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2015河南省中考数学试卷及答案(word版)


2015 年河南省普通高中招生考试试卷 数 学
注意事项: 1.本试卷共 8 页,三个大题,满分 120 分,考试时间 100 分钟,请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答 在试卷上. 2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚. 题号 分数 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母填入题后括号内. 1.下列各数中最大的数是 【 】 (A)5 (B) 3 (C)π (D)-8 【 】 一 1~8 二 9~15 16 17 18 19 三 20 21 22 23 总分

2.如图所示的几何体的俯视图是

3.据统计,2014 年我国高新技术产品出口总额达 40 570 亿元.将数据 40 570 亿用科学记数法表示为 【 】 (A)4.0570?l09 (B)0.40570?l010 (C)40.570?l011 (D)4.0570?l012 4.如图,直线 a,b 被直线 c,d 所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4 的度 数为【 】 (A)550 (B)600 (C)700 (D)75。 5.不等式组 ?

?x ? 5 ? 0 的解集在数轴上表示为 ?3 ? x>1





6.小王参加某企业招聘测试,他的笔试、面试、技能操作得分分别为 85 分,80 分,90 分,若依次 按照 2∶3∶5 的比例确定成绩,则小王的成绩是 【 】 (A)255 分 (B)184 分 (C)84.5 分 (D)86 分 7.如图,在□ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E.若 BF=6,AB=5,则 AE 的长为 【 】 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8.如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为 1 个单位长度的半圆 O1,O2,O3,?组成一条平滑的 曲线.点 P 从原点 D 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒

π 个单位长度,则第 2015 秒时,点 P 的坐 2

标是 (A) (2014,0)

(B) (2015,-1)

(C) (2015,1)

【 (D) (2016,0)



二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 0 -1 9.计算: (-3) +3 = . 10.如图,△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,DE∥AC.若 BD=4,DA=2,BE=3,则 EC = . 11.如图,直线 y ? kx 与双曲线 y ?

2 (x>0)交于点 A(1,a, )则 k= x
2

.

12.已知点 A(4,y1) ,B( 2 ,y2) ,C(-2,y 3)都在二次函数 y ? ( x ? 2) ? 1 的图象上,则 y1, y2,y 3,的大小关系是 .

13.现有四张分别标有数字 1,2,2,3 的卡片,它们除数字外完全相同.把卡片背面朝上洗匀,从 中随机抽出一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽出一张,则两次抽出的卡片所标数字不同的概率 是 . ⌒ 于点 E.以点 O 为圆 14.如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=900,点 C 为 OA 的中点,CE⊥OA 交AB ⌒ 交 OB 于点 D.若 OA=2,则阴影部分的面积为 心,OC 的长为半径作CD .

15.如图,正方形 ABCD 的边长是 16,点 E 在边 AB 上,AE=3,点 F 是边 BC 上不与点 B,C 重合 的一个动点, 把△EBF 沿 EF 折叠, 点 B 落在 B'处. 若△CDB'恰为等腰三角形, 则 DB'的长为 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分) 16. (8 分)先化简,再求值:

a 2 ? 2ab ? b2 1 1 ? ( ? ) ,其中 a= 5 +1,b= 5 -1. 2a ? 2b b a

17. (9 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 是半圆上不与点 A,B 重合的一个动点,延长 BP 到点 C, 使 PC=PB,D 是 AC 的中点,连接 PD,PO. (1)求证:△CDP≌△POB;

(2)填空: ①若 AB=4,则四边形 AOPD 的最大面积为_________________; ②连接 OD,当∠PBA 的度数为________时,四边形 BPDO 是菱形. 18. (9 分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径” ,某市记者开展了一次抽样调查,根据调查结果 绘制了如下尚不完整的统计图.

根据以上信息解答下列问题: (1)这次接受调查的市民总人数是__________; (2)扇形统计图中, “电视”所对应的圆心角的度数是__________; (3)请补全条形统计图; (4)若该市约有 80 万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总 人数.

19. (9 分)已知关于 x 的一元二次方程(x-3) (x-2)= m . (1)求证:对于任意实数 m,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是 1,求 m 的值及方程的另一个根.

