3986.net
小网站 大容量 大智慧
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学人教复习课件:4-3 三角函数的图象与性质


第 三 节

三角函数的图象与性质

重点难点 重点: 三角函数的图象与性质. 难点: ①三角函数性质的应用. ②五点法画图. ③三角函数图象的平移变换、对称变换和伸缩变换.

知识归纳 1.有向线段:一条与坐标轴平行的线段可以规定两种 相反的方向,若线段的方向与坐标轴的 正向 一致,就规定 这条线段是正的,否则,就规定它是负的. 2.三角函数线 设角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 点作 PM⊥ x 轴 于 M,作 PN⊥ y 轴于 N,过点 A(1,0)作单位圆的切线,与 角 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T,则有向线 段 ON 、 OM 、 AT 分别叫做角 α 的正弦线、余弦线、正 切线.

3.“五点法”作 y= Asin(ωx+ φ)(A> 0, ω> 0)的简图 π 3π 五点的取法是:设 X= ωx+ φ,由 X 取 0,2,π, 2 ,2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点作图.

4 .图象变换:函数 y= Asin(ωx + φ)(A> 0, ω> 0) 的图象可由函数 y= sinx 的图象作如下变换得到: (1)相位变换: y= sinx―→ y= sin(x+φ),把 y= sinx 图象上所有的点向 左 (φ> 0)或向 右 |φ |个单位. (φ < 0)平行移动

(2)周期变换: y= sin(x+ φ)→ y= sin(ωx+ φ),把 y= sin(x+ φ)图象上各点的横坐标 伸长 (0< ω< 1)或 缩短 (ω 1 > 1)到原来的 倍 (纵坐标不变 ). ω (3)振幅变换:y= sin(ωx+φ)→ y= Asin(ωx+ φ),把 y = sin(ωx+ φ)图象上各点的纵坐标 伸长 (A> 1)或缩短 (0 < A< 1)到原来的 A 倍(横坐标不变,相位变换见平移变 换 ),周期变换和振幅变换都是伸缩变换.

5.当函数 y= Asin(ωx+φ)(A> 0,ω> 0,x∈ (-∞, 2π +∞ ))表示一个振动量时,则 A 叫做振幅,T= 叫做周 ω 1 期, f= 叫做频率, ωx+ φ 叫做相位,φ 叫做初相. T
2π 函数 y= Acos(ωx+φ)(ω≠ 0)的周期为 |ω| . π 函数 y= Atan(ωx+ φ)(ω≠ 0)的周期为 |ω| .

π 6.正弦曲线 y= sinx 的对称轴为x=2+kπ(k∈Z) .对

称中心为 (kπ,0)(k∈Z)
π 心为 ( 2+kπ,0)(k∈Z)



余弦曲线 y= cosx 的对称轴为 x=kπ(k∈Z) ,对称中 ;

kπ 函数 y=tanx 图象的对称中心为 ( , 0)(k∈ Z). 2

7.三角函数的图象与性质 三角函数 y= sinx y= cosx y= tanx

图象

{x|x∈ R, 定义域 R R π 且 x≠ kπ+ , 2 k∈ Z} [- 1,1], 值域 和 最值 [- 1,1],

π 当 x= 2kπ- (k∈ Z) 当 x= 2kπ 时 (k∈ Z), 2 时, ymin=- 1, π 当 x= 2kπ+ (k∈ Z) 2 时, ymax= 1 ymax= 1, 当 x= 2kπ+ π 时(k∈ Z), ymin=- 1 2π 偶

值域 R, 无最大值 和最小值

周期 奇偶性

2π 奇

π 奇

kπ 对称中心( ,0), π 0)k∈ Z 2 ,0), k∈ Z 对称性 对称轴 x= kπ+ 2 k∈Z 对称轴 x=kπ, π 无对称轴 ,k∈ Z k∈ Z 2

对称中心(kπ, 对称中心(kπ+

π 增 区 间 [2kπ - , 2 减 区 间 [2kπ , 在 (kπ - π , kπ + 2 单调 2kπ+π] π π 区间 减 区 间 [2kπ + 2 , 增 区 间 [2kπ - 2 )(k ∈ Z) 上 是 增 π 2kπ+ ] 2 3π 2kπ+ ] 2 (k∈ Z) π, 2kπ](k∈ Z) 函数

