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数学选修2-2 2-3复习题(二)


2-2
1.设复数 z=1+i,则复数 A、1-i 2. (1 ? x)
3
3

2-3 综合试题(二)


一.选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

2 2 +z 的共轭复数为( z
C、-1+i D、-1-i

B、1+i

? (1 ? x)4 ? ? ? (1 ? x)n? 2 的展开式中 x2 的系数是(
B. Cn ? 2
3
3 C. Cn ? 2 ? 1



A. Cn ?3

D. Cn ? 3

3

?1

3.函数 y ? sin(2 x 2 ? x) 导数是( A. cos(2 x 2 ? x)

) C. (4 x ? 1)cos(2 x2 ? x) D. 4cos(2 x2 ? x)

B. 2 x sin(2 x2 ? x)

4.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? 平面 ?

? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因为
( ) A.大前提错误 B.小前提错误
2

C.推理形式错误

D.非以上错误 )

5.已知函数 f(x)的导函数 f' (x)=ax +bx+c 的图像如图所示,则 f(x)的图像可能是( Y Y

x1 O A Y Y O X O C X1 D X O B

X1 X

Y

x1 O X

X1

X

* 6.某个命题与正整数有关,若当 n ? k (k ? N ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时该命

题也成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( (A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立

)

(B)当 n ? 6 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立

7.正态总体的概率密度函数为 ( ) B.0,4

f ( x) ?

1 8π

e

?

x2 ( x?R ) 8

,则总体的平均数和标准差分别为

A.0,8

C.0,2

D.0,2

8.从甲袋中摸出 1 个红球的概率为 个球,则

1 1 ,从乙袋中摸出 1 个红球的概率为 ,从两袋中各摸出一 3 2

2 等于( 3

) (B)2 个球都是红球的概率 (D)2 个球中恰有 1 个红球的概率

(A)2 个球都不是红球的概率 (C)至少有 1 个红球的概率 9.若随机变量η 的分布列如下:

?

?2
0

?1
0

0 0

1 0 .3 ) .1

2 0 .1

3 0

P .1

.2

.2

则当 P(? ? x) ? 0.8 时,实数 x 的取值范围是( A.x≤2 10.给出以下命题: ⑴若 ⑵ B.1≤x≤2

C.1<x≤2

D.1<x<2

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0;

?

2? 0

sin xdx ? 4 ;

⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 其中正确命题的个数为( (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)0

?

a 0

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx ;

二.填空题(5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若 x<y<0 且 xy-(x
2

+y2)i=2-5i,则 x=_____,y=______.
? ? 1? ?, 2?

12.任意地向(0,1)上投掷一个点,用 x 表示该点坐标,且 A= ? x 0 ? x ?

? 1 ? B= ? x ? x ? 1? , 则P ?B A ? ? _____。 ? 4 ?
13. 用五种不同的颜色,给图 2 中的(1) (2) (4)的各部分涂色,每部分涂一种颜色, (3)

相邻部分涂不同颜色,则涂色的方法共有

种。

14.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f ( x ) 在 [a , b] 上 的面 积,已 知函数 y ? sin nx 在 [0 ,

?
n

] 上 的面积 为

[0 ,

2? ] 上的面积为_____________ 3

2 ( n ? N * ) , 则函数 y ? sin 3x 在 n

15.两名狙击手在一次射击比赛中,狙击手甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.4,0.1,0.5; 狙击手乙得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.1,0.6,0.3,那么两名狙击手获胜希望大的 是 三.解答题 16.已知 x ? 2 x ? 3
2



?

?

10

? a0 ? a1 ? x ? 1? ? a2 ? x ? 1? ? ? ? a20 ? x ? 1?
2

20

(1)求 a2 的值 (2)求 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a19的值 (3)求 a0 ? a2 ? a4 ? ?? a20的值

c2 , 其中 a 为实数. 17.设函数 f(x)= 2 x ? ax ? a
(Ⅰ)若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 f(x)的定义域为 R 时,求 f(x)的单减区间.

