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江苏省南京师大附中2014届高三模拟考试(5月)数学


南京师大附中 2014 届高三模拟考试


注意事项:



2014.05

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满 分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答 题 纸 上对应题目 . . . 的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. 1 参考公式:锥体的体积公式为 V=3Sh,其中 S 是锥体的底面面积,h 是高.

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题 卡 相应位置上 . .. . ..... 1.设集合 A={x|-1<x<2},B={x|0<x<4,x∈N},则 A∩B= ▲ . 1+ai 2.若复数 (i 是虚数单位)为纯虚数,则实数 a= ▲ 2-i
频率



0.039 0.028 0.018 0.010 0.005

组距

3.某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得 的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图.根据图 形推断,该时段时速超过 50km/h 的汽车辆数为 ▲ . 4.如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 ▲ .

30

40

50

60

70

80

时速(km/h)

5.一只口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只黑球,2 只白球, 从中一次随机摸出 2 只球,至少有 1 只黑球的概率是 ▲ .
开始

(第3题图)

6.已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线, 则“α⊥β”是“m⊥β”的 ▲ 条件. (填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”或“既不充分也不必要” ) 7.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? ? ?π, 0?) 的单调增区间是 ▲ .

? ?2x-y≥0, 8.设实数 x,y,b 满足?y≥x, ,若 z=2x+y 的最小值为 3, ? ?y≥-x+b
则实数 b 的值为 ▲ . 9.设 a,b 均为正实数,则

n≤10
N
输出s 结束

Y

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是 ▲ . a b

(第 4 题图)

10.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式 f(1)<f(lg(2x))的 x 的 取值范围是 ▲ .



→ → 11.在△ABC 中,已知∠BAC=90°,AB=6,若 D 点在斜边 BC 上,CD=2DB,则 AB · AD 的值为 ▲ . x2 y2 12.在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上的点,以 M 为圆心的 圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F,圆 M 与 y 轴相交于 P,Q 两点.若△PQM 是钝角三角 形,则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ . x2+(a-1)x-2a+2 13.对于定义域内的任意实数x,函数f(x)= 的值恒为正数,则实数a的取值范围是 2x2+ax-2a S2 n 2 14.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 a +n2≥ma1 对任意等差数列{an}及任意正整数 n
2 n

▲ .

都成立,则实数 m 的最大值为 ▲ .

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字说明.证明过 ........ 程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 2b- 3c cosC 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 =cosA. 3a (1)求角 A 的值; (2)若角 B ?

?
6

, BC 边上的中线 AM = 7 ,求 ?ABC 的面积.

16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PCD; (2)求证:CE∥平面 PAB.
B C A P E

D

(第 16 题图)

17. (本小题满分 14 分)



某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品,用半径为 10cm 的圆形包装纸包装.要求如下:正三 棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合,包装纸不能裁剪,沿底边向上翻折,其边缘恰好达到三棱锥的 。

顶点,如图所示.设正三棱锥的底面边长为 xcm,体积为 Vcm3.在所有能用这种包装纸包装的正三棱 锥装饰品中,V 的最大值是多少?并求此时 x 的值.

(第 17 题图) 图

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 3 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,两个顶点分别为 A1(-2, 0),A2(2,0).过点 D(1,0)的直线交椭圆于 M,N 两点,直线 A1M 与 NA2 的交点为 G.高 考 资 源 网 (1)求实数 a,b 的值; (2)当直线 MN 的斜率为 1 时,若椭圆上恰有两个点 P1,P2 使得△P1MN 和△P2MN 的面积为 S,求 S 的取值范围; (3)求证:点 G 在一条定直线上.
M A1 N D A2 x G y

(第 18 题图)

19. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且满足 a1+a2+a3=9,b1b2b3=27. (1)若 a4=b3,b4-b3=m. ①当 m=18 时,求数列{an}和{bn}的通项公式; ②若数列{bn}是唯一的,求 m 的值; (2)若 a1+b1,a2+b2,a3+b3 均为正整数,且成等比数列,求数列{an}的公差 d 的最 。

大值.

20. (本小题满分 16 分) 设 a 是实数,函数 f(x)=ax2+(a+1)x-2lnx. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a=2 时,过原点 O 作曲线 y=f(x)的切线,求切点的横坐标; (3)设定义在 D 上的函数 y=g(x)在点 P(x0,y0)处的切线方程为 l:y=h(x),当 x≠x0 时, 若 g(x)-h(x) 1 <0 在 D 内恒成立,则称点 P 为函数 y=g(x)的“巧点”.当 a=-4时, x-x0

试问函数 y=f(x)是否存在“巧点”?若存在,请求出“巧点”的横坐标;若不存在,说 明理由.



