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2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编2:函数


最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 2:函数
一、选择题 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 天 津 市 和 平 区 2013 届 高 三 第 一 次 质 量 调 查 理 科 数 学 ) 已 知 函 数 (

f ( x ) ? x ? x ? 1,g( x ) ? x ? 2 x ,h( x ) ? x ? ln x 的 零 点 分 别 为 x1 , x2 , x3 , 则
( ) A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3 C.x3<x1<x2 D.x2<x3<x1

错误!未指定书签。 . (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查理科数学)己知函数 f ( x ? 1 ) 是偶

函数,当 x ? ( ?? ,1 ) 时,函数 f ( x ) 单调递减,设 a ? f ( ? c ) A.c<a<b 的 大 小

1 ),b ? f ( ?1 ),c ? f ( 2 ) ,则 a,b, 2
关 系 ( 为

B.a<b<c

C.a<c<b

D.c<b<a

错误! 未指定书签。 . (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学 (理) 试题) 定义在 R 上的函数

满足 )

,当

时,

,则(

) (

A. C.

B. D.

错误!未指定书签。 . (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题) 已知函数

的图象如图所示则函数

的图象是(



·1·

错误! 未指定书签。 . (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学 (理) 试题) 函数

的定义域为( ) A.

) (

B.

C.

D.

错误!未指定书签。 . (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)设函



1 f ( x) ? x ? ln x( x ? 0) 3


,







f ( x)


A.在区间 (0,1),  ??) 内均有零点 (1, B.在区间 (0,1),  ??) 内均无零点 (1, C.在区间 (0,1) 内有零点,在区间 (1, ??) 内无零点 D.在区间 (0,1) 内无零点,在区间 (1, ??) 内有零点
错误!未指定书签。 . (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题(WORD 版) 定义在 R 上的奇函 )

?log(x ? 1),x ? [0, ) 1 1 ? 2 数 f(x),当 x≥0 时,f(x)= ? ,则关于 x 的函数 F(x)=f(x)-a(0<a<1)的 ?1 - x - 3 x ? [1, ) ?? ?
所 ) a A.2 -1 有 零 点 之 和 ( D.1-2 错误!未指定书签。 . (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷)设 f (x) 是定义在 R 上的周 B.1-2
a



C.2 -1

-a

-a

?1? 期函数,周期为 T ? 4 ,对 x ? R 都有 f (? x) ? f ( x) ,且当 x ? [?2,0] 时, f ( x) ? ? ? ? 1 ,若在 ?2?
·2·

x

区间 (?2,6] 内关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 2) =0 (a ? 1) 恰有 3 个不同的实根,则 a 的取值范围 是 ( ) A.(1,2) B. (2,??) C. 1, 4

?

?

D.

?

3

4,2

?

本卷共 12 小题,共 110 分.
错误!未指定书签。 . (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) 已知函数 )

f (x)= ln x
) A. (0,1)









g (x)=f (x ) ? f '( x ) 的 零 点 所 在 的 区 间 是


B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,4)

错误! 未指定书签。 . (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题) 定义域为 R 的函数 f (x) 满

足 f (x+2)=2 f (x) ,当 x? [0,2)时,

? x 2 -x,x ? [0,1) t 1 f (x)= ? 若 x ?[-4,-2] 时, f (x ) ? - 恒成立,则实数 t 的取值范围是 |x-1.5| 4 2t ,x ? [1,2) ?-(0.5)
( ) A.[-2,0) ? (0,l) C.[-2,l] B . [-2 , 0) D.( -? ,-2] ? (0,l]

?

[l



+∞)

错误!未指定书签。 (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题) 在下列区间中,函数 .

f (x)=e x +4 x ? 3
) A. (















间 (



1 ,0) 4

B. (0,

1 ) 4

C. (

1 1 , ) 4 2

D. (

1 3 , ) 2 4

错误!未指定书签。(天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)定义在 R 上的偶函数 f(x), .



x ∈ [0,+∞) 时 ,f(x) 是 增 函 数 , 则

f(-2),f(π ),f(-3) 的 大 小 关 系 是 ( .

f(π )>f(-2)>f(-3) D.f(π )<f(-2)<f(-3) 错误!未指定书签。 (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学) 偶函数 f(x)满足 .

