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2015-2016学年陕西省西安市长安区第一中学高一下学期期末考试数学试题


长安一中 2015~2016 学年度第二学期期末考试

高一数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 100 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.不等式 ( ? x )( x ? ) ? 0 的解集为( A. ? x x ? ?

1 2

1 3



? ?

1? 3?

B. ? x x ?

? ?

1? ? 2?

C. ? x

? 1 ?x? ? 3

1? ? 2?

D. ? x x ?

? ?

1 或x ? 3


1? ? 2?

2.数列 1, 3, 5, 7,3, 11, ?, 2 n ?1, ? , 则 21 是这个数列的( A. 第 10 项 B.第 11 项 C. 第 12 项

D. 第 21 项 )

3. 在数列 {an } 中, a1 ? 2 , 2an?1 ? 2an ? 1,则 a101 的值为( A.52
o o

B.51
o o

C.50 =( )

D.49

4. sin 20 cos10 ? cos20 sin170 A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2
)

5.已知角 ? 的终边经过点 P(4, ?3) ,则 2 sin ? ? cos ? 的值等于( A. ?

3 5

B.

4 5

C.

2 5

D. ?

2 5


6.若数列 {an } 是等差数列,且 a1 ? a8 ?a15 ? ? ,则 tan( a4 ? a12 ) ? ( A. 3 B. ? 3
a b

C.

3 3

D. ?

3 3
)

7.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 A.8 B.4 C.1

1 1 ? 的最小值为( a b 1 D. 4

8. 已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? A.16( 1 ? 4
?n



1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =( ) 4 32 32 ?n ?n ?n B.16( 1 ? 2 ) C. (1 ? 4 ) D. (1 ? 2 ) 3 3
?

9. 在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 90 , AB ? 6 ,若 D 点在斜边 BC 上, CD ? 2 DB ,则

??? ? ???? AB?AD 的值为(
A.48

) B.24 C.12 D.6

10.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) ? b ( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? A. f ( x) ? 3sin(2 x ?

?

?

6 ? C. f ( x) ? 2sin(3x ? ) ? 2 6

) ?1

? )? 2 3 ? D. f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6
B. f ( x) ? 2sin(3x ?

) 的一部分图象如图所示,则( ) 2

b, ? 11. 已 知 向 量 a ? ( 2 , 1)
cos 2 ? ? sin ?2
=( A. )

(s ? i n?

? cos ? , s? in ?c o且 s a) ∥ b , 则 ,

7 5

B.

1 5
m

C. ?

7 5

D. ?

1 5

12 . 设 函 数 f ? x ? ? 3 sin ? x , 若 存 在 x0 使 得 f ? x ? 取 得 最 值 , 且 满 足
2 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是( 2



A. ? ??, ?6? ? ? 6, ?? B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ?1, ??

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分,把答案填写在答题纸相应的位置. 13.不等式

x2 ? 1 ? 0 的解集是 2x ?1

.

14.已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ?

1 ,则 tan ? 的值为_______. 7

15.已知向量 a= (2,1) ,b= (1,?2) , 若 ma+nb= (9,?8) ( m, n ? R ), m ? n 的值为______. 16.江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得两 船的俯角分别为 45°和 60°, 而且两条船与炮台底部连线成 30°角, 则两条船相距 m. 17. 若将函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ) 的图象向右平移 ? 个单位长度, 所得图象关于 y 对称, 则? 的

?

4

最小正值是

.

18. 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a ? 4 ,且

(4 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

.

三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分;解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤 19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 6, A ? 60 .
?

(1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值.

20.(本小题满分 12 分) 设 ?an ? 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 ?bn ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .

21. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? m,cos2 x ? , b ? ?sin2 x,1? ,函数 f ? x ? ? a ? b ,且 y ? f ? x ? 的图象过 点?

? π ? , 3? . ? 12 ?

(1)求 m 的值; (2)将 y ? f ? x? 的图象向左平移 ? ? 0 ? ? ? π ? 个单位后得到函数 y ? g ? x? 的图象,若

y ? g ? x? 图象上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的最小值为1 ,求 y ? g ? x ? 的单调递增区间.

22.(本小题满分 12 分) 某种汽车的购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维 修费用第一年是 0.2 万元,第二年是 0.4 万元,第三年是 0.6 万元,…, 以后逐年递增 0.2 万 元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年 的费用叫做年平均费用 .设这种汽车使用 x( x ? N ) 年的维修费用为 g ( x) ,年平均 费用为 ...
?

f ( x) .
(1)求出函数 g ( x) , f ( x ) 的解析式; (2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?

23. (本小题满分 12 分) 把正奇数数列 {2n ? 1} 中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表: 1

3

5

7 9 11 ……………………… …………………………… 设 amn m, n ? N

?

*

? 是位于这个三角形数表中从上往下数第 m 行、从左往右数第 n 个数.