学(附加题)

2014.05

21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指定区域内 作 ........ 答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (几何证明选讲选做题) 如图,设 AB 、 CD 是圆 O 的两条弦,直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线.已知 AB ? 6, CD ? 2 5 ,求线段 AC 的长度.
A C

B

D



(第 21—A 题图) B. (矩阵与变换选做题)
?a b ? ? 1? 设矩阵 A ? ? ,矩阵 A 属于特征值 ?1 ? ?1 的一个特征向量为 ?1 ? ? ? ,属于特征值 ? ? ?1? ?c d ? ?3 ? ?2 ? 4 的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? ,求 ad-bc 的值. ? 2?

C. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点 A,
?x=3+cosθ B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,求线段 AB 的最小值. ?y=4+sinθ

D. (不等式选做题) 1 1 1 设 a,b,c 均为正数, abc=1.求证:a+b+ c ≥ a+ b+ c.

22. 【必做题】 在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球,标号分别为 1 , 2 , 3 ,4,现从这个盒 子中有放回 地先后摸出两个小球,它们的标号分别为 x,y,记 ξ=|x-y|. ... (1)求 P(ξ=1); (2)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.



23. 【必做题】 有三种卡片分别写有数字 1,10 和 100.设 m 为正整数,从上述三种卡片中选取若干张, 使得这些卡片上的数字之和为 m.考虑不同的选法种数,例如当 m=11 时,有如下两种选法: “一张 卡片写有 1,另一张卡片写有 10”或“11 张写有 1 的卡片” ,则选法种数为 2. (1)若 m=100,直接写出选法种数; (2)设 n 为正整数,记所选卡片的数字和为 100n 的选法种数为 an.当 n≥2 时,求数 列{an}的通项公式.

南京师大附中 2014 届高三模拟考试 数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视 影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 。

4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.{1}; π 7.[-6,0]; 12. (0, 2.2; 9 8.4; 3.77; 9.4; 4.5; 9 5.10; 6.必要不充分; 11.24;

1 10.(0,20)∪(5,+∞); 1 14.5.

6- 2 ) ; 2

13.-7<a≤0 或 a=2;

二、解答题: 15.解析:(1)因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C ,由正弦定理 得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C , 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A = 3sin(A+C) . 因为 B=π-A-C,所以 sinB=sin(A+C), 所以 2sin B cos A ? 3 sin B . 因为 B∈(0,π),所以 sinB≠0, 所以 cos A ?
3 ? ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? . 2 6

??????2 分 ??????4 分

??????7 分 ??????8 分

(2)由(1)知 A ? B ? 设 AC ? x ,则 MC ?

π 2? ,所以 AC ? BC , C ? . 3 6

1 x ,又 AM ? 7. 2

在△ AMC 中,由余弦定理 得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 ,

x x 即 x2 ? ( )2 ? 2 x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 2 2
故 S?ABC ?

解得 x=2.

??????12 分 ??????14 分 ???????2 分

1 2 2? x sin ? 3. 2 3

16.解析: (1)因为 PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,所以 PA⊥CD, 又∠ACD=90°,则 CD ? AC ,而 PA∩AC=A, 所以 CD⊥平面 PAC,因为 CD?平面 ACD, 所以,平面 PAC⊥平面 PCD. (2)证法一:取 AD 中点 M,连 EM,CM,则 EM∥PA. 因为 EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, 所以 EM∥平面 PAB. 在 Rt△ ACD 中,AM=CM,所以∠CAD=∠ACM, 又∠BAC=∠CAD,所以∠BAC=∠ACM, 。
B C A P E

??????4 分 ??????7 分

??????9 分

M

D

则 MC∥AB. 因为 MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, 所以 MC∥平面 PAB. ??????12 分 而 EM∩MC=M,所以平面 EMC∥平面 PAB. 由于 EC ? 平面 EMC,从而 EC∥平面 PAB. 证法二:延长 DC,AB 交于点 N,连 PN. 因为∠NAC=∠DAC,AC⊥CD, 所以 C 为 ND 的中点. 而 E 为 PD 中点,所以 EC∥PN. 因为 EC ? 平面 PAB,PN 所以 EC∥ 平面 PAB.
A B C P E

??????14 分

D

? 平面 PAB,
N

??????14 分

17.解析:正三棱锥展开如图所示.当按照底边包装时体积最大. 设正三棱锥侧面的高为 h0,高为 h .

