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2011年高考考点10 数列的综合应用


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考点 10
解答题 1. (2011·湖北高考理科·T19)

数列的综合应用

已知数列 ?an? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? a (a ? 0) , an?1 ? rSn (n ? N , r ? R, r ? ?1) .
*

(1)求数列 ?an? 的通项公式. (2)若存在 k ? N ,使得 Sk ? 1 , Sk , Sk ? 2 成等差数列,试判断:对于任意的 m ?N ,且 m ? 2 , am ? 1 ,
* *

am , am ? 2 是否成等差数列,并证明你的结论.
【思路点拨】 (1)利用 an ? ?

?S1, n ? 1 , 将 an?1 ? rSn 转化为 an? 2 ? (r ? 1)an?1 , 再分 r ? 0 与 r ? 0 两 ?Sn ? Sn?1, n ? 2

种情况求解.(2) r ? 0 时易证明; r ? 0 时,由“存在 k ? N* , 使得 Sk ?1,Sk ,Sk ?2 成等差数列”可得

Sk ?1 ? Sk ?2 ? 2Sk ,据此可求出 r ,最后可证明 am?1 ? am?2 ? 2am ,即对任意的 m ? N * , 且 m ? 2 时,有
am?1 , am , am?2 成等差数列.
【精讲精析】⑴由已知 an?1 ? rSn ,可得 an?2 ? rSn?1 ,两式相减可得

an?2 ? an?1 ? r (Sn?1 ? Sn ) ? ran?1, 即 an?2 ? (r ? 1)an?1 ,又 a2 ? ra1 ? ra ,
所以 r ? 0 时,数列 ?an ? 为: a, 0,?, 0?; 当 r ? 0 且 r ? ?1 时,由已知 a ? 0 ,所以 an ? 0(n ? N * ) , 于是由 an? 2 ? (r ? 1)an?1 ,可得

an? 2 ? (r ? 1) (n ? N * ) , an?1

?a2 ,?, an ? 成等比数列,
? a, n ? 1, ? 综上,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ?r (r ? 1)n?2 a, n ? 2. ?
⑵对于任意的 m ?N ,且 m ? 2 , am ? 1 , am , am ? 2 成等差数列.证明如下 :
*

-1-

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当 r ? 0 时,由⑴知, an ? ?
* ,

?a, n ? 1, ?0, n ? 2.

∴对于任意的 m ?N ,且 m ? 2 , am ? 1 , am , am ? 2 成等差数列. 当 r ? 0 , r ? ?1 时,∵ Sk ?2 ? Sk ? ak ?1 ? ak ?2 , Sk ?1 ? Sk ? ak ?1 . 若存在 k ? N ,使得 Sk ?1,Sk ,Sk ?2 成等差数列,则 Sk ?1 ? Sk ?2 ? 2Sk ,
*

∴ 2Sk ? 2ak ?1 ? ak ?2 ? 2Sk ,即 ak ?2 ? ?2ak ?1 , 由⑴知, a2 ,?, an 的公比 r ? 1 ? ?2 ,于是对于任意的 m ?N ,且 m ? 2 ,
* ,

am?1 ? ?2am ,从而 am?2 ? 4am ,
∴ am?1 ? am?2 ? 2am ,即 am?1 , am , am? 2 成等差数列. 综上,对于任意的 m ? N * , 且 m ? 2 时,有 am?1 , am , am? 2 成等差数列. 2.(2011·湖北高考文科·T17) 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2,5,13 后成为等比数列 ? b n ? 中的 b 3 , b 4 ,

b5.
(1) 求数列 ? b n ? 的通项公式. (2) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S ,求证:数列 ? S n ?

n

? ?

5 4

? ? 是等比数列. ?

【思路点拨】(1)设等差数列的三个正数分别为 a ? d , a, a ? d , 由 已 知 条 件 可 构 造 含 有 a, d 的 方 程 组 求 解 .(2) 由 bn 先 求 出 Sn , 再 利 用 定 义 证 明 数 列 ? S n ? 【精讲精析】(1)设等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以 ?bn ? 中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故 ?bn ? 的第 3 项为 5,公比为 2.
2 2, 由 b3=b1·2 ,即 5=b1·2 解得 b1 ?

? ?

5? ? 是等比数列. 4?

5 . 4
-2-

圆学子梦想 铸金字品牌 所以 ?bn ? 是以

5 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为: 4

5 bn ? ? 2n ?1 ? 5 ? 2n ?3 . 4

5 ?1 ? 2n ? 5 5 4 ? 5 ? 2n?2 ? ,即 Sn ? ? 5 ? 2n ? 2 . (2)数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? 4 1? 2 4 5 Sn ?1 ? n ?1 5 5 4 ? 5? 2 ? 2. 所以 S1 ? ? , 5 5 ? 2n ? 2 4 2 Sn ? 4
因此数列 ?Sn ?

? ?

5 5? ? 是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 2 4?

3. (2011·全国高考理科·T20)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 (1)求 ?a n ? 的通项公式. (2)设 bn ?

