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湖南省株洲市第二中学2016届高三数学上学期第二次月考试题 理


株洲市二中 2015 年下学期高三年级第二次月考试卷 数学(理科)试题
时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题区域中。 ) 2 1.已知集合 A={1,2,m },B ={1,m}.若B ? A,则m =( ) A.0 B.2 C.0 或2 D.1 或2 2 2.“? x∈R,x + ax +1≥0成立”是“ |a |≤2”的( ) A.充分必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在等比数列 {a n } 中, a3 ? a4 ? 4 , a2 ? 2 ,则公比 q 等于( ) A. -2 B.1 或-2 C.1 D.1 或 2 4.将函数 y ? cos( x ?

1 2

?
6

) 图象向左平移 1 x 4

? 个长度单位,再把所得图象上各点的横坐标缩 3
) D. y ? cos( x ? C. y ? cos x ) D. 180 ) ) D.16 D.( ,0)

短到原来的一半(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是(

6 1 6 5.二项式 (2 x ? 2 ) 的展开式中,常数项的值是( x
A. 240 B. 60 C. 192 2 6.抛物线 y=4ax (a≠0)的焦点坐标是( ) A.(0,a) B.(a,0)

A. y ? cos( x +

?

)

B. y ? cos

1 4

?
3

)

C.(0,

7.当 n=5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是( A.7 B.10 C. 11

3

3
正视图

1

3
侧视图

俯视图

8.上图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是(

) )

A.4 B.5 D. 3 3 C. 3 2 9. 从分别写有A,B,C,D,E的五张卡片中任取两张, 这两张的字母顺序恰好相邻的概率是 (

2 A. 5
10. 设

1 B. 5
均为实数, 且

3 C. 10

7 D. 10

1

则(



11.在 ?ABC 中,若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,且 OA ? OB ? OC ? 2 ,则 ?ABC 的周长为( A. 3 ) B. 2 3 C. 3 3 D. 6 3

??? ? ??? ?

??? ? ????

???? ??? ?

??? ?

??? ?

????

12.已知 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,给出下列五个命题: ① d ? 0 ;② S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④数列 ?S n ? 中的最大项为 S11 ;⑤ a6 ? a7 其中正确命题的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.1 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13.i 为虚数单位,计算 = .

14.已知平面向量a , b满足a = (1, ? 1), (a + b) ⊥ (a ? b),那么|b|=

.

? y ? 4 ? 0, ? 15.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是__ __. ? x ? y ? 0, ? 16. ?ABC 中,角 A、B、 C 所对的边分别为 a、b、 c ,下列命题正确的是________. 1 ①若 ?ABC 最小内角为 ? ,则 cos ? ? ; ②若 A sin B ? B sin A ,则 B ? A ; 2 ③存在某钝角 ?ABC ,有 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ; ⑤若 a ? tb?0 ? t ? 1? ,则 A ? tB . ? ④若 2a BC ? bCA ? c AB ? 0 ,则 ?ABC 的最小角小于 ; 6
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本题满分12 分)数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 . (I)设 bn ? an?1 ? an ,证明 {bn } 是等差数列; (II)求 {an } 的通项公式.

2

18. (本题满分12 分)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到 不同程度的污损,其中,频率分布直方图的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80), [80,90),[90,100),据此解答如下问题.

(1)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数 在[90,100]的份数为 X ,求 X 的分布列和数学望期.

19. (本题满分 12 分)如图,多面体 ABCDEF 中,平面 ADEF⊥平面 ABCD,正方形 ADEF 的边 长为 2,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 BDE; (Ⅱ)试在平面 CDE 上确定点 P,使点 P 到直线 DC、DE 的距离相等,且 AP 与平面 BEF 所成的 角等于 30°. E F D A B

C

3 x2 y 2 ,右顶点 A 是 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 2 抛物线 y ? 8 x 的焦点.直线 l : y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; ???? ? ??? ? ???? (Ⅱ)如果 AM ? AP ? AQ ,点 M 关于直线 l 的对称点 N 在 y 轴上,求 k 的值.
20. (本题满分12 分)已知椭圆 C :

3

21. (本题满分12 分) 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? x) ln(kx) 的极值点,e 自然对数底数. (I)求 k 值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)是否存在 m ? (1, ??) ,使得当 a ? m 时,不等式 (a ? x) ln(a ? x) ? aex ln a 对任意 正实数 x 都成立?请说明理由.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 A,B,C,D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线,D 为 切点,AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点. (I)求证:BD 平分∠ABC; (II)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长.