D'

D C

O A B

3 3 由题意得: 6 x+h0=10,解得 h0=10- 6 x.
D''

??????2 分 则 h= x2 h02-12= = 3 x2 (10- 6 x)2-12 ??????5 分

10 3 100- 3 x ,x∈(0,10 3) . 10 3 100- 3 x

1 1 3 所以,正三棱锥体积 V=3Sh=3× 4 x2×

3x2 10 3 = 12 100- 3 x. x4 10 3 100x4 10x5 设 y=V2=48(100- 3 x)= 48 - , 48 3 100x3 50x4 求导得 y′= 12 - ,令 y′=0,得 x=8 3, 48 3 当 x∈(0,8 3)时,y′>0,y 随着 x 的增加而增大, 。

??????8 分

??????10 分

当 x∈(8 3,10 3)时,y′<0,y 随着 x 的增加而减小, 所以,当 x=8 3 cm 时,y 取得极大值也是最大值. 此时 y=15360,所以 Vmax=32 15 cm3. 答:当底面边长为 8 3cm 时,正三棱锥的最大体积为 32 15cm3. 分 18.解析: (1)由题设可知 a=2. 3 c 3 因为 e= 2 ,即a= 2 ,所以 c= 3. 又因为 b2=a2-c2=4-3=1,所以 b=1. x2 (2)由题设可知,椭圆的方程为 4 +y2=1,直线 MN 的方程为 y=x-1. ??????2 分 ??????1 分 ??????14 ??????12 分

? ?x +y2=1 设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组? 4 ,消去 y 可得 5x2-8x=0, ? y=x-1 ?
8 解得 x1=0,x2=5. 8 3 将 x1=0,x2=5,代入直线 MN 的方程,解得 y1=-1,y2=5. 8 所以 MN= ( x1-x2)2+(y1-y2)2=5 2. 设与直线 MN 平行的直线 m 方程为 y=x+λ. ??????4 分

2

? ?x +y2=1 联立方程组? 4 ,消去 y 可得 5x2+8λx+4λ2-4=0, ? y=x+λ ?
若直线 m 与椭圆只有一个交点,则满足△=64λ2-20(4λ2-4)=0,解得 λ=± 5. ?????6 分 当直线 m 为 y=x- 5时,直线 l 与 m 之间的距离为 d1= |-1-(- 5)| 5-1 = ; 2 2

2

当直线 m 为 y=x+ 5时,直线 l 与 m 之间的距离为 d2=

|-1- 5| 5+1 = ; 2 2

??????8 分

设点 C 到 MN 的距离为 d,要使△CMN 的面积为 S 的点 C 恰有两个, 则需满足 d1<d<d2,即 5 -1 5+1 <d< . 2 2 ??????10 分

4 5-4 4 5+4 1 4 因为 S=2d·MN=5 2d,所以 5 <S< 5 . (3)方法一 设直线 A1M 的方程为 y=k1(x+2),直线 A2N 的方程为 y=k2(x-2).

? ?x +y2=1 联立方程组? 4 ,消去 y 得(1+4k12)x2+16k12x+16k12-4=0, ?y=k1(x+2) ?


2

2-8k12 4k1 解得点 M 的坐标为( , ). 1+4k12 1+4k12 8k22-2 -4k2 同理,可解得点 N 的坐标为( , ). 1+4k22 1+4k22 ??????12 分

-4k2 4k1 2 1+4k1 1+4k22 由 M,D,N 三点共线,有 = 2 ,化简得(k2-3k1)(4k1k2+1)=0. 2 2-8k1 8k2 -2 -1 -1 1+4k12 1+4k22 由题设可知 k1 与 k2 同号,所以 k2=3k1.
?y=k1(x+2) 2(k1+k2) 4k1k2 联立方程组? ,解得交点 G 的坐标为( , ). k2-k1 k2-k1 ?y=k1(x-2)

??????14 分

2(k1+k2) 2(k1+3k1) 将 k2=3k1 代入点 G 的横坐标,得 xG= = =4. k2-k1 3k1-k1 所以,点 G 恒在定直线 x=4 上. 方法二 显然,直线 MN 的斜率为 0 时不合题意. 设直线 MN 的方程为 x=my+1. 3 3 3 3 令 m=0,解得 M(1, 2 ),N(1,- 2 )或 M(1,- 2 ),N(1, 2 ). 3 3 3 3 3 当 M(1, 2 ),N(1,- 2 )时,直线 A1M 的方程为 y= 6 x+ 3 ,直线 A2N 的方程为 y= 2 x- 3. ??????16 分

?y= 63x+ 33 联立方程组? ,解得交点 G 的坐标为(4, 3 ?y= 2 x- 3
若点 G 恒在一条定直线上,则此定直线必为 x=4.