误区警示 1.用五点法画函数 y= Asin(ωx+ φ)(A>0)在一个周 π 3π 期内的图象时,应使 ωx+ φ 取五个值 0、 、 π、 、 2π 2 2 算出对应的 x 的值和 y 值如表 . x ↑ ωx+ φ y= Asin(ωx+ φ) 0 0 π 2 A π 0 3 π 2 -A 2π 0

也可以先求出其一个值 (如令 ωx+ φ= 0),然后依据 y= Asin(ωx+ φ)的周期,顺次列出其余各值.特别注意画 出正余弦函数在某闭区间内的图象时,所取点必须在闭 区间内,且必须列出区间的两端点. ...........

2.在既有平移变换、又有伸缩变换的三角函数图象 变换问题中,应特别注意先平移再伸缩和先伸缩再平移 时平移单位数的区别. 1 3.伸缩变换中应该乘以 而不是 m(m 是伸缩的倍 m 数 ),牢记无论平移还是伸缩,都仅对坐标进行变换.

π π 4.函数 y= sinx 在 [2kπ- ,2kπ+ ],(k∈Z)的每一 2 2 个区间上都是增函数,但在 k 取不同值时,对应的两个 区间的并集上不单调. y= cosx, y=tanx 都有类似特点. 如函数 y=tanx 在第一象限内是增函数是错误的, 你 能说明原因吗? 5.函数 y= sinx、 y=cosx 的图象的对称轴经过图象 的最高点或最低点.

6. y= Asin(ωx+ φ)的单调区间的确定: (1)当 A>0,ω>0 时,由于 U= ωx+ φ 是增函数,故 y = AsinU 单增 ( 减 ) 时,复合函数 y = Asin(ωx + φ) 单增 π π (减).从而解不等式 2kπ- ≤ ωx+φ≤ 2kπ+ (k∈Z)求出 2 2 π x 的取值范围, 即该函数的增区间, 解不等式 2kπ+ ≤ ωx 2 3π + φ≤ 2kπ+ (k∈ Z)可得该函数的单调减区间. 2

(2)当 A>0, ω<0 时,∵U= ωx+φ 为减函数,故再 如 (1)的解法, 求出单调区间则会导致错误, 同样 A<0, ω<0 时也有类似情况,这时要紧扣复合函数单调性的判定方 法进行.余弦、正切函数都有类似情形. 一般地,求 y=Asin(ωx+ φ)的单调区间时,若 ω<0, 先用诱导公式化 x 的系数为正,然后利用复合函数判单 调性的方法,解关于 ωx+φ 的一个不等式即可求得.

一、“ 数形结合”方法 在三角函数的图象和性质中,数形结合思想的运用 主要体现在用三角函数的图象和单位圆中的三角函数线 解相关问题,如求函数的定义域、解三角不等式等.

[ 例 1]

函 数 y = tanx + lg cosx 的 定 义 域 是

________________.
?tanx≥ 0, ? 解析:由题意知? ? ?cosx>0,

π 如图,由 tanx≥ 0 得,mπ≤ x<mπ+ , m∈ Z, 2

π π 由 cosx>0 得, 2nπ- <x<2nπ+ , n∈Z. 2 2 π ∴ 2kπ≤ x<2kπ+ , k∈ Z. 2
π 答案:{x|2kπ≤ x<2kπ+ , k∈ Z} 2

点评: 用单位圆中的三角函数线处理三角函数相关 问题,直观、简捷、准确,避免了复杂的字母讨论.单 位圆是三角函数中的一个重要工具,三角函数的很多知 识都能通过单位圆来理解、记忆、沟通,复习中应注意 单位圆对知识的整合作用.

二、转化与化归的思想 有关三角函数的图象与性质的问题, 通常都是通过三 角变换化归为基本三角函数, 利用基本三角函数相应的性 质来解决. 三、解题技巧 (一)五点法求函数 y= Asin(ωx+ φ)的解析式

[例 2] 若函数 f(x)= sin(ωx+φ)的部分图象如下图 所示,则 ω 和 φ 的取值是 ( )

π A. ω= 1,φ= 3 1 π C. ω= ,φ= 2 6

π B. ω= 1, φ=- 3 1 π D. ω= ,φ=- 2 6

解析: 方法 1:由五点法及图象知: ? π ?- 3 ω+ φ= 0 ? 2 π ? πω+ φ= 2 ?3 ① ②

1 ? ?ω=2 解①,②组成的方程组得? ?φ=π 6 ?