20. (9 分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度,他们在斜坡上 D 处测得大 树顶端 B 的仰角是 30°, 朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处, 在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48°. 若 坡角∠FAE=30°,求大树的高度. (结果保留整数,参考数据: sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48° ≈1.11, 3 ≈1.73)

21. (10 分)某游泳馆普通票价 20 元/张,暑期为了促销,新推出两种优惠卡: ①金卡售价 600 元/张,每次凭卡不再收费; ②银卡售价 150 元/张,每次凭卡另收 10 元. 暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设游泳 x 次时,所需总费用为 y 元. (1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y 与 x 之间的函数关系式; (2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点 A,B,C 的坐标;

(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.

22. (10 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,BC=2AB=8,点 D,E 分别是边 BC,AC 的中点, 连接 DE.将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α (1)问题发现 ①当α =0°时, (2)拓展探究 试判断:当 0°≤α <360°时, AE 的大小有无变化?请仅就图 2 的情形给出证明.
BD

AE ? BD

;②当α =180°时, AE
BD

?

.

(3)问题解决 当△EDC 旋转至 A,D,E 三点共线时,直接写出线段 BD 的长.

23. (11 分)如图,边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上,以点 C 为顶点的抛物线经过点 A, 点 P 是抛物线上点 A,C 间的一个动点(含端点) ,过点 P 作 PF⊥BC 于点 F,点 D,E 的坐标分别为(0, 6) , (-4,0) ,连接 PD,PE,DE. (1)请直接写出抛物线的解析式; (2)小明探究点 P 的位置发现:当点 P 与点 A 或点 C 重合时,PD 与 PF 的差为定值.进而猜想:对 于任意一点 P,PD 与 PF 的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由; (3)小明进一步探究得出结论:若将“使△ PDE 的面积为整数”的点 P 记作“好点” ,则存在多个“好 点”,且使△ PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点” . 请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标.

2015 年河南省普通高中招生考试 数学试题参考答案及评分标准
说明: 1.如果考生的解答与本参考答案提供的解法不同,可根据提供的解法的评分标准精神进行评分. 2.评阅试卷,要坚持每题评阅到底,不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅.如果考生的 解答在某一步出现错误, 影响后继部分而未改变本题的内容和难度, 视影响的程度决定对后面给分的多少, 但原则上不超过后继部分应得分数之半. 3.评分标准中,如无特殊说明,均为累计给分. 4.评分过程中,只给整数分数. 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 题号 答案 题号 答案 1 A 9 2 B 10 3 D 4 A 11 2 5 C 6 D 12 y3>y1>y2 7 C 8 B 13 14 15 16 或 4 5

二、填空题(每小题 3 分,共 21 分)

4 3

3 2

5 8

3 π ? 2 12

三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分) 16.原式=

( a ? b) 2 a ? b ? 2(a ? b) ab

???????????4 分

a ? b ab ? ????????????6 分 2 a?b ab = . ????????????6 分 2
= 当 a= 5 ? 1 ,b= 5 ? 1 时,原式=

( 5 ? 1)( 5 ? 1) 5 ? 1 ? ? 2 ??????8 分 2 2

17. (1)∵D 是 AC 的中点,且 PC=PB, ∴DP//AB,DP= ∵ OB=

1 AB.∴∠CPD=∠PBO. ?????3 分 2

1 AB,∴DP=OB.∴△DPU ? )△POB.???????5 分 2

(2)①4:;?????????????.7 分 。 ②60 . (注:若填为 60,不扣分)????????9 分 18. (1)1000;???????2 分 。 (2)54 : (注:若填为 54,不扣分)???????.4 分 (3) (按人数为 100 正确补全条形图) ;??????6 分 (4)80?(26%+40%)=80?66%=52.8(万人) . 所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻最主要途径”的总人数约为 52 . 8 万 人.???????9 分 19. (1)原方程可化为 x2-5x+6- m =0.???????.1 分

∴Δ =(-5)2-4?l?(6- m )=25-24+4 m =1+4 m .??????.3 分 ∵ m ≥0,∴1+4 m >o. ∴对于任意实数 m,方程总有两个不相等的实数根.?????4 分 (2)把 x=l 代入原方程,得 m =2.∴m=±2.??????6 分 把 m =2 代入原方程,得 x2-5x+4=0.∴x1=1,x2=4. ∴m 的值为±2,方程的另一个根是 4.???9 分 20.延长 BD 交 AE 于点 G,过点 D 作 DH⊥AE 于点 H. 由题意知:∠DAE=∠BGA=30°,DA=6,∴GD=DA=6. ∴GH=AH=DA?cos30°=6?