) A.f(π )>f(-3)>f(-2) B C.f(π )<f(-3)<f(-2)

10 ?1? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且在 x∈[0,1]时,f(x)=x 2 ,则关于 x 的方程 f(x)= ? ? 在 [0, ] 3 ? 10 ?
·3·

x

上 ) A.1 个







数 (



B.2 个

C.3 个

D.5 个

错误!未指定书签。 (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学) 设 a ? log5 4 , .

b ? (log 5 3) 2
) A.a<c<b

,

c ? log 4 5

, (



B.b<c<a

C.a<b<c

D. b ? a ? c

错 误!未指 定书签。 (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题) 设函数 .

? 1 (x ? 1) ? 2 (x)= ? |x -1| f ,若关于 x 的方程 [f (x)] +bf (x )+c=0 有三个不同的实数根 x1 ,x2 ,x3 ,则 ?1 (x =1) ?
x12 +x2 2 +x32
) A.13 B.5 C. 等 ( 于

3c2 +2 c2

D.

2b2 +2 b2

错误!未指定书签。(天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)函数 f ( x) 的定 .







R





f (x ?

1 与 )

f ( x ? 1)











, (



) A. f ( x) 是偶函数 B. f ( x) 是奇函数 C D. f ( x ? 3) 是奇函数
错误! 未指定书签。 . (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学 (理) 试题) 给定函数① y =x
? 1 2



f ( x) ? f ( x ? 2)



② y =2

x 2 ?3 x +3

, ③ y = log 1 |1-x| , ④ y = sin
2

?x
2

, 其 中 在 (0,1) 上 单 调 递 减 的 个 数 为 (

) A.0

B.1 D.3 个


·4·

C.2



错误!未指定书签。(天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知定义在区间 .

[0,2]上的函数 y =f (x) 的图象如图所示,则 y =f (2-x) 的图象为

错误!未指定书签。 (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题) 已知函数 .

f ? x ? ? ? m 2 ? m ? 1? x ?5 m ?3 是 幂 函 数 且 是 ? 0, ?? ? 上 的 增 函 数 , 则 m 的 值 为
( ) A.2 B.-1 C.-1 或 2 D.0

错误!未指定书签。 (天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学(理)试题)已知函数 .

f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2013 x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? , g ( x) ? 1 ? x ? ,设 2 3 4 2013 2 3 4 2013

函数 F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4) ,且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,则 b ? a 的 最 小 值 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 为

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 函 数 . ?x ? 2 ? 1( ? 0 ) 若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不等的实数根,则实数 a 的取值范围为 x f ( x) ? ? ? f ( x ? 1) ( x ? 0)

( ) A.(-∞,0) B.[0,1) C.(-∞,1)
·5·

D.[0,+∞)

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 函 数 .

f ( x) ? 2 x ? 1 ? lo g x 2
) A. ? , ?



















间 (



?1 1? ?8 4?

B. ? , ?

?1 1? ?4 2?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. (1,2)

错误!未指定书签。(天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷)若直角坐标平面内的两 .

点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 y ? f (x) 的图像上;②P、Q 关于原点对称,则称点对[P,Q] 是函数 y ? f (x) 的一对“友好点对” (注:点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对” ).已知函数

?log 2 x( x ? 0) f ( x) ? ? 2 ?? x ? 4 x( x ? 0)
) A.0 对
二、填空题























” (



B.1 对

C.2 对

D.3 对

错误!未指定书签。 (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题) 定义一种运算 .

,令

,且



则函数

的最大值是______.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 蓟 县 二 中 2013 届 高 三 第 六 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数 .

______.
错误!未指定书签。(天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题(WORD 版) 函数 f(x)的定义域为 . )

D,若对于任意的 x1,x2∈D,当 x1<x2 时都有 f(x1)≤f(x2),则称函数 f(x)为 D 上的非减函数.设 f(x) 为定义在[0,1]上的非减函数,且满足一下三个条件: (1)f(0)=0; (2)f(1-x)+f(x)=1 x∈[0,1]; (3)当 x∈[0,

1 3 ]时,f(x)≥ x 恒成立, 3 2

则 f(

3 5 )+f( )= 7 9

.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 寒 假 复 习 质 量 反 馈 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 .
·6·

? ?lgx,x>0, f(x)=? x ? ?10 ,x≤0,

则 f(f(-2))=________.