.

T 2 π 方法 2:由图可知 = π- (- )= π. 4 3 3 2π 1 ∴ T= 4π,∴ ω= = . T 2 1 2 π ∴ f(x)= sin( x+ φ), 将( π, 1)代入可求 φ= + 2kπ(k 2 3 6 ∈ Z).故选 C.

答案:C

(二)三角函数的图象变换技巧 1.平移变换 与坐标轴同向为正、反向为负 (向右 x 取正,向左 x 取负,向上 y 取正,向下 y 取负 ). 如 y= f(x)图象上各点向左平移 3 个单位后再向上平 移 2 个单位,则只须用 x- (-3)代替 x,y-2 代替 y 即可 得,∴ y- 2= f(x+3),即 y=f(x+ 3)+2.

2.伸缩变换

将 y=f(x)图象上各点的横(或纵 )坐标

x y 伸长 (或缩短 )到原来的 m 倍,则用 代替 x(或 代替 y)即 m m 可. (推证从略) (三)注意弦函数的有界性 (四)在含 sinx± cosx 与 sinx、 cosx 的关系式中,常作 换元 sinx+ cosx= t 化为代数问题解决.

(五)三角函数的奇偶性 函数 y= Asin(ωx+φ)(ωx≠0)为奇函数的充要条件为 π φ= kπ,k∈ Z,为偶函数的充要条件为 φ= kπ+ ,k∈ Z. 2 函数 y= Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)为奇函数的充要条件为 φ π = kπ+ , k∈Z.为偶函数的充要条件为 φ=kπ,k∈ Z.函 2 数 y= Atan(ωx+ φ)(A,ω≠ 0)为奇函数的充要条件为 φ= kπ , k∈ Z.它不可能是偶函数. 2

(六)直线 y= a 与函数 y= tanx 的图象交点中任两点 距离的最小值为周期. 函数 y= sinx(y= cosx)相邻两个最大 (小)值点之间距 离为周期,与 x 轴相邻两交点之间距离为半周期.

三角函数图象的变换

[例 1] 要得到函数 y=-2sinx 的图象,只需将函数
? π? y=2cos?2x+ ?的图象上所有点的 ( 4? ?

)

1 A.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再向右平行 2 π 移动 个单位长度 8

1 B. 横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变 ),再向左平行 2 π 移动 个单位长度 4 C.横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 ),再向左 π 平行移动 个单位长度 4 D.横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 ),再向右 π 平行移动 个单位长度 8

解析:把函数

? π? y=2cos?2x+ ?的图象上各点的横坐标 4? ? ? π? y= 2cos?x+ ?的图象,再 4? ?

伸长到原来的两倍,得到函数

? π π? 向左平移 个单位,得到函数 y=2cos?x+ ?的图象,即 y 4 2? ?

=-2sinx.故选 C.
答案:C

点评: 要特别注意: (一 ) 由哪个函数变换为哪个函 数.(二)先平移和先伸缩平移单位数的差别.

要得到函数 y= 2cosx 的图象,只需将函数 y= sin2x+ cos2x 的图象上所有点的( )

1 A.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再向右平 2 π 行移动 个单位长度 8 1 B.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再向左平 2 π 行移动 个单位长度 4

C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变 ),再向左 π 平行移动 个单位长度 4 D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变 ),再向右 π 平行移动 个单位长度 8

解析: y=sin2x+ cos2x 可化为 y= 函数 y=

? π? 2sin?2x+ ?,把 4? ?

? π? 2sin?2x+ ?的图象上各点的横坐标伸长到原来 4? ? ? π? π 2sin?x+ ?的图象, 再向左平移 个 4 4 ? ? ? π? 2sin?x+ ?的图象,即 2? ?

的两倍, 得到函数 y= 单位,得到函数 y= 故选 C.
答案:C

y= 2cosx.

已知三角函数的图象求解析式
[ 例 2] (2010· 山东临沂 )已知函数 f(x)= Asin(ωx+

φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则其导函数 f ′(x)的解析式为 ( )

A. f B. f C. f

?1 π? ′ (x)= 2sin? x+ ? 4? ?2 ?1 5π? ′ (x)= sin? x+ ? 4? ?2 ? π? ′ (x)= 2sin?2x+ ? 4? ?

