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2016-2017学年广东潮阳黄图盛中学高一上期中数学试卷


2016-2017 学年广东潮阳黄图盛中学高一上期中数学试卷
考试时间:100 分钟;命题人:xxx 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

1.若集合 X ? {x | ?2 ? x ? 2, 且x ? Z} ,下列关系式中成立的为( A. 0 ? X B. ?0? ? X C. ?0? ? X D. ? ? X



2.若全集 U ? ?0,1, 2,3?且CU A ? ?2? ,则集合 A 的真子集共有( A. 3 个 B. 5 个 C. 7 个 D. 8 个 3.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( ) A. y ?



x2

B. y ?

x2 x
loga x

C. y ? loga a x

D. y ? a

(a ? 0且a ? 1)
x

4.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数) ,则

f (?1) ? (
A.-3

) B.-1 C.1 D.3 )

5.若 y ? log5 6 ? log6 7 ? log7 8 ? log8 9 ? log9 10则有( A. y ? (0 , 1) C. y ? (2 , 3 )
1 2 1 3

B. y ? (1 , 2 ) D. y ? 2

6.设 a ? 0.6 , b ? 0.6 , c ? log0.6 3 ,则( ) A.c<b<a B.c<a<b
x

C.a<b<c

D.b<a<c

7.已知 x0 是函数 f(x)=2 + 则( )

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ) , x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) , 1? x
B.f( x1 )<0,f( x 2 )<0 D.f( x1 )>0,f( x 2 )>0

A.f( x1 )<0,f( x 2 )>0 C.f( x1 )>0,f( x 2 )<0

8.下列幂函数中过点(0,0) , (1,1)的奇函数是( ) A. y ? x 2
1 1

B.y=x

5

C.y=x

-3

D. y ? x

?

1 3

9.下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是( A. y ? 5 2? x B. y ? log2 (3 ? 2)
x



试卷第 1 页,总 3 页

C. y ? 1 ? 2

x

?1? D. y ? ? ? ? 3?

1? x

10.若 f(x)是偶函数,它在 ?0, ??? 上是减函数,且 f(lgx)>f(1),则 x 的取值范 围是( A.( ) B.(0,

1 ,1) 10

C.(0,1) ? (10, ?? )

1 ) ? (1, ?? ) 10 1 D.( ,10) 10


1 ? ?log 2 , x ? 1 11.函数 f ( x) ? ? ,则 y ? f ( x ? 1) 的图象大致是( x x ?2 , x ?1 ?

A.

B.

C.

D.

2 12.当 x ? ?0,2? 时,函数 f ( x) ? ax ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取

值范围是( A. [?

) B. ?0,??? C. ?1,??? D. [ , ??)

1 , ??) 2

2 3

13 . 若 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 是 [0, 2] , 则 函 数 g ( x) ? 为 .
2 m? n

f (2 x) 的定义域 x lo g 3 ( 2 ? 1)

14.设 loga 2 ? m, loga 3 ? n ,则 a
2

?

. .

15.函数 f ( x) ? log 1 (? x ? 2 x) 的单调递增区间是
2

? 16 .设 x ? (0,1) 时,幂函数 y ? x 的图象在直线 y ? x 的上方,则 ? 的取值范围



.

17.设函数 y ? (1)求 A 和 B

4 ? 2 x 的定义域为 A,函数 y ? lg(x ? 1) ( x ?[2, 11]) 的值域为 B.
(2)求 (CR A) ? B
试卷第 2 页,总 3 页

log53 32 ? 10 ? 18. (1)计算:2log32-log3 +log38-25 -?2 ? 9 ? 27 ?

?

2 3

+8π

0

(2)已知 x=27,y=64.化简并计算:

5x

?

2 3

1

y2

? 1 ?1 1 ?? 5 1 ? 1 ? ? ? x y 2 ?? ? x 3 y 6 ? ? 4 ?? 6 ? ? ?? ?
.g(x)= ,

19.已知函数 f(x)为奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (1)求当 x<0 时,函数 f(x)的解析式; (2)求 g(x)的解析式,并证明 g(x)的奇偶性 20.已知函数 f ( x ) ?

px 2 ? 2 5 是奇函数,且 f (2) ? ? . q ? 3x 3

(1)求函数 f(x)的解析式. (2)判断函数 f(x)在 (0,1) 上的单调性,并用定义加以证明.