错误!未指定书签。(2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) 已知函数 y ? mx . )

的图像与函数 y ?

x ?1 x ?1

的图像没有公共点,则实数 m 的取值范围是

错误!未指定书签。(天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)已知 a>0,且 a ? 1,若函 .

数 f (x)=a

lg (x 2 -2 x +3)

有最大值,则不筹式 log a (x -5 x +7)>0 的解集为
x

2



错误!未指定书签。(天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)函数 f(x)=a + a x ? 2 的值域 .

为_________.
错误!未指定书签。 (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学) 已知函数 f(x) .

=?

?(a ? 2) x ? 1, x ? 1, 若 f(x)在(- ? ,+ ? )上单调递增,则实数 a 的取值范围为________。 ?log a x, x ? 1.

错误!未指定书签。(天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)定义:如果函数 .

y ? f (x) 在定义域内给定区间 [a,b] 上存在 x 0 (a ? x 0 ? b) ,满足 f ( x 0 ) ?

f (b) ? f (a) ,则 b?a
4

称函数 y ? f (x) 是 [a,b] 上的“平均值函数”, x 0 是它的一个均值点,如 y ? x 是 [?1, 1] 上的 平均值函数,0 就是它的均值点.现有函数 f ( x) ? ? x ? mx ? 1 是 [?1, 1] 上的平均值函数,则实
2

数 m 的取值范围是

.

错误!未指定书签。(天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知 ?x ? R , .

f (1+x)= f (1-x) ,当 x ? 1时, f (x)=ln( x+1) ,则当 x<1 时, f (x)=

.

错误!未指定书签。 (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题) 已知函数 .

y = x 2 +ax-1+2a 的值域为[0,+?) ,则 a 的取值范围是

.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 函 数 .

f ( x)=log x2 -2 -3) x 的单调递减区间为 1 (
2

.

错误! 未指定书签。 天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学 ( . (理) 试题) 已知 f ( x +1)=x - 1 ,

则 f (x)=

( x?

).

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若 .
·7·

f (x)=

1 ,则 f (x) 的定义域为 log 1 (2x +1)
2

.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 已 知 函数 .

? 1 1 ? 1? ?? 3 x ? 6 , x ? ?0, 2 ? π ? ? ? f ( x) ? ? 3 ,函数 g ( x ) ? a sin( x ) ? 2a ? 2,(a ? 0) ,若存在 x1 , x2 ? ? 0,1? , 6 ? 2 x , x ? ? 1 ,1? ? ? ? x ?1 ?2 ? ?
使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是____________.
错误!未指定书签。(天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷)定义在 (?1,1) 上的函数 .

? x? y ? f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? 1 ? xy ? ? ? ?





x ? (?1,0)



f ( x) ? 0

.



?1? ?1? ?1? P ? f ? ? ? f ? ?, Q ? f ? ?, R ? f (0) ,则 P,Q,R 的大小关系为_____________. ?5? ? 11 ? ?2?
三、解答题 错误!未指定书签。(天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)对于函数 f (x ) 若 .

存在 x0 ? R , f (x0 )=x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点.已知 f (x)=ax ? (b ? 1) x ? b -1(a ? 0)
2

(1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f (x) 的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y =f (x) 图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且 A 、 B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

错误!未指定书签。(天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知函数 .

f ( x) 对

任意实数 x , y 恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ,且当 x>0 时, f ( x) ? 0 又 f (1) ? ?2 . (1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求证: f ( x) 是 R 上的减函数; (3)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的值域; (4)若 ?x ? R ,不等式 f (ax ) ? 2 f ( x) ? f ( x) ? 4 恒成立,求 a 的取值范围.
2

·8·

最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 2:函数参考答案 一、选择题 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

D 错误!未找到引用源。 A 【答案】D 的图象关于 y 轴对称,且周期为 2,故可画出它的大致图象,如 且 ,选 D. ,而函数 在 是减函数,

【解析】由题意可知,函数 图所示:∵ ∴

错误!未找到引用源。

【答案】A

【解析】由函数的两个根为 x ? a.x ? b ,图象可知 0 ? a ? 1, b ? ?1 。所以根据指数函数的图象 可知选 A.
错误!未找到引用源。

【答案】D

?? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x 2 +3 x ? 4 ? 0 ? ? x?0 ?x ? 0 【解析】 要使函数有意义, 则有 , ? 即 , 解得 ?4 ? x ? 1 且 x ? 0 ,
选 D. D 错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用源。 D 错误!未找到引用源。 B
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 【答案】D

【解析】当 x ?[-4,-2] ,则 x ? 4 ?[0,2] ,所以 f ( x) ?

