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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修5课件:第二章 数列 2.3.3.1


阶 段 一

阶 段 三

2.3.3

等比数列的前 n 项和 等比数列的前 n 项和
学 业 分 层 测 评

第 1 课时
阶 段 二

1.掌握等比数列前 n 项和公式;能用公式解决一些简单问题.(重点) 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决 相应的问题.(难点) 3.不对 q 分析范围而错用求和公式.(易错点)

[基础· 初探] 教材整理 1 等比数列的前 n 项和公式 阅读教材 P55~P56,完成下列问题. 设数列{an}为等比数列,首项为 a1,公比为 q,则其前 n 项和

? ? S n= ? ? ?



,q≠1,

na1 ,q=1.

1.在等比数列{an}中,a1=2,S3=26,则公比 q=________.
【解析】 ∵q≠1, a1?1-q3? 2?1-q3? ∴S3= = =26, 1-q 1-q ∴q2+q-12=0, ∴q=3 或-4.

【答案】 3 或-4

2.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}的前 7 项 和为________.
【解析】 ∵a5=a1q4,∴q4=24.∵q>0,∴q=2, 1-27 ∴S7= =127. 1-2

【答案】 127

教材整理 2 等比数列前 n 项和的性质 阅读教材 P62 第 8 题,完成下列问题. 等比数列前 n 项和的性质 (1)等比数列{an}中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn. S偶 S奇-a1 q (2)等比数列{an}中,若项数为 2n,则 = ;若项数为 2n+1,则 =q. S奇 S偶 (3)设数列{an}是等比数列,Sn 是其前 n 项和. ①当 q=-1 且 k 为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 不是等比数列; ②当 q≠-1 或 k 为奇数时,数列 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k(k∈N*)是 等比 数列.

在等比数列{an}中,若 Sn 是其前 n 项和,且 S4=3,S8=9,则 S12=________.
【解析】 ∵S4,S8-S4,S12-S8 成等比数列,∴3,6,S12-9 成等比数列,∴ 3(S12-9)=36,∴S12=21.

【答案】 21

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问2:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问3:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________

[小组合作型]

等比数列前n项和的基本运算

在等比数列{an}中, (1)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 5 (2)若 a1+a3=10,a4+a6=4,求 a4 和 S5; (3)若 q=2,S4=1,求 S8.
【精彩点拨】 a1?1-qn? a1-anq 利用公式 Sn= = 求解. 1-q 1-q

a1-anq a1-96×2 【自主解答】 (1)由公式 Sn= 及条件得 189= ,解得 a1=3, 1-q 1-2 又由 an=a1· qn-1, 得 96=3· 2n 1,


解得 n=6.

(2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得 a1+a1q2=10, ? ? ? 3 5 5 a1q +a1q =4, ? ?

a1?1+q2?=10, ? ? 即? 3 5 2 a1q ?1+q ?=4, ? ?

① ②

∵a1≠0,1+q2≠0,∴②÷ ①得, 1 1 q =8,即 q=2,∴a1=8,
3

∴a4=a1q

3

?1? =8×?2?3=1, ? ? ? ?1? ? 8×?1-?2?5? ? ? ? ?

a1?1-q5? S5= = 1-q

1 1-2

31 =2.

(3)设首项为 a1, ∵q=2,S4=1, a1?1-24? ∴ =1, 1-2 1 即 a1=15, 1 8 ? 1 - 2 ? 8 a1?1-q ? 15 ∴S8= = =17. 1-q 1-2

1.等比数列的前 n 项和公式和通项公式中共涉及 a1,an,q,n,Sn 五个基本 量,已知其中三个量,可以求出另外的两个量,我们可以简称为“知三求二”. a1-anq a1?1-qn? 2. 已知 an 时用 Sn= 较简便, 而 Sn= 在将已知量表示为最基本 1-q 1-q 元素 a1 和 q 的表达式中发挥着重要作用.

[再练一题] 1.求下列等比数列前 8 项的和. 1 1 1 (1)2,4,8,?; 1 (2)a1=27,a9=243,q<0. 【导学号:91730041】

【解】

1? ?1?8? ?1-? ? ? 2? ?2? ? 255 1 1 (1)因为 a1=2,q=2,所以 S8= 1 =256. 1-2

1 1 (2)由 a1=27,a9=243,可得243=27· q8. 1 又由 q<0,可得 q=-3.
? ? 1? ? 27?1-?-3?8? ? ? ? 1 640 ? S8= ? 1? = 81 . 1-?-3? ? ?

所以

等比数列前n项和的性质及应用
在等比数列{an}中,若前 10 项的和 S10=10,前 20 项的和 S20=30, 求前 30 项的和 S30.
? ?S10=10, 法一:由? ? ?S20=30

【精彩点拨】

列方程组求得 q 值,整体代换求 S30;

法二:利用前 n 项和的性质,连续 10 项之和成等比数列,求 S30.

【自主解答】
10 a ? 1 - q ? ? 1 ? =10, 1 - q ? ? 20 a ? 1 - q ? ? 1 =30, ? 1 - q ?

法一: 设数列 {an} 的首项为 a1 ,公比为 q,显然 q≠1 ,则

两式相除得 1+q10=3,∴q10=2. a1?1-q30? a1?1-q10? ∴S30= = (1+q10+q20) 1-q 1-q =10×(1+2+4)=70.

法二:∵S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列, 又∵S10=10,S20=30, ?30-10?2 ∴S30-30= 10 ,即 S30=70.

