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2015高考数学试题分类汇编-三角函数及解三角


专题三 三角函数
x x x 1.(15 北京理科)已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值. 【答案】 (1) 2? , (2) ?1 ? 【解析】 试题分析:先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形,把函数化为

2 2

f(x ) ? A sin(? x ? ?) ? m 形式,再利用周期公式T ?
于 ?? ? x ? 0,则可求出 ?

2?

?

求出周期,第二步由

3? ? ? ? x ? ? ,借助正弦函数图象 找出在这个范 4 4 4
3? 2 时, f (x )取得最小值为: ?1 ? . 4 2

围内当 x ?

?
4

? ?

?
2

,即 x ? ?

试题解析:(Ⅰ)

f(x ) ?

2 sin

x
2

cos

x
2

?

2 sin2

x
2

?

2?

1 sin x ? 2

2?

1 ? cos x ? 2

?

2 2 2 ? 2 sin x ? cos x ? ? sin(x ? ) ? 2 2 2 4 2
2? ? 2? ; 1

(1) f (x )的最小正周期为T ?

(2)

?? ? x ? 0,? ?

? ? 3? 3? ? ? ? ? ,x ? ? ? x ? ? ,当 x ? 时, 4 2 4 4 4 4
2 2

f (x )取得最小值为: ?1 ?

考点: 1.三角函数式的恒等变形;2.三角函数图像与性质. 2.(15 北京文科)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin 2

x . 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ? 0,

? 2? ? 上的最小值. ? 3 ? ?

【答案】 (1) 2? ; (2) ? 3 .

考点:倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 3.(15 年广东文科)已知 tan ? ? 2 .

? 的值; 4? sin 2? 的值. ? 2? 求 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 ?
【答案】 (1) ?3 ; (2) 1 .

?1? 求 tan ? ?? ?

??

考点:1、两角和的正切公式;2、特殊角的三角函数值;3、二倍角的正、余弦公式;4、同 角三角函数的基本关系. 4.(15 年安徽文科)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2 x (1)求 f ( x ) 最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

【答案】 (1) ? ; (2)最大值为 1 ? 2 ,最小值为 0

考点:1.三角函数的性质;2.三角函数的最值. 5.(15 年福建理科)已知函数 f( x) 的图像是由函数 g ( x) = cos x 的图像经如下变换得到:先 将 g ( x) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变) , 再将所得到的图像向右平 移

p 个单位长度. 2

(Ⅰ)求函数 f( x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (Ⅱ)已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b . (1)求实数 m 的取值范围; (2)证明: cos(a - b ) =

2m 2 - 1. 5
p (k 2 Z). ;(Ⅱ)(1) (- 5, 5) ; (2)详见解析.

【答案】(Ⅰ) f( x) = 2sin x , x = kp + 【解析】

试题分析:(Ⅰ)纵向伸缩或平移: g ( x) ? kg ( x) 或 g ( x) ? g ( x) ? k ;横向伸缩或平移:

g ( x) ? g (? x) (纵坐标不变,横坐标变为原来的

1

?

倍) , g ( x) ? g ( x ? a) ( a ? 0 时,向

左平移 a 个单位; a ? 0 时,向右平移 a 个单位 ) ; ( Ⅱ ) ( 1) 由 ( Ⅰ ) 得 f( x) = 2sin x ,则

f(x ) + g(x ) = 2 sinx + cosx ,利用辅助角公式变形为 f( x) + g( x) = 5 sin( x +j ) (其中

sin j =

1 2 ) ,方程 f( x) + g( x) = m 在 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b ,等价 , cos j = 5 5

于直线 y ? m 和函数 y = 5 sin( x +j ) 有两个不同交点,数形结合求实数 m 的取值范围; (2)结合图像可得 a +b =2( 解. 试题解析:解法一:(1)将 g ( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标 不变)得到 y = 2cos x 的图像,再将 y = 2cos x 的图像向右平移

p 3p - j ) 和 a +b =2( - j ) , 进而利用诱导公式结合已知条件求 2 2

p 个单位长度后得到 2

y = 2 cos( x p x = kp + (k 2

p ) 的图像,故 f(x ) = 2 sinx ,从而函数 f(x ) = 2 sinx 图像的对称轴方程为 2 Z).