1 ? 3π? D. f ′ (x)= sin?2x+ ? 2 ? 4?

分析: 由三角函数 y=Asin(ωx+φ)+ k 的图象求解析 式时,第一步,由最大值与最小值求 A 及 k,本题中 k = 0, 最高点纵坐标即 A 的值; 第二步, 由周期
? T T? T?或 , ? 4? ? 2

求 ω;第三步,代入点的坐标求 φ,若代入点为对称中心 时,须检验.

1 解析: 观察图象知, A=2,T=4π, ω= . 2
?1 ? f(x)= 2sin? x+ φ?, 因为当 ?2 ?

π 1 π x= 时, f(x)= 0, 所以 × 2 2 2

3π + φ= kπ, k∈Z,又 0<φ<π,所以 φ= . 4 所以
?1 3π? f(x)= 2sin? x+ ?, 4? ?2 ?x 3π? ′ (x)= cos? + ?,∴f 4? ?2 ?1 5π? ′ (x)=sin? x+ ?. 4? ?2

求导得 f
答案:B

点评: 一般地, 由 y=Asin(ωx+φ)+ k(或 y= Acos(ωx + φ)+ k)的图象求解析式基本步骤是: 1° 看 k 是否为 0,k=0 时直接从图象的最高 (低 )点得 1 到 A; k≠ 0 时, |A|= (最大值-最小值 ), k=最大值-|A|, 2 一般情况下不考查 k≠ 0 的情形.

T T 2π 2° 求 ω, 分析图象找出其周期 T(或 , 或 ), 用 T= 2 4 |ω| 求 ω.通常情况下,都有 A>0, ω>0 的条件. 3° 代入点的坐标求 φ,若代入的点为对称中心时,最 后一定要检验.

(文 )(2011· 湖南长沙一中月考 )下列函数中,图象的 一部分如图所示的是( )

π A. y= sin(2x+ ) 6 π B. y= sin(2x- ) 6 π C. y= cos(2x+ ) 3 π D. y= cos(2x- ) 6

π 解析:解法一:将(- ,0)代入选项逐一验证,对 A 6 π π π 项, y= sin(- + )≠ 0, A 错;对 B 项, y= sin(- )= 3 6 2 - 1≠ 0, B 错;对 C 项 y= cos0= 1≠ 0, C 错;对 D 项, π π π y= cos(- - )= cos = 0 符合,故选 D. 3 6 2

π π 解法二:由图象知 T=4( + )=π,故 ω=2,排除 12 6 A、C. π 又当 x= 时,y=1,而 B 中的 y=0,故选 D. 12

答案:D

( 理 )(2010· 安徽马鞍山二中 )函数 f(x)= Asin(ωx + φ) + b 的图象如图所示,则 f(1)+f(2)+?+ f(2009)的值为 ( )

A.2008 C.2009

4017 B. 2 4019 D. 2

1 解析:由 f(x)的图象可以得到 A= ,b= 1,T= 4, 2
? π 1 π 3? 所以 ω= , 故 f(x)= sin( x+ φ)+ 1, 再由点?1, ?在 f(x) 2 2 2 2? ?

1 πx 的图象上,可得 φ= 2kπ, k∈ Z,所以 f(x)= sin + 1. 2 2

1 1 所以 f(1)= +1,f(2)=0+1,f(3)=- +1,f(4)=0 2 2 +1,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4, 所以 f(1)+f(2)+?+f(2009)=2008+f(2009)=2008 4019 +f(1)= . 2

答案:D

五点法作图

[例 3] (2010· 吉林省检测)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,-
?π? π 3 ? ? <φ<0)的最小正周期为 π,且 f = . 2 2 ?4 ?

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在 [0,π]上的图象; 2 (3)若 f(x)> ,求 x 的取值范围. 2

2π 解析:(1)周期 T= =π,∴ω=2, ω ∵f
?π ? ? ? ?π ? π ? ?= cos?2× + φ? = cos? + φ? =- sinφ= 4 ?4 ? ? ? ?2 ?

3 , 2

π π - <φ<0,∴φ=- . 2 3

? π? (2)f(x)= cos?2x- ?,列表如下: 3? ?

π π 2 x- - 3 3 x f ( x) 0 1 2

0 π 6 1

π 2 5 π 12 0

π 2 π 3 -1

3 π 2 11 π 12 0

5 π 3 π 1 2

图象如图:

? π? (3)∵ cos?2x- ?> 3? ?