18.某学校的生物实验室里有一个鱼缸,里面有 6 条鱼,其中 4 条黑色的和 2 条红色的,有位 生物老师每周 4 天有课,每天上、下各一节课,每节课前从鱼缸中任取 1 条鱼在课上用,用后 再放回鱼缸. (1)求这位生物老师在一天中上、下午所捞的鱼为同色的概率; (2)求这位生物老师一周中恰有两天上、下午所捞得的鱼为不同色的概率.

19.为了调查胃病是否与生活规律有关,某地 540 名 40 岁以上的人的调查结果如下: 患 胃病 生活不 规律 生活有 规律 合计 60 20 80 未患 胃病 260 200 460 合 计 3 20 2 20 5 40

根据以上数据比较这两种情况,40 岁以上的人患胃病与生活规律有关吗?

20. A,B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是 A1,A2,A3 , B 队队员是 B1,B2,B3 ,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下: 对阵 队员 A1 对 B1
A2

A 队队员胜的
概率 概率

A 队队员负的
1 3 3 5

2 3 2 5

对 B2
A3

2 3 5 5 现按表中对阵方式出场, 每场胜队得 1 分, 负队得 0 分, A 队, 队最后所得总分分别为 ?,? . 设 B (1)求 ?,? 的概率分布列; (2)求 E? , E? .
对 B3

3 2 2 3 21、已知函数 y ? f ( x) ? 16x ? 20ax ? 8a x ? a ,其中 a ? 0 。

(1)求 f (x) 的极大值和极小值; (2)设(1)问中函数取得极大值的点为 P( x, y) ,求 P 点所在的曲线。

2-2
1.设复数 z=1+i,则复数 A、1-i B、1+i

2-3 综合试题(二)

一.选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

2 2 +z 的共轭复数为(A) z
C、-1+i D、-1-i
2

2. (1 ? x)3 ? (1 ? x)4 ? ? ? (1 ? x)n? 2 的展开式中 x 的系数是( D A. Cn ?3
3



B. Cn ? 2

3

3 C. Cn ? 2 ? 1

D. Cn ? 3

3

?1

3.函数 y ? sin(2 x 2 ? x) 导数是(C A. cos(2 x 2 ? x)

) C. (4 x ? 1)cos(2 x2 ? x) D. 4cos(2 x2 ? x)

B. 2 x sin(2 x2 ? x)

4.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? 平面 ?

? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因为
( A ) B.小前提错误
2

A.大前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

5.已知函数 f(x)的导函数 f' (x)=ax +bx+c 的图像如图所示,则 f(x)的图像可能是(D)

Y

Y

x1 O A Y Y O X O C X1 D X O B

X1 X

Y

x1 O X

X1

X

6.某个命题与正整数有关,若当 n ? k (k ? N * ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时该命 题也成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( D (A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立 )

(B)当 n ? 6 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立

7.正态总体的概率密度函数为 ( D ) B.0,4

f ( x) ?

1 8π

e

?

x2 ( x?R ) 8

,则总体的平均数和标准差分别为

A.0,8

C.0,2

D.0,2

8.从甲袋中摸出 1 个红球的概率为 个球,则

1 1 ,从乙袋中摸出 1 个红球的概率为 ,从两袋中各摸出一 3 2

2 等于( C ) 3
(B)2 个球都是红球的概率 (D)2 个球中恰有 1 个红球的概率

(A)2 个球都不是红球的概率 (C)至少有 1 个红球的概率 9.若随机变量η 的分布列如下:

?

?2
0

?1
0

0 0

1 0 .3 .1

2 0 .1

3 0

P .1

.2

.2 C

则当 P(? ? x) ? 0.8 时,实数 x 的取值范围是( A.x≤2 10.给出以下命题: B.1≤x≤2

) D.1<x<2

C.1<x≤2

⑴若 ⑵

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0;

?