(2)1) f( x) + g( x) = 2sin x + cos x = 5(

2 1 sin x + cos x) 5 5 1 2 , cos j = ) 5 5

= 5 sin( x +j ) (其中 sin j =

依题意,sin( x +j )=

m m |< 1 ,故 m 的 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b 当且仅当 | 5 5

取值范围是 (- 5, 5) . 2)因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=

m m , sin( b +j )= . 5 5

p - j ), a - b = p - 2( b +j ); 2 3p - j ), a - b = 3p - 2( b +j ); 当 - 5<m<1 时, a +b =2( 2
当 1 ? m< 5 时, a +b =2(

所以 cos(a - b ) = - cos 2( b +j ) = 2sin 2 ( b +j ) - 1 = 2( 解法二:(1)同解法一. (2)1) 同解法一.

m 2 2m2 ) - 1= - 1. 5 5

2) 因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=

m m , sin( b +j )= . 5 5

p - j ), 即a +j = p - ( b +j ); 2 3p - j ), 即a +j = 3p - ( b +j ); 当 - 5<m<1 时, a +b =2( 2
当 1 ? m< 5 时, a +b =2( 所以 cos(a +j ) = - cos( b +j ) 于是 cos(a - b ) = cos[(a +j ) - ( b +j )] = cos(a +j )cos( b +j ) +sin(a +j )sin( b +j )

= - cos2 ( b +j ) + sin(a +j )sin( b +j ) = - [1 - (

m 2 m 2m2 ) ] + ( )2 = - 1. 5 5 5

考点:1、三角函数图像变换和性质;2、辅助角公式和诱导公式. 6.(15 年福建文科)若 sin ? ? ? A.

12 5

B. ?

12 5

5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等于( 13 5 5 C. D. ? 12 12



【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 由 sin ? ? ?

tan ? ? ??

sin ? cos ?

5 12 2 , 且 ? 为 第 四 象 限 角 , 则 cos ? ? 1 ? sin ? ? ,则 13 13

5 ,故选 D. 12 x x x cos ? 10 cos 2 . 2 2 2

考点:同角三角函数基本关系式. 7.(15 年福建文科)已知函数 f ? x ? ? 10 3 sin (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位长度,再向下平移 a ( a ? 0 )个单位长度后 6

得到函数 g ? x ? 的图象,且函数 g ? x ? 的最大值为 2. (ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 【答案】 (Ⅰ) 2? ; (Ⅱ) (ⅰ) g ? x ? ? 10sin x ? 8 ; (ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 首 先 利 用 证 明 二 倍 角 公 式 和 余 弦 降 幂 公 式 将 f ? x? 化 为

2? ?? ? 然后利用 求周期; (Ⅱ) 由函数 f ? x ? 的解析式中给 x 减 T? f ( x)? 1 0 s?i n x ? ?? , 5 6? ? ?

? ,再将所得解析式整体减去 a 得 g ? x ? 的解析式为 g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a ,当 sin x 取 1 6
的时, g ? x ? 取最大值 10 ? 5 ? a ,列方程求得 a ? 13 ,从而 g ? x ? 的解析式可求;欲证明存 在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,可解不等式 g ? x0 ? ? 0 ,只需解集的长 度大于 1, 此时解集中一定含有整数, 由周期性可得, 必存在无穷多个互不相同的正整数 x0 . 试题解析: (I)因为 f ? x ? ? 10 3 sin

x x x cos ? 10 cos 2 2 2 2

? 5 3 sin x ? 5cos x ? 5

?? ? ? 10sin ? x ? ? ? 5 . 6? ?
所以函数 f ? x ? 的最小正周期 ? ? 2? . (II) (i)将 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位长度后得到 y ? 10sin x ? 5 的图象,再向下平 6