1 1 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) 2 4

?1 ?1 2 2 ? 4 [( x ? 4) ? ( x ? 4)], x ? [?4, ?3) ? 4 ( x ? 7 x ? 12), x ? [?4, ?3) ? ? =? =? ,当 x ? [ ?4, ?3] 时, ?? 1 (0.5) x ? 2.5 , x ? [?3, ?2) ?? 1 (0.5) x ? 4?1.5 , x ? [?3, ?2) ? 4 ? 4 ? ?
·9·

1 1 7 1 7 f ( x)= ( x 2 ? 7 x ? 12) ? [( x ? )2 ? ] 的对称轴为 x= ? ,当 x ? [ ?4, ?3] 时,最小值为 2 4 4 2 4 7 1 1 1 x ? 2.5 f (? )= ? ,当 x ? [?3, ?2), f (x )= ? (0.5) ,当 x ? ?2.5 时,最小,最小值为 ? , 4 2 16 4 1 1 t 1 所以当 x ?[-4,-2]时,函数 f ( x) 的最小值为 ? ,即 ? ? ? ,所以 t ,即 1 1 4 4 4 2t ? ? ?0 4 2t 4
?t ? 0 ?t ? 0 t2 ? t ? 2 或? 2 ,解得 0 ? t ? 1 或 t ? ?2 ,即 ? 0 ,所以不等式等价于 ? 2 t ?t ? t ? 2 ? 0 ?t ? t ? 2 ? 0

t 的取值范围是 (??, ?2] ? (0,1] ,选 D.
错误!未找到引用源。 【答案】C

【解析】

1 1 1 1 1 1 1 1 f ( )=e 4 ? 2=e 4 ? 16 4 ? 0 , f ( )=e 2 ? 1= e ? 1 ? 0 ,所以函数的零点在 ( 4 , 2 ) , 4 2

选 C.
错误!未找到引用源。 【答案】A

【解析】因为函数是偶函数,所以 f (?2) ? f (2), f (?3) ? f (3) ,又函数在 [0, ??) 上是增函数, 所以由 f (2) ? f (3) ? f (? ) ,即 f (?2) ? f (?3) ? f (? ) ,选 A.
错误!未找到引用源。 【答案】C

【解析】由 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1)得 f ( x ? 2) ? f ( x) 所以函数的周期又函数为偶函数,所以

,在同一坐 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,所以函数关于 x ? 1 对称, 1 x 10 标系下做出函数 f ( x) 和 y ? ( ) 的图象,如图,由图象可知在区间 [0, ] 上,方程根的个数 3 10 为 3 个,选 C.
错误!未找到引用源。 【答案】D

【 解 析 】 因 为 log 4 5 ? 1 , 0 ? log5 4 ? 1 , 0 ? log5 3 ? 1 , 因 为 0 ? log5 3 ? 1 , 所 以

(log5 3)2 ? log5 3 ? log5 4 ,所以 b ? a ? c ,选 D.
·10·

错误!未找到引用源。 【答案】B

【解析】做出函数 f ( x) 的图象如图,要使方程[f (x)] + bf ( x)+c=0 有三个不同的实数根,结合图 象可知, f ( x) ? 1 ,所以三个不同的实数解为 0,1, 2 ,所以 x1 ? x2 ? x3 ? 5 ,选 B.
2 2 2

2

错误!未找到引用源。 【答案】D

【 解 析 】 函 数 f (x ? 1 ) , f ( x ? 1) 都 为 奇 函 数 , 所 以 f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,

f ( x ? 1) ? ? f (? x ? 1) ,所以 函数 f ( x) 关于点 (1, 0) , (?1,0) 对称,所以函数的周期 T ? 4 ,
所以 f ( x ? 1 ? 4) ? ? f (? x ? 1 ? 4) ,即 f ( x ? 3) ? ? f (? x ? 3) ,所以函数 f ( x ? 3) 为奇函数, 选 D.
错误!未找到引用源。 【答案】C

【解析】①为幂函数, ? 递 减 , 所 以 函 数 y =2 增.④ y ? sin

1 3 3 ? 0 ,所以在 (0,1) 上递减.② x 2 ? 3x ? 3 ? ( x ? )2 ? ,在 (0,1) 上 2 2 4
) 在 (0,1) , 递 减 .③ y ? log 1 1 ? x ? log 1 x ? 1 , 在 ( 0 , 1 递
2 2

x 2 ?3 x +3

?
2

x 的周期, T ? 4 ,在 (0,1) 上单调递增,所以满足条件的有 2 个,选 C.