2? 0

sin xdx ? 4 ;

⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 其中正确命题的个数为( B (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)0

?

a 0

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx ;

二.填空题(5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若 x<y<0 且 xy-(x +y )i=2-5i,则 x=__-2___,y=__-1____. 12.任意地向(0,1)上投掷一个点,用 x 表示该点坐标,且 A= ? x 0 ? x ?
2 2

? ?

1? ?, 2?

? 1 ? B= ? x ? x ? 1? , 则P ?B A ? ? _1/2____。 ? 4 ?
13. 用五种不同的颜色,给图 2 中的(1) (2) (4)的各部分涂色,每部分涂一种颜色, (3)

相邻部分涂不同颜色,则涂色的方法共有

240

种。

14.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f ( x ) 在 [a , b] 上 的面 积,已 知函数 y ? sin nx 在 [0 ,

?
n

] 上 的面积 为

2 ( n ? N * ) , 则函数 y ? sin 3 x 在 n

[0 ,

2? 4 ] 上的面积为____ _________ 3 3

15.两名狙击手在一次射击比赛中,狙击手甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.4,0.1,0.5; 狙击手乙得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.1,0.6,0.3,那么两名狙击手获胜希望大的是 乙 .

三.解答题 16.已知 x ? 2 x ? 3
2

?

?

10

? a0 ? a1 ? x ? 1? ? a2 ? x ? 1? ? ? ? a20 ? x ? 1?
2

20

(1)求 a2 的值 (2)求 a1 ? a3 ? a5 ? ?? a19的值 (3)求 a0 ? a2 ? a4 ? ?? a20的值

解析: 令x ? 1 ? t , 展开式为 t ? 4
2
9

?

?

10

? a0 ? a1t ? a2t 2 ? ? ? a20t 20 ,

9 9 (1) a2 ? C10 ? ? ?4 ? ? ?4 ? 10

令t ? 1得:a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a20 ? 310
(2) 令t ? ?1得:a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a20 ? 3
10

? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a19 =0
(3)由(2)得a0 ? a2 ? a4 ? ?? a20 =310 17.设函数 f(x)=

c2 , 其中 a 为实数. x 2 ? ax ? a

(Ⅰ)若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 f(x)的定义域为 R 时,求 f(x)的单减区间. 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 R ,? x ? ax ? a ? 0 恒成立,?? ? a ? 4a ? 0 ,
2 2

? 0 ? a ? 4 ,即当 0 ? a ? 4 时 f ( x) 的定义域为 R .
(Ⅱ) f ?( x) ?

x( x ? a ? 2)e x ,令 f ?( x) ≤ 0 ,得 x( x ? a ? 2) ≤ 0 . ( x 2 ? ax ? a)2

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a ,又? 0 ? a ? 4 ,

? 0 ? a ? 2 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 ? a ;
当 a ? 2 时, f ?( x) ≥ 0 ;当 2 ? a ? 4 时,由 f ?( x) ? 0 得 2 ? a ? x ? 0 ,

2 即当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 的单调减区间为 (0,? a) ;

0) 当 2 ? a ? 4 时, f ( x ) 的单调减区间为 (2 ? a,
18.某学校的生物实验室里有一个鱼缸,里面有 6 条鱼,其中 4 条黑色的和 2 条红色的,有位 生物老师每周 4 天有课,每天上、下各一节课,每节课前从鱼缸中任取 1 条鱼在课上用,用后 再放回鱼缸. (1)求这位生物老师在一天中上、下午所捞的鱼为同色的概率; (2)求这位生物老师一周中恰有两天上、下午所捞得的鱼为不同色的概率. 解(1)设一天同为黑色鱼的概率为 p1,同为红色鱼的概率为 p2, 则 p ? p1 ? p 2 ?

4 4 2 2 5 ? ? ? ? . 6 6 6 6 9

答:这位生物老师在一天中上、下午所捞的鱼为同色的概率为 . (2)恰有两天不同色的概率为

5 9

4 6 ? 25 ? 16 800 2 5 P? ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? ? . 9 9 81 ? 81 2187
答:这位生物老师一周中恰有两天上、下午所捞得的鱼为不同的概率

800 . 2187

19.为了调查胃病是否与生活规律有关,某地 540 名 40 岁以上的人的调查结果如下: 患 胃病 生活不 60 规律 生活有 20 规律 合计 80 460 40 根据以上数据比较这两种情况,40 岁以上的人患胃病与生活规律有关吗? 解:由公式得 200 20 5 260 20 2 未患 胃病 计 3 合

k?