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 ? cos(? ?
2

?
4

)?6 ?0.

(I)求 C 的参数方程; (II)若点 P( x, y) 在曲线 C 上,求 x ? y 的最大值和最小值.

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | ax ? 1| ? | ax ? a |? 1(a ? 0) . (I)当 a ? 1 时,求此不等式的解集;
4

(II)若此不等式的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

5

株洲市二中 2016 届高三第二次月考 数 学 (理)答 卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题次 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 座位号

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ; 14. ; 15. ; 16. 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(12 分)

6

18.(12 分) F

E

D A B

C

19.(12 分)

7

20.(12 分)

21.(12 分)

8

选做题(10 分)

9

株洲市二中 2015 年下学期高三年级第二次月考试卷 数学(理科)试题 时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题区域中。 ) 2 1.已知集合 A={1,2,m },B ={1,m}.若B ? A,则m = A.0 B.2 C.0 或2 D.1 或2 答案:C 2 2.“? x∈R,x + ax +1≥0成立”是“ |a |≤2”的 A.充分必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 3.在等比数列 {a n } 中, a3 ? a4 ? 4 , a2 ? 2 ,则公比 q 等于 (A) -2 答案:B 4.将函数 y ? cos( x ? (B) 1 或-2 (C) 1 (D)1 或 2

1 2

?
6

) 图象向左平移

? 个长度单位,再把所得图象上各点的横坐标缩 3
1 x 4 1 ? (D) y ? cos( x ? ) 4 3
(B) y ? cos

短到原来的一半(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是 (A) y ? cos( x +

?
6

)

y ? cos x
答案:C 5.二项式 (2 x ?

1 6 ) 的展开式中,常数项的值是( x2



A. 240 B. 60 C. 192 D. 180 答案:A 2 6.抛物线 y=4ax (a≠0)的焦点坐标是( ) A. (0,a) B. (a,0) C. (0, ) D. ( ,0)

答案:C 7.当 n=5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是 (A) 7 (B)10 (C) 11 (D) 16 答案:C

3

3
正视图

1

3
侧视图

俯视图

8.上图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是 (A) 4 答案:D (B) 5 (C) 3 2 (D) 3 3

10

9. 从分别写有A,B,C,D,E的五张卡片中任取两张, 这两张的字母顺序恰好相邻的概率是 ( ) A.

2 5

B.

1 5

C.

3 7 D. 10 10
均为实数, 且

答案:A 10、 设 则 答案:A 11、在 ?ABC 中,若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,且 OA ? OB ? OC ? 2 ,则 ?ABC 的周长为( A. 3 答案:D ) B. 2 3 C. 3 3 D. 6 3

??? ? ??? ?

??? ? ????

???? ??? ?

??? ?

??? ?

????

12、已知 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,给出下列五个命题: ① d ? 0 ;② S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④数列 ?S n ? 中的最大项为 S11 ;⑤ a6 ? a7 。 其中正确命题的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.1 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13.i 为虚数单位,计算 答案: 14.已知平面向量a , b满足a = (1, ? 1), (a + b) ⊥ (a ? b),那么|b|= 答案: . = .

