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浙江省金华市东阳中学2014-2015学年高一数学下学期期中试题


东阳中学 2015 年 期中考试卷 (高一数学)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.下列结论成立的是( ) 2 2 A.若 ac>bc,则 a>b B.若 a>b,则 a >b C.若 a>b,c<d,则 a+c>b+d D.若 a>b,c>d,则 a﹣d>b﹣c 2.不等式 ax +bx+2>0 的解集是 ? ? , ? ,则 a+b 的值是(
2

? 1 1? ? 2 3?

) D.﹣14 )

A.10

B.﹣10

C.14

3.等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ? ( A. 1 B. 1

3

?

C. 1

D.
*

3

9

?

1 9
n

4.已知数列{ an }满足: a1 ? 1 , an ? 0, an?12 ? an 2 ? 1

? n ? N ? ,那么使 a

<5 成立的 n 的

最大值为( ) A.4 B.5 C.24 D.25 5.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km) ,灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏 东 60°,则 A,B 之间相距( ) A. a (km) B. C. D. 2 a (km) 3a (km) 2a (km) 6.长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表 面积是( ) A. B. C. 50? D. 200?

20 2?

25 2?

7.已知圆锥的母线长为 4,侧面展开图的中心角为 A.

? ,那么它的体积为( 2
15?
D.



15 ? 3

B.

15 ? 2

C.

4?

8.若满足条件 C= 60 ? , AB ? 3, BC ? a 的 ?ABC 有两个,则 a 的取值范围是( )

?1, 2 ? C. ? 3, 2 ?
A.

B. D.

?

2, 3

?

?1,2?

二、填空题:本大题有 7 小题,9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在 答题卷的相应位置.

-1-

9.设公差不为零的等差数列{ an }满足: a1 =3, a4 +5 是 a2 +5 和 a8 +5 的等比中项,则

an =

,{ an }的前 n 项和 Sn =

. cm ,
3

10. 某空间几何体的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则其体积是 2 积是 cm .

表面

?2 x ? y ? 2 ? 11.若实数 x,y 满足不等式组 ? ax ? y ? 4 ,目标函数 z=x+2y,若 ? y ? ?1 ?
则 z 的最大值为 ,若 z 存在最大值,则 a 的取值范围为 . . an = .

a=1,

12.数列{ an }满足 a1 ? 3 , an?1 ?

an * (n? N ) ,则 a2 = 5an ? 1

13.在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC= 2 3 ,则△ABC 的面积等于
2



a 2 ? b2 ? 1? 14.已知二次不等式 ax +2x+b>0 的解集 ? x x ? ? ? ,且 a>b,则 的最小值 a ?b a? ?
为 .

15.△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,b=c,满足

sin B 1 ? cos B ? .若点 O 是 sin A cos A

△ABC 外一点,∠AOB=θ (0<θ <π ),OA=2OB=2,平面四边形 OACB 面积的最大值是 三.解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分) 已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, c ? 3a sin C ? c cos A . (1)求角 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c.

17. (本题满分 15 分) 已知公差不为 0 的等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn , S7 =70,且 a1 , a2 , a6 成等比数列. (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

2 S n ? 48 ,数列{ bn }的最小项是第几项,并求出该项的值. n

-2-

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a . (1)若 f ( x) ? m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a,m 的值. (2)当 a=2 且 0≤t<2 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? t ? f ( x ? 2) .

19. (本题满分 15 分) 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 a2 =8, S4 =40.数列{ bn }的前 n 项和为 Tn ,且

Tn ? 2bn ? 3 ? 0, n ? N * .
(Ⅰ)求数列{ an },{ bn }的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? ?

?an , n为奇数 ,求数列{ cn }的前 n 项和 P n. ? bn , n为偶数

-3-

20. (本题满分 14 分) 已知△ABC 的三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且△ABC 的面积为 S ? (1)若 c=2a,求角 A, B, C 的大小; (2)若 a=2,且

3 ac cos B . 2

?
4

? A?

?
3

,求边 c 的取值范围.

-4-

高一数学 期中答案 一、 选择题 DDCC CCAC 二、 填空题 9、 8n ? 5,4n2 ? n 10、 ,3 ? 3

2 3

11、6, ? 0,10?

12、

3 3 , 16 15n ? 14

13、 2 3

14、 2 2

15、

8?5 3 4

三.解答题 16. 解: (1)由正弦定理

=

=

化简已知的等式得:sinC=

sinAsinC﹣

sinCcosA, ∵C 为三角形的内角,∴sinC≠0, ∴ sinA﹣cosA=1, 整理得:2sin(A﹣ ∴A﹣ = 或 A﹣ )=1,即 sin(A﹣ = , )= ,

解得:A= 则 A= ;

或 A=π (舍去) ,

(2)∵a=2,sinA= ∴ bcsinA= bc=
2 2 2

,cosA= ,△ABC 的面积为 ,即 bc=4①;
2 2



∴由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得:4=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=(b+c) ﹣12, 整理得:b+c=4②, 联立①②解得:b=c=2. 17. 解: (I)设公差为 d 且 d≠0,则有 ,即 ,

2

2

解得



(舍去) ,

∴an=3n﹣2. (II)由(Ⅱ)得, = ,

∴bn=

=

=3n+

﹣1≥2

﹣1=23,

-5-

当且仅当 3n=

,即 n=4 时取等号,

故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23. 18. 解: (1)∵f(x)≤m, ∴|x﹣a|≤m, 即 a﹣m≤x≤a+m, ∵f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5}, ∴ ,解得 a=2,m=3.

(2)当 a=2 时,函数 f(x)=|x﹣2|, 则不等式 f(x)+t≥f(x+2)等价为|x﹣2|+t≥|x|. 当 x≥2 时,x﹣2+t≥x,即 t≥2 与条件 0≤t<2 矛盾. 当 0≤x<2 时,2﹣x+t≥x,即 0 ,成立.

当 x<0 时,2﹣x+t≥﹣x,即 t≥﹣2 恒成立. 综上不等式的解集为(﹣∞, ].

19. 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, 由题意,得 ,

解得



∴an=4n, ∵Tn﹣2bn+3=0,∴当 n=1 时,b1=3,当 n≥2 时,Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0, 两式相减,得 bn=2bn﹣1, (n≥2) 则数列{bn}为等比数列, ∴ ;

(Ⅱ)



当 n 为偶数时,Pn=(a1+a3+…+an﹣1)+(b2+b4+…+bn)

=



当 n 为奇数时, (n﹣1)+1 2 n 2 (法一)n﹣1 为偶数,Pn=Pn﹣1+cn=2 +(n﹣1) ﹣2+4n=2 +n +2n﹣1, (法二)Pn=(a1+a3+…+an﹣2+an)+(b2+b4+…+bn﹣1)

=



-6-





20.

解:由已知及三角形面积公式得 S= acsinB= 化简得 sinB= 即 tanB= cosB, .

accosB,

,又 0<B<π ,∴B=

(1)解法 1:由 c=2a,及正弦定理得,sinC=2sinA, 又∵A+B= ∴sin( , ﹣A)=2sinA, ,而 0<A< ,

化简可得 tanA= ∴A= ,C= .

解法 2:由余弦定理得,b =a +c ﹣2accosB=a +4a ﹣2a =3a , ∴b= , ∴a:b:c=1: (2)由正弦定理得 即 c= 由 C= ﹣A,得 , ,知 A= ,C= . ,

2

2

2

2

2

2

2

= 又由 ≤A≤ , ,

=

=

+1

知 1≤tanA≤ 故 c∈.

-7-


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