必要而不充分条件;

?

?

⑤若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件; ⑥若 A ? B 且 B ? A , 则 p 是 q 的既不充分也不必要 条件. 4、复合命题 ⑴复合命题有三种形式: p 或 q ( p ? q ) ; p且q ( p ?q) ;非 p ( ?p ). ⑵复合命题的真假判断 “ p 或 q ”形式复合命题的真假判断方法:一真必真; “ p 且 q ”形式复合命题的真假判断方法:一假必假;

?x0 ??, ?p( x0 ). 全称命题的否定是特称命题.
②特称命题 p : ?x0 ??, p( x0 ), ,它的否定 ?p :

?x ??, ?p( x). 特称命题的否定是全称命题.

专题二:圆锥曲线与方程
1.椭圆 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

第一定义 第二定义 范围

F2 的距离之和等于常数 2 a ,即 | MF1 | ? | MF2 |? 2a ( 2a ?| F1F2 | ) 到两定点 F1 、
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即

MF ? e (0 ? e ? 1) d
?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a

?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b
?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?

顶点

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?

轴长 对称性

长轴的长 ? 2 a 短轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称
- 25 -

焦点 焦距

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e? c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2 (0 ? e ? 1)
a2 c

离心率

准线方程

x??

a2 c

y??

焦半径

左焦半径: MF 1 ? a ? ex0 右焦半径: MF2 ? a ? ex0

下焦半径: MF 1 ? a ? ey0 上焦半径: MF2 ? a ? ey0

M ( x0, y0 )
焦点三角形面积

S ?MF1F2 ? b 2 tan

?
2

(? ? ?F1MF2 )

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?

b2 a

(焦点)弦长公式 2.双曲线

A( x1, y1 ), B( x2, y2 ) , AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

第一定义 第二定义 范围 顶点 轴长 对称性 焦点

F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a ,即 | MF1 | ? | MF2 | ? 2a ( 0 ? 2a ?| F1F2 | ) 到两定点 F1 、
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即

MF ? e (e ? 1) d
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

x ? ?a 或 x ? a , y ? R
?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?

实轴的长 ? 2 a 虚轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?
- 26 -

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

焦距

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e?
a2 x?? c
y?? b x a

离心率

c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2

(e ? 1)
a2 y?? c
y?? a x b

准线方程

渐近线方程

焦半径

? MF1 ? ex0 ? a ?左焦: M 在右支 ? MF2 ? ex0 ? a ? ?右焦:

? MF1 ? ey0 ? a ?左焦: M 在上支 ? MF2 ? ey0 ? a ? ?右焦:

M ( x0, y0 )

? MF1 ? ?ex0 ? a ?左焦: M 在左支 ? MF2 ? ?ex0 ? a ? ?右焦:
S ?MF1F2 ? b 2 cot

? MF1 ? ?ey0 ? a ?左焦: M 在下支 ? MF2 ? ?ey0 ? a ? ?右焦:

焦点三角形面积

?
2

(? ? ?F1MF2 )

通径 3.抛物线

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?

b2 a

图形

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

定义 顶点 离心率 对称轴 范围

与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)

? 0, 0 ?
e ?1

x轴
x?0 x?0

y轴
y?0 y?0

焦点

? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

准线方程

x?

p 2- 27 -

y?

p 2

焦半径

M ( x0, y0 )
通径 焦点弦长 公式 参数 p 的几 何意义

MF ? x0 ?

p 2

MF ? ? x0 ?

p 2

MF ? y0 ?

p 2

MF ? ? y0 ?

p 2

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径: HH ? ? 2 p

AB ? x1 ? x2 ? p
参数 p 表示焦点到准线的距离, p 越大,开口越阔

关于抛物线焦点弦的几个结论: 设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦, A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的倾斜角为 ? ,则 ⑴ x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; 4

⑵ AB ?

2p ; sin 2 ?