2 π π π ,∴ 2kπ- <2x- <2kπ+ 2 4 3 4

π 7π ∴ 2kπ+ <2x<2kπ+ , 12 12 π 7π ∴ kπ+ <x<kπ+ , k∈ Z, 24 24 π 7π ∴ x 的范围是{x|kπ+ <x<kπ+ , k∈ Z}. 24 24

点评:用“五点法 ”作图应抓住四条:①化为 y= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω> 2π 0)的形式;②求出周期 T= ;③求出振幅 A;④列出一 ω 个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时, 应列出该区间内的特殊点和区间端点.

三角函数的定义域

解析:

?0<x≤ 4 ? ∴? π kπ≤ x<kπ+ ? k∈Z? ? 2 ?

π ,∴ 0<x< 或 π≤ x≤ 4 2

π ∴所求定义域为 (0, )∪[π, 4]. 2

点评: 要注意根据 0<x≤4 去适当选择整数 k 的取值.

(2011· 湛江调研)函数 y=lg(sinx)+ 义域为________.

1 cosx- 的定 2

?sinx>0, ? 解析:要使函数有意义,应满足? 1 cosx- ≥0 ? 2 ? 如图,使 sinx>0 的 x 取值范围是 2kπ<x<2kπ+π, k∈ Z.

1 使 cosx≥ 成立的 x 取值范围是 2 π π 2kπ- ≤ x≤ 2kπ+ , k∈ Z, 3 3 π ∴ 2kπ<x≤ 2kπ+ , k∈ Z. 3

π 答案:(2kπ,2kπ+ ],k∈Z 3

三角函数的值域

[例 5] 求下列函数的值域: π (1)y= 3sinx+cosx(|x|≤ ); 2 π (2)y=cos x+2sinx(|x|≤ ); 4
2

(3)y=sin2x+ 2sinxcosx+3cos2x.

分析: 三角函数属于初等函数,因而前面学过的求 函数值域的一般方法,也适用于三角函数.但涉及正弦、 余弦函数的值域时,应注意正弦、余弦函数的有界性 (即 |sinx|≤ 1, |cosx |≤1)对值域的影响.

π 解析:(1)y= 3sinx+cosx=2sin(x+ ). 6 π π π π 2π 因为- ≤x≤ ,所以- ≤x+ ≤ . 2 2 3 6 3 π 3 所以 sin(x+ )有最小值- ,最大值 1, 6 2 故值域为[- 3,2]

(2)y=1- sin2x+ 2sinx=- (sinx-1)2+ 2. π 2 2 因为 |x|≤ ,所以- ≤ sinx≤ . 4 2 2 2 1 当 sinx=- 时, ymin= - 2, 2 2 2 1 当 sinx= 时, ymax= + 2. 2 2 π 1 1 所以函数 y=cos x+sinx(|x|≤ )的值域是 [ - 2, 4 2 2
2

+ 2].

(3)y=sin2x+2sinxcosx+ 3cos2x 1-cos2x 3+ 3cos2x = +sin2x+ 2 2 π = sin2x+ cos2x+2= 2sin(2x+ )+ 2. 4 故函数的值域为 [2- 2, 2+ 2].

点评: 求三角函数值域常用的方法. (1)将所给的三角函数转化为二次函数,通过配方法 求值域, 例如转化成 y= asin2x+ bsinx+ c 型的值域问题. (2)化为一角一函形式求. (3)利用 sinx、cosx 的有界性求值域. (4)换元法. 利用换元法求三角函数的值域,要注意换元前后的 等价性,不能只进行换元,不注意其等价性. (5)数形结合.

( 文 )(2011· 重 庆 一 中 月 考 ) 函 数 f(x) = sin2x + 3 π π sinxcosx 在区间 [ , ]上的最大值是( 4 2 A. 1 C. 1+ 3 1+ 3 B. 2 3 D. 2 )

? 1- cos2x 3 π? 1 解析:f(x)= + sin2x= sin?2x- ?+ , 2 2 6? 2 ?