? y ? 4 ? 0, ? 15.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是____. ? x ? y ? 0, ? 16. ?ABC 中,角 A、B、 C 所对的边分别为 a、b、 c ,下列命题正确的是________. 1 ①若 ?ABC 最小内角为 ? ,则 cos ? ? ; 2 ②若 A sin B ? B sin A ,则 B ? A ; ③存在某钝角 ?ABC ,有 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ; ? ④若 2a BC ? bCA ? c AB ? 0 ,则 ?ABC 的最小角小于 ; 6 A ? tB ⑤若 a ? tb?0 ? t ? 1? ,则 .
【答案】①④⑤ 【解析】对①,因为 ?ABC 最小内角为 ? ,所以 0 ? ?

?

?
3

, cos ?

?

1 ,故正确;对②, 2

11

sin x x cos x ? sin x ? , 求导得,F '( x) ? , 当 x?( 0 , ) 时,tan x ? x , 2 x x 2 sin x x cos x ? sin x x ? si ? xn , 所 0 以 F '( x) ? 即 ? x , 则 xc o s ?0 , 即 cos x x2 six n ? sin B sin A 在 x ? (0, ) 上 单 减 , 由 ② A sin B ? B sin A 得 ,即 F ( x) ? ? x 2 B A F ( B) ? F ( A) , 所 以 B ? A , 故 ② 不 正 确 ; 对 ③ , 因 为 t aA n ? B t ? a n C ?t a n A B t a nC ? t ABC a n中,不妨设 t a n A 为钝角,有 ,则在钝角 tan A ? tan B ? tan C ? tan A tanB tanC ? 0,③ tan A ? 0, tan B ? 0, tan C ? 0 ,故
构造函数 F ( x) ? 不正确;对④,由

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 2aBC ? bCA ? cAB ? 2aBC ? bCA ? c( AC ? CB) ? (2a ? c)BC ? (b ? c)CA ? 0 ???? ??? ? ???? ??? ? , 即 ( 2a ? c ) BC? ( c? b) CA , 而 BC, CA不 共 线 , 则 2a ? c ? 0, b ? c ? 0 , 解 得 c ? 2a, b ? 2a , 则 a 是 最 小 的 边 , 故 A 是 最 小 的 角 , 根 据 余 弦 定 理 ? b2 ? c 2 ? a 2 4a 2 ? 4a 2 ? a 2 7 3 ,知 A ? ,故④正确;对⑤,由 cos A ? ? ? ? 6 2bc 2 ? 2a ? 2a 8 2 sin B sin A A sin A a ? tb(0 ? t ? 1) 得 a ? tb ? b ,所以 A ? B ,由②知, ,即 ? , ? B A B sin B A sin A 又根据正弦定理知 sin A ? t sin B ,即 ? t ,所以 ? t ,即 A ? tB .故①④⑤正确. B sin B
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本题满分12 分) 数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 . (I)设 bn ? an?1 ? an ,证明 {bn } 是等差数列; (II)求 {an } 的通项公式. 解: (I)由 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 得

bn?1 ? bn ? an?2 ? 2an?1 ? an ? 2an?1 ? an ? 2 ? 2an?1 ? an ? 2 , ∴ {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列; (II)由(I)得 bn ? 2n ? 1,于是 an?1 ? an ? 2n ?1 , 当 n ? 2 时, an ? [(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 )] ? a1 ? [(1 ? 3 ? ? ? (2n ? 3)] ? 1 ? (n ?1)2 ? 1 而 a1 ? 1 ,∴ {an } 的通项公式 an ? (n ?1)2 ? 1 .
18. (本题满分12 分) 如图所示, 某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损, 其中, 频率分布直方图的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100), 据此解答如下问题.

12

(1)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数 在[90,100]的份数为 X ,求 X 的分布列和数学望期.

19. (本小题共 12 分) 如图,多面体 ABCDEF 中,平面 ADEF⊥平面 ABCD,正方形 ADEF 的边长为 2,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 BDE; E (Ⅱ)试在平面 CDE 上确定点 P,使点 P 到 直线 DC、DE 的距离相等,且 AP 与平面 BEF 所成的角等 F 于 30°. (Ⅰ)证明:因为平面 ABEF ? 平面 ABCD,ED ? AB. 所以 ED ? 平面 ABCD D C 又因为 BC ? 平面 ABCD,所以 ED ? BC. A B
13

在直角梯形 ABCD 中,由已知可得 BC2=8,BD2=8,CD2=16,所以,CD 2=BC2+BD2 ,所以,BD ? BC 又因为 ED ? BD=D,所以 BC ? 平面 BDE. (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系 D ? xyz 则 D ? 0,0,0? A? 2,0,0? , E ?0,0,2? , B ? 2,2,0? , F ? 2,0,2?