? f ? x ? 2 ?? x ? 4 ? ? 21. (Ⅰ)设 f ? x ? ? ? ? 1 ? x ,求 f (1 ? log2 3) 的值; x ? 4 ? ? ? ? ? ? ?2?
(Ⅱ)已知 g ( x) ? ln[(m ? 1) x ? (1 ? m) x ? 1] 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围 22.定义: “对于函数 f(x) ,若存在 x0,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为函数 f(x)的 2 不动点。 ”已知 f(x)=x +bx+c. (1)若 f(x)有两个不动点为-3,2,求函数 f(x)的零点. (2)当 c=
2 2

1 2 b 时,函数 f(x)没有不动点,求实数 b 的取值范围. 4

试卷第 3 页,总 3 页

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析: X ? {x | ?2 ? x ? 2, 且x ? Z} ? ??2, ?1,0,1,2?? ?0? ? X 考点:元素集合间的关系 2.C 【解析】 试题分析: 全集 U ? ?0,1,2,3?且CU A ? ?2? 可得 A ? ?0,1,3? , 集合的真子集有 2 ? 1 ? 7 个
3

考点:集合补集及子集 3.C 【解析】 试题分析:A 中函数与已知函数对应关系不同;B 中函数与已知函数定义域不同;C 中函数 与已知函数定义域相同,对应关系相同,是同一函数,图像相同;D 中函数与已知函数定义 域不同 考点:函数的概念 4.A 【解析】 试题分析:由函数是奇函数可知 f ? 0? ? 0?b ? ?1? f ?1? ? 2 ? 2 ?1 ? 3? f ? ?1? ? ?3 考点:函数奇偶性及函数求值 5.B 【解析】 试题分析: y ? log5 6 ? log 6 7 ? log 7 8 ? log8 9 ? log 9 10 ?

lg 6 lg 7 lg8 lg 9 lg10 lg10 ? ? ? ? ? lg 5 lg 6 lg 7 lg8 lg 9 lg 5

? log5 ?5 ? 2? ? 1 ? log5 2 ? ?1,2?
考点:对数运算 6.B 【解析】 试题分析:由 y ? 0.6 单调递减可知 0.6 2 ? 0.63 ? a ? b ? c ? log0.6 3 ? 0 ? c ? a ? b
x
1 1

考点:利用函数性质比较大小 7.A 【解析】 试 题 分 析 : 函 数 f ( x ) =2 +
x

1 在 区 间 ?1, ?? ? 上 单 调 递 增 , 由 x0 是 零 点 可 知 1? x

f ? x0 ? ? 0?1 ? x0 ? x2 ? f ?1? ? 0, f ? x2 ? ? 0
考点:函数零点与函数单调性 8.B 【解析】
答案第 1 页,总 7 页

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试题分析:A 中函数不是奇函数;B 中函数满足题意要求;C 中函数不过点(0,0) ;D 中函数 不过点(0,0) 考点:幂函数及性质 9.D 【解析】 试题分析:A 中函数 y ? 0且y ? 1;B 中函数值域 ?1, ?? ? ,C 中函数值域为 ? 0,1? ;D 中函数 值域 ? 0, ??? 考点:函数值域 10.D 【解析】 试题分析:若 f(x)是偶函数,它在 ?0, ??? 上是减函数,所以在 ? ??,0? 上是增函数,由 f(lgx)>f(1)得 ?1 ? lg x ? 1? 考点:函数奇偶性单调性解不等式 11.B 【解析】 试题分析: y ? f ( x ? 1) 在 y ? f ? x ? 的基础上向左平移 1 个单位得到,所以自变量分成的 两段为 x ? 0, x ? 0 ,结合 f ? x ? 的单调性可得到 y ? f ( x ? 1) 的单调性,从而确定图像 考点:函数图像 12.D 【解析】 试题分析:对称轴为 x ?

1 1 ? x ? 10 ,x 的取值范围是( ,10) 10 10

2 ? 2a , a

1)当 a>0 时,要使 x=2 时候取得最大值,则

2 ? 2a 2 ? 1 ,解得 a ? , a 3 2 ? 2a 1 ? 2 ,a≥ ,与 a<0 相悖. a 2

2)当 a=0 时,f(x)=-4x-3,x=0 时候取得最大值,不符合题意, 3)当 a<0 时,要使 x=2 时候取得最大值,则 综上所述 a 的取值范围为[ 考点:二次函数的性质 13. [0,1] 【解析】 试题分析:要使函数有意义需满足 ? 考点:函数定义域 14.12
答案第 2 页,总 7 页

2 ,+∞) . 3

?0 ? 2 x ? 2 ? 0 ? x ? 1 ,定义域为 [0,1] x ? 2 ?1 ? 1

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【解析】 试题分析: log a 2 ? m, log a 3 ? n ? a ? 2, a ? 3? a
m n 2 m?n

