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2015届泸州一诊理数答案


2015 届泸州一诊理数答案
一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 11. ?1? i ; 三、解答题 16 .解: (I)∵ 3a cos C ? c sin A , 由正弦定理得: 3 sin A cos C ? sin C sin A , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ∴ 3 cos C ? sin C ,即 tan C ? 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 又 0 ? C ? ? ,∴ C ? 1 A 2 D 3 D 4 C 5 B 6 A 7 C 8 B 9 C 10 B

3 4 12. ( , ? ) ; 5 5

13. 4027 ;

1 14. (0, ] ; 7

15.② ③.

?
3

;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(II)∵ a ? 3 , △ ABC 的面积为

3 3 , 2

1 ? 3 3 ∴ ? 3b sin ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 3 2

∴ b ? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

c2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ?

?
3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 7 ,即 c ? 7 , ·

7 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 14

∴ CA ? AB ? bc cos(? ? A) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

7 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ) ? ?1 . · 14 C1 C1 12(n ? 6) 17 .解: (Ⅰ)由题可知,所选两人为“最佳组合”的概率 P ? n ? 62 6 ? , · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 n(n ? 1) Cn ? 2 ? 7 ? (?

12( n ? 6) 1 ≥ , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 n( n ? 1) 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

化简得 n 2 ? 25n ? 144 ≤ 0 ,解得 9 ≤ n ≤ 16 ,

5分

故 n 的最大值为 16; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (Ⅱ)由题意得, ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
? 则 P(? ? 0) C62 5 ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 C12 22

P(? ? 1) ?
P (? ? 2) ?

1 1 C6 C6 6 ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 11 C12

C62 5 ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 C12 22

所以 ? 的分布列为
理科数学 第 1 页 共 5 页

?

0

1

2

5 5 6 22 22 11 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

P

5 6 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? 1? ? 2 ? ?1. · 22 11 22 1 1 18 解: (Ⅰ)因为点 (an , Sn ) 都在函数 f ( x) ? ? x ? 的图象上. 2 2 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 所以 Sn ? ? an ? , · 2 2 1 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? , S1 ? a1 ? a1 ? , · 3 2 2

? E? ? 0 ?

1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 当 n ≥ 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? , · 2 2 1 1 1 1 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 所以 an ? Sn ? Sn?1 ? ? an ? ? an?1 ? ? ? an ? an?1 , · 2 2 2 2 2 2 1 ? an ? an ?1 , 3
1 1 ? ?an ? 是公比为 ,首项为 的等比数列, 3 3
1 ? an ? ( )n ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 3

1 1 (Ⅱ) 因为 ?an ? 是公比为 ,首项为 的等比数列, 3 3 1 1 (1 ? n ) 3 3 ? 1 (1 ? 1 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 所以 Sn ? , · 1 2 3n 1? 3 b ? lg(1 ? 2 S · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ∴ n n ) ? 2 ? ?n lg 3 ? 2 , ·
∵ bn ?1 ? bn ? ? lg 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ∴数列 ?bn ? 是以 ? lg 3 ? 2 为首项,公差为 ? lg 3 的等差数列,且单调递减, ·

?bn ≥ 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 由? ,· ?bn ?1 < 0
2 2 ??n lg 3 ? 2 ≥ 0 ?1 ? n ? 所以 ? ,即 , lg 3 lg 3 ??(n ? 1) lg 3 ? 2 ? 0

因为

2 2 100 ? log 3 100 ? log 3 35 ? 5 , ? 1 ? log 3 ? log 3 33 ? 3 , lg 3 lg 3 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ∴ n ? 4 ,·

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 数列 ?bn ? 的前 n 项和的最大值为 T4 ? (? lg3 ? 2 ? 4lg3 ? 2) ? 4 ? 8 ?10lg3 . · 2
19 .解: (Ⅰ)由 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? R 且 x ? 0 , ∴函数的定义域为 (??, 0) (0, ??) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 当 x ? (??, 0) (0, ??) 时, f ? x ? ?
f ??x? ?
1 1 2x ? 1 ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 ? 1 2 2(2x ? 1)
x

2? x ? 1 1 ? 2x ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2(2? x ? 1) 2(1 ? 2 x )
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所以 f ? ? x ? ? ? f ( x) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ∴f (x)在定义域上是奇函数; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ ) 由于 f ? ? x ? ? ?
2 x ln 2 , (2 x ? 1) 2 2 x ln 2 ? 0 恒成立, (2 x ? 1) 2

当 x ? (??,0) 或 x ? (0, ??) 时, f ? ? x ? ? ?

