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4.1.2 圆的一般方程


4.1.2 圆的一般方程

将圆的标准方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
展开,得

x ? y ? 2ax ? 2by ? a ? b ? r ? 0
2 2 2 2 2

可见,任何一个圆的方程都可以写成下面的形式:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 反过来,x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 所表示的曲线是圆吗? 将方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 左边配方,得
D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? ( x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4
2 2

(1) 当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,
2 2 D ? E ? 4F 为半径的圆 ; D E 方程表示以 (? , ? ) 为圆心、 2 2 2

(2) 当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,

方程只有实数解x ? ? D 、y ? ? E , 方程表示一个点(? D , ? E); 2 2 2 2

(3) 当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,
因而它不表示任何图形 . 方程没有实数解,

综上: 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时, 方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示一个圆,
此方程叫做圆的一般方程 .

二元二次方程 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
表示圆 ? (1) x2 和 y2 的系数相同且不为 0 ,即A=C≠0;

(2)没有 xy 这样的二次项,即B=0 .
(3) D2 + E2 - 4AF > 0?
D E F x ? y ? x? y? ?0 A A A
2 2

D 2 E 2 F (3)( ) ? ( ) ? 4( ) ? 0 A A A

例1.

解: (1) 点(0,0) (2)以(1,-2)为圆心,11为半径的圆
2 2 a ? b ? 0 时,以(-a,0)为圆心, a 2 (3)当

? b2 为半径的圆

当 a ? 0且b=0时,表示(0,0)点

练2.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的 y 长度(精确到0.01m)
解:建系如图, 由题意可设圆的方程: x2 + (y-b)2 = r2 因P(0,4)、B(10,0)都在圆上, 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2 解得:b= -10.5 , r2=14.52 . x

所以圆的方程是: x2 +(y+10.5)2 = 14.52 把点P2的横坐标 x = -2 代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

练2.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)
y 思考

利用圆的几 何性质,你能否 用直线方程求出 圆心坐标?进而 写出圆的方程?

x

C1

说明:一般地,求圆的方程有两种方法:

(1) 待定系数法:即设出圆的标准方程或一般方程, 利用条件求系数 . (2) 几何分析法:即利用平面几何中的有关性质求解 .

圆的参数方程
( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

3. 圆心为(a,b),半径为r 的圆的参数方程为:

? x ? a ? r cos? (? 为参数) ? ? y ? b ? r sin?
方程特征:直接体现了圆上点的坐标x、y的间接关系.

4. 求圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切 于点P(3,-2)的圆的方程. 解1:设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2, 根据已知条件得

y0 ? ? 4 x 0 (3 ? x0 )2 ? ( ?2 ? y0 )2 ? r 2 | x 0 ? y0 ? 1 | 2 ?r

解得 x0 ? 1, y0 ? ?4, r ? 2 2.

故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

4. 求圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切 于点P(3,-2)的圆的方程. 4 x0 ? 2 ?1, 依题意得 解2: 如图,设圆心(x0,-4x0), 3 ? x0 ∴ x0=1,即圆心为(1,-4),

半径 r ? (3 ? 1)2 ? ( ?2 ? 4)2 ? 2 2 , 故圆的方程为 (x-1)2+(y+4)2=8.

C

.

练习2. 解 1: 设 M(x,y) ,Q(x0,y0) ,
y Q

则由线段中点坐标公式得 x x0 ? 10 ? O P x ? ? x ? 2 x ? 10 ? 0 ? 2 即? ? ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? 0 (相关点法) ? ? 2 2 2 ? x0 ? y0 ? 16 ∵点 Q 在圆 x2+y2=16 上 ,
2 2 即 (2 x ? 10) ? (2 y) ? 16 2 2 ( x ? 5) ? y ? 4 所求点M的轨迹方程. 即

.

M

练习2. 解 2: Q(x0,y0) , 设 M(x,y) , ∵点 Q 在圆 上, ? x0 ? 4 cos ? ∴ ? (? 为参数) ? y0 ? 4 sin ? 即 Q(4cosα,4sinα),又 P(10,0), x2+y2=16
y

.

