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(3)导数及其应用(二)


凡诺学堂?专业教辅?新课标高考数学专版?合订本?数学

凡诺学堂数学教研组编写

第三节

导数的应用(二)

凡诺学堂专题训练一

利用导数研究恒成立问题及参数求解

典题导入 [例 1] 已知函数 f(x)=x2ln x-a(x2-1),a∈R. (1)当 a=-1 时,求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若当 x≥1 时,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围.

由题悟法 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面: (1)已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围:一般先分离参数,再转化为求函数在给定区间上的最 值问题求解. (2)已知函数的单调性求参数的取值范围:转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立的问题. (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围:利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象,数形结合求解. 以题试法 1 1.设函数 f(x)= x2+ex-xex. 2 (1)求 f(x)的单调区间;(2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

凡诺学堂专题训练二

利用导数证明不等式问题

典题导入 ln x [例 2] 已知 f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],g(x)= ,其中 e 是自然常数,a∈R. x (1)讨论 a=1 时,函数 f(x)的单调性和极值; 1 (2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+ . 2

在本例条件下,是否存在正实数 a,使 f(x)的最小值是 3?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.
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由题悟法 利用导数方法证明不等式 f(x)>g(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数的 单调性,确定函数的最值证明 h(x)>0. 以题试法 2.已知 f(x)=xln x. f?x?+k (1)求 g(x)= (k∈R)的单调区间; x (2)证明:当 x≥1 时,2x-e≤f(x)恒成立

凡诺学堂专题训练三

利用导数研究生活中的优化问题

典题导入 [例 3] 某物流公司购买了一块长 AM=30 米, 宽 AN=20 米的矩形地块 AMPN, 规划建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点 C 在地块对角线 MN 上,顶点 B、D 分别在边 AM、AN 上,假设 AB 的长度为 x 米. (1)要使仓库的占地面积不少于 144 平方米,求 x 的取值范围; (2)要规划建设的仓库是高度与 AB 的长度相同的长方体建筑,问 AB 的长度为多少时仓库的库容量最大.(墙地 及楼板所占空间忽略不计)

由题悟法 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系,建立数学模型,写出函数关系式 y=f(x); (2)求出函数的导函数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. 以题试法 3.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门的关注,据有关统计数据显示,从上午 6 点到中午 12 点,
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车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间关系可近似地用如下函数给出: - t - t +36t- ,6≤t<9, ? 4 ? 8 4 y=?1 59 t+ ,9≤t≤10, 8 4 ? ?-3t +66t-345,10<t≤12,
2

13 32

629

求从上午 6 点到中午 12 点,通过该路段用时最多的时刻.

1.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a,b,若 a<b,则必有( A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤f(b) B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤f(a)

)

2.(2012· 山西适应性训练)若商品的年利润 y(万元)与年产量 x(百万件)的函数关系式 y=-x3+27x+123(x>0), 则获得最大利润时的年产量为( A.1 百万件 C.3 百万件 ) B.2 百万件 D.4 百万件

3.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)=0,那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集 是________. 4.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是________. 5.已知函数 f(x)=x2+ln x. (1)求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 1 (2)求证:当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)的图象在 g(x)= x3+ x2 的下方. 3 2

1 - 6.(2012· 乌鲁木齐诊断性测验)已知函数(理)f(x)=ex m-x,(文)f(x)= mex-x,其中 m 为常数.(1)若对任意 x∈R 有 e
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凡诺学堂?专业教辅?新课标高考数学专版?合订本?数学 f(x)≥0 成立,求 m 的取值范围; (2)当 m>1 时,判断 f(x)在[0,2m]上零点的个数,并说明理由.

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21? 585 7. (2013· 泰安模拟)某种产品每件成本为 6 元, 每件售价为 x 元(6<x<11), 年销售为 u 万件, 若已知 -u 与? ?x- 4 ? 8
2

成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件. (1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.

1.(2012· 潍坊模拟)已知函数 f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,t](t>-2). (1)当 t<1 时,求函数 y=f(x)的单调区间; (2)设 f(-2)=m,f(t)=n,求证:m<n.

2. (2012· 资阳模拟)已知函数 f(x)=x3-3ax+b(a,b∈R)在 x=2 处的切线方程为 y=9x-14. (1)求 f(x)的单调区间; (2)令 g(x)=-x2+2x+k,若对任意 x1∈[0,2],均存在 x2∈[0,2],使得 f(x1)<g(x2),求实数 k 的取值范围.

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