所以 f ? x ? 在 (??,0),(0, ??) 上是减函数, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 因为 x∈[2,4]且 m>0,所以 由 f( 所以
x ?1 m ? 0, ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x )

x ?1 m )? f( ) 及 f ? x ? 在 (0, ??) 上是减函数, x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x) x ?1 m ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x ? 1 ( x ? 1)2 (7 ? x )

因为 x∈[2,4],所以 m<(x+1)(x-1)(7-x)在 x ? [2, 4] 恒成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 设 g(x)=(x+1)(x-1)(7-x), x ? [2, 4] ,则 g(x)=-x3+7x2+x-7,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

7? 52 ? 所以 g′(x)=-3x2+14x+1=-3 ? x ? ? 2+ , 3? 3 ?
所以当 x ? [2, 4] 时,g′(x)>0 . 所以 y=g(x)在 [2, 4] 上是增函数,g(x)min=g(2)=15 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 综上知符合条件的 m 的取值范围是 (0,15) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20.解: (Ⅰ) 函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ∴函数的周期 T ? ? , ? ? ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 将 f ( x) 的图象向左平移 ∵ y ? sin(2 x ? ∴

?
2

)图象的相邻两对称轴间的距离

? , 2

2?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? 2 ,·

? ? 个单位后得到的函数为 y ? sin(2 x ? ? ? ) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 3 6

?
3

? ? ) 图象关于 y 轴对称,
(k ? Z) ,又 ? ?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

?
2

,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

∴? ?

?
6

,即 f ( x) ? sin(2x ?

?
6

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ), ·

由 f ( x) ≥

1 ? 1 ? ? 5? 得: sin(2x ? ) ≥ ,即 2k? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ( k ? Z ) ,· 2 6 2 6 6 6 1 ? 的 x 的取值范围是 [k? ,k? ? ](k ? Z) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 3

∴使 f ( x) ≥

1 ? (Ⅱ)∵ g ( x) ? ? g ?( )sin 2x ? 3 cos 2 x , 2 6
∴ g ?( x) ? ? g ?( )cos 2 x ? 2 3 sin 2 x , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 6 令x?

?

?
6

得 g ?( ) ? ? g ?( ) cos ? 2 3 sin ,解得 g ?( ) ? ?2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 6 6 3 3 6

?

?

?

?

?

理科数学

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∴ g ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 ∵ g ( x) ? ∵

?

2 ? 1 ,∴ sin(2 x ? ) ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3 7 7

?
12

?x?

?
3

,∴
)??

?
2

? 2x ?

?
3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? ? ,·

∴ cos(2 x ?

?
3

4 3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 7

? 4 3 1 1 3 3 3 ? )?? ? ? ? ?? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 3 3 7 2 7 2 14 1 21.解: (Ⅰ) ∵ h( x) ? ln x ? x2 ? ax ? ln a ,所以定义域为 (0, ??) 且 a ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 2
∴ cos 2 x ? cos(2 x ? 因为 h?( x) ?

?

1 1 1 a 4?a ? x ? a ? ( x2 ? ax ? 1) ? [( x ? )2 ? ), x x x 2 4

2

(1)当 4 ? a 2 ≥ 0 ,又 a ? 0 ,即 0 ? a ≤ 4 时, h?( x) ≥ 0 对 x ? 0 恒成立, ∴ h( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (2)当 4 ? a 2 ? 0 ,又 a ? 0 ,即 a ? 4 时, 由 h?( x) ? 0 得: x ?
a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ,或 x ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 2 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ),( , ??) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2

所以 h( x) 的单调递增区间为 (0, (Ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ?

1 1? x ,得 x ? 1 . ?1 ? x x

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:
x

? 0,1?
+ ↗

1 0
? ln a ? 1

(1, ??)

f ?? x? f ? x?

- ↘

这时, f ? x ? 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 当 x 大于 0 且无限趋近于 0 时, f ? x ? 的值无限趋近于 ?? ; 当 x 无限趋近于 0 时 ?? , f ? x ? 的值无限趋近于 ?? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 所