错误!未找到引用源。 【答案】A

【解析】当 x ? 0 时, y ? f (2 ? 0) ? f (2) ? 1 ,排除 B,C,D,选 A.
错误!未找到引用源。 【答案】B

【解析】因为函数为幂函数,所以 m ? m ? 1 ? 1 ,即 m ? m ? 2 ? 0 ,解得 m ? 2 或 m ? ?1 .
2 2

因为幂函数在 (0, ??) ,所以 ?5m ? 3 ? 0 ,即 m ? ?
错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

3 ,所以 m ? ?1 .选 B. 5
案 】 C 函 数 的 导 数 为





f ' ? x ? ? 1 ? x ? x 2 ? x3 ??? ? x 2012 ?

1 ? (? x) 2013 1 ? x 2013 ? , f ( x ? 得 x ? ?1 , 由 ' ) 0 即函数的极 1 ? ( ? x) 1? x
·11·

小值为 f (?1) , 所以 f ? ?1? ? 1 ? 1 ?

1 1 1 当 又 ( ) ? ?? ? ? 0 。 x ? ?1 时,f ( x) ? 0 , f 0 1 ? , 2 3 2013

所 以 在 (? 1, 0)上 函 数 有 且 只 有 一 个 零 点 , 即 f ? x ? 3? 在 (?4, ?3) 上 函 数 有 且 只 有 一 个 零 点. g ' ? x ? ? ?1 ? x ? x ? x ??? ? x
2 3 2012

?

?1 ? (? x) 2013 ?1 ? x 2013 ,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 ,即函 ? 1 ? ( ? x) 1? x

数的极小值为 f (1) ,所以 g ?1? ? 1 ? 1 ?

1 1 1 ? ?? ? ? 0 。当 x ? ?1 时, g ( x ) ? 0 ,又 2 3 2013

g (0) ? 1, g (1) ? 0 , g (2) ? 0 ,所以在 (1, 2) 上函数 g ( x) 有且只有一个零点,即 g ? x ? 4 ? 在 (5, 6) 上函数有且只有一个零点,又函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,所以 b ? 6, a ? ?4 ,即 b ? a ? 10 ,所以 b ? a 的最小值为 10,选 C.
错误!未找到引用源。 【答案】C

解:做出函数 f ( x) 的图象如图,由图象可知,当 a ? 1 时,直线 f ( x) ? x ? 1 ,与 f ( x) 只有 1 个交 点,要使两个函数有 2 个交点,则有 a ? 1 ,即实数 a 的取值范围为

(??,1) ,选 C.
错误!未找到引用源。 【答案】C

解:因为 f (1) ? 2 ? 1? log2 1? 1? 0, f ( ) ? 2 ?

0 2

1 1 ? 1 ? log 2 ? ?1 ? 0 ,所以根据根的存在性 2 2
1 2

定理可知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? log 2 x 的零点所在的区间为 ( ,1) ,选 C.
错误!未找到引用源。 【答案】C

解:解:根据题意:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? (? x) ? 4(? x) ? ? x ? 4 x , 若 P、Q 关于
2 2

0) 原点对称,可知,函数为奇函数,可有 f (? x) ? ? x ? 4 x ? ? f ( x) ,即 f (x) ?x ?4x,( x ?
2 2 2 2



则函数 y ? ? x ? 4 x, ( x ? 0) 的图象关于原点对称的函数是 f ( x) ? x ? 4 x, ( x ? 0) ,由题意知,
·12·

作出函数 f ( x) ? x ? 4 x,( x ? 0) 的图象,看它与函数 f ( x) ? log 2 x, ( x ? 0) 交点个数即可得到
2

友好点对的个数.由图象可知它们的图象交点个数为 2 个,所以此函数的“友好点对”有 2 对,

选 C.
二、填空题 错误!未找到引用源。 【答案】

5 4
,则

【解析】令

∴由运算定义可知,

sin x ?
∴当

1 ? 5 x? 2 ,即 6 时,该函数取得最大值 4 .

