3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

【大高考】(五年高考)2016届高考数学复习 第八章 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 文(全国通用)


第五节

直线、平面垂直的判定与性质

考点 直线、平面垂直的判定与性质 1.(2014·浙江,6)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面( A.若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α B.若 m∥β ,β ⊥α ,则 m⊥α C.若 m⊥β ,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 解析 选项 A、B、D 中 m 均可能与平面 α 平行、垂直、斜交或平面 α 内,故选 C. 答案 C 2.(2013·浙江,4)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面( A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β 解析 A 选项中直线 m,m 可能平行,也可能相交或异面,直线 m,n 的关系是任意的;B 选项 中,α 与 β 也可能相交,此时直线 m 平行于 α ,β 的交线;D 选项中,m 也可能平行于 β . 故选 C. 答案 C 3.(2013·大纲全国,11)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角 的正弦值等于( A. 2 3 ) B. 3 3 C. 2 3 1 D. 3 ) )

解析 如图,设 AA1=2AB=2,AC 交 BD 于点 O,连接 OC1,过 C 作 CH⊥OC1 于 点 H,连接 DH. ∵BD⊥AC,BD⊥AA1, ∴BD⊥平面 ACC1A1. ∴CH? 平面 ACC1A1, ∴CH⊥BD. ∴CH⊥平面 C1BD. ∴∠CDH 为 CD 与平面 BDC1 所成的角.
2 2 OC1= CC1 +OC =

4+?

? 2?2 3 ? = . ?2? 2
1

由等面积法得 OC1·CH=OC·CC1, ∴ 3 2 2 ·CH= ×2.CH= . 2 3 2

2 CH 3 2 ∴sin∠CDH= = = .故选 A. CD 1 3 答案 A 4.(2012·浙江,5)设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面( A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β B.若 l∥α ,l⊥β ,则 α ⊥β C.若 α ⊥β ,l⊥α ,则 l⊥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 解析 A 选项中由 l∥α ,l∥β 不能确定 α 与 β 的位置关系,C 选项中由 α ⊥β ,l⊥α 可 推出 l∥β 或 l? β ,D 选项由 α ⊥β ,l∥α 不能确定 l 与 β 的位置关系. 答案 B 5.(2011·全国,8)已知直二面角 α lβ ,点 A∈α ,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β ,BD⊥l,D 为垂足.若 AB=2,AC=BD=1,则 CD=( A.2 B. 3
2 2 2

)

) D.1
2

C. 2
2

解析 由题意得 AB =AC +CD +BD ,即 4=1+CD +1,解得 CD= 2,故选 C. 答案 C 6.(2010·湖北,4)用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥γ ,b∥γ ,则 a∥b;④若 a⊥γ ,b⊥γ ,则 a∥b. 其中真命题的序号是( A.①② ) C.①④ D.③④

B.②③

解析 由公理 4 知①是真命题. 在空间内 a⊥b,b⊥c,直线 a、c 的关系不确定,故②是假命题. 由 a∥γ ,b∥γ ,不能判定 a、b 的关系,故③是假命题. ④是直线与平面垂直的性质定理.故选 C. 答案 C 7.(2012·辽宁,16)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3的正方形.若 PA=2 6,则△OAB 的面积为________. 解析 将直四棱锥补成长方体如图:

2

球 O 的直径 2R = (2 3) +(2 3) +(2 6) =4 3, 1 ∴R=2 3.S△OAB= ×2 3×3=3 3. 2 答案 3 3 8.(2015·新课标全国Ⅰ,18)如图,四边形 ABCD 为菱形,G 是 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD. (1)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥 EACD 的体积为 解 (1)因为四边形 ABCD 为菱形, 所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD, 所以 AC⊥BE. 故 AC⊥平面 BED. 又 AC? 平面 AEC, 所以平面 AEC⊥平面 BED. (2)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120°,可得 6 ,求该三棱锥的侧面积. 3
2 2 2

AG=GC=

3 x x,GB=GD= . 2 2 3 x. 2

因为 AE⊥EC,所以在 Rt △AEC 中,可得 EG= 由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形, 可得 BE= 2 x. 2

由已知得,三棱锥 EACD 的体积

VEACD= × AC·GD·BE=
故 x=2.