??? ? ??? ? EF ? ? 2,0,0? , EB ? ? 2,2, ?2 ?

设 P ? 0, y, z ? ,则 y ? z

z E

F ? 令 n ? ? x?, y?, z?? 是平面 BEF 的一个法向量, ? ??? ? D ?n ? EF ? 0 ? 则 ? ? ??? ? ?n ? Eb ? 0 x A ? x? ? 0 ? ? 2 x? ? 0 ? 所以 ? ,令 y? ? 1 ,得 ? y ? ? 1 所以 n ? ? 0,1,1? ? 2 x? ? 2 y ? ? 2 z ? ? 0 ? z? ? 1 ? 因为 AP 与平面 BEF 所成的角等于 30 ,
?

C y B

? ? ? 所以 AP 与 n ? (0,1,1) 所成的角为 60 或 120 ??? ? ? AP ? n ??? ? ? y?z 1 所以 cos ? AP, n ? ? ??? ? ? ? ? AP ? n 4 ? y2 ? z2 ? 2 2
所以 y 2 ? z 2 ? 4 yz ? 4 ? 0???(*) 又因为 y ? z ,所以 y ? z 或 y ? ? z 当 y ? ? z 时, (*)式无解 当 y ? z 时,解得: y ? z ? ? 所以, P(0,

6 3

6 6 6 6 , ) 或 P(0, ? ,? ). 3 3 3 3

20. (本小题满分12分)

3 x2 y 2 2 ,右顶点 A 是抛物线 y ? 8 x 的 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 焦点.直线 l : y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; ???? ? ??? ? ???? (Ⅱ)如果 AM ? AP ? AQ ,点 M 关于直线 l 的对称点 N 在 y 轴上,求 k 的值.
已知椭圆 C : 解: (Ⅰ)抛物线 y ? 8 x , 所以焦点坐标为 (2, 0) ,即 A(2, 0) ,
2

所以 a ? 2 .

c 3 ,所以 c ? 3 . ? a 2 2 2 2 所以 b ? a ? c ? 1 , x2 ? y2 ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 4 ???? ? ??? ? ???? (Ⅱ)设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,因为 AM ? AP ? AQ , A(2, 0) ,
又因为 e ?
14

所以 AP ? ( x1 ? 2, y1 ) , AQ ? ( x2 ? 2, y2 ) , 所以 AM ? AP ? AQ ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 +y2 ) , 所以 M ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? .

??? ?

????

???? ?

??? ? ????

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 2 由? 4 ,得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 (判别式 ? ? 0 ) , ? y ? k ( x ? 1) ? 8k 2 ?2 ?2k ?2? 2 得 x1 ? x2 ? 2 ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 4k ? 1 4k ? 1 4k 2 +1 ?2 ?2k 即M( 2 , 2 ). 4k ? 1 4k ? 1 y ?1 ?k 设 N (0, y3 ) , 则 MN 中点坐标为 ( 2 , 2 ? 3), 4k ? 1 4k ? 1 2 因为 M , N 关于直线 l 对称, 所以 MN 的中点在直线 l 上, ?k y ?1 所以 2 ? 3 ? k( 2 ? 1) ,解得 y3 ? ?2k ,即 N (0, ?2k ) . 4k ? 1 2 4k ? 1 由于 M , N 关于直线 l 对称,所以 M , N 所在直线与直线 l 垂直, ?2k ? (?2k ) 2 2 4 k ? 1 ? k ? ?1 ,解得 k ? ? 所以 . ?2 2 ?0 4k 2 ? 1
21. (本小题满分12分) 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? x) ln(kx) 的极值点, e 自然对数底数. (I)求 k 值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)是否存在 m ? (1, ??) ,使得当 a ? m 时,不等式 (a ? x)ln(a ? x) ? ae ln a 对 任意正实数 x 都成立?请说明理由.
x

解: (I) f ?( x) ? ? ln( kx) ?