由图象变换可知,

所求函数

的最大值与函数

在区间

上的最大值相同.

错误!未找到引用源。 【答案】

5 2 f (2) ? f (1) ? f (?1) ? 2 f (1) ? 2 ? 1 3 ?1 ? 2 2 1 ?1 2 。令

【解析】令 x ? ?1 得 f (1) ? f ( ?1) ? f (2) ,即

x ?1

f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ?






x?3



f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ?
错误!未找到引用源。 1 错误!未找到引用源。

3 5 ? 1= 2 2。

-2

错误!未找到引用源。 ? 1 ? m ? ?3 ? 2 2 错误!未找到引用源。 【答案】 (2,3)
·13·

【解析】所以 x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ? 2 有最小值 2, lg( x 2 ? 2 x ? 3) ? lg 2 ,要使函数 f ( x) 有最大值,则指数函数单调递减,则有 0 ? a ? 1,由
2

log a (x 2 -5 x +7)>0 得 0 ? x 2 ? 5x+7 ? 1 ,

? 即 ?0 ? x ? 5 x +7 ,解得 2 ? x ? 3 ,即不等式的解集为。 ? 2 ? x ? 5 x +7 ? 1 ?

错误!未找到引用源。 【答案】 ( 2, ??)

【解析】令 t ?

a x ? 2 则 t ? 2 且 t 2 ? a x ? 2 ,所以 a x ? t 2 ? 2 ,所以原函数等价为

1 9 1 y ? g (t ) ? t 2 ? 2 ? t ? (t ? ) 2 ? ,函数的对称轴为 t ? ? ,函数开口向上。因为 t ? 2 , 2 2 4
所以函数在 ( 2, ??) 上函数单调递增, 所以 g (t ) ? g ( 2) ? ( 2) ? 2 ? 2 ?
2

2, y? 2, 即

所以函数的值域为 ( 2, ??) 。
错误!未找到引用源。 【答案】 (2,3]

?a ? 1 ?a ? 1 ?a ? 1 ? ? ? 【解析】要使函数 f ( x) 在 R 上单调递增,则有 ? a ? 2 ? 0 ,即 ? a ? 2 ,所以 ? a ? 2 ,解 ?a ? 2 ? 1 ? 0 ?a ? 3 ? f (1) ? 0 ? ? ?
得 2 ? a ? 3 ,即 a 的取值范围是 (2,3] 。
错误!未找到引用源。 【答案】 (0, 2)

【解析】因为函数 f ( x) ? ? x ? mx ? 1 是 [?1, 1] 上的平均值函数,所以
2

f (1) ? f (?1) ? m ,即 1 ? (?1)

关于 x 的方程 ? x ? mx ?1 ? m ,在 (?1,1) 内有实数根,即 mx ? mx ? m ? 1 ? 0 ,若 m ? 0 ,
2 2

方程无解 ,所以 m ? 0 ,解得方程的根 为 x1 ? 1 或 x2 ? m ? 1 .所以必 有 ?1 ? m ?1 ? 1 , 即

0 ? m ? 2 ,所以实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 2 ,即 (0, 2) .
错误!未找到引用源。 【答案】 ln (3-x)

【 解 析 】 由 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 可 知 函 数 关 于 x ? 1 对 称 , 当 x ? 1 时 , 2 ? x ? 1 , 所 以

f ( x) ? f (2 ? x) ? ln[(2 ? x) ? 1] ? ln(3 ? x) .
·14·

错误!未找到引用源。 【答案】 a ? 4 ? 2 3 或 a ? 4 ? 2 3

【 解 析 】 令 t ? g ( x) ? x ? ax ? 1 ? 2a , 要 使 函 数 y ? t 的 值 域 为 [0, ??) , 则 说 明
2

[ 0 ? ? )? y y ? g ( ) } , 即 二 次 函 数 的 判 别 式 ? ? 0 , 即 a 2 ? 4 ( a ? 1 ) , 即 , { x 2 ? 0
, a 2 ? 8a ? 4? 0 解 得 a ? 4 ? 2 3 或 a ? 4 ? 2 3 , 所 以 a 的 取 值 范 围 是 a ? 4 ? 2 3 或

a ? 4?2 3 .
错误!未找到引用源。 【答案】 (3, ??)

