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山东省实验中学2016届高三第二次诊断性考试数学(文)


山东省实验中学 2013 级第二次诊断性考试

数学试题(文科)

2015.11

说明:试题分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷为第 1 页至 第 2 页, 第 II 卷为第 3 页至第 4 页, 试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规 定位置上,书写在试题上的答案无效。考试时间 120 分钟。

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题(本题包括 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个选项 符合题意) ...... 1. 设集合 A ? x x ? 2, x ? R , B ? y | y ? ? x 2 ,?1 ? x ? 2 , 则CR ? A ? B ?等于 A.R C. ?? ?,?1? ? ?2,? ?? 2. 若f ( x) ?

?

?

?

?

? 2? ? ?0,? ?? B. ?? ?,
D.○

1 , 则f ( x)的定义域为 log 1 (2 x ? 1)
2

1 (? ,0) A. 2

1 (? ,?? ) B. 2

1 (? ,0) ? (0,?? ) C. 2

1 ( ? , 2) D. 2

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,3)内是增函数的是 A. y ? 2 ? 2
x ?x

B. y ? cos x

C.

y ? log 0.5 x

D. y ? x ? x

?1

4.已知 sin ? ? cos ? ?

2 A. 3

4 ? (0 ? ? ? ), 则sin ? ? cos ?的值为 3 4 1 1 2 ? ? B. 3 C. 3 D. 3

5. “lgx ? lgy? 是“ x ? A.充分不必要 C.充要条件

y”的
B.必要不充分 D.既不充分也不必要

6.将函数 y ? sin 2x ? 3 cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 ? 个单位后,得到一个偶函数 的图象,则

?

的最小值为

? A. 12

? B. 6

? C. 4

5? D. 12

7.已知 f ? x ? ? 3sin x ? ? x ,命题 p : ?x ? ? 0,

? ?? ? , f ? x ? ? 0 ,则 ? 2?

A.p 是真命题: ?p : ?x ? ? 0,

? ?? ? , f ? x? ? 0 ? 2? ? ?? ? , f ? x0 ? ? 0 ? 2?

B.p 是真命题: ?p : ?x0 ? ? 0,

C.p 是假命题: ?p : ?x ? ? 0,

? ?? ? , f ? x? ? 0 ? 2? ? ?? ? , f ? x0 ? ? 0 ? 2?
2 2

D.p 是假命题: ?p : ?x0 ? ? 0,

8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? 2 x , 若 f (2 ? a ) ? f (a) , 则实数 a 的取值范围是 A. (??,?1) ? (2,??)
x

B.(-2,1)

C.(-1,2)

D. (??,?2) ? (1,??)

?1? 9.函数 f ? x ? ? ? ? ? x 的零点所在的区间为 ? 3?
A. ? 0, ?

? ?

1? 3?

B. ? ,

?1 1? ? ?3 2?

C. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

D. ?1, 2 ?
2

10.已知 y=f(x)是奇函数,且满足 f(x+2)+3f(-x)=0,当 x ? [0,2]时,f(x)=x -2x,则当 x ? [-4,-2]时,f(x)的最小值为

A.-1

1 B. 3 ?

1 C. 9 ?

1 D. 9

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知扇形的周长是 8,圆心角为 2,则扇形的弧长为__________. 4 3 2 x 12.若曲线 C1:y=3x -ax -6x 在 x=1 处的切线与曲线 C2:y=e 在 x=1 上的切线互相垂直, 则实数 a 的值为 。 x 13.若函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在[-2, 1]的最大值为 4, 最小值为 m, 则实数 m 的值为 。 14. 函 数

f? ? x? s Ai?? n

?x ? ??

图 像 如 图 所 示 , 则 ?A 0 ? ,? ? 的 0

f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? ?+f ? 2015? = _________

15. 已知偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 1? ?

1 若在区 ,且当 x ? ? ?1, 0?时, f ? x? ? x2, f ? x?

间 ??13 函数 g ? x ? ? f ? x ? ? loga ? x ? 2? 有 4 个零点, 则实数 a 的取值范围_________. , ? 内, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 cos x

(I)求函数 f ? x ? 的定义域 (II)若 f ? ? ?