移 a ( a ? 0 )个单位长度后得到 g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a 的图象. 又已知函数 g ? x ? 的最大值为 2 ,所以 10 ? 5 ? a ? 2 ,解得 a ? 13 . 所以 g ? x ? ? 10sin x ? 8 . (ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,就是要证明存在无穷多 个互不相同的正整数 x0 ,使得 10sin x0 ? 8 ? 0 ,即 sin x0 ?

4 . 5



? 4 4 3 知,存在 0 ? ? 0 ? ,使得 sin ? 0 ? . ? 3 5 5 2
4 . 5

由正弦函数的性质可知,当 x ? ??0 , ? ? ?0 ? 时,均有 sin x ? 因为 y ? sin x 的周期为 2? ,

所以当 x ? ? 2k? ? ?0 ,2k? ? ? ? ?0 ? ( k ? ? )时,均有 sin x ? 因为对任意的整数 k , ? 2k? ? ? ? ? 0 ? ? ? 2k? ? ? 0 ? ? ? ? 2? 0 ?

4 . 5

?

3

? 1,

所以对任意的正整数 k ,都存在正整数 xk ? ? 2k? ? ?0 ,2k? ? ? ? ?0 ? ,使得 sin xk ? 亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 考点:1、三角函数的图像与性质;2、三角不等式. 8.(15 年新课标 1 理科)sin20°cos10°-con160°sin10°=

4 . 5

( A) ? 【答案】D

3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D )

1 2

1 【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ,故选 D. 2
9.(15 年新课标 1 理科) 函数 f(x)=

的部分图像如图所示,则 f(x)的

单调递减区间为 (A)( ),k (b)( ),k

(C)(

),k

(D)(

),k

【答案】B

10. ( 15 年陕西理科)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数

y ? 3sin(

?
6

x ? ? ) ? k ,据此函数
) C .8

可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( A.5 B.6 D.10

【答案】C 【解析】 试题分析:由图象知: ymin ? 2 ,因为 ymin ? ?3 ? k ,所以 ?3 ? k ? 2 ,解得: k ? 5 ,所 以这段时间水深的最大值是 ymax ? 3 ? k ? 3 ? 5 ? 8 ,故选 C. 考点:三角函数的图象与性质. 11. (15 年陕西文科) 如图, 某港口一天 6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数 y=3sin( +Φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为____________.

? x 6

【答案】8 【解析】

试题分析:由图像得,当 sin( 当 sin(

?
6

x ? ? ) ? ?1 时 ymin ? 2 ,求得 k ? 5 ,

?
6

x ? ? ) ? 1 时, ymax ? 3 ?1 ? 5 ? 8 ,故答案为 8.

考点:三角函数的图像和性质. 12.(15 年天津理科)已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? sin 2 ? x ? (I)求 f ( x ) 最小正周期; (II)求 f ( x ) 在区间 [ -

? ?

??

?, x?R 6?

p p , ] 上的最大值和最小值. 3 4

【答案】(I) ? ; (II) f ( x ) max ?

1 3 , f ( x ) min ? ? . 2 4

考点:1.两角和与差的正余弦公式;2.二倍角的正余弦公式;3.三角函数的图象与性质. 13.(15 年天津文科)已知函数

f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?? ? 0 ? , x ? R,

若函数 f ? x ? 在区 .

间 ? ??, ? ? 内单调递增,且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为

【答案】 【解析】

π 2

试题分析:由 f ? x ? 在区间 ? ??, ? ? 内单调递增,且 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,可得

2? ?

π

?

,且 f ?? ? ? sin ? 2 ? cos ? 2 ?

π? ? 2 ? sin ? ? 2 ? ? ? 1 , 4? ?

所以 ? 2 ?