? ? a m ? ?a n ? 4? 3 ? 12
2

考点:指数式与对数式运算 15. (1,2) 【解析】
2 试题分析:由 ? x ? 2 x ? 0 得 0 ? x ? 2 ,函数由 f ? t ? ? log1 t , t ? ? x2 ? 2 x复合而成,

2

f ? t ? ? log 1 t 为 减 函 数 , t ? ? x ? 2 x 在 ( 1,2 ) 上 为 减 函 数 , 所 以 函 数
2

2

f ( x) ? l o 1g(? x 2 ? 2 x) 的单调递增区间是增函数
2

考点:复合函数单调性 16. (—∞,1) 【解析】 试题分析:由幂函数的性质知: 当α <0 时,幂函数 y ? x 的图象是下降的,故在 x∈(0,1) ,幂函数 y ? x 的图象在直 线 y=x 的上方符合题意 当α =0 时,幂函数 y ? x 的图象在 x∈(0,1)上是一个与 y 轴平行的线段,是直线 y=1 的一部分,故其图象在 y=x 的上方,符合题意 当α ∈(0,1)时,由底数 x∈(0,1) ,幂函数 y ? x 的图象在 y=x 的上方,符合题意 当α >1 时,由底数 x∈(0,1) ,幂函数 y ? x 的图象在 y=x 的下方,不符合题意符合题 意 综上,符合条件的α 的取值范围是(-∞,1) 考点:幂函数的单调性、奇偶性及其应用 17. (1) A ? ? ??, 2? , B ? [0, 1] (2) (CR A) ? B ? {x | 0 ? x ? 1或x ? 2} 【解析】 试题分析: (1)求解函数定义域可得到集合 A,集合对数函数性质可求得函数值域,得到集 合 B; (2)A 的补集为全集中除去 A 中的元素,剩余的元素构成的集合,两集合的并集为两 集合所有的元素构成的集合
x 2 x 试题解析: (1)由 4 ? 2 ? 0 ,得 2 ? 2 ,所以 x ? 2 即 A ? ? ??, 2? ,

?

?

?

?

?

由 2 ? x ? 11 ? 1 ? x ? 1 ? 10 ? 0 ? lg(x ? 1) ? 1 ,即 B ? [0, 1] , (2)由(1)知, C R A ? (2,??) . 所以 (CR A) ? B ? {x | 0 ? x ? 1或x ? 2} , 考点:集合运算及函数定义域值域

答案第 3 页,总 7 页

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18. (1)

7 16

(2)48

【解析】 试题分析: (1)对数式运算时对数相加转化为底数不变,真数相乘来运算,指数式化简首先 将底数转化为幂指数性质; (2) 首先利用指数式运算公式将所求式子化简, 然后代入 x=27, y=64 求值 log53 64 ? 3 32 ? ? 试题解析: (1) 原式=log34-log3 +log38-52 +? ? +8 9 ? 27 ?
2

=log3(4×

9 ×8)-5 32

log59

? ? 4 ?3 ? -?? ? ? ?? 3 ? ? ? ?

?

2 3

+8

=log39-9-

9 7 +8= 16 16

(2)原式 又 y=64 ∴原式=24×(2 )
6

1 =48. 6

考点:指数式对数式运算 19. (1) f ( x) ? ? 【解析】 试题分析: (1)由 x<0 转化为﹣x>0,代入函数式 f ? x ? ? 函数解析式; (2)结合 f ? x ? 可求得 g ? x ? 函数式,判断奇偶性需判断 g ? ?x ? , g ? x ? 的关系 试题解析: (1)设 x<0,则﹣x>0, 此时有 又∵函数 f(x)为奇函数, ∴ 所以,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ? x

? ? x, ? ?? ?x,

x?0 x?0

(2)函数 g(x)为偶函数

x ,结合函数为奇函数可求得

? x, ? f ( x) ? ? ?? ? x ,

x?0 x?0

答案第 4 页,总 7 页

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(2)函数 g(x)解析式为 g(x)的定义是 R,关于原点对称 当 x>0 时,-x<0, g (? x) ? 当 x<0 时,-x>0, g (? x) ?

? (?x) ? x ? g ( x)
? x ? g ( x)

综上所述,函数 g(x)为偶函数 考点:函数求解析式及函数奇偶性 20. (1) f ( x ) ? 【解析】 试题分析: (1)由函数为奇函数,利用 f ( ?x ) ? ?f ( x ) 可得到 p, q 的关系式,结合 f (2) ? ?