? ?

?? 3 2

,求 cos ? 的值 ?? 4? 5

(III)在(II)条件下,若 ? 是第四象限角,求 cos ?? ? 2? ? ? cos ? 2? ?

? ?

??

? 的值 2?

17.(本小题满分 12 分)

f ( x) ?
已知函数

3 ?x 1 sin ?x ? sin 2 ? (? ? 0) 2 2 2 的最小正周期为 ? 。

(I)求 ? 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间;

x ? [0, ] 2 时,求函数 f ( x) 的取值范围。 (II)当
18.(本小题满分 12 分)

?

已知命题 p:方程 2 x ? ax ? a ? 0 在[-1,1]上有解,命题 q:只有一个实数 x0 满足不
2 2

等式

x0 ? 2ax0 ? 2a ? 0

2

,若命题“ p ? q ”是假命题,求实数 a 的取值范围。

19.(本小题满分 12 分)

已知f ( x) ? x1nx, g ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 2 。
(I)求函数 f(x)的单调区间; (II)对一切的 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围。 20.(本小题满分 13 分) x 已知函数 f(x)=e -ax=1(a>0,e 为自然对数的底数)。 (I)求函数 f(x)的最小值; (II)若 f(x)≥0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值。 21.(本小题满分 14 分)

?

f ( x) ? a1nx ?
已知函数

a ?1 2 x ?1 2 。

1 1 当a ? ? 时, 求f ( x)在区间[ , e]上的最值 ; 2 e (I)
(II)讨论函数 f(x)的单调性; (III)当-1<a<0 时,有 f ? x ? ? 1 ?

a ln ? ?a ? 恒成立,求 a 的取值范围。 2

山东省实验中学 2013 级第二次诊断性考试

数学答案(文科) 2015.11
1-10. BCABA 11. 4 12. ABDBC

1 3e

13. 1/2 或 1/16 得 x?

14. 0

15.

[5, ??)

? ? k? , k ? Z 2 ? 所以函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? ? k? , k ? Z }
16.解: (1)由 cos x ? 0

2

。 。 。 。 。 。2 分
2

(2) f ( x) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2sin x cos x ? 2cos x ? 1 ? 1 = 2 cos x 2cos x

? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?
因为 f (? ?

?

) 4 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分
。 。 。 。 。 。8 分

?
4

)?

? 3 3 2 ,所以 cos ? ? sin(? ? ) ? 2 5 5
4 5
。 。 。 。 。 。9 分

(3)? ?是第四象限角,? sin ? ? ?

7 24 , sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ? 。 。 。 。10 分 25 25 ? 7 24 17 ?- 。 。 。 。 。 。12 分 ? cos(?-2 ?)+cos(2 ?- )= - cos2 ? ? sin2? ? 2 25 25 25 ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ?
17. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 4分 因 为

? 3 1 ? cos ? x 1 3 1 sin ? x ? ? ? sin ? x ? cos ? x ? sin(? x ? ) ? 6 2 2 2 2 2

f ( x)













?

,





??2

???????????????6 分

所以 f ( x) ? sin(2 x ? 由 2k ? ?

? ). 6

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? , k ? Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 3 6 2 6 2 ? ? 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ k ? ? , k ? ? ], k ? Z 3 6
分 (Ⅱ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? 所以 ? 12 分

????????8

? 2

? ? 7? ?[ , ] , 6 6 6
?

1 ? ? 1 ? sin(2x ? ) ? 1 所以函数 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围是 [ ? ,1 ] 2 2 2 6

18.

∴当命题 p 为真命题时 分

a ? 1或 ?a ? 1? a ? 2 . 2

???????????????4

2 又“只有一个实数 x0 满足 x0 即抛物线 y ? x2 ? 2ax ? 2a 与 x 轴只有一 ? 2ax0 ? 2a ? 0 ”,
2 个交点,∴ ? ? 4a ? 8a ? 0 ,∴ a ? 0 或 a ? 2 .