π π π ? ?? ? . 4 2 2

考点:三角函数的性质. 14.(15 年湖南理科)

A.

5? 12

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

【答案】D. 【解析】 试题分析:向右平移 ? 个单位后,得到 g ( x) ? sin(2 x ? 2? ) ,又∵ | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 ,∴ 不妨

2 x1 ?

?
2

? 2k? , 2 x2 ? 2? ? ?
min

?
2

? 2m? , ∴ x1 ? x2 ?

?
2

? ? ? (k ? m)? , 又 ∵

x1 ? x2


?

?
3



?
2

?? ?

?
3

?? ?

?
6

,故选 D.

考点:三角函数的图象和性质. 10.(15 年江苏)已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ? 【答案】3 【解析】
1 ?2 tan(? ? ? ) ? tan ? 试题分析: tan ? ? tan(? ? ? ? ? ) ? ?7 ? 3. 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 2 7

1 ,则 tan ? 的值为_______. 7

考点:两角差正切公式

11.(15 年江苏)在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60? . (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值. 【答案】 (1) 7 (2) 【解析】
4 3 7

考点:余弦定理,二倍角公式

专题四 解三角形
sin 2 A ? sin C

1.(15 北京理科)在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则 【答案】1 【解析】 试题分析:



2 ? 4 25 ? 36 ? 16 sin 2A 2 sin A cos A 2a b 2 ? c 2 ? a 2 ? ? ? 1 ? ? ? 6 2?5?6 sin C sin C c 2bc
考点:正弦定理、余弦定理

2.(15 北京文科)在 ???C 中, a ? 3 , b ? 【答案】 【解析】 试题分析: 由正弦定理, 得

6 , ?? ?

?
4

2? ,则 ?? ? 3



3 6 2 a b ? , 即 , 所以 sin B ? , 所以 ?B ? . ? ? 2 sin A sin B 4 3 sin B 2

考点:正弦定理. 3.(15 年广东理科)设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 a ? 3 ,

sin B ?

1 π , C ? ,则 b ? 2 6

【答案】 1 .

【考点定位】本题考查正弦定理解三角形,属于容易题.

c. C 的对边分别为 a , b, c?2 3, 4. (15 年广东文科) 设 ???C 的内角 ? , 若a ? 2, ?,
cos ? ?
A. D. 3 【答案】B 【解析】 试题分析:由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,所以

3 ,且 b ? c ,则 b ? ( 2



3

B. 2

C. 2 2

22 ? b 2 ? 2 3

?

?

2

? 2?b? 2 3 ?

3 b ? 2 或b ? 4 , , 即 b 2 ? 6b ? 8 ? 0 , 解得: 因为 b ? c , 2

所以 b ? 2 ,故选 B. 考点:余弦定理.

5.(15 年安徽理科) 在 ?ABC 中,A ? 求

?
4

, AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D 在 BC 边上,AD ? BD ,
的 长 。

AD

? ? 6. ( 15 年 安 徽 文 科 ) 在 ?ABC 中 , AB ? 6 , ?A ? 75 , ?B ? 45 , 则

AC ?
【答案】2 【解析】 试 题 分























AB AC 6 AC ? ? ? ? AC ? 2 ? ? ? ? sin[180 ? (75 ? 45 )] sin 45 sin 60 sin 45?
?

考点:正弦定理. 7.(15 年福建理科)若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于 ________. 【答案】 7 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知 得 ?ABC 的 面 积 为

1 A B? A C sin ? A 2 0 s i nA ? 1 0 3, 所 以 2
A?

sin A?
B 2C ?

3 2



A ? (0, ) 2

?







?
3















2 A ?B 22? A C

49 ? 7C c ? oA s, B BC ? A .

A

考点:1、三角形面积公式;2、余弦定理.

0 0 8.(15 年福建文科)若 ?ABC 中, AC ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? _______.

