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【新导学案】高中数学人教版必修四:2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》


精品 2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案 【学习目标】 1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量的积的运算律 进行有关的计算; 2.理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行; 3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变 化的辩证思想。 【重点难点】 重点:实数与向量的积的定义、运算律,向量平行的充要条件; 难点:理解实数与向量的积的定义,向量平行的充要条件。 【学法指导】 通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系,引入向量与数量之间的乘法运算,同时也为该 运算赋予其物理意义。 【知识链接】 引入:位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量,这些向量与数量的关系常 [来源:学科网] 常在物理公式中体现。如力与加速度的 关系 F = m a ,位移与速度的关系 s = v t 。这些公式都是实 数与向量间的关系。 师:我们已经学习了向量的加法,请同学们作出 a + a + a 和 (- a) + (- a) + (- a) 向量,并请 同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素有关? 生: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 师:很好!本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题, (板书课题:实数与向量的乘积) 【学习过程】 1、探索研究 1)定义:请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积?(可结合教材思考) 可根据 小学算术中 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3? 5 的解释,类比规定:实数 λ 与向量 a 的积就是 λ a ,它还 是一个向量,但要对实数 λ 与向量 a 相乘的含义作一番解释才行。 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a . 它的长度和方向规定如下: (1) (2) 2)运算律: . . ? ? ? ? ? [来源:学.科.网] 问: 求作向量 2(3a) 和 6a( a 为非零向量) 并进行比较, 向量 2(a + b) 与向量 2a + 2b 相等吗? (引 导学生从模的大小与方向两个方面进行比较) 生: 师:设 a 、 b 为任意向量, λ 、 μ 为任意实数,则有: (1) ( λ + μ)a = λa + μa ; (2) λ( μa) = ( λμa) ; (3) λ(a + b) = λa + λb . 通常将(2)称为结合律, (1) (3)称为分配律。 ? ? ? ? ? ? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 精品 小练习 1: 计算: (1) (- 3)? 4a ; ? (2) 3(a + b) - 2(a - b) - a ; ? ? ? ? ? (3) (2a + 3b - c) - (3a - 2b + c) . ? ? ? ? ? ? 3)向量平行的充要条件: 请同学们观察 a = m - n , b = - 2m + 2n ,回答 a 、 b 有何关系? 生: . ? ?? ? ? ?? ? ? ? 引导:若 a 、 b 是平行向量,能否得出 b = λ a ?为什么?可得出 a = λb 吗?为什么? 生: . ? ? ? ? ? ? 师:由此可得向量平行的充要条件:向量 b 与非零向量 a 平行的充要条件是有且仅有一个实数 λ , 使得 b = λ a


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