π π π π 5π 由 x∈ [ , ]知 ≤ 2x- ≤ , 4 2 3 6 6 π π π 3 ∴当 2x- = 即 x= 时, f(x)max= ,故选 D. 6 2 3 2
答案:D

( 理 )(2011· 安徽“江南十校”联考 )已知函数 f(x) = 5π sinx+ acosx 的图象的一条对称轴是 x= ,则函数 g(x) 3 = asinx+cosx 的最大值是 ( 2 2 A. 3 4 C. 3 )

2 3 B. 3 2 6 D. 3

10π 3 a 解析: 由题意得 f(0)= f( ),∴ a=- - . 3 2 2 3 3 2 3 2π ∴ a=- ,g(x)=- sinx+ cosx= sin(x+ ), 3 3 3 3 2 3 ∴ g(x)max= . 3

答案:B

三角函数的周期性
2x 2x (文)函数 f(x)= cos + sin 的图象相邻两条 5 5 ) 2π C. 5 5π D. 2

[例 6]

对称轴之间的距离是 ( A. 5π B. 2π

分析: 弦函数的任意两条相邻对称轴之间的距离为半 个周期, 只要将 f(x)化为 y= Asin(ωx+ φ)的形式即可获解.

2x π 解析:f(x)= 2sin( + ),其周期为 5π,相邻两条 5 4 5π 对称轴的距离为半个周期,即 .选 D. 2

答案:D

π π (理)设函数 f(x)= 2sin( x+ ). 若对任意 x∈ R, 都有 2 5 f(x1)≤ f(x)≤f(x2)成立,则 |x1-x2|的最小值为 ( A. 4 C. 1 B. 2 1 D. 2 )

分析: ∵f(x)的最大值为 2,最小值为- 2, ∴对? x∈R,- 2≤ f(x)≤2. π 取到最值时 x= + kπ,|x1- x2|取最小值,即 f(x1)为 2 最小值,f(x2)为最大值且(x1,f(x1)),(x2,f(x2))为相邻的 最小 (大 )值点,即半个周期.

T 解析:f(x)的周期 T=4,|x1-x2|min= =2.故选 B. 2

答案:B

点评:考查三角函数的周期,而又不提周期,题目难 度不大, 却能考查学生的思维能力, 应加强这种小题训练.

π ( 文 )(2011· 广 东佛山一 检 ) 函数 y = cos (x + ) - 4
2

π sin (x+ )的最小正周期为 ( 4
2

)

π A. 4 C. π

π B. 2 D. 2π

π π 解析:∵y=cos2(x+ )-sin2(x+ ) 4 4 π =cos(2x+ )=-sin2x, 2 ∴周期 T=π.

答案:C

( 理 )(2011· 武 汉 调 研 ) 已 知 函 数 f(x) = 3 sinωx + cosωx(ω>0), y= f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点 的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是(
? π 5π ? A.?kπ- , kπ+ ?, k∈ Z 12 12 ? ? ? 5π 11π? B.?kπ+ , kπ+ ?, k∈ Z 12 12 ? ? ? π π? C.?kπ- , kπ+ ?, k∈ Z 3 6? ? ? π 2π ? D.?kπ- , kπ+ ?, k∈ Z 6 3? ?

)

π 解析: f(x)= 3sinωx+ cosωx=2sin(ωx+ ), 6 由 y= f(x)的图象与直线 y= 2 的两个相邻交点的距离 2π 为 π,得函数 f(x)的周期为 π,∴ =π.∴ ω= 2. ω π ∴ f(x)= 2sin(2x+ ). 6

π π π 令 2kπ- ≤ 2x+ ≤ 2kπ+ , k∈ Z, 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤ kπ+ ,k∈Z. 3 6 π π ∴f(x)的单调递增区间为 [kπ- , kπ+ ], k∈ Z. 3 6 故选 C.
答案:C

三角函数的奇偶性、单调性
[例 7] (文)(2011· 北京东城质检)定义在 R 上的函数

f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π, π 5π 且当 x∈[0, ]时,f(x)=sinx,则 f( )的值为 ( 2 3 1 A.- 2 3 C.- 2 1 B. 2 3 D. 2 )

解析:∵f(x)的最小正周期是 π,且为偶函数, 5π 5π π π π 3 ∴f( )=f( -2π)=f(- )=f( )=sin = . 3 3 3 3 3 2 故正确答案为 D.

答案:D

(理)(2010· 湖南文)已知函数 f(x)=sin2x- 2sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合.

