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福建省南安一中2011-2012学年高一上学期期中试题(数学)


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福建省南安一中 2011-2012 学年高一上学期期中试题 (数学)
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 2011.11

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? ,那么集合 A 等于( A . )

B

?x | ?2 ? x ? 4?

B .

?x | x ? 3或x ? 4?

C .

?x | ?2 ? x ? ?1?

D. ?x | ?1 ? x ? 3? 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? 1, y ? ) B. y ?

x x

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1

C . y ? x, y ? 3 x 3

D. y ?| x |, y ? ( x ) 2

3.已知 y ? 4x 的反函数为 y ? f ? x ? ,若 f ? x0 ? ? A. ? 2 B. ?1
a

1 ,则 x0 的值为( 2 1 C .2 D. 2



4.已知幂函数 f ? x ? ? x 的图象经过点 ? 2 , ?

? ?

2? ? ,则 f ? 4 ? 的值为( 2 ? ?
D. 16



A.

1 16

B.

1 2

C .2

5.已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 4? , B ? ?x | x ? a? ,若 A ( ) A. ? ??,?1

B ? ? ,则实数 a 的取值范围

?

B. ? ??,?1?

C .? ??, 4

?

D. ? ??,4? )

6. 若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A. f ? ?3? ? f ? ?1? ? f ? 2? C. f ? 2? ? f ? ?3? ? f ?1?
2

B. f ? ?1? ? f ? ?3? ? f ? 2? D. f ? ?3? ? f ? 2? ? f ?1? )

7. 若函数 y ? x ? bx ? c ( x ? (??,1)) 不是 单调函数, 则实数 b 的取值范围 ( .. B. b ? ?2 lg | x | 8. 函数 y ? 的图象大致是( x A. b ? ? 2 C . b ? ?2 ) D. b ? ?2

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9.已知 y ? loga ? 2 ? ax ? 在 x ? 0,1 上是减函数,则 a 的取值范围是( A. (0,1) B. ?1, 2 ? C. ? 0, 2 ? D. 2, ?? ?

? ?



?

1? x ? ?2 ? x ? 1? 10.设函数 f ? x ? ? ? ,则满足 f ? x ? ? 2 的 x 的取值范围是( 1 ? log x x ? 1 ? ? ? 2 ?



A. 1, ?? ?

?

B. 0, ?? ?

?

C. ?1, 2

?

?

D. 0, 2

? ?

11.对于函数 f ( x) ? ?2 x2 ? k ,当实数 k 属于下列选项中的哪一个区间时,才能确保一定 .. 存在 实数对 a , b ( a ? b ? 0 ) ,使得当函数 f ( x ) 的定义域为 a, b 时,其值域也恰好是 ..

?

?

?a, b? (
A.

) B. ? ?2, ? ? 8

??2,0?
? ?

? ?

1? ?

C. ? ? ,0 ? ? 8 ?

? 1

?

D. ? ? , 0 ? 12.对于给定的以下四个命题,其中正确命题的个数为( ①函数 f ( x) ? )

? 1 ? 8

x 2 ? 2x 是奇函数; x?2

②函数 f ( x) 在 ( a, b) 和 (c, d ) 都是增函数,若 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) ,且 x1 ? x 2 则一定有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;
③ 函 数 f ( x) 在 R 上 为 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 有 f

? x? ?

x ?1 , 则 当 x ? 0 ,

f ( x) ? ? ? x ?1 ;
④函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域为 { y y ? 1}. A.1
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B.2

C .3

D. 4

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第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. ) 13. 已知集合 A ? ?x| mx ? 1 ? ? ? ,则 m 的值为 .

14 . 已知 函数 f ? x ? ? loga ? 2x ?1?? a ? 0, a ? 1? 的图 象恒 过定 点 P ,则 P 点的坐标 是 15 . . 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x)? l o4g ? ?1 x ? ,则 .

f ? ?3? ?

16.若对于区间 D 内的任意一个自变量 x0 , 其对应的函数值 f ? x0 ? 都属于区间 D ,则称函 闭的是 . (填写所有符合要求的函数式所对应的序号) ② f ? x ? ? x2 ? x ? 1 ; ⑤ f ? x ? ? 2x ?1 .

数 y ? f ? x ? 在区间 D 上封闭.那么,对于区间 D ? ? 0,1? ,下列函数中在区间 D 上封

① f ? x ? ? ?2x ? 1; ④ f

③ f ? x ? ? log2 x ;
2

? x? ?

2x ; 2x ? 1

三、解答题(本部分共计 6 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 请 在指定区域内作答,否则该题计为零分. ) 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 已知 a ? 0,b ? 0 ,化简 ? 2a 3 b 2 ?? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ;

? ?

2

1

?? ??

1

1

? ? ? ?

1

5

? ?