Q

.

M

O

.

x

P

(参数法)

由中点坐标公式得 点M的轨迹参数方程为:

? x ? 5 ? 2cos ? 2 2 ( x ? 5) ? y ?4. ( ? 为参数) 消参数得 ? ? y ? 2sin ? 即为所求点M的轨迹方程.

练习2.

解 3: 设 M(x,y), 取OP的中点N,
则 N(5, 0), 连接MN , ∵ M、N分别是PQ、PO的中点 ,
1 ∴ MN // QO 且 MN ? QO ? 2 , 2
O

y

.

Q M N

.

.

x

P

∴ 动点M的轨迹是以N(5, 0)为圆心, NM=2为半径的圆, 其轨迹方程为 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 . (几何法)

练习3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x 轴和y轴上滑动,求线段AB的中点轨迹.

则由题意点M运动时, 解: 如图,设线段AB的中点为M, 它到原点O的距离为定长, 即Rt△AOB的斜边上的中线长a. ∴线段AB的中点M的轨迹是以O为圆心, a为半径长的圆,
其轨迹方程为 x2+y2=a2 .
y B O

.

M

A

x

练习4. △ABC的顶点B、C的坐标分别是(0 ,0)和(4 , 0), AB边上中线的长为3,求顶点A的轨迹方程. 解: 设点A(x , y) , 线段AB中点为M , x y 则 M ( , ) , | CM | ? 3 , 2 2
y

?

x y 2 ( ? 4) ? ( ? 0)2 ? 3 , 2 2

M
BO

.
C

A

x

2 2 ( x ? 8 ) ? y ? 36 ( y ? 0) 即

为所求顶点A的轨迹的方程 .

变式:求与两个定点 O(0,0)、A(3,0) 距离的比为? (? ? 0)

的动点的轨迹,并画出曲线. 解: 设点 M (x,y) 是曲线上的任意一点, 2 2 x ? y | OM | M . ? ? 即 ? ? 则 | AM | ( x ? 3) 2 ? y 2 即 (?2 ? 1) x 2 ? (?2 ? 1) y 2 ? 6?2 x ? 9?2 ? 0
2 2

y

o

A

x

6? 9? x ?y ? 2 x? 2 ?0 ②当 ? ? 0且? ? 1时, ? ?1 ? ?1 2 2 3? 2 9? 2 即 (x ? 2 ) ?y ? 2 ? ?1 (? ? 1)2 3? 3? 2 ,0) 圆心, 为半径的圆. ∴动点M的轨迹是以 ( 2 以 2 | ? ?1| ? ?1
2 2

3 ,∴ ①当 ? ? 1时,x ?? 6x ? 9 动点 ? 0 M的轨迹是线段OA的中垂线. 2

思考:
? ?

,则动点P的轨迹是什么?

思考:
? ?

,则动点P的轨迹是什么?

则点P的轨迹是线段AB的中垂线. (1)若 λ=1, 则点P的轨迹是圆. (2)若 λ>0 且 λ≠1 ,

则点P的轨迹不存在. (3)若 λ<0,

巩固1. 已知定点 A(3,0),P是圆上 x2 +y2 =1 上的动点, ∠AOP 的平分线交 PA 于N ,求点N的轨迹. 解 1: 则由角平分线性质得 设 N(x,y) , P(x0,y0) ,
| AN | | OA | ? 3 ? AN ? 3 NP ? | NP | | OP |
y P

.

3(x x 30y? 3 y) x ?3 x ,,y y) 即 ( x ? 3, y ) ? (3 00 ? 0 ?
?x ? 4 x ?1 x ? 3 ? 3 x ? 3 ? 0 0 ? 3 ?? ?? ? y ? 3 y0 ? 3 y ? y0 ? 4 y 3 ?
2 2

N .