解析: (1)因为 f(x)=sin2x-(1-cos2x) =
? π? 2sin?2x+ ?- 1, 4? ?

2π 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= = π. 2 π π π (2)由(1)知,当 2x+ = 2kπ+ ,即 x=kπ+ (k∈ Z) 4 2 8 时, f(x)取最大值 2- 1.因此函数 f(x)取最大值时, x 的集 π 合为 {x|x= kπ+ , k∈ Z}. 8

(文)(2011· 山东文, 6)若函数 f(x)=sinωx (ω>0)在区 π π π 间 [0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减,则 ω 3 3 2 =( ) 2 A. 3 C. 2 3 B. 2 D. 3

π π π 解析:由 ω>0 及 y=sinωx 在[0, ]上递增,在[ , ] 3 3 2 π π 3 上递减知 = ,即 ω= . 2ω 3 2

答案:B

(理)(2011· 茂名模拟 )设函数 y= sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈ π π π (- , ))的最小正周期为 π,且其图象关于直线 x= 对 2 2 12 称,则在下面四个结论中: π π ①图象关于点 ( ,0)对称;②图象关于点( ,0)对称; 4 3 π π ③在 [0, ]上是增函数;④在[- ,0]上是增函数,所有 6 6 正确结论的序号为 ________.

解析:∵最小正周期为 π,∴ω=2;又图象关于直 π π π π 线 x= 对称, φ∈ (- , ), ∴ φ= , ∴解析式为 y= sin(2x 12 2 2 3 π π π π π + ),x= 时,y=0,由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ 得,kπ 3 3 2 3 2 5π π π π - ≤ x≤ kπ+ , (k∈Z), ∴函数 y=sin(2x+ )在 [- , 12 12 3 6 0]上为增函数,故②④正确.

答案:②④

一、选择题 π 1 . (2011· 山东德州一模 )先将函数 f(x)= 2sin(2x- ) 6 π 的周期变为原来的 2 倍,再将所得函数的图象向右平移 6 个单位,则所得函数图象的解析式为( A. f(x)= 2sinx C. f(x)= 2sin4x )

π B.f(x)=2sin(x- ) 3 5π D.f(x)=2sin(4x- ) 6

[答案] B

π [解析 ] 将 y= 2sin(2x- )的周期变为原来的 2 倍, 6 π π 则函数变为 y= 2sin(x- ), 再将所得函数图象向右平移 6 6 π π π 个单位,所得函数为 y= 2sin[(x- )- ]= 2sin(x- ). 6 6 3

2. (2011· 滨州月考 )如果函数 y= 3cos(2x+ φ)的图象关 4π 于点 ( , 0)中心对称,那么|φ|的最小值为 ( 3 π A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2 )

[答案]
[解析]

A
? ? 4π 由条件知?2× +φ?=0, 3 ? ?

8π π 13π ∴ +φ=kπ+ ,∴φ=kπ- ,k∈Z, 3 2 6 π ∴当 k=2 时,|φ|取最小值 . 6

3 . ( 文 )(2011· 山东烟台模拟 ) 函数 f(x) = Asin(ωx + π φ)(A>0, ω>0, |φ|< )的部分图象如图所示,则 ω, φ 的 2 值分别为( )

A.2,0 π C.2,- 3

π B.2, 4 π D. 2, 6

[答案]

D

3 11π π 3π [解析 ] 由图象得 T= - = , 4 12 6 4 则 T=π,ω=2. π 当 2x+ φ= 时,函数取最大值, 2 π π π 由 2× +φ= 得 φ= . 6 2 6

( 理 )(2010· 东 北 师 大 附 中 ) 函 数 ?kx+ 1 ?-2≤x<0? ? ? 8π 2sin? ωx+ φ? ?0≤x≤ ? ? 3 ? 的图象如下图,则 (

y = )

1 1 π A. k= , ω= , φ= 2 2 6 1 1 π B. k= , ω= , φ= 2 2 3 1 π C. k=- , ω= 2, φ= 2 6 D. k=- 2, ω= 2, φ= π 3

[答案]

A

[解析 ]

1 y= kx+ 1 过(- 2,0),∴k= ; 2

T 8π 5π y= 2sin(ωx+φ)中, = - =π,∴T=4π, 4 3 3 2π 1 即 = 4π,∴ω= , ω 2 又
?1 ? π ? ? y= 2sin x+φ 过(0,1)点,∴φ= ,故选 6 ?2 ?

