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2018北师大版(理)数学练习:热点探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题含解析


热点探究课(二) [命题解读] 三角函数与解三角形中的高考热点问题 从近五年全国卷高考试题来看,解答题第 1 题(全国卷 T17)交 替考查三角函数、解三角形与数列,本专题的热点题型有:一是三角函数的图像 与性质;二是解三角形;三是三角恒等变换与解三角形的综合问题,中档难度, 在解题过程中应挖掘题目的隐含条件, 注意公式的内在联系, 灵活地正用、 逆用、 变形应用公式,并注重转化思想与数形结合思想的应用. 热点 1 三角函数的图像与性质(答题模板) 要进行五点法作图、图像变换,研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、 对称性,求三角函数的单调区间、最值等,都应先进行三角恒等变换,将其化为 一个角的一种三角函数, 求解这类问题, 要灵活利用两角和(差)公式、 倍角公式、 辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换. ?x π? ?x π? (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2 3sin? + ?· cos? + ?- ?2 4? ?2 4? sin(x+π). (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位长度,得到函数 g(x)的图像,求函数 6 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值. 【导学号:57962187】 [思路点拨] 1.先逆用倍角公式,再利用诱导公式、辅助角公式将 f(x)化 为正弦型函数,然后求其周期. 2.先利用平移变换求出 g(x)的解析式,再求其在给定区间上的最值. [规范解答] ?x π? ?x π? (1)f(x)=2 3sin? + ?· cos? + ?-sin(x+π)3 分 ?2 4 ? ?2 4? π? ? = 3cos x+sin x=2sin?x+3?,5 分 ? ? 于是 T= 2π =2π. 1 6分 8分 π? π? ? ? (2)由已知得 g(x)=f?x-6?=2sin?x+6?. ? ? ? ? π ?π 7π? ∵x∈[0,π],∴x+ ∈? , ?, 6 ?6 6 ? π? ? 1 ? ? ∴sin?x+6?∈?- ,1?,10 分 ? ? ? 2 ? π? ? ∴g(x)=2sin?x+6?∈[-1,2].11 分 ? ? 故函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值为 2,最小值为-1. [答题模板] 12 分 解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤为: 第一步(化简):将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式. 第二步(用辅助角公式):构造 f(x)= a b ? ? +cos x· 2 ?sin x· 2 a2+b2· 2 2?. a +b a +b ? ? 第三步(求性质):利用 f(x)= a2+b2sin(x+φ)研究三角函数的性质. 第四步(反思):反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. [温馨提示] 1.在第(1)问的解法中,使用辅助角公式 asin α+bcos α= b? ? a2+b2 sin (α+φ)?其中tan φ= ?,在历年高考中使用频率是相当高的,几乎 a? ? 年年使用到、考查到,应特别加以关注. 2.求 g(x)的最值一定要重视定义域,可以结合三角函数图像进行求解. [对点训练 1] (2016· 石家庄模拟)已知函数 f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(A, 1 B,ω 是常数,ω>0)的最小正周期为 2,并且当 x= 时,f(x)max=2. 3 (1)求 f(x)的解析式; ?21 23? (2)在闭区间? , ?上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出


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