⑶ 以 AB 为直径的圆与准线相切;

B 在准线上射影的张角为 ⑷ 焦点 F 对 A 、


? ; 2

1 1 2 ? ? . | FA | | FB | P

专题三:定积分
1、定积分的概念 如果函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点

数 f ( x ) 叫做被积函数, x 叫做积分变量, f ( x)dx 叫 做被积式. 说明: (1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;② 近似代替;③求和;④取极限. 2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式) 如果 F ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x ) 在 [ a, b] 上可积,则

a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b 将区间
[a, b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任
取一点 ?i (i ? 1, 2,?, n) ,作和式

Ln ? ? f (?i )?x ? ?
i ?1 i ?1

n

n

b?a 当 n ?? 时, 上 f (?i ), , n

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a) ,

b

【 其 中 F ( x) 叫 做 f ( x) 的 一 个 原 函 数 , 因 为

述和式无限接近某个常数, 这个常数叫做函数 f ( x ) 在 区间 [ a, b] 上的定积分.记作

? F ( x) ? C ?? ? F ?( x) ?
3、常用定积分公式

f ( x) 】

?a f(x )dx ,即

b

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? f (?i ) ,这里,a 与 b 分别叫 n ?? n i ?1
n

⑴ ? 0dx ? c ( c 为常数) ⑵ ? 1dx ? x ? c

做积分下限与积分上限,区间 [ a, b] 叫做积分区间,函

x? ?1 ? c (? ? ?1) ⑶ ? x dx ? ? ?1
?

- 28 -

⑷?

1 dx ? ln x ? c x
x x

几种常见的曲边梯形面积的计算方法: (1) x 型区域: ① 由 一 条 曲 线 y ? f ( x)(其中f ( x) ? 0 )与 直 线

⑸ ? e dx ? e ? c

ax x ? c (a ? 0, a ? 1) ⑹ ? a dx ? ln a
⑺ ? sin xdx ? ? cos x ? c ⑻ ? cos xdx ? sin x ? c ⑼ ? sin axdx ? ? ⑽ ? cos axdx ?

x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面

b f ( x)dx (如图(1) 积: S=?a ) ;

1 cos ax ? c (a ? 0) a
图(1) ② 由 一 条 曲 线 y ? f ( x)(其中f ( x) ? 0 )与 直 线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面 积: S= ) ; ? f ( x )dx =-? f ( x )dx (如图(2)
a a b b

1 sin ax ? c (a ? 0) a
b

4、定积分的性质 ⑴ ⑵

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

a

f ( x)dx (k 为常数) ;
b b a a

?

b

a
b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
c b a c

⑶ ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a ? c ? b ) ;
a

⑷利用函数的奇偶性求定积分 : 若 f ( x ) 是 [?a, a] 上 的奇函数 ,则 ? f ( x )dx ? 0 ;若 f ( x ) 是 [?a, a] 上的偶
?a a

函数,则 ? f ( x )dx ? 2? f ( x )dx .
?a 0

a

a

图(2) ③由一条曲线 y ? f ( x) 【当 a ? x ? c 时, f ( x) ? 0 ? 当 c ? x ? b 时, f ( x) ? 0 ?

5、定积分的几何意义 定积分

?

b

a

f ( x)dx 表示在区间 [a, b] 上的曲线

?

c

a b

f ( x)dx ? 0; f ( x)dx ? 0. 】

y ? f ( x) 与直线 x ? a 、x ? b 以及 x 轴所围成的平面
图形(曲边梯形)的面积的代数和,即

?

c

与直线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形 的面积: S=

?

b

a

f ( x)dx ? S x轴上方-S x轴下方 .(在 x 轴上方的面积取

?

c

a

f ( x)dx ?
c

?

b

c

f ( x )dx

正号,在 x 轴下方的面积取负号) 6、求曲边梯形面积的方法与步骤 ⑴画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致 图像; ⑵借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积 分的上、下限; ⑶写出定积分表达式; ⑷求出曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和. 7、定积分的简单应用 ⑴定积分在几何中的应用:
- 29 -

=? f ( x)dx ? ? f ( x)dx. (如图(3) ) ;
a c

b

图(3)

④由两条曲线 y ? f ( x),y ? g ( x) ( f ( x) ? g ( x)) 与 直线 x ? a, x ? b(a ? b) 所围成的曲边梯形的面积: (如 S ? ? f ( x) dx?? g( x ) dx ? ? ? f( x )? g ( ? x ) dx .
b b b a a a

图(4) )

图(7) ⑵定积分在物理中的应用: ①变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程 S ,等于其速 度函数 v ? v(t )(v(t ) ? 0) 在时间区间 ? a, b? 上的定积 图(4) (2) y 型区域: ①由一条曲线 y ? f ( x )(其中x ? 0 与直线 ) y ? a, y ? b(a ? b) 以及 y 轴所围成的曲边梯形的面积, 可由 y ? f ( x ) 得 x ? h( y ) ,然后利用 S= h( y)dy 求
a

分,即 S ?