M

x A

O

3 )2 ? y 2 ? 9 ? x0 ? y0 ? 1 ? ( 4 x ? 1)2 ? ( 4 y)2 ? 1 即 ( x ? 4 16
3 3 ∴ 点N轨迹是以( ,0)为圆心、 4 4

3

3

为半径的圆 .

巩固1. 已知定点 A(3,0),P是圆上 x2 +y2 =1 上的动点, ∠AOP 的平分线交 PA 于N ,求点N的轨迹. 解 2: 设 N(x,y) , P (cos?, sin? ), y P
则由角平分线性质得
| AN | | OA | ?3 ? | NP | | OP |
O

.

N .

M

x

A
3 3 ? cos? 4 4 (? 为参数) 3 sin? 4

0), ? AN ? 3NP 又 A( 3 ,

? x? ? ? ( x ? 3, y ) ? 3(cos? ? x, sin? ? y ) ? ? ? ?y ? ? ? 2 3 2 9

即 (x ? ) ? y ? 4 16



3 3 点N轨迹是以( ,0)为圆心、 4 4

为半径的圆 .

巩固2.已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆 (x+1)2 +y2=4上运动,问线段AB的中点M的轨迹是什么? 解 1: 设 M(x,y) ,A(x0,y0) , y 则由线段中点坐标公式得 M .B . x0 ? 4 ? . x ? A ? ? ? x0 ? 2 x ? 4 2 O ? 即 ? x y ? 3 ?y ? 0 ? y0 ? 2 y ? 3 ? 2 ? 2 2 2 2 ? ( x0 ? 1) ? y0 ? 4. ∵点 A 在圆 (x+1) +y =4上运动 , 3 22 3 2 2 2 2 xx ?? 3 )) ? (( y2? ? (2 x ? 4 ? 1) ? (2 y ? 3) ? 4 即 (2 ? y ?)3)? 1 ?. 4 2 2

3 3 ∴ 线段AB的中点M轨迹是以 ( , ) 为圆心、1为半径的圆. 2 2

巩固2.已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆 (x+1)2 +y2=4上运动,问线段AB的中点M的轨迹是什么? 解 2: 设 M(x,y) ,A(x0,y0) , ∵点 A 在圆 (x+1)2 +y2=4上 , ? x0 ? ?1 ? 2 cos? ∴ ? (? 为参数) ? y0 ? 2 sin?
y
B . . . M

A O

x

消参数得 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 2 2 3 3 ∴ 线段AB的中点M轨迹是以 ( 2 , 2 )为圆心、1为半径的圆.

? x? ? ? 由中点坐标公式得 ? 又 B(4, 3), ?y ? ? ? 3 3

? A(?1 ? 2 cos?, 2 sin? )

3 ? cos? 2 (? 为参数) 3 ? sin? 2

巩固2.已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆 (x+1)2 +y2=4上运动,问线段AB的中点M的轨迹是什么? 解 3:

3 3 ∴ 线段AB的中点M轨迹是以 ( , ) 为圆心、1为半径的圆. 2 2

小结圆的方程:
1. 圆心为(a,b),半径为r 的圆的标准方程为:

( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? r 2
方程特征:明确给出了圆的大小(半径)和圆的位置(圆心). __________ 几何特征 . 2. 圆的一般方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ) 2 2 2 2 D E D ? E ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4 方程特征:突出了圆方程形式上的特点. __________ 代数特征 . 3. 圆心为(a,b),半径为r 的圆的参数方程为:

? x ? a ? r cos? (? 为参数) ? ? y ? b ? r sin?
方程特征:直接体现了圆上点的坐标x、y的间接关系.

4.以M(x1, y1)、 N(x2, y2)为直径端点的圆的方程是: (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 5.
?

? ?

,则动点P的轨迹是

则点P的轨迹是线段AB的中垂线. (1)若 λ=1, 则点P的轨迹是圆. (2)若 λ>0 且 λ≠1 , 则点P的轨迹不存在. (3)若 λ<0,

课后作业

“启迪有方”4.1.2 圆的一般方程


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