1 1 ? ? 1. 1 ? a n?1 1 ? a n

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

n

【思路点拨】 解本题关键是由式子

1 1 1 进而可求出数列 ?a n ? 的 ? ? 1, 得到 { } 是等差数列, 1 ? a n?1 1 ? a n 1? a n

通项公式.(2)问先求出 {bn } 的通项公式,注意观察能采用裂项相消的方式求和. 【精讲精析】 (1) { 所以 an ?

1 1 1 } 是公差为 1 的等差数列,所以 ? ? (n ? 1) ?1 ? n. 1? a n 1? a1 1? a n

n ?1 (n ? N ? ) . n

(2) bn ?
n

1 ? an ?1 n

1? ?

n n ?1 ? 1 ? 1 , n n n ?1

Sn ? ? bk ? (
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ??? ( ? ) ? 1? ? 1. 1 2 2 3 n n ?1 n ?1

4. (2011· 上海高考理科· T22) 已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , ( n ? N *) . bn ? 2n ? 7 将集合 {x x ? an , n ? N*} ?{x x ? bn , n ? N*} 中的元素从小到大依次排列,构成数列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? (1)写出 c1 , c2 , c3 , c4 . (2)求证:在数列 {cn } 中,但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? .
-3-

圆学子梦想 铸金字品牌 (3)求数列 {cn } 的通项公式. 【思路点拨】本题考查数列有关知识,利用两个等差数列,组合成一个新的数列,进而考查新数列的性质, 以及求其通项公式,紧紧围绕新数列的构成特点是解决本题的关键. 【精讲精析】 (1)对数列 an ? 3n ? 6 ,依次是 9,12,15,18,21,? 对数列 bn ? 2n ? 7 ,依次是 9,11,13,15,17,19,21,?,所以 c1 ? 9 , c2 ? 11 , c3 ? 12 , c4 ? 13 .

(2) a2n ? 6n ? 6 表示的是从 12 开始的所有的能被 6 整除的数,当然能被 2 整除,而 bn 表示的是从 9 开 始的所有奇数,故 a2 n 均不在 bn 中;再证明: a2 n?1 项均在 bn 中, a2n?1 ? 6n ? 3 ,表示的是从 9 开始除以 6 余 3 的数, 故都是奇数, 而 bn 表示的是从 9 开始的所有奇数, 故 a2 n?1 项均在 bn 中, 这就证明了在数列 {cn } 中但不在数列 {bn } 中的 an 的项恰好是所有的偶数项 a2 n . (3)根据上面的讨论可知 6 是数列 {cn } 在自然数中的截取周期,即在从 9 开始连续的 6 个自然数中,第 一项一定是 {an } 与 {bn } 的公共项, 第二项不存在于 {cn } 中, 第三项一定是 {bn } 中的项, 第四项一定是 {an } 中的项,第五项是 {bn } 中的项,第六项不在 {cn } 中,这样的话数列 {cn } 是以 4 为截取周期的,故 {cn } 的通

?b3k ? 2 (n ? 4k ? 3) ?b (n ? 4k ? 2) ? 3k ?1 (k ? 1, 2,3,?) 项公式是 cn ? ? ?a2 k (n ? 4k ? 1) ? ?b3k (n ? 4k )
5. (2011· 上海高考文科· T23) 已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 (n ? N *) . 将集合 {x x ? an , n ? N*} ?{x x ? bn , n ? N*} 中的元素从小到大依次排列,构成数列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? (1)求三个最小的数,使它们既是数列 {an } 中的项,又是数列 {bn } 中的项. (2)数列 c1 , c2 , c3 ,?, c40 中有多少项不是数列 {bn } 中的项?请说明理由. (3)求数列 {cn } 的前 4 n 项和 S4n (n ? N *) . 【思路点拨】本题考查数列的有关知识,利用两个等差数列,组合成一个新的数列,进而考查新数列性质, 以及求其通项公式,紧紧围绕新数列的构成特点是解决本题的关键. 【精讲精析】 (1)显然 an ? 3n ? 6 表示的是从 9 开始能被 3 整除的所有的正整数,bn=2n+7 表示从 9 开始 的所有奇数,故最小的三个数为 9,15,21. (2)可知 6 是数列 {cn } 在自然数中的截取周期, 即在从 9 开始连续的 6 项自然数中, 第一项一定是 {an } 与
-4-

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{bn } 的公共项,第二项不存在于 {cn } 中,第三项一定是 {bn } 中的项,第四项一定是 {an } 中的项,第五项
是 {bn } 中的项,第六项不在 {cn } 中,这样的话数列 {cn } 是以 4 为截取周期的,故 {cn } 的通项公式是

?b3k ? 2 (n ? 4k ? 3) ?b (n ? 4k ? 2) ? 3k ?1 cn ? ? (k ? N * ) . ?a2 k (n ? 4k ? 1) ? ?b3k (n ? 4k )
∴c1,c2,c3,?,c40 中有 10 项不是数列 {bn } 中的项. (3) 因为 c4n?3 ? c4 n?2 ? c4 n?1 ? c4 n ? b3 k ?2 ? b3 k ?1 ? a2 k ? b3 k = 6k ? 3 ? 6k ? 5 ? 6k ? 6 ? 6k ? 7 ? 24k ? 21 , 故 S4 n ?