∴当命题 q 为真命题时,a ? 0 或 a ? 2 . 分

???????????????8

∴命题“p∨q”为真命题时, a ? 2 .∵命题“p∨q”为假命题,∴ a ? 2 或 a ? ?2 . 即 a 的取值范围为 (??, ?2) ? (2, ??) . 分 ???????????????12

1 ? 1? ,? f ( x)单调递减区间是 ? 0, ?; e ? e? 1 ?1 ? ?????????4 分 令f ' ?x ? ? 0, 解得x ? ,? f ( x)单调递增区间是 ? ,?? ?; e ?e ? 2 2 (Ⅱ)由题意: 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 ? 2 即 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 3 1 ? x ? ?0,??? 可得 a ? ln x ? x ? ?????????6 分 2 2x 3x 1 设 h?x ? ? ln x ? , ? 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 ' ?? 则 h ?x ? ? ? ? ?????????8 分 2 x 2 2x 2x 2 1 ' 令 h ?x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? (舍) 3 ' ' 当 0 ? x ? 1 时, h ?x ? ? 0 ;当 x ? 1时, h ?x ? ? 0 ?????????10 分
19. (Ⅰ) f ' ( x) ? ln x ? 1, 令f ' ?x ? ? 0, 解得0 ? x ?

? a 的取值范围是 ?? 2,??? .
x

? 当 x ? 1时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ? max =-2

? a ? ?2 .
?????????12 分

? 20.(1)由题意 a , ? 0 ,f () x ? e ? a
x

? 由f 得 x?lna. () x? e?? a0
当x 时, f ?(x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? ) )?0. ∴ f ( x) 在 ( ? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增. 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值,

( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 . 其最小值为 f
l n a

(6 分)

)m ≥ 0. (2) f (x) ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in

由(1) ,设 g ,所以 g(a) ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ≥ 0.

? 由g 得 a ? 1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0
∴ g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴ g ( a ) 在 a ? 1 处取得极大值 g( 1 ) ?0. 因此 g(a) ≥ 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1 . 21.解: (Ⅰ)当 a ? ?
2

(13 分)

1 1 x ?1 x x2 ?1 ? 1 ,∴ f ?( x) ? ? ? 时, f ( x) ? ? ln x ? . 2 2 4 2x 2 2x ∵ f ( x) 的定义域为 (0,??) ,∴由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . ---------------------------2 分 1 1 ∴ f ( x) 在区间 [ , e ] 上的最值只可能在 f (1), f ( ), f (e) 取到, e e
2 5 1 3 1 1 e2 , f ( x) max ? f (e) ? 1 ? e , f ( x) min ? f (1) ? 5 .--4 , f ( ) ? ? 2 , f (e) ? ? 4 e 2 4e 2 4 2 4 4

而 f (1) ? 分

(Ⅱ) f ?( x) ?

(a ? 1) x 2 ? a ,x ? (0, ??) . x ①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递减;-------------5 分 ②当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递增; ----------------6 分
2 ③当 ? 1 ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

?a ?a ?a 或x? ? (舍去) ,? x ? a ?1 a ?1 a ?1 ?a ?a ∴ f ( x) 在 ( ) 上单调递减; --------------------8 分 ,??) 单调递增,在 (0, a ?1 a ?1 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 单调递增;
当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (

当 a ? ?1 时, f ( x) 在 (0,??) 单调递减;

?a ?a ) 上单调递减. ,??) 单调递增,在 (0, a ?1 a ?1
-----------------------10 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 ? 1 ? a ? 0 时, f min ( x) ? f ( 即原不等式等价于 f (

?a ) a ?1

?a a ---------------------------12 分 ) ? 1 ? ln(?a) a ?1 2 ?a a ? 1 ?a a 即 a ln ? ? ? 1 ? 1 ? ln(?a) 整理得 ln(a ? 1) ? ?1 a ?1 2 a ?1 2 1 ?1 ? ∴ a ? ? 1 , ------13 分 又∵ ? 1 ? a ? 0 ,所以 a 的取值范围为 ? ? 1, 0 ? .-----14 分 e ?e ?


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