?

b

a

v(t )dt. .

②变力作功 物体在变力 F ( x ) 的作用下做直线运动, 并且物体沿 着与 F ( x ) 相同的方向从 x ? a 移动到 x ? b(a ? b) , 那么变力 F ( x ) 所作的功 W ?

?

b

出(如图(5) ) ;

?

b

a

F ( x)dx .

专题四:推理与证明
知识结构 合情推理 图(5) ②由一条曲线 y ? f ( x )(其中x ? 0 与直线 ) y ? a, y ? b(a ? b) 以及 y 轴所围成的曲边梯形的面 积,可由 y ? f ( x ) 先求出 x ? h( y ) ,然后利用 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 数学归纳法 1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归 纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般 的推理。 归纳推理的一般步骤: ? 通过观察个别情况发现某些相同的性质; ? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题 (猜想) ; ? 证明(视题目要求,可有可无).
- 30 -

归纳推理 类比推理

演绎推理 比较法 直接证明 综合法 分析法 反证法

S= h( y )dy =- h( y )dy 求出(如图(6) ) ;
a a

?

b

?

b

图(6) ③由两条曲线 y ? f ( x ),y ? g ( x ) 与直线 y ? a, y ? b(a ? b) 所围成的曲边梯形的面积,可由

y ? f ( x ),y ? g ( x ) 先分别求出 x ? h1 ( y ) ,
x ? h2 ( y ) , 然后利用 S= | h1 ( y)-h2 ( y) | dy 求出 (如
a

?

b

图(7) ) ;

2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推 理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想; ? 检验猜想。 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, 经过观 察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提 出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说, 合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结 论,这种推理称为演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论” ,包括 ⑴大前提-----已知的一般原理; ⑵小前提-----所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理, 对特殊情况做出的判断. 用集合的观点来理解:若集合 M 中的所有元素都 具有性质 P , S 是 M 的一个子集 ,那么 S 中所有元素 也都具有性质 P. M ·a S

⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的 推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明 了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止; (3)(归谬)断言假设不成立; (4)(结论)肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N * ) 时命题成立; (2) (归纳递推)假设 n ? k (k ? n 0 , k ? N * ) 时命 题成立,推证当 n ? k ? 1 时命题也成立. 只要完成了这两个步骤, 就可以断定命题对从 n0 开 始的所有正整数 n 都成立. 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学 命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几 何中的计算问题等.

专题五:数系的扩充与复数
1、复数的概念 ⑴虚数单位 i ; ⑵复数的代数形式 z ? a ? bi

( a, b ? R ) ;

⑶复数的实部、虚部,虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数 z ? a ? bi

? a, b ? R?

从推理所得的结论来看, 合情推理的结论不一定正 确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都 正确的前提下,得到的结论一定正确.

?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? 虚数 ( b ? 0) ? ? ?非纯虚数(a ? 0, b ? 0) ?
3、相关公式 ⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b, 且c ? d ⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ⑶ z ? a ? bi ?

5、直接证明与间接证明
⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明 的结论成立. 框图表示: 要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立 的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理 等)为止. 框图表示: 要点:逆推证法;执果索因.
- 31 -

a2 ? b2

⑷ z ? a ? bi z,z 指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共 轭复数). 4、复数运算 ⑴复数加减法:?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; ⑵复数的乘法:

? a ? bi ??c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i ;
⑶复数的除法:

2、排列与组合 ⑴排列定义:一般地,从 n 个不同的元素中任取

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? c ? di ? c ? di ?? c ? di ?

m?m ? n ? 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从
n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个排列. ⑵组合定义:一般地,从 n 个不同的元素中任取

?

? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ? ac ? bd ? bc ? ad i
c2 ? d 2 c2 ? d 2 c2 ? d 2

m?m ? n ? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同的元素中
任取 m 个元素的一个组合. ⑶排列数:从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元素 的所有排列的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的排列数,记作 An . ⑷组合数:从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元素 的所有组合的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m
m

(类似于无理数除法的分母有理化 ? 虚数除法的分 母实数化) 5、常见的运算规律

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

(6)i

4 n?1

? i, i
2

4n?2

? ?1, i

4 n?3

? ?i, i

4 n?4

? 1;
2

(7) ?1 ? i ?