(Ⅱ) 已知 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a,b 表示 log12 5 . 18. (本小题满分 12 分)
x ? ? ? ?1? C ? ? y | y ? x 2 ? 4 x,x ? 1? . 设集合 A ? ? y | y ? log2 x,x ? 1 ? ,B ? ? y | y ? ? ? ,x ? 1? ?, ?2? ? ? ? ?

求(Ⅰ) A ? B ;

(Ⅱ) B

C;

(Ⅲ) ? CR A?

C

19. (本小题满分 12 分) 对于函数 f ? x ? ? a ? (Ⅰ) (Ⅱ)

2 ?a ? R? : 2 ?1
x

是否存在实数 a 使函数 f ? x ? 为奇函数? 探究函数 f ? x ? 的单调性(不用证明 ) ,并求出函数 f ? x ? 的值域. ....

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20. (本小题满分 12 分) 某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车 的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ) 当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车?

(Ⅱ)设每辆车的月租金为 x 元( x ? 3000 ) ,则能租出多少辆车?当 x 为何值时,租赁公 司的月收益 y 最大?最大月收益是多少? 21. (本小题满分 12 分)

? 1 x+1 ?( 2 ) ? ? 2 设函数 f ( x) ? ?? x +2 ?3x ? 8 ? ? ?

( x ? ?1) (?1 ? x ? 2) . ( x ? 2)

(Ⅰ)请在下列直角坐标系中画出函数 f ( x ) 的图象; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的图象,试分别写出关于 x 的方程

f ( x) ? t 有 2,3,4 个实数解时,相应的实数 t 的取
值范围; (Ⅲ) 记函数 g ? x ? 的定义域为 D , 若存在 x0 ? D , 使 g ? x0 ? ? x0 成立,则称点 ( x0 , x0 ) 为函数 g ? x ? 图象上的不动点.试问,函数 f ? x ? 图象 上是否存在不动点,若存在,求出不动点的坐标,若不存在,请说明理由. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x 2 ? ax ? b ( x ? 0) 是奇函数,且满足 f (1) ? f (4) x

(Ⅰ)求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ)试证明函数 f ( x ) 在区间 (0, 2] 单调递减,在区间 (2, ??) 单调递增; (Ⅲ)是否存在实数 k 同时满足以下两个条件:①不等式 f ( x ) ? 立; ②方程 f ? x ? ? k 在 x ? ?6,?1 上有解.若存在,试求出实数 k 的取值范围,若不存在,请
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k ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成 2

?

?

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说明理由.

2011~2012 学年南安一中高一年上学期期中考数学试卷答 案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. ) 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 A 8 D 9 B 10 B 11 D 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. ) 13. 0 ; 14. ?1,0 ? ; 15.-1; 16.②④⑤

三、解答题(本部分共计 6 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 请 在指定区域内作答,否则该题计为零分. ) 17. (本小题满分 12 分)
3 解:(Ⅰ) ? 2a 3 b 2 ?? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ? = ? ?2 ? ? ?6? ? ? ?3?? ?a

? ?

2

1

?? ??

1

1

? ? ? ?

1

5

? ?

2 1 1 ? ? 2 6

b2

1 1 5 ? ? 3 6

= 4ab ? 4a ……………6 分
0

(Ⅱ) log12 5 ?

lg 5 1 ? lg 2 1? a ……………12 分 ? ? lg 12 2 lg 2 ? lg 3 2a ? b

18. (本小题满分 12 分) 解: A ? ? y | y ? log2 x,x ? 1 ? ? ?y | y ? 0? ……………2 分
x ? ? 1? ? ? ? ?1? B ? ? y | y ? ? ? ,x ? 1? ? ? y | 0 ? y ? ? ……………4 分 2? ?2? ? ? ? ? ?

C ? ? y | y ? x 2 ? 4 x,x ? 1? ? ? y | y ? ?4? ……………6 分
(Ⅰ)

1? ? A B ? ? y | 0 ? y ? ? ……………8 分 2? ?

(Ⅱ) B (Ⅲ)

C ? ? y | y ? ?4? ……………10 分 CR A ? ? y | y ? 0? ,??CR A? C ? ? y | ?4 ? y ? 0? ……………12 分

19. (本小题满分 12 分)
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解:(Ⅰ)(解法一)假设存在实数 a 函数 f ? x ? ? a ? 为R , 所以 f ? 0? ? a ?1 ? 0 ,所以 a ? 1 ……………2 分 此时 f ? x ? ? 1 ? 数 即存在实数 a ? 1 使函数 f ? x ? 为奇函数.……………5 分 (解法二)假设存在实数 a 使函数 f ? x ? 为奇函数,即有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 即a?

2 是奇函数,因为 f ? x ? 的定义域 2 ?1
x

2 2x ? 1 2? x ?1 1 ? 2 , 则 ? f ? x ? ? ? ? x x ?x 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 ? 2

x x

? ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 为奇函

2 2 ,……………2 分 ? ?a ? x 2 ?1 2 ?1
?x

所以 2a ?