【解析】 t ? x ? 2 x ? 3 , y ? lg 令 则 o
2

1 2

t 在定义域上为减函数.由 t ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得,x ? 3 或

2 当 函数 t ? x ? 2 x ? 3 递增, 根据复合函数的单调性可知, 此时函数 y ? f ( x) x ? ?1, x ? 3 时,

单调递减,所以函数的递减区间为 (3, ??) .
错误!未找到引用源。 【答案】 f ( x) ? x ? 2 x , x ?[1, ??)
2

【解析】令 t ?

x ? 1 , 则 t ? 1 , x ? (t ? 1) 2 , 所 以 f (t ) ? (t ? 1)2 ? 1 ? t 2 ? 2t , 所 以

2 f ( x)? x ? 2 x x ?[1, ??) . ,

错误!未找到引用源。 【答案】 ( ?

1 , 0) 2

1 ? ?2 x ? 1 ? 0 1 ?x ? ? ? 【解析】要使函数有意义,则有 ?log (2 x ? 1) ? 0 ,即 ? 2 ,所以解得 ? ? x ? 0 ,即 1 2 ?2 x ? 1 ? 1 ? 2 ? ?
不等式的定义域为 ( ?

1 , 0) . 2

错误!未找到引用源。 【答案】 [

1 4 , ] 2 3 1 1 1 0?? x? ? 3 6 6
, 即

解 : 当 时 , f ( x) ?

0? x?

1 2

时 ,

0 ? f ( x) ?

1 6

. 当

1 ? x ?1 2

4 x3 ? 6 x 2 4 x3 ? 6 x 2 2 x3 1 ?0 ,函数 , f '( x) ? , 所 以 当 ? x ? 1 , f '( x) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 x ?1 2
. 当 0 ? x2 ? 1 1

f ( x) ?

2 x3 1 单 调 递 增 ,此 时 . x ) ? f ( x )? 1 综 上 函 数 0 ? f ( ? x ?1 6
·15·

时, 0 ?

?
6

6 6 π 1 3 2 ? 2a ? a sin( x) ? 2a ? 2 ? a ? 2a ? 2 ,即 2 ? 2a ? g ( x2 ) ? 2 ? a .若存在 x1 , x2 ? ? 0,1? , 6 2 2

x2 ?

?

, 0 ? sin

?

x2 ?

1 ? 1 ,所以 0 ? a sin x2 ? a , 2 6 2

使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成 立, 则有 g ( x2 ) 的最大 值大于 等 于 0, g ( x2 ) 的最小 值小于等 于 1,即

4 ? ? 3 ?a ? 3 1 4 1 4 ? ?2 ? a ? 0 ,解得 ? ,即 ? a ? ,所以实数 a 的取值范围 [ , ] . ? 2 2 3 2 3 ? 2 ? 2a ? 1 ?a ? 1 ? ? ? 2
错误!未找到引用源。 P ? R ? Q 三、解答题 错误!未找到引用源。解: (1)? a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) ? x ? x ? 3 ,
2

f ( x) ? x ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? x ? ?1, x ? 3

?函数 f (x) 的不动点为-1 和 3;
(2) f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x 有两个不等实根, 即 转化为 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 有两个不
2

2

等实根,需有判别式大于 0 恒成立 即 b ? 4a(b ? 1) ? 0 ? ? ? (?4a) ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 ,?a 的取值范围为 0 ? a ? 1;
2 2

(3)设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? A,B 的中点 M 的坐标为 (

x1 ? x2 x1 ? x2 b b , ) ,即 M ( ,? ) 2 2 2a 2a 1 对称, ? A、B 两点关于直线 y ? kx ? 2 2a ? 1 又因为 A,B 在直线 y ? x 上, 1 上. ?k ? ?1 ,A,B 的中点 M 在直线 y ? kx ? 2 2a ? 1 b b 1 a 1 , ? ? ? 2 ?? ? 2 ?? 1 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 2a ? a
利用基本不等式可得当且仅当 a ?

b , a

2 1 时,b 的最小值为 . 2 2 2

错误!未找到引用源。 (1)解:取 x ? y ? 0, 则

f (0 ? 0) ? 2 f (0)

? f (0) ? 0

取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)
·16·

? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f (x) 为奇函数.

·17·


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