(1)若 amn ? 2017 ,求 m,n 的值; (2)已知函数 f ( x) ?
3

x
n

2

( x ? 0) ,若记三角形数表中从上往下数第 n 行各数的和为 bn ,

求数列 { f (bn )} 的前 n 项和 S n .

长安一中 2015~2016 学年度第二学期期末考试

高一数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 A 5 D 6 B 7 B 8 C 9 B 10 D 11 C 12 C

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)

-1? ? ? ,1 13. ? -?,

3? ?1 ? ; 14. 3 ; 15.-3 ; 16. 10 3 ;17. ;18. 4 3 ; ? 8 ?2 ?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19. (本小题满分 12 分) 解:(1)由余弦定理知, BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos A ? 28 ,所以 BC ? 2 7 .
2 2 2

(2)由正弦定理知,

AB BC AB 4sin 60o 21 ? ,所以 sin C ? , ? sin A ? ? sin C sin A BC 7 2 7

因为 AB ? BC ,所以 C 为锐角,则 cos C ? 1 ? sin 2 C ? 1 ?

3 2 7 , ? 7 7

因此 sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ? 20.(本小题满分 12 分)

21 2 7 4 3 ? ? 7 7 7

解:(1)设 q 为等比数列{an}的公比,则由 a1=2,a3=a2+4 得 2q2=2q+4,即 q2-q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2. 所以{an}的通项为 an=2· 2n 1=2n(n∈N*)


2?1-2n? n?n-1? + (2)Sn= +n×1+ ×2=2n 1+n2-2. 2 1-2 21. (本小题满分 12 分) 解: (1)已知 f ( x) ? a ? b ? m sin2 x ? cos2 x ,

? ?

? f ( x) 过点 (
?f(

?
12

, 3),

?
12

) ? m sin

?
6

? cos

?
6

? 3

解得: m ? 3

(2) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6
)

)

f ( x) 左移 ? 后得到 g ( x) ? 2 sin( 2 x ? 2? ?

?
6

2 设 g ( x) 的图象上符合题意的最高点为 ( x0 ,2) ,? d ? 1 ? x0 ? 1 解得 x0 ? 0

? g (0) ? 2 ,解得 ? ?
? g ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

?

? ) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 cos 2 x 3 6 2
?

?

?

? ?? ? 2k? ? 2 x ? 2k? , k ? z

?
2

? k? ? x ? k? , k ? z

? f ( x) 的单调增区间为 [?
22.(本小题满分 12 分)

?
2

? k? , k? ], k ? z

解: (1)由题意知使用 x 年的维修总费用为

x ? 0.2 ? 0.2 x ? ? 0.1x ? 0.1x 2 万元 2 1 1 2 2 依题得 f ( x) ? [10 ? 0.9 x ? (0.1x ? 0.1x )] ? (10 ? x ? 0.1x ) x x 10 x 10 x (2) f ( x ) ? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 3 x 10 x 10 10 x ? 当且仅当 即 x ? 10 时取等号 x 10 ? x ? 10 时 y 取得最小值 3 万元

g ( x) =

答:这种汽车使用 10 年时,它的年平均费用最小,最小值是 3 万元. 23. (本小题满分 12 分) 解: (1)三角形数表中前 m 行共有 1 ? 2 ? 3 ? … ? m ?

m(m ? 1) 个数, 2 m(m ? 1) 项. ?第 m 行最后一个数应当是所给奇数列中的第 2 m(m ? 1) ? 1 ? m2 ? m ? 1 . 故第 m 行最后一个数是 2 ? 2
因此,使得 amn ? 2016 的 m 是不等式 m 由 m ? m ? 1 ? 2017
2 2

2

? m ? 1 ? 2017 的最小正整数解.

得 m ? m ? 2018 ? 0

?m ?

?1 ? 1? 8 0 7 2 ? ? 1 ? 2 2

792 ? 1? 1 8 9 ? ? 4 4 , ?m ? 4 5 . 2

于是,第 45 行第一个数是 44 ? 44 ? 1 ? 2 ? 1981
2

?n ?

201? 7 2

1981 ? 1 ? 19.
2 2

(2) ?第 n 行最后一个数是 n ? n ? 1 ,且有 n 个数,若将 n ? n ? 1 看成第 n 行第 一个数, 则第 n 行各数成公差为 ?2 的等差数列, 故 bn ? n(n ? n ? 1) ?
2

n(n ? 1) ( ?2) ? n 3 . 2

n . 2n 1 2 3 n ?1 n 1 1 2 3 n ?1 n 故 S n ? ? 2 ? 3 ? … ? n ?1 ? n .因为 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? … ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n S n ? ? 2 ? 3 ? … ? n ? n ?1 . 两式相减得: 2 2 2 2 2 2 ? f (bn ) ?

1? 1? ?1 ? n ? n 1 n 2 2 ? ? ? ? n?1 ? 1 ? n ? n?1 . 1 2 2 2 1? 2

? Sn ? 2 ?

n?2 . 2n



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