1? i 1? i ?1? i ? ? ?i;(8) ? i, ? ?i , ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?

个元素的组合数,记作 Cn . ⑸排列数公式:
m ① An ? n?n ?1??n ? 2???n ? m ? 1?

m

? 1 ? 3i (9 ) 设 ? ? 是 1 的立方虚根,则 2
1? ? ? ? ? 0 , ?
2

3n?1

? ?, ?

3n ? 2

? ? ,?

3n ? 3

?1

m An ?

n! ; ?n ? m?!

6、复数的几何意义 复平面:用来表示复数的直角坐标系,其中 x 轴叫 做复平面的实轴, y 轴叫做复平面的虚轴.
一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?复平面内的点Z (a,b) 一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?平面向量OZ

② An ? n!,规定 0! ? 1 .
n

⑹组合数公式: ① Cn ?
m

n?n ? 1??n ? 2?? ?n ? m ? 1? 或 m!

??? ?
m Cn ?

n! ; m!?n ? m ?!
0

专题六:排列组合与二项式定理
1、基本计数原理 ⑴ 分类加法计数原理:(分类相加) 做一件事情,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有

m n?m ② Cn ,规定 Cn ? 1 . ? Cn

⑺排列与组合的区别:排列有顺序,组合无顺序. ⑻排列与组合的联系: An ? Cn ? Am ,即排列就是先
m m m

m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方
法??在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成 这件事情共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理:(分步相乘) 做一件事情,完成它需要 n 个步骤,做第一个步骤有

组合再全排列.
m Cn ? m An n ? (n ? 1) ?? ? (n ? m ? 1) n! ? ? ( m ? n) m Am m ? (m ? 1) ?? ? 2 ?1 m!? n ? m ?!

⑼排列与组合的两个性质性质 排列 An?1 ? An ? mA n
m m m?1

m1 种不同的方法,做第二个步骤有 m2 种不同的方
法??做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法.那么完成这 件事情共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法.
- 32 -

;组合 Cn?1 ? Cn ? Cn
m m

m?1

.

⑽解排列组合问题的方法

①特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑 有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优 先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他 位置). ②间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再 把不符合条件的所有情况去掉). ③相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑” 为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列, 最后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置上全排列). ④不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某 些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好 没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素 按要求插入排好的元素之间). ⑤有序问题组合法. ⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法. ⑧相同元素分组可采用隔板法. ⑨分组问题: 要注意区分是平均分组还是非平均分组, 平均分成 n 组问题别忘除以 n!. 3、二项式定理 ⑴二项展开公式:

⑸二项式系数的性质: (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项
m n?m 式系数相等,即 Cn ; ? Cn

(2)增减性与最大值:当 r ? 数Cr 当r ? n 的值逐渐增大,

n ?1 时,C r n 的值逐渐减小, 2 n 且在中间取得最大值。 当 n 为偶数时, 中间一项 (第 2
+1 项)的二项式系数 C 取得最大值.当 n 为奇数时, 中间两项(第
n ?1 n ?1
n 2 n

n ?1 时,二项式系 2

n ?1 n ?1 和 + 1 项)的二项式系数 2 2

Cn 2 ? Cn 2 相等并同时取最大值.
⑹系数最大项的求法 设第 r 项的系数 Ar 最大,由不等式组 ? 可确定 r . ⑺赋值法 若 (ax ? b)n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ... ? an xn , 则设 f ( x) ? (ax ? b)n . 有: ① a0 ? f (0); ② a0 ? a1 ? a2 ? ... ? an ? f (1); ③ a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? (?1)n an ? f (?1);

? Ar ? Ar ?1 ? Ar ? Ar ?1

?a ? b?

n

0 n 1 n ?1 2 n?2 2 r n?r r ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b

n n ??? Cn b ? n ? N? ? .