3);

3 3 当 M(1,- 2 ),N(1, 2 )时,由对称性可知交点 G 的坐标为(4,- 3). ??????12 分

下面证明对于任意的实数 m,直线 A1M 与直线 A2N 的交点 G 均在直线 x=4 上. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),G(4,y0). y1-0 y0 6y1 由点 A1,M,G 三点共线,有 = ,即 y0= . x1+2 4+2 x1+2 y2-0 y0 2y2 再由点 A2,N,G 三点共线,有 = ,即 y0= . x2-2 4-2 x2-2 6y1 2y2 所以, = .① x1+2 x2-2 将 x1=my1+1,x2=my2+1 代入①式,化简得 2my1y2-3(y1+y2)=0. ② ??????14 分

?x +y2=1 ? 联立方程组? 4 ,消去 x 得(m2+4)y2+2my-3=0, ? ?x=my+1
从而有 y1+y2= -2m -3 ,y1y2= 2 . 2 m +4 m +4

2



将其代入②式,有 2m·

-3 -2m -3· 2 =0 成立. m2+4 m +4 ??????16 分

所以,当 m 为任意实数时,直线 A1M 与直线 A2N 的交点 G 均在直线 x=4 上.

19.解析: (1)①由数列{an}是等差数列及 a1+a2+a3=9,得 a2=3, 由数列{bn}是等比数列及 b1b2b3=27,得 b2=3. 设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q, 若 m=18,
?3+2d=3q, ? 则有? 2 ? ?3q -3q=18. ?d=3, ? 解得? ? ?q=3;

??????2 分



9 ? ?d=- , 2 ? ? ?q=-2. 9 ? ?an=- n+12, 2 或? ? ?bn=3(-2) n-2. ??????4 分

?an=3n-3, ? 所以,{an}和{bn}的通项公式为? n-1 ?bn=3 ; ?

② 由题设 b4-b3=m,得 3q2-3q=m,即 3q2-3q-m=0(*) . 因为数列{bn}是唯一的,所以 若 q=0,则 m=0,检验知,当 m=0 时,q=1 或 0(舍去) ,满足题意; 3 1 若 q≠0,则(-3)2+12 m=0,解得 m=-4,代入(*)式,解得 q=2, 又 b2=3,所以{bn}是唯一的等比数列,符合题意. 3 所以,m=0 或-4 . (2)依题意,36=(a1+b1) (a3+b3), 3 设{bn}公比为 q,则有 36=(3-d+q)(3+d+3q), (**) 3 记 m=3-d+q,n=3+d+3q,则 mn=36. 将(**)中的 q 消去,整理得: d2+(m-n)d+3(m+n)-36=0 n-m+ (m-n)2-12(m+n)+144 n-m+ (m+n-6)2-36 d 的大根为 = 2 2 而 m,n∈N*,所以 (m,n)的可能取值为: (1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1) . 35+5 37 所以,当 m=1,n=36 时,d 的最大值为 . 2 2(x2+x-1) 20.解析: (1)当 a=1 时,f ′(x)= (x>0), x -1+ 5 -1+ 5 由 f ′(x)>0 得:x> ;由 f ′(x)<0 得:0<x< . 2 2 分 。 ??????16 分 ??????1 分 ??????2 ??????10 分 ??????8 分

-1+ 5 -1+ 5 所以,f(x)的单调增区间为( ,+∞),单调减区间为(0, ) . 2 2 (2)当 a=2 时,设切点为 M (m,n) . 2 f ′(x)=4x+3-x ( x>0), 2 所以,切线的斜率 k=4m+3-m. 2m2+3m-2lnm 又直线 OM 的斜率为 , m 2 2m2+3m-2lnm 所以,4m+3-m= ,即 m2+lnm-1=0, m 又函数 y=m2+lnm-1 在(0,+∞)上递增,且 m=1 是一根,所以是唯一根, 所以,切点横坐标为 1. 1 (3)a=-4时,由函数 y=f(x)在其图象上一点 P(x0,y0)处的切线方程为: 1 3 2 1 3 y=(-2x0+4-x )(x-x0)-4x02+4x0-2ln x0.
0