1 1 3 2

6 3 6 x= . 24 3

从而可得 AE=EC=ED= 6. 所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.
3

故三棱锥 EACD 的侧面积为 3+2 5. 9.(2015·安徽,19)如图,三棱锥 P?ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=1,AB =1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥 P?ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC⊥BM,并求 (1)解 由题设 AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 1 3 可得 S△ABC= ·AB·AC·sin 60°= . 2 2 由 PA⊥平面 ABC,可知 PA 是三棱锥 P?ABC 的高,又 PA=1. 1 3 所以三棱锥 P?ABC 的体积 V= ·S△ABC·PA= . 3 6

PM 的值. MC

(2)证明 在平面 ABC 内,过点 B 作 BN⊥AC,垂足为 N,在平面 PAC 内,过点 N 作 MN∥PA 交

PC 于点 M,连接 BM.由 PA⊥平面 ABC 知 PA⊥AC,所以 MN⊥AC.由于 BN∩MN=N,故 AC⊥平面 MBN,又 BM? 平面 MBN,所以 AC⊥BM.
1 3 在 Rt△BAN 中,AN=AB·cos∠BAC= ,从而 NC=AC-AN= ,由 MN∥PA, 2 2

PM AN 1 得 = = . MC NC 3
10.(2015·湖北,20)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与 底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为 鳖臑. 在如图所示的阳马 PABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,连接 DE、

BD、BE.
(1)证明:DE⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写 出结论);若不是,请说明理由; (2)记阳马 PABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求 的值. 解 (1)因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BC, 由底面 ABCD 为长方形,有 BC⊥CD,而 PD∩CD=D, 所以 BC⊥平面 PCD.而 DE? 平面 PCD,所以 BC⊥DE.

V1 V2

4

又因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,所以 DE⊥PC. 而 PC∩BC=C, 所以 DE⊥平面 PBC. 由 BC⊥平面 PCD,DE⊥平面 PBC,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形, 即四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB. (2)由已知,PD 是阳马 PABCD 的高, 1 1 所以 V1= SABCD·PD= BC·CD·PD; 3 3 由(1)知,DE 是鳖臑 DBCE 的高,BC⊥CE, 1 1 所以 V2= S△BCE·DE= BC·CE·DE. 3 6 在 Rt△PDC 中,因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点, 所以 DE=CE= 1 2 CD, 2

BC·CD·PD V1 3 2CD·PD 于是 = = =4. V2 1 CE·DE BC·CE·DE
6 11.(2015·浙江,18)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=

AC=2,A1A=4,A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B1C1 的中点.
(1)证明:A1D⊥平面 A1BC; (2)求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值. (1)证明 设 E 为 BC 的中点, 由题意得 A1E⊥平面 ABC,所以 A1E⊥AE, 因为 AB=AC,所以 AE⊥BC. 故 AE⊥平面 A1BC.由 D,E 分别为 B1C1,BC 的中点,得

DE∥B1B 且 DE=B1B,
从而 DE∥A1A 且 DE=A1A, 所以 AA1DE 为 平行四边形.于是 A1D∥AE. 又因为 AE⊥平面 A1BC, 所以 A1D⊥平面 A1BC. (2)解 作 A1F⊥DE,垂足为 F,连接 BF. 因为 A1E⊥平面 ABC,所以 BC⊥A1E. 因为 BC⊥AE,所以 BC⊥平面 AA1DE. 所以 BC⊥A1F,A1F⊥平面 BB1C1C.
5

所以∠A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角. 由 AB=AC=2,∠CAB=90°,得 EA=EB= 2. 由 A1E⊥平面 ABC,得 A1A=A1B=4,A1E= 14. 由 DE=BB1=4.DA1=EA= 2,∠DA1E=90°, 得 A1F= 7 . 2 7 . 8

所以 sin ∠A1BF=

12.(2015·天津,17)如图,已知 AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,

BC=2 5,AA1= 7,BB1=2 7,点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点.
(1)求证:EF∥平面 A1B1BA; (2)求证:平面 AEA1⊥平面 BCB1; (3)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小. (1)证明 如图,连接 A1B,在△A1BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中 点,所以 EF∥BA1.又因为 EF?平面 A1B1BA,所以 EF∥平面 A1B1BA.