⑵二项展开式的通项公式:
r n ?r r Tr ?1 ? Cn a b ?0 ? r ? n, r ? N , n ? N? ?.主要用途

是求指定的项. ⑶项的系数与二项式系数 项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当 二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就是二项式系 数.如 在 (ax ? b) 的展开式中, 第 r ?1 项的二项式系数
n
r r n ?r r 为 Cn ,第 r ?1 项的系数为 Cn a b ;而 ( x ? ) n 的

1 x

f (1) ? f (?1) ; 2 f (1) ? f (?1) . ⑤ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ... ? 2
④ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? ... ?

展开式中的系数等于二项式系数;二项式系数一定为 正,而项的系数不一定为正. ⑷ ?1 ? x ? 的展开式:
n

专题七:随机变量及其分布
知识结构

1 n?1 2 n ?2 n 0 ?1? x?n ? Cn0 xn ? Cn x ? Cn x ??? Cn x ,

若令 x ? 1 ,则有
1 2 n . ?1?1?n ? 2n ? Cn0 ? Cn ? Cn ??? Cn

二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数
0 2 1 3 的和.即 Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1

- 33 -

1、基本概念 ⑴互斥事件:不可能同时发生的两个事件. 如果事件 A、B、C ,其中任何两个都是互斥事 件,则说事件 A、B、C 彼此互斥. 当 A、 B 是互斥事件时, 那么事件 A ? B 发生 (即 A、 B 中有一个发生) 的概率, 等于事件 A、 B 分别发 生的概率的和,即

公式: P( B A) ?

P( AB) , P( A) ? 0. P( A)

2、离散型随机变量 ⑴随机变量: 如果随机试验的结果可以用一个变量 来表示, 那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用
王新敞
奎屯 新疆

字母 X , Y , ? ,? 等表示. ⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值, 可 以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型 随机变量. ⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值, 可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续 型随机变量. ⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联 系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表 示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以 按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可 以一一列出.

P( A ?

B )?

P ( A ) ?

. P ( B )

⑵对立事件: 其中必有一个发生的两个互斥事件.事件

A 的对立事件通常记着 A .
对立事件的概率和等于 1. P( A) ? 1 ? P( A) . 特别提醒:“互斥事件”与“对立事件”都是就 两个事件而言的,互斥事件是不可能同时发生的两个 事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件, 因此,对立事件必然是互斥事件,但互斥事件不一定 是对立事件,也就是说“互斥”是“对立”的必要但 不充分的条件. ⑶相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,(即其中一个事件是 否发生对另一个事件发生的概率没有影响) .这样的两 个事件叫做相互独立事件. 当 A、 B 是相互独立事件时,那么事件 A? B 发生 (即 A、 B 同时发生) 的概率, 等于事件 A、 B 分别发 生的概率的积.即

Y ? aX ? b(a, b 是常数) 若 X 是随机变量, 则Y
也是随机变量 并且不改变其属性 (离散型、 连续型) . 3、离散型随机变量的分布列 ⑴概率分布(分布列)
王新敞
奎屯 新疆

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .
若 A、B 两事件相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. ⑷独立重复试验 ①一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. ②独立重复试验的概率公式 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p ,那么 在n次 中这个 k 次的

设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1 , x2 ,?, xi ,?, x n , X 的每一个值 xi ( i ? 1, 2,?, n )的概率 P( X ? xi ) ? pi ,则称表

X
P

x1

x2

? ?

xi

? ?

xn pn

p1

p2

pi

为随机变量 X 的概率分布,简称 X 的分布列. 性质:① pi ? 0, i ? 1, 2,...n; ⑵两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 ②

?p
i ?1

n

i

? 1.

X
P

0

1

1? p

p

独立重复试验 试验恰好发生 概率

k P ? Cn p n (k )

k

? (1 p

?n

k )? k ? 0 ,, 1 ? 2n,? .

⑸条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率.记作 P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.
- 34 -

则称 X 服从两点分布,并称 p ? P( X ? 1) 为成功概 率. ⑶二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在

n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k .

随机变量 X 的均值或数学期望(简称期望).它反映了 离散型随机变量取值的平均水平. 性质:① E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b. ②若 X 服从两点分布,则 E ( X ) ? p.

其中 k ? 0,1, 2,..., n, 变量 X 的概率分布如下:

q ? 1 ? p ,于是得到随机
?
k

X
P

0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

k

?
n?k

n

?

Cn p q

k

?