要注意等比数列前 n 项和性质的使用条件,条件不具备时,性质不一定成立, 如 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?满足(S2m-Sm)2=Sm· (S3m-S2m),但 Sm,S2m-Sm,S3m -S2m 不一定成等比数列,只有在一定的限制条件下才成等比数列.

[再练一题] S6 S9 2.(1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若S =3,则S =________. 3 6 (2)等比数列 {an}共有 2n 项, 其和为-240, 且奇数项的和比偶数项的和大 80, 则公比 q=________.
3 S6 ?1+q ?S3 S9 3 3 【解析】 (1)设公比为 q,则S = S =1+q =3,所以 q =2,于是S = 3 3 6

1+q3+q6 1+2+4 7 =3. 3 = 1+q 1+2 S偶 (2)S 奇=-80,S 偶=-160,∴q= =2. S奇 7 【答案】 (1)3 (2)2

[探究共研型]

等比数列前n项和的实际应用
探究 1 银行储蓄中的按“复利”计算是什么意思?并举例说明.
【提示】 所谓“复利”,即把上期的本利和作为下一期的本金.如把 a 万 元现金存入银行,按年息 P%计算,n 年后的本利和为 a(1+P%)n 1 万元.


探究 2 “分期付款”是怎么一回事?
【提示】 (1)分期付款为复利计息,每期付款数相同,且在期末付款; (2)到最后一次付款时, 各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.

借贷 10 000 元,以月利率为 1%,每月以复利计算借贷,王老师从借 贷后第二个月开始等额还贷,分 6 个月付清,试问每月应支付多少元? (1.016≈1.061,1.015≈1.051)
【精彩点拨】 结合分期付款的定义求解本题.

【自主解答】 一方面,借款 10 000 元,将此借款以相同的条件存储 6 个月, 则它的本利和为 S1=104· (1+0.01)6=104×(1.01)6(元). 另一方面,设每个月还贷 a 元,分 6 个月还清,到贷款还清时,其本利和为
6 a [ ? 1 + 0.01 ? -1] 5 4 S2=a(1+0.01) +a(1+0.01) +?+a= =a[1.016-1]×102(元). 1.01-1

1.016×102 由 S1=S2,得 a= . 1.016-1 ∵1.016=1.061, ∴a≈1 739. 故每月应支付 1 739 元.

解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数,所谓复利计息, 即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利 的计算公式为 S=P(1+r)n,其中 P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本 利和.

[再练一题] 3.在一次人才招聘会上,A,B 两家公司分别开出的工资标准:A 公司允诺第 一年月工资为 1 500 元,以后每一年月工资比上一年月工资增加 230 元;B 公司允 诺第一年月工资为 2 000 元,以后每年月工资在上一年月工资基础上递增 5%.设某 人年初被 A,B 两家公司同时录取,试问: (1)若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年,则他在第 n 年的月工资收入 分别是多少? (2)该人打算在一家公司连续工作 10 年,仅从工资收入总量作为应聘标准(不 计其他因素),该人应该选择哪家公司?为什么?

【解】

(1)设该人在 A,B 两家公司第 n 年的月工资分别为 an,bn.

由已知,得{an}构成等差数列,以 1 500 为首项,230 为公差,an=230n+1 270. {bn}构成等比数列,以 2 000 为首项,以(1+5%)为公比,bn=2 000(1+5%)n 1.


(2)若该人在 A 公司连续工作 10 年, 则他的工资收入总额为 S10=12(a1+a2+?
? +a10)=12×? ?10×1 ? ? 10?10-1? ? =304 200(元); 500+ × 230 ? 2 ?

若该人在 B 公司连续工作 10 年,则他的工资收入总额为 S′10=12(b1+b2+? 2 000?1-1.0510? +b10)=12× ≈301 869(元). 1-1.05 由于在 A 公司总收入多,因此该人应选择 A 公司.

[构建· 体系]

1.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,a5=-2,a8=16,则 S6 等于________. 【导学号:91730042】

a8 【解析】 ∵q =a =(-2)3,∴q=-2, 5
3

∴a1=(-2)×(-2)-4=(-2)-3, ?-2? 3[1-?-2?6] 21 ∴S6= =8. 1-?-2?


21 【答案】 8

2.等比数列的公比为 2,前 4 项之和等于 10,则前 8 项之和等于________.

【解析】 ∵(S8-S4)∶S4=24=16, ∴(S8-10)∶10=16, ∴S8=170.
【答案】 170

3.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再 落下,则第 10 次着地时所经过的路程和为________米(结果保留到个位).
【解析】 小球 10 次着地共经过的路程为
?1? 100+100+50+?+100×?2?8 ? ?

39 =29964≈300(米).

【答案】 300

4.(2015· 安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则 数列{an}的前 n 项和等于________.
【解析】 ? ?a1=8, ? 1 q=2. ? ?
? ?a1=1, 又{an}为递增数列,∴? ? ?q=2,

设等比数列的公比为

3 ? a + a q ? 1 1 =9, q ,则有 ? 2 3 ? q =8, ?a1·

? ?a1=1, 解得 ? ? ?q=2



1-2n ∴Sn= =2n-1. 1-2

【答案】 2n-1

5.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q.
【解】 当 q=1 时,Sn=na1,

∴S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9; a1?1-q3? a1?1-q6? a1?1-q9? 当 q≠1 时, + =2× ,得 2-q3-q6=2-2q9, 1-q 1-q 1-q 1 ∴2q -q -q =0,解得 q =-2,
9 6 3 3

4 或 q =1(舍去),∴q=- 2 .
3

3

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________



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