2x 2 ? 2 (2)增函数 ? 3x

5 3

可解方程组得到 p,q 的值,从而确定函数式; (2)判断单调性时首先假设 x1 ? x2 ,其次判 断 f ? x1 ? , f ? x2 ? 的大小关系,从而证明单调性 试题解析:∵f(x)是奇函数,∴对定义域内的任意的 x,都有 f ( ?x ) ? ?f ( x ) , 即

px 2 ? 2 px 2 ? 2 ?? ,整理得: q ? 3x ? ?q ? 3x q ? 3x q ? 3x

∴q=0

4p ? 2 5 ?? , ?6 3 2 2x ? 2 ∴所求解析式为 f ( x ) ? ? 3x 2x 2 ? 2 2 (2)由(1)可得 f ( x ) ? = ? (x ? ? 3x 3
又∵ f (2) ? ? ,∴ f (2) ?

5 3

解得 p=2

1 ), x

设 0 ? x1 ? x2 ? 1 , 则由于 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ?

2 1 1 2 1 1 [( x 2 ? ) ? ( x 1 ? )] ? [( x 2 ? x 1 ) ? ( ? )] 3 x2 x1 3 x 2 x1

x ? x2 1 ? x 1x 2 2 2 1 2 ] ? ( x 1 ? x 2 )( ? 1) ? ( x 1 ? x 2 ) ? = [( x 2 ? x 1 ) ? 1 3 x 1x 2 3 x 1x 2 3 x 1x 2
因此,当 0 ? x1 ? x 2 ? 1 时,? 0 ? x1 x2 ? 1, x1 ? x2 ? 0 ,?1 ? x1 x2 ? 0 从而得到 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 即, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ∴f(x)在 (0,1) 上是增函数。 考点:函数奇偶性单调性
答案第 5 页,总 7 页

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21. (Ⅰ)

1 5 (Ⅱ) ( ?? ,? ) ? [1,?? ) 24 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 分段函数求值时需结合定义域的取值范围将自变量的值代入相应的解析式; (Ⅱ)由定义域为 R 得到不等式 (m2 ? 1) x2 ? (1 ? m) x ? 1 ? 0 恒成立,结合二次函数性质求解 m 的取值范围 试 题




3?log2 3 3


log2 3


1

1



?1? f (1 ? log2 3) ? f (3 ? log2 3) ? ? ? ? 2?

?1? ?1? ? ? ? ?? ? ? 2? ? 2?

1 log2 1 1 1 ; ? ?2 3 ? ? ? 8 8 3 24

(2)由题设得: (m2 ? 1) x2 ? (1 ? m) x ? 1 ? 0 ( ? )在 x ? R 时恒成立, 若 m2 ? 1 ? 0 ? m ? ?1 , 当 m ? 1 时, ( ? )为: 1 ? 0 恒成立, 当 m ? ?1 时, ( ? )为: ? 2 x ? 1 ? 0 不恒成立,∴ m ? 1 ;

m ? ?1 或 m ? 1 ? ? 5 ?m 2 ? 1 ? 0 ? 若 m2 ? 1 ? 0 ,则 ? ? ?m ? ? 5 或 m ? 1 ? m ? ? 或 m ? 1 ?. 2 3 ? ? ? ? (1 ? m)2 ? 4(m ? 1) ? 0 ? 3 ?
综上,实数 m 的取值范围是实数 ( ?? ,? ) ? [1,?? ) 考点:分段函数求值与二次函数性质 22. (1) 零点为-1± 7 .(2) b>

5 3

1 2

【解析】 2 试题分析: (1)-3,2 为 x +(b-1)x+c=0 的两根,解方程可求得 b、c 的值,从而可求得函 数 y=f(x)的零点; (2)函数 f(x)没有不动点,方程 x ? bx ?
2

b2 无实数根,由△<0 4

即可求得实数 b 的取值范围 2 试题解析: (1) 由题意知: f (x) =x, 即x+ (b-1) x+c=0 有两根, 分别为-3,2.???. ∴?

??3 ? 2 ? ? ? b ? 1? ?b?2 ,∴ ? . ? ?3 ? 2 ? c ?c ? ?6
2

从而 f(x)=x +2x-6, 由 f(x)=0 得 x1=-1- 7 ,x2=-1+ 7 . 故 f(x)的零点为-1± 7 .

b2 b2 2 (2)若 c= ,则 f(x)=x +bx+ , 4 4
又 f(x)无不动点,
答案第 6 页,总 7 页

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即方程 x +bx+
2 2

2

b2 =x 无解, 4
1 1 . 故 b 的取值范围是 b> . 2 2

∴(b-1) -b <0. 即-2b+1<0,∴b>

考点:二次函数的性质,方程的解法,方程根的情况以及函数的零点

答案第 7 页,总 7 页



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