A.

二、解答题 cos2x- sin2x 4.(文 )(2010· 湖北)已知函数 f(x)= ,g(x) 2 1 1 = sin2x- . 2 4 (1)函数 f(x)的图象可由函数 g(x)的图象经过怎样的 变化得出? (2)求函数 h(x)=f(x)- g(x)的最小值,并求使 h(x)取 得最小值的 x 的集合.

1 1 ? π? [解析 ] (1)f(x)= cos2x= sin?2x+ ? 2 2 ? 2?
? 1 π? = sin2?x+ ? 2 4? ?

所以要得到 f(x)的图象只需要把 g(x)的图象向左平移 π 1 个单位长度,再将所得到的图象向上平移 个单位长度 4 4 即可.

1 1 1 (2)h(x)=f(x)- g(x)= cos2x- sin2x+ 2 2 4 2 ? π? 1 = cos?2x+ ?+ 2 4? 4 ? 1- 2 2 π 当 2x+ = 2kπ+ π(k∈ Z)时, h(x)min= 4 4 3π 此时 x 的取值集合为 {x|x=kπ+ , k∈ Z}. 8

1 (理)已知函数 f(x)= ( 3sinωx+ cosωx)cosωx- (ω>0) 2 的最小正周期为 4π. (1)求 ω 的值; (2)求 f(x)的单调递增区间.

1 [解析 ] (1)f(x)= 3sinωxcosωx+cos ωx- 2
2

? 3 1 1 1 π? = sin2ωx+ cos2ωx+ - =sin?2ωx+ ? 2 2 2 2 6? ?

2π 1 ∵ T= = 4π,∴ ω= . 2ω 4

?1 π? (2)∵f(x)= sin? x+ ? 6? ?2

π 1 π π ∵- + 2kπ≤ x+ ≤ +2kπ,k∈ Z 2 2 6 2 4 2 ∴- π+ 4kπ≤x≤ π+ 4kπ, k∈ Z 3 3 4π 2π ∴ f(x)的单调递增区间为 [- +4kπ, +4kπ](k∈ 3 3 Z).


赞助商链接
推荐相关:

...总复习第四章三角函数、解三角形第3讲三角函数的图象与性质!_...

2018年高考数学总复习章三角函数、解三角形第3三角函数的图象与性质!_高考_高中教育_教育专区。第3三角函数的图象与性质 基础巩固题组 (建议用时:40 ...


2013高三数学总复习同步练习:4-3三角函数的图象与性质

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...2013高三数学总复习同步练习:4-3三角函数的图象与性质_高三数学_数学_高中教育_...


...数学二轮复习-知识点总结-三角函数的图象与性质

(典型题)2014高考数学二轮复习-知识点总结-三角函数的图象与性质 - 三角函数的图象与性质 一、对三角函数的图象和性质的考查: 1、以图象的变换,函数的单调性、...


...复习配套讲义:第3篇 第3讲 三角函数的图象与性质

【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第3篇 第3讲 三角函数的图象与性质_数学_高中教育_教育专区。第3讲 [最新考纲] 三角函数的图象与...


2018年高考数学总复习43三角函数的图象与性质演练提升...

2018年高考数学总复习43三角函数的图象与性质演练提升同步测评文新人教B版! - 4.3 三角函数的图象与性质 A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟) π? ? 1.(2016...


2018年高考数学总复习43三角函数的图象与性质演练提升...

2018年高考数学总复习43三角函数的图象与性质演练提升同步测评文新人教B版! - 4.3 三角函数的图象与性质 A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟) π? ? 1.(2016...


...第4讲 三角函数的图象与性质习题 理 新人教A版

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角...4讲 三角函数的图象与性质习题 理 新人教A版_数学...


...高中数学技能特训:3-3 三角函数的图象与性质(人教B...

高三总复习】2013高中数学技能特训:3-3 三角函数的图象与性质(人教B版) 含...· T= 4 ·≤ 1 ,∴ω≥ω 2 π,故选 B. π? ? 6.(文)函数 f(...


...四章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质试...

2018 版高考数学大一轮复习章 三角函数、 解三角形 第 3三 角函数的图象与性质试题 理 新人教版基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 π...


2010年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――三角函数的图像与...

搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2010年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――...对三角函数的图象与性质的考查, 因为函数的性质是...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com