??????3 分

??????5 分

??????7 分

??????8 分

1 3 2 1 3 令 h(x)=(-2x0+4-x )(x-x0)-4x02+4x0-2ln x0,
0

设 F(x)=f(x)-h(x),则 F(x0)=0. 1 3 2 1 3 2 且 F ′(x)=f ′(x)-h ′(x)=-2x+4-x -(-2x0+4-x )
0

1 2 2 1 4 =-2(x-x0)-(x -x )=-2x(x-x0) (x-x ) 0 0

??????10 分

4 4 F(x) 当 0<x0<2 时,x >x0,F(x)在(x0,x )上单调递增,从而有 F(x)>F(x0)=0,所以, >0; x -x0 0 0 4 4 F(x) 当 x0>2 时,x <x0,F(x)在(x ,x0)上单调递增,从而有 F(x)<F(x0)=0,所以, >0. x-x0 0 0 因此,y=f(x)在(0,2)和(2,+∞)上不存在“巧点”. (x-2)2 当 x0=2 时, F ′(x)=- 2x ≤0,所以函数 F(x)在(0,+∞)上单调递减. F(x) F(x) 所以,x>2 时,F(x)<F(2)=0, <0;0<x<2 时,F(x)>F(2)=0, <0. x-2 x-2 因此,点(2,f(2))为“巧点”,其横坐标为 2. ??????16 分 ??????13 分

南京师大附中 2014 届高三模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请 。

2014.05
C B E D A



........ 答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 解析:连接 BC, AB , CD 相交于点 E . 因为 AB 是线段 CD 的垂直平分线, 所以 AB 是圆的直径,∠ACB=90°. ??????2 分 设 AE ? x ,则 EB ? 6 ? x ,由射影定理得 CE2=AE·EB,又 CE ? 5 , 即有 x(6 ? x) ? 5 ,解得 x ? 1 (舍)或 x ? 5 所以,AC2=AE·AB=5×6=30, AC ? 30 . B.选修 4—2:矩阵与变换 解析:由特征值、特征向量定义可知,A ? 1 ? ?1 ? 1 ,
?a b ? ? 1? ? 1? ?a ? b ? ?1, ? ?1 ? ? ? ,得 ? 即? ? ? ? ?c d ? ? ?1? ? ?1? ?c ? d ? 1. ?3a ? 2b ? 12, 同理可得 ? 解得 a ? 2,b ? 3,c ? 2,d ? 1 . ?3c ? 2d ? 8,

??????8 分 ??????10 分

??????5 分

因此 ad-bc=2-6=-4. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解析:将曲线 C1 的参数 θ 消去可得(x-3)2+(y-4)2=1. 将曲线 C2 化为直角坐标方程为 x2+y2=1.

??????10 分

??????5 分

曲线 C1 是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆;曲线 C2 是以(0,0)为圆心,1 为半径的圆, 可求得两圆圆心距为 32+42=5, 所以,AB 的最小值为 5-1-1=3. D.选修 4—5:不等式选讲 1 1 2 1 1 2 1 1 2 证明:由 a,b,c 为正数,根据平均值不等式,得a+b≥ , + ≥ , + ≥ . ab b c bc c a ca 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 将此三式相加,得 2(a+b+ c )≥ + + ,即a+b+ c ≥ + + . ab bc ca ab bc ca ??????5 分 由 abc=1,则有 abc=1. 1 1 1 abc abc abc 所以,a+b+ c ≥ + + = a+ b + c. ab bc ca 。 ??????10 ??????10 分

分 22.解析: (1) P (? ? 1) ?

6 3 ? ; 16 8

??????3 分 ??????4 分

(2)? 的所有取值为 0, 1,2,3.

? P(? ? 0) ?

4 1 6 3 4 1 2 1 ? , P (? ? 1) ? ? , P (? ? 2) ? ? , P (? ? 3) ? ? . 16 4 16 8 16 4 16 8

则随机变量 ? 的分布列为

?

0
1 4

1

2

3

3 1 8 4 1 3 1 1 5 ? 的数学期望 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 4 8 4 8 4

P

1 8
??????10 分 ??????3

23.解析: (1)m=100,共有选法种数为 12. 分

(2)若至少选一张写有 100 的卡片时,则除去 1 张写有 100 的卡片,其余数字之和为 100(n-1), 有 an-1 种选法; 若不选含有 100 的卡片,则有 10n+1 种选法. 所以, an=10n+1+an-1


??????8 分

从而,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+···+(a2 -a1)+a1 =10n+1+10(n-1)+1+···+10×2+1+a1 =10 (n+2)(n-1) +n-1+a1 2

=5n2+6n+1 所以,{an}的通项公式是 an=5n2+6n+1. ??????10 分




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