(2)证明 因为 AB=AC,E 为 BC 中点,所以 AE⊥BC,因为 AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,所以 BB1 ⊥平面 ABC,从而 BB1⊥AE.又因为 BC∩BB1=B,所以 AE⊥平面 BCB1,又因为 AE? 平面 AEA1, 所以平面 AEA1⊥平面 BCB1. (3)解 取 BB1 的中点 M 和 B1C 的中点 N,连接 A1M,A1N,NE.因为 N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中 1 点,所以 NE∥B1B,NE= B1B,故 NE∥A1A 且 NE=A1A,所以 A1N∥AE,且 A1N=AE.又因为 AE⊥ 2 平面 BCB1,所以 A1N⊥平面 BCB1,从而∠A1B1N 为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角. 在△ABC 中,可得 AE=2,所以 A1N=AE=2.

6

因为 BM∥AA1,BM=AA1, 所以 A1M∥AB,A1M=AB, 又由 AB⊥BB1,有 A1M⊥BB1. 在 Rt△A1MB1 中,可得 A1B1= B1M +A1M =4. 在 Rt△A1NB1 中,sin∠A1B1N=
2 2

A1N 1 = ,因为∠A1B1N=30°. A1B1 2

所以,直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 30°. 13.(2014·重庆,20)如图,四棱锥 PABCD 中,底面是以 O 为中 π 心的菱形,PO⊥底面 ABCD,AB=2,∠BAD= ,M 为 BC 上一点, 3 1 且 BM= . 2 (1)证明:BC⊥平面 POM; (2)若 MP⊥AP,求四棱锥 PABMO 的体积. π (1)证明 如图,因四边形 ABCD 为菱形,O 为菱形中心,连接 OB,则 AO⊥OB.因∠BAD= , 3 π 故 OB=AB·sin∠OAB=2sin =1, 6

1 π 又因 BM= ,且∠OBM= , 2 3 在△OBM 中,

OM2=OB2+BM2-2OB·BM·
1 2 1 π 3 2 cos∠OBM=1 +( ) -2×1× ×cos = . 2 2 3 4 所以 OB =OM +BM , 故 OM⊥BM. 又 PO⊥底面 ABCD, 所以 PO⊥BC. 从而 BC 与平面 POM 内两条相交直线 OM,PO 都垂直, 所以 BC⊥平面 POM. (2)解 由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB =2×cos π = 3. 6
7
2 2 2

设 PO=a,由 PO⊥底面 ABCD 知,△POA 为直角三角形,故

PA2=PO2+OA2=a2+3.
由△POM 也是直角三角形, 3 2 2 2 2 故 PM =PO +OM =a + . 4 2 1 2π 21 ?1? 2 连接 AM, 在△ABM 中, AM2=AB2+BM2-2AB· BM· cos∠ABM=2 +? ? -2×2× ×cos = . 2 3 4 ?2? 由已知 MP⊥AP,故△APM 为直角三角形,则

PA2+PM2=AM2,
3 21 2 2 即 a +3+a + = , 4 4 得 a= 3 3 3 ,a=- (舍去),即 PO= . 2 2 2

1 1 1 1 1 3 5 3 此时 S 四边形 ABMO=S△AOB+S△OMB= ·AO·OB+ ·BM·OM= × 3×1+ × × = . 2 2 2 2 2 2 8 所以四棱锥 PABMO 的体积

VPABMO= ·S 四边形 ABMO·PO= ×

1 3

1 3

5 3 3 5 × = . 8 2 16

14.(2014·新课标全国Ⅰ, 19)如图, 三棱柱 ABCA1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O,且 AO⊥平面 BB1C1C. (1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABCA1B1C1 的高. (1)证明 连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点.因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C⊥BC1.