? (24k ? 21) ? 24 ?
k ?1

n

n(n ? 1) ? 21n ? 12n2 ? 33n . 2

6.(2011·四川高考文科·T20) 已知 an 是以 a 为首项, q 为公比的等比数列, Sn 为它的前 n 项和. (1)当 S1 , S3 , S4 成等差数列时,求 q 的值. (2)当 Sm , Sn , Sl 成等差数列时,求证:对任意自然数 k , am? k , an? k , al ? k 也成等差数列. 【思路点拨】 (1)直接利用 S4 ? S3 ? S3 ? S1 求公比 q . (2)当 q=1 时, am ? k , an? k , al ? k 显然成等差数列. 当 q ? 1 时, Sm ? Sl ? 2 Sn 即为

? ?

a(q m ? 1) a(q l ? 1) a(q n ? 1) ? ?2 . q ?1 q ?1 q ?1

可得 q m ? q l ? 2q n . 再证明 am? k ? al ? k ? 2an? k 成立. 【精讲精析】 (1)由已知得 an ? aqn?1 . ∴ S1 ? a, S3 ? a(1 ? q ? q2 ), S4 ? a(1 ? q ? q2 ? q3 ). 当 S1 , S3 , S4 成等差数列时, S4 ? S3 ? S3 ? S1 , 可得 aq ? aq ? aq . 化简得 q ? q ? 1 ? 0.
3 2 2

解得 q ?

1? 5 . 2

(2)若 q =1, an 的每项 an ? a ,此时 am ? k , an? k , al ? k 显然成等差数列.
-5-

? ?

圆学子梦想 铸金字品牌 若 q ? 1, 由 Sm , Sn , Sl 成等差数列可得 Sm ? Sl ? 2 Sn .

a(q m ? 1) a(q l ? 1) a(q n ? 1) 即 ? ?2 . q ?1 q ?1 q ?1
整理得 qm ? ql ? 2qn . ∴ am? k ? al ? k ? aqk ?1 (qm ? ql ) ? 2aqn? k ?1 ? 2an? k . ∴ am ? k , an? k , al ? k 成等差数列. 7.(2011·重庆高考理科·T21) 设实数数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 满足 S n?1 ? an?1 S n (n ? N * ) (1)若 a1 , S 2 ,?2a 2 成等比数列,求 S 2 和 a3 . (2)求证:对 k ? 3, 有 0 ? a k ?1 ? a k ?

4 . 3

【思路点拨】根据题目中的条件可以列出等式,求 S 2 和 a3 的值,灵活运用题目中的条件,找到 a n ?1 与 S n 的 关系是求解第二问的关键.

?S 2 2 ? ?2a1 a 2 , 2 【精讲精析】(1)由题意 ? 得 S 2 ? ?2S 2 , ?S 2 ? a 2 S 1 ? a1 a 2 ,
由 S 2 是等比中项知 S 2 ? 0 ,因此 S 2 ? ?2 由 S 2 ? a3 ? S 3 ? a3 S 2 解得

a3 ?

S2 ?2 2 ? ? . S2 ? 1 ? 2 ? 1 3

(2)由题设条件有 Sn ? a n?1 ? a n?1Sn . 故 S n ? 1, a n?1 ? 1且 a n ?1 ? 故对 k ? 3 有

Sn a n ?1 , Sn ? , Sn ? 1 a n ?1 ? 1

a k ?1 S a ?S a2 a k ?1 ? 1 a k ? k ?1 ? k ?1 k ?2 ? ? 2 k ?1 Sk ?1 ? 1 a k ?1 ? Sk ?2 ? 1 a ? a k ?1 ? 1 a k ?1 ? a k ?1 ? 1 k ?1 a k ?1 ? 1 a k ?1 ?



-6-

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因 a2 k ?1 ? a k ?1 ? 1 ? ? a k ?1 ?

? ?

1? 3 2 ? ? ? 0 且 a k?1 ? 0 ,由①得 a k ? 0,a k?1 ? 0. 2? 4

2

要证 a k ?

4 a2 4 , 由①只要证 2 k?1 ? , 3 a k?1 ? a k?1 ? 1 3

2 2 即证 3a 2 k?1 ? 4(a k ?1 ? a k?1 ? 1) ,即 (ak ?1 ? 2) ? 0 .此式明显成立.

因此 a k ?

4 (k ? 3). 3

最后证 a k ?1 ? a k .假设 a k ?1 ?

a2 k ? ak , a2 ? a k k ?1

又因 a k ? 0 ,故

ak ? 1 ,即 (ak ? 1) 2 ? 0 ,矛盾. a ? ak ?1
2 k

因此 a k ?1 ? a k (k ? 3) . 综上,对 k ? 3, 有 0 ? a k ?1 ? a k ?

4 . 3

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