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人教版高中数学必修①教案


RJ· A版· 数学· 必修1

45分钟作业与单元评估

二合一

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

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2. 3
幂函数

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

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第27课时

幂函数

基 础 巩 固

能 力 提 升

第二章

2.3

第27课时

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限时:45 分钟

总分:90 分

基础训练 课标导航

第二章

2.3

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1 了解幂函数的概念;结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x,
2 3

y=x 的图象,了解它们的变化情况.

1 2

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2.3

第27课时

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基础训练 基础巩固

第二章

2.3

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一、选择题(每小题5分,共30分) 1.下列函数中是幂函数的是( A.y=x C.y=lnx B.y=2x D.y=xx ) )

2.若函数f(x)=(2m+3)xm2-3是幂函数,则m的值为( A.-1 C.1 B.0 D.2

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2.3

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3.已知幂函数 f(x)的图象过点(16,4),则 f(2 015)等于( A.2 0152 C.log22 015 4. 设 B. 2 015 2 015 D. 4

)

? ? 1 α∈?-1,1,2,3?,则使函数 ? ?

y=xα 的定义域为 R 且为

奇函数的所有 α 值为( A.1,3 C.-1,3

) B.-1,1 D.-1,1,3

第二章

2.3

第27课时

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5.函数 y=x 1 A. 2 C.2
- 1 2

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在区间[4,64]上的最大值为( 1 B.8 D.8 )

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第二章

2.3

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6.如下图所示曲线是幂函数y=xα在第一象限内的图象,已知α 1 取± 2,± 2 四个值,则对应于曲线C1,C2,C3,C4的指数α依次为 ( )

1 1 A.-2,-2,2,2 1 1 C.-2,-2,2,2

1 1 B.2,2,-2,-2 1 1 D.2,2,-2,-2
第二章 2.3 第27课时
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二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.函数 y=xα+2(x>0)的图象恒过定点________. 8. 若幂函数
? 1? f(x)的图象过点?4,16?, 则 ? ?

f(x)的值域为________.

9 .下列幂函数中是奇函数且在 (0 ,+∞) 上单调递增的是 ________.(写出所有正确的序号) ①y=x2;②y=x;③y=x ;④y=x3;⑤y=x 1.


1 2

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2.3

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三、解答题(本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 10.(12 分)讨论函数 y=x 的定义域、值域、奇偶性、单调性, 并画出函数图象的草图.
2 5

第二章

2.3

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答案

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1.A

B 项为指数函数,C 项为对数函数,D 项中指数和

幂底都是自变量,故不是幂函数,A 项为幂函数.故选 A. 2.A 3.B 由 f(x)是幂函数,得 2m+3=1,m=-1.故选 A. 由题意,设 f(x)=xm,则由题意知 16m=4,所以 m

1 1 1 =log164=2,故 f(x)=x 2 ,所以 f(2 015)=2 015 2 = 2 015.故选

B. 4.A 定义域为 R 的函数中,α 可取 1,3;若函数 y=xα 为

奇函数,α 可取-1,1,3,故 α 取 1,3.故选 A.
第二章 2.3 第27课时
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5.A

因为函数 y=x

1 - 2

为(0,+∞)上的减函数,所以该

函数在[4,64]上单调递减,当 x=4 时 y 取得最大值,最大值为 4
- 1 2

1 =2,故选 A.

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2.3

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6.B

要确定一个幂函数y=xα在坐标系内的分布特征,

就要弄清幂函数y=xα随着α值的改变图象的变化规律.随着α 的变大,幂函数y=xα的图象在直线x=1的右侧由低向高分 布.从图中可以看出,直线x=1右侧的图象,由高向低依次为 1 C1,C2,C3,C4,所以C1,C2,C3,C4的指数α依次为2, 2 , 1 -2,-2.

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2.3

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7.(1,3) 解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3). 8.(0,+∞) 解析:由题意设f(x)=x ,由点
m

? 1? ?4, ? 16? ?

在函数图象上得4m

1 1 - =16,解得m=-2.所以f(x)=x 2=x2,故其值域为(0,+∞).

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9.②④ 解析:由奇偶性的定义知 y=x 为偶函数,y=x = x既不 是奇函数也不是偶函数.由幂函数的单调性知 y=x ∞)上单调递减,故填②④.
-1

2

1 2

在(0,+

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2.3

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10.解:因为 y=x = x2≥0,所以函数 y=f(x)的定义域 为 R,值域为[0,+∞). 因为 f(-x)=(-x) 是偶函数.
2 5

2 5

5

= ?-x? = x =x =f(x),所以 f(x)

5

2

5

2

2 5

第二章

2.3

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2 由于5>0,所以 f(x)在[0,+∞)上单调递增,又 f(x)是偶函 数,所以 f(x)在(-∞,0]上单调递减,根据以上性质可画出函 数 y=x 图象的草图,如图所示.
2 5

第二章

2.3

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11.(13 分)已知幂函数 f(x)=xα,一次函数 g(x)=2x+b,且 f ? x? 函数 f(x)· g(x)的图象过点(1,2),函数 的图象过点( 2,1),若 g?x? 函数 h(x)=(f(x))
1 3

1 · (2g(x))

1 - 3

.

(1)证明函数 h(x)为幂函数; (2)判断函数 h(x)的奇偶性.

第二章

2.3

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基础训练 能力提升

第二章

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)

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12.(5分)下列结论中,正确的是(

A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 1 C.当幂指数α取1,3,2时,幂函数y=xα是增函数 D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是 减函数 13.(15分)定义函数f(x)=max{x2,x 2},x∈(-∞,0)∪


(0,+∞),求f(x)的最小值.

第二章

2.3

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11.解:(1)证明:函数 f(x)· g(x)=xα(2x+b)过点(1,2),则有
α 1 - f ? x ? x 1α(2×1+b)=2,得 b=0.函数 = =2xα 1 的图象过点 g?x? 2x+b

1 - - ( 2,1),则2· ( 2)α 1=1,即( 2)α 1=( 2)2,得 α=3.所以 h(x) =(f(x))
1 3

1 · (2g(x))

1 - 3

=( x )

3

1 3

1 2 1 - 3 · (2×2x) =x 3 ,显然函数 h(x)

的解析式满足幂函数 f(x)=xα(α 是常数)的概念,所以函数 h(x) 为幂函数.
第二章 2.3 第27课时
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(2)由(1)知 h(x)=x ,它的定义域为 R,关于原点对称,又 h(-x)=(-x) 12.C
2 3

2 3

=x =h(x),故 h(x)为偶函数.

2 3

当幂指数 α=-1 时,幂函数 y=x-1 的图象不通过

原点,故 A 错误; 因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且 y=xα(α ∈R)>0, 所以幂函数的图象不可能出现在第四象限, 故 B 错误;

第二章

2.3

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二合一

当α>0时,y=xα是增函数,故C正确; 当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函 数,但在整个定义域上不是减函数,故D错误.故选C. 13.解:在同一坐标系中作出函数y=x2与y=x 2的图象,


由此可得函数f(x)的图象如图所示实线部分.

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2.3

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由图象知f(x)在x=-1与x=1时均取最小值1,所以f(x)min= 1.
第二章 2.3 第27课时
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