3 = 3 3 .∴GA=6 3 .???????2 分 2
BC x = = 3x ??4 分 tan ∠BAC tan 30°

设 BC 的长为 x 米,左 Rt△GBC 中,GC= 在 Rt△ABC 中,AC=

BC x = ???6 分 tan ∠AC tan 48° x ∵GC-AC=GA,∴ 3 x- =6 3 ???8 分 tan 48°
∴x≈13.即大树的高度约为 13 米.??????9 分 21. (1)银卡:y=10x+150;???1 分 普通票:y=20x.????2 分 (2)把 x=0 代入 y=l0x+150,得 y=150.∴A(0,150).???3 分 由题意知 ?

? y ? 20x ? x ? 15 ∴? ∴B(15,300)???4 分 ? y ? 10x ? 150 ? y ? 300

把 y=600 代入 y=l0x+150,得 x=45.∴C(45,600) .??????5 分 (3)当 0<x<15 时,选择购买普通票更合算; (注:若写为 0≤x<15,不扣分) 当 x=15 时,选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算; 当 15<x<45 时,选择购买银卡更合算; 当 x=45 时,选择购买金卡、银卡的总费用相同,均比普通票合算; 当 x>45 时,选择购买金卡更合算.?????10 分 22.(1)①

5 ;??????1 分 2



5 .??2 分 2

(2)无变化. (注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)???????.3 分

CE CD ? ,∠EDC=∠B=90°. CA CB CE CD ? 如图 2,∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变,∴ 仍然成立.??????????4 分 CA CB
在图 1 中,∵DE 是△ABC 的中位线,∴DE//AB.∴ 又∵∠ACE=∠BCD=α ,

∴△ACE∽△BCD.∴

AE AC .?????6 分 ? BD BC

在 Rt△ABC 中,AC=

AB2 ? BC2 ? 42 ? 82 ? 4 5 .



AC 4 5 5 AE 5 ? ? .∴ ? . ??????????????8 分 BC 8 2 BD 2 12 5 ??????????????10 分 5

(3)4 5或

【提示】当△EDC 在 BC 上方,且 A,D,E 三点共线时,四边形 ABCD 为矩形,∴BD=AC= 4 5 ;当 △EDC 在 BC 下方,且 A,E,D 三点共线时,△ADC 为直角三角形,由勾股定理可求得 AD=8,∴AE =6,根据

AE 5 12 5 ? . 可求得 BD= BD 2 5
1 2 x +8.?????????????? 3 分 8

23. (1)抛物线解析式为 y=- (2)正确,理由: 设 P(x, -

1 2 1 1 x +8) ,则 PF=8-(- x2+8)= x2.?????????4 分 8 8 8 1 2 1 2 1 2 1 x ? x ? 4 ? ( x 2 ? 2) 2 x +8)]2= 8 64 2 8

过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M,则 PD2=PM2+DM2=(-x2)+[6-(- ∴PD=

1 2 x ? 2 ??????????????6 分 8 1 2 1 2 ∴PD-PF= x ? 2 ? x =2 ∴猜想正确, ????????7 分 8 8
(3) “好点”共有 11 个; ?????????9 分 在点 P 运动时,DE 大小不变,∴PE 与 PD 的和最小时,△PDE 的周长最小. ∴PD-PF=2,∴PD=PF+2.∴PE+PD=PE+PF+2. . 当 P,E,F 三点共线时,PE+PF 最小. 此时点 P,E 的横坐标都为-4. 将 x=-4 代入 y=

1 2 x ? 8 ,得 y=6. 8

∴P(-4,6) ,此时△PDE 的周长最小,且△PDE 的面积为 12,点 P 恰为“好点” , ∴△PDE 的周长最小时“好点”的坐标为(-4,6) .?????????11 分 【提示】△PDE 的面积 S= ?

1 2 1 x ? 3x ? 4 ? ? ( x ? 6) 2 ? 13 .由-8≤x≤0,知 4≤S≤13, 4 4

所以 S 的整数值有 10 个,由函数图象知,当 S=12 时,对应的“好点”有 2 个.所以“好点”共有 11 个.


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