2 2 2 2 ? 2x ? ? ? ?2 2 x ? 1 2? x ? 1 2 x ? 1 2 x ? 1

所以 a ? 1 ,即存在实数 a ? 1 使函数 f ? x ? 为奇函数.……………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ )知 f ? x ? ? 1 ? 以 f ? x? ? 1?
x

2 2 ,因为 2 x ? 1 在 R 上递增,所以 x 在 R 上递减,所 2 ?1 2 ?1
x

2 在 R 上递增.…………………8 分 2 ?1 2 2 1 ? 2 x ? 1,? 0 ? x ? 2 ,??1 ? 1 ? x ? 1, 2 ?1 2 ?1

, ? .…… ………12 分 即函数 f ? x ? 的值域为 ? ?11
20. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)租金增加了 600 元, 所以未出租的车有 12 辆,一共出租了 88 辆.……………………………2 分 (Ⅱ)设每辆车的月租金为 x 元( x ? 3000 ) ,租赁公司的月收益为 y 元,则租出的车有

100 ?

x ? 3000 辆.……………3 分 50

则 y ? x ?100 ?

? ?

x ? 3000 ? x ? 3000 x ? 3000 ? ? ? 50 ? ?100 ? ?? ? ?150 ……………7 分 50 ? 50 50 ? ?

x2 1 2 ? ? ? 162 x ? 21000 ? ? ? x ? 4050 ? ? 307050 ……………10 分 50 50
当 x ? 4050 时, ymax ? 307050 ………………………………11 分
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答:当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是 307050 元. …………………………12 分 21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 函数 f ( x ) 的图象如图.………4 分 (Ⅱ)根据图象可知 当 ?2 ? t ? 1 或 t ? 2 时,方程 当 t ? 1 或 t ? 2 时,方程 当 1 ? t ? 2 时,方程

f ( x) ? t 有 2 个实数解;………6 分

f ( x) ? t 有 3 个实数解;………7 分

f ( x) ? t 有 4 个实数解.………8 分

(Ⅲ)若 f ? x ? 图象上存在不动点,则 f ? x ? ? x 有解,则 y ? f ? x ? 与 y ? x 有交点.……9 分. 由图象可知:
2 若 ?1 ? x ? 2 ,则 ? x ? 2 ? x ,解得 x ? 1 (舍去 x ? ?2 ) ,即不动点为 ?1,1? ;

若 x ? 2 ,则 3x ? 8 ? x ,解得 x ? 4 ,即不动点为 ? 4, 4 ? 综上,函数 f ? x ? 图象上存在不动点 ?1,1? 、 ? 4, 4 ? .………………12 分 22. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 由 f (1) ? f (4) 得 1 ? a ? b ?

16 ? 4a ? b ,解得 b ? 4 . ………………1 分 4

x 2 ? ax ? b ( x ? 0) 为奇函数,得 f ( x) ? f (? x) ? 0 对 x ? 0 恒成立, 由 f ( x) ? x


x 2 ? ax ? b x 2 ? ax ? b ? ? 2a ? 0 ,所以 a ? 0 . ………………3 分 x ?x
4 . x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ?

任取 x1 , x2 ? (0, 2] ,且 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

x x ?4 4 4 ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) 1 2 , …………………5 分 x1 x2 x1 x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 , x1 x2 ? 4 ? 0 ,

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∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以,函数 f ( x ) 在区间 (0, 2] 单调递减. ……………7 分 ……………8 分

类似地,可证 f ( x ) 在区间 (2, ??) 单调递增.

(Ⅲ)对于条件①:由(Ⅱ)可知函数 f ( x ) 在 x ? (0, ??) 上有最小值 f ? 2? ? 4 故若 f ( x) ?

k k k ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,则需 f ( x) min ? ? ,则 4 ? ? , 2 2 2

? k ? ?8 ……………10 分
对于条件②:由(Ⅱ)可知函数 f ( x ) 在 (??, ?2) 单调递增,在 [?2, 0) 单调递减, ∴ 函 数 f ( x ) 在 ?6, ?2 单 调 递 增 , 在 ?2 ,? 1 单 调 递 减 , 又 f ? ?6 ? ? ?

?

?

?

?

20 , 3

20 ? f ? ?2? ? ?4 , f ? ?1? ? ?5 ,所以函数 f ( x) 在 ??6,?1? 上的值域为 ? ? , ?4 ? ? ? 3 ?
若方程 f ? x ? ? k 在 ?6,?1 有解,则需 ?

?

?

20 ? k ? ?4 .…… …12 分 3

??8 ? k 20 ? ? k ? ?4 若同时满足条件①②,则需 ? 20 ,所以 ? 3 ? ? k ? ?4 ? ? 3
答:当 ?

20 ? k ? ?4 时,条件①②同时满足.……………14 分 3

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