540 ? (60 ? 200 ? 260 ? 20)2 540 ? (12000 ? 5200)2 2496960 ? ? ? 9.638 . 320 ? 220 ? 80 ? 460 2590720000 259072

∵ 9.638 ? 7.879 ,

∴我们有 99.5%的把握认为 40 岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关,即生活不规律的人易
患胃病. 20. A,B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是 A1,A2,A3 , B 队队员是
B1,B2,B3 ,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下:

对阵 队员
A1

A 队队员胜的
概率 概率

A 队队员负的

对 B1
A2

2 3 2 5 2 5

1 3 3 5 3 5

对 B2
A3

对 B3 现按表中对阵方式出场, 每场胜队得 1 分, 负队得 0 分, A 队, 队最后所得总分分别为 ?,? . 设 B (1)求 ?,? 的概率分布列; (2)求 E? , E? . 解: (1) ?,? 的可能取值分别为 3,2,1,0.

2 2 2 8 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 ; P(? ? 3) ? ? ? ? ; P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 75 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(? ? 0) ? ? ? ? . 3 5 5 25
由题意知 ? ? ? ? 3 , 所以 P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?

8 28 ; P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ; 75 75 P(? ? 3) ? P(? ? 0) ? 3 . 25

P(? ? 2) ? P(? ? 1) ?

2 ; 5

? 的分布列为 ?
3 2 1 0

P

8 75

28 75

2 5

3 25

? 的分布列为
?
0 1 2 3

P
(2) E? ? 3 ?

8 75

28 75

2 5

3 25

8 28 2 3 22 , ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? 75 75 5 25 15 23 . 15

因为 ? ? ? ? 3 ,所以 E? ? 3 ? E? ?

3 2 2 3 21、已知函数 y ? f ( x) ? 16x ? 20ax ? 8a x ? a ,其中 a ? 0 。

(1)求 f (x) 的极大值和极小值; (2)设(1)问中函数取得极大值的点为 P( x, y) ,求 P 点所在的曲线。
3 2 2 3 解: (1)? y ? f ( x) ? 16x ? 20ax ? 8a x ? a ,其中 a ? 0

? f ' ( x) ? 48 x 2 ? 40 ax ? 8a 2 ? 8(2 x ? a)( 3x ? a),由f ' ( x) ? 0得x ?

a a ,x ? 2 3

① 当 a ? 0时, ? x

a ,见下表 2 a a (?? , ) 3 3
0 极大

a 3

a a ( , ) 3 2
- 减函数

a 2
0 极小

a ( , ?) 2
+ 增函数

f ' ( x) f (x)
∴当 x ?

+ 增函数

a a a a a3 时,函数取得极大值, f ( ) ? ; 当 x ? 时,函数取得极小值, f ( ) ? 0 3 2 2 3 27 a ,见下表 3 a a (?? , ) 2 2
0 极大

② 当 a ? 0时, ? x

a 2

a a ( , ) 2 3
- 减函数

a 3
0 极小

a ( , ?) 3
+ 增函数

f ' ( x) f (x)

+ 增函数

a a a a a3 当 x ? 时,函数取得极大值, f ( ) ? 0 ; 当 x ? 时,函数取得极小值, f ( ) ? 2 2 3 3 27

a ? ?x ? 3 ? (2)当 a ? 0 时, ? ,消去 a 得, y ? x 3 ( x ? 0) ; 3 ?y ? a ? 27 ?

a ? ? x 3 ( x ? 0) ?x ? 当 a ? 0 时,? ,消去 a 得, y ? 0( x ? 0) , 所以 P 点的轨迹方程为: y ? ? 2 ?0( x ? 0) ?y ? 0 ?


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