Cn p q

n

n

0

③若 X ~ B?n, p ? ,则 E ( X ) ? np. ⑵离散型随机变量的方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

我们称这样的随机变量 X 服从二项分布,记作

X ~ B?n, p ? ,并称 p 为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点: ①对立性: 即一次试验中事件发生与否二者必居其一; ②重复性:即试验是独立重复地进行了 n 次; ③等概率性:在每次试验中事件发生的概率均相等. 注:⑴二项分布的模型是有放回抽样; ⑵二项分布中的参数是 p, k , n. ⑷超几何分布 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取

X
P
则称

x1

x2

? ?

xi

? ?

xn pn

p1

p2

pi

D( X ) ? ? ( xi ? E ( X ))2 pi 为离散型随机变量 X 的
i ?1

n

方差,并称其算术平方根 D( X ) 为随机变量 X 的标 准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动,集 中与离散的程度.

n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发生的
概率为 P ( X ? k ) ?

D( X ) 越小, X 的稳定性越高,波动越小,取值
越集中; D( X ) 越大, X 的稳定性越差,波动越大, 取值越分散.

C C C

k M

n? k N ?M n N

(k ? 0,1, 2,? , m ) ,于

是得到随机变量 X 的概率分布如下: 其中 m ? min? M , n? , n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N * . 我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列, 且称随机变量 X 服从超几何分布. 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样; ⑵超几何分布中的参数是 M , N , n. 其意义分别是 总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差 ⑴离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

X

0
0 n ?0 CM CN ?M n CN

1
1 n ?1 CM CN ?M n CN

?

m
m n?m CM CN ? M n CN

P

?

性质:① D(aX ? b) ? a D( X ).
2

1 ? P ) . ②若 X 服从两点分布, 则 D(X ) ?p(
③若 X ~ B?n, p ? ,则 D( X ) ? np(1 ? P). 5、正态分布 正态变量概率密度曲线函数表达式:

X P
则称

x1 p1

x2 p2

? ?

xi

? ?

xn pn

pi

f ?x ? ?

1 2? ? ?

e

?

? x ? ? ?2
2? 2

, x ? R ,其中 ?,? 是参数,

E ? X ? ? x1 p1 ? x2 p2 ??? xi pi ??? xn pn 为离散型
- 35 -

2 且 ? ? 0,?? ? ? ? ?? .记作 N (?, ? ). 如下图:

与 Y 有 95%可能性有关; K ? 6.635 时 X 与 Y 有 99%
2

可能性有关.

专题九:坐标系与参数方程 专题八:统计案例
1、回归分析 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P ( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点,在

? ? a ? bx , 回归直线方程 y
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ?b ? ? n n 2 其中 ? xi 2 ? nx 2 ? xi ? x ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下,点 P ( x, y ) 对 ?y? ? ? ? y, (? ? 0). 应到点 P ?( x ?, y ?) , 称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸
变换 ? : ? 缩变换,简称伸缩变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引 一条射线 Ox 叫做极轴; 再选定一个长度单位、 一个角 度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向),这样就建立了一个极坐标系。 M ( ? ,? )
2

相关系数: r

?

?? x
i ?1 n i ?1

n

i

? x ?? yi ? y ?
2 n

? ? xi ? x ? ? ? yi ? y ?
i ?1

?
?
O 图1 点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与 点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极 轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角, 记为 ? 。 有序数对 ( ? , ? ) 叫做点 M 的极坐标, 记为 M ( ? ,? ) . 注: 极坐标 ( ? , ? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个 点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 ( ? ? , ? ) 与点 ( ? , ? ) 关于极点对称,即 ( ? ? , ? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平 面内的点可用唯一的极坐标 ( ? , ? ) 表示(即一一对应 的关系) ;同时,极坐标 ( ? , ? ) 表示的点也是唯一确定 的。 极 坐标与 直角坐 标都是 一对有 序实数 确定平
a
O a ?
?

?

? x y ? nxy
i ?1 i i n ? n 2 2 ?? 2 2? x ? nx ?? i ?? ? yi ? ny ? ? i ?1 ?? i ?1 ?

n

x

2、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y, 它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数 2 ? 2 列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利 用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较 精确地给出这种判断的可靠程度. 具体的做法是, 由表中的数据算出随机变量 K 的
2

M
?