1? x ,由题意 f ?(1) ? 0 ,得 k ? 1 , x 此时 f ( x) ? 1 ? (1 ? x) ln x ,定义域是 (0, ??) , 1? x x ?1 令 g ( x) ? f ?( x) ? ? ln x ? , g ?( x ) ? ? 2 x x ? ∵ g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在 (0, ??) 是减函数,且 g (1) ? 0 , 因此当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? g ( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? g ( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数; (a ? x) ln(a ? x) a ln a x ? a , (II)不等式 (a ? x)ln(a ? x) ? ae ln a 可以化为 ea ? x e x ln x 设 h( x) ? x ,则 h(a ? x) ? h(a) , e 即判断是否存在 m ? (1, ??) ,使 h( x) 在 (m, ??) 是减函数, ????(8 分) 1? (1? x)ln x f ( x) ∵ h?( x) ? ? x , ex e 2 1 2?e ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 , f (e) ? 2 ? e ? 0 , ∵ f( 2)? e e2
15

∴ h?( x) 在 (0,1) 和 (1, ??) 上各有一个零点,分别设为 x1 和 x2 ,列表:

( x1 , x2 ) (0, x1 ) x1 x2 ( x2 , ??) x h?( x) 0 0 ? ? ? h( x) 极小 极大 ? ? ? ∴ h( x) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数,在 ( x2 , ??) 是减函数, ∵ x2 ? (1, ??) ,∴存在这样的 m 值,且 m ? x2 . ????(12 分) 【注意】“当 a ? m 时,不等式 h(a ? x) ? h(a) 对任意正实数 x 都成立”这句话符合必修 1 中函数单调性定义,说明 h( x) 在 (m, ??) 是减函数.
请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 A,B,C,D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线,D 为切点,AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点. (I)求证:BD 平分∠ABC; (II)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长. 证明: (I)? DE // AC,? ?CDE ? ?ACD , 又? DE 切圆 O 于点 D ,? ?CDE ? ?CBD , ? ?ACD ? ?CBD ,而 ?ACD ? ?ABD , ? ?CBD ? ?ABD ,即 BD 平分∠ABC; (II)由(I)知 ?CBD ? ?ABD ,又? ?CBD ? ?CAD , ? ?ABD ? ?CAD 又? ?ADH 为公共角, AH AD ? ∴ ?DBA 与 ?DAH 相似,? , AB BD ∵AB=4,AD=6,BD=8,∴AH=3. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲 线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 ? cos(? ?
2

?
4

)?6 ?0.

(I)求 C 的参数方程; (II)若点 P( x, y) 在曲线 C 上,求 x ? y 的最大值和最小值. 解: (I) C 的极坐标方程化为 ? ? 4? cos? ? 4? sin ? ? 6 ? 0 ,
2

∴ C 的直角坐标方程是 x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 ,
2 2

即 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 ,
2 2

C 的参数方程是 ?

? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

, ? 是参数;

(II)由 ?

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? 是参数)得到 x ? y ? 4 ? 2sin(? ?

?
4

)

∴ x ? y 的最大值是 6,最小值是 2. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | ax ? 1| ? | ax ? a |? 1(a ? 0) . (I)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (II)若此不等式的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

16

解: (I)当 a ? 1 时,此不等式为 x ? 1 ?

1 1 3 ,解得 x ? 或x ? , 2 2 2

1 3 2 2 (II)∵ ax ?1 ? ax ? a ? a ?1 ,
∴实数 a 的取值范围为 [2, ??) .

∴不等式的解集为 ( ??, ] ? [ , ??) ;

∴原不等式解集为 R 等价于 a ?1 ? 1 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 ,

17


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