【答案】 2 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 B ? 180 ? A ? C ? 60 . 由 正 弦 定 理 得
0 0

AC BC ? ,则 sin B sin A

BC ?

A Cs i n A , sin B

所以 BC ?

3? 3 2

2 2 ? 2.

考点:正弦定理. 9.(15 年新课标 1 理科)

10.(15 年新课标 2 理科)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠ BAC,?ABD 是?ADC
面积的 2 倍。 (Ⅰ )求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ ) 若 AD =1, DC =

2 求 BD 和 AC 的长. 2

11.(15 年新课标 2 文科)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC,BD=2DC. (I)求

sin ?B ; sin ?C

(II)若 ?BAC ? 60 ,求 ? B . 【答案】 (I)

1 ; 30 . 2

考点:解三角形

b, 12.(15 年陕西理科) ??? C 的内角 ? , 向量 m ? a, 3b c. ? ,C 所对的边分别为 a ,
与 n ? ? cos ?,sin ?? 平行. (I)求 ? ;

?

?

(II)若 a ? 【答案】 (I)

7 , b ? 2 求 ??? C 的面积.

? 3 3 ; (II) . 3 2

试题解析: (I)因为 m //n ,所以 a sin B 由正弦定理,得 sinAsinB-

3b cos A = 0 ,

3sinBcos A = 0

又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 , 由于 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3
2 2 2

(II)解法一:由余弦定理,得 a = b + c - 2bc cos A 而 a = 7 b = 2, ? ?
2

?
3
2

得 7 = 4 + c - 2c ,即 c - 2c - 3 = 0 因为 c > 0 ,所以 c = 3 . 故 ? ABC 的面积为

1 3 3 bcsinA = . 2 2

考点:1、平行向量的坐标运算;2、正弦定理;3、余弦定理;4、三角形的面积公式. 13.(15 年陕西文科) ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (a, 3b) 与

n ? (cos A,sin B) 平行.
(I)求 A ; (II)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积. 【答案】(I) A ?

?
3

;(II)

3 3 . 2

试题解析:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 由正弦定理,得 sin Asin B ? 3sin B cos A ? 0 , 又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? 由于 0 ? A ? ? 所以 A ?

3,

?
3

(II)解法一:由余弦定理,得

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,而 a ? 7, b ? 2 , A ?
得 7 ? 4 ? c ? 2c ,即 c ? 2c ? 3 ? 0
2 2

?
3



因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 ,

故 ?ABC 面积为

1 3 3 . bc sin A ? 2 2
7 sin

解法二:由正弦定理,得

?
3

?

2 sin B

从而 sin B ?

21 7 2 7 7

又由 a ? b 知 A ? B ,所以 cos B ? 故 sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ?

?
3

)

? sin B cos

?
3

? cos B sin

?
3

?

3 21 , 14

所以 ?ABC 面积为

1 3 3 . ab sin C ? 2 2

考点:1.正弦定理和余弦定理;2.三角形的面积. 14.(15 年天津理科)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 ?ABC 的 面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? 【答案】 8 【解析】
2 试题分析:因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos A ?

1 , 则 a 的值为 4

.

15 , 4

又 S?ABC ?

?b ? c ? 2 1 15 得 b ? 6, c ? 4 , bc sin A ? bc ? 3 15,? bc ? 24 ,解方程组 ? 2 8 ?bc ? 24

由余弦定理得

? 1? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 62 ? 42 ? 2 ? 6 ? 4 ? ? ? ? ? 64 ,所以 a ? 8 . ? 4?
考点:1.同角三角函数关系;2.三角形面积公式;3.余弦定理. 15. (15 年天津文科)△ABC 中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知△ABC 的面积为

1 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? , 4

(I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

? ?

??

? 的值. 6? 15 15 ? 7 3 ; (II) . 8 16

【答案】 (I)a=8, sin C ? 【解析】

考点:1.正弦定理、余弦定理及面积公式;2 三角变换.


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