M

n(ad ? bc)2 2 值K ? ,其中 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
n ? a ? b ? c ? d 为样本容量,K2 的值越大,说明“X
与 Y 有关系”成立的可能性越大. 随机变量 K 越大, 说明两个分类变量, 关系越强; 反之,越弱。
2

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

a

图1
? ? a
M

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

K ? 3.841时,X 与 Y 无关; K ? 3.841时,X
2 2

?
?

?
M
x

a

?
a
?

- 36 O

(a,? )

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数 ? 、 ? 对 应惟一点 P( ? , ? ),但平面内任一个点 P 的极坐标 不惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规

①过极点的直线的极坐标方程是 ? ? ? ( ? ? 0) 和

?) 律可循的, P( ? , (极点除外) 的全部坐标为( ? , ?
+ 2k? )或( ? ? ,? + (2k ? 1)? ) ,( k ? Z).极点的 极径为 0,而极角任意取.若对 ? 、 ? 的取值范围加 以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了, 如限定 ? >0,0≤ ? < 2? 或 ? <0, ? ? < ? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点 与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一 多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的. 3、极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) , 极坐标是 ( ? , ? ) ,从图中可以得出:

? ? ? ? ? ( ? ? 0) . (如图 1)
②过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐 标方程是 ?cos? ? a . 化为直角坐标方程为 x ? a . (如图 2) ③过点 A( a,

?
2

) 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程

x ? ? cos? ,
2 2 2

y ? ? sin?

是 ? sin ? ? a . 化为直角坐标方程为 y ? a .(如图 4)
M(? , ?
?

y ? ? x ? y , tan? ? ( x ? 0). x
y



M

?
0

M

?
?

O

x

?

O

a

N

x

M

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? ,?


? ?
? ? ? ? ? ? ?

y
M

x ? ? co ?

O
? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2
y ta ? ? ( x ? 0) x

H

?

y ? ? si ?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

(直极互化 图) 4、简单曲线的极坐标方程 ⑴圆的极坐标方程 ①以极点为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 (如图 1) ? ? a; ②以 ( a, 0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方 程是 ? ? 2acos? ; (如图 2) ③以 (a,

图4

图5
? ??

a ?? sin ?
5、柱坐标系与球坐标系

a sin?

图6
??
a cos( ? ? ?)

⑴柱坐标:空间点 P 的直角坐标 ( x, y, z ) 与柱坐标

? x ? ? cos ? ? ( ? ,? , z ) 的变换关系为: ? y ? ? sin ? . ?z ? z ?
⑵球坐标系 空间点 P 直角坐标 ( x, y, z ) 与球坐标 (r ,? , ? ) 的变

?

2 程是 ? ? 2asin? ; (如图 4)
⑵直线的极坐标方程

) (a ? 0) 为圆心,a 为半径的圆的极坐标方

- 37 -

? x2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 ? ? x ? r sin ? cos ? 换关系: ? . y ? r sin ? sin ? ? ? ? z ? r cos ?
6、参数方程的概念 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标

(4)抛物线 y 2 ? 2 px 参数方程 ? 数, t ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t 为参

1 ) ; tan ? 参数 t 的几何意义: 抛物线上除顶点外的任意一点

? x ? f (t ), 并且对于 t 的 x, y 都是某个变数 t 的函数 ? ? y ? g (t ),
每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在 这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方 程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。 7、常见曲线的参数方程 (1)圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的参数方程为
2 2 2

与原点连线的斜率的倒数. (6)过定点 P( x0 , y0 ) 、倾斜角为 ? (? ? 的参数方程 ?

?
2

) 的直线

? x ? x0 ? t cos? ( t 为参数). y ? y ? t sin ? 0 ?

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b ? r sin ?
x2 y 2 (2)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a b

8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时, 要注明参数及参数的取 值范围。 在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 x, y 的取值范围保持一致. 参数方程化为普通方程的关键是消参数, 并且要保 证等价性。若不可避免地破坏了同解变形,则一定要 通过 x ? f (t ), y ? g (t ) 。根据 t 的取值范围导出 x, y 的取值范围.

? x ? a cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b sin ?
椭圆

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a 2 b2

? x ? b cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? a sin ?

x2 y2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程 a b

? ?x ? a s e c ( ? 为参数) ; ? ? ?y ? b t a n
双曲线

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程 a 2 b2

t ?x ? b c o ? ( ? 为参数) ; ? ? ?y ? ac s c

- 38 -


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