又 AO⊥平面 BB1C1C,所以 B1C⊥AO,又因为 BC1∩AO=O,所以 B1C⊥平面 ABO. 由于 AB? 平面 ABO,故 B1C⊥AB. (2)解 作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD.作 OH⊥AD,垂足为 H.由于 BC⊥AO,BC⊥OD,AO∩OD =O,故 BC⊥平面 AOD,所以 OH⊥BC.又 OH⊥AD,所以 OH⊥平面 ABC. 因为∠CBB1=60°, 所以△CBB1 为等边三角形, 又 BC=1,可得 OD= 3 . 4

1 1 由于 AC⊥AB1,所以 OA= B1C= . 2 2
8

由 OH·AD=OD·OA,且 AD= OD +OA =

2

2

7 21 ,得 OH= . 4 14 21 21 .故三棱柱 ABCA1B1C1 的高为 . 7 7

又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 ABC 的距离为

15.(2013·江西,19)如图,直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AB∥CD,AD⊥AB,

AB=2,AD= 2,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3.
(1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离. (1)证明 过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F,则 BF=AD= 2,EF=AB-DE=1,FC=2.在 Rt△BFE 中,BE= 3. 在 Rt△CFB 中,BC= 6. 在△BEC 中,因为 BE +BC =9=EC , 故 BE⊥BC. 由 BB1⊥平面 ABCD 得 BE⊥BB1, 又 BC∩BB1=B, 所以 BE⊥平面 BB1C1C. (2)解 连接 B1E,则三棱锥 EA1B1C1 的体积
2 2 2

V= AA1·S△A1B1C1= 2.

1 3

在 Rt△A1D1C1 中,
2 A1C1= A1D2 1+D1C1=3 2.

同理,EC1= EC +CC1=3 2,

2

2

A1E= A1A2+AD2+DE2=2 3.
故 S△A1C1E=3 5. 1 设点 B1 到平面 EA1C1 的距离为 d,则三棱锥 B1A1C1E 的体积 V= ·d·S△A1C1E= 5d, 3 从而 5d= 2,d= 10 . 5

16.(2013·北京,17)如图,在四棱锥 PABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD= 2AB,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD;
9

(2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 证明 (1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD, 且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD, 所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD? 平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD.且 PA∩AD=A, 所以 CD⊥平面 PAD. 所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF. 又 CD⊥BE,EF∩BE=E, 所以 CD⊥平面 BEF. 且 CD? 平面 PCD, 所以平面 BEF⊥平面 PCD.

10


推荐相关:

(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第八章 第五节 空间垂直的判定与性质 ...② 平面 ABC⊥平面 PBC;③直线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45°.其中正 确的有...


(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第八章 第五节 空间垂直的判定与性质 ...② 平面 ABC⊥平面 PBC;③直线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45°.其中正 确的有...


大高考2016届高考复习数学理 三年模拟一年创新 第八章 立体几何初步 第五节_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第五节 空间垂直的判定与性质 A组 专项基础...


【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第7章 第4节 直线平面垂直的判定及其性质课后限时自测 理 苏教版_数学_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2016 届高考数学...


2016届高考数学大一轮复习 第7章 第5节 直线平面垂直的判定及其性质课时提升练 文 新人教版_数学_高中教育_教育专区。课时提升练(三十九) 一、选择题 直线...


大高考2016届高考复习数学五年高考真题 第八章 立体几何初步 第七节_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第七节 空间角与距离 考点一 直线与平面所成的...


2016届高考数学大一轮复习 直线平面垂直的判定及其性质课时跟踪检测(四十六)理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(四十六) 一、选择题 直线、平面...


2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 8.4 直线平面垂直的判定与性质_数学_高中教育_教育专区。§ 8.4 直线平面垂直的判定与性质 1...


2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第4讲 直线平面垂直的判定与性质练习 理_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】 (全国通用)2017 版高考数学一轮复习...


广东省2016届高考数学二轮复习 23直线平面垂直的判定和性质课时检测_数学_高中教育_教育专区。直线平面垂直的判定和性质考点 直线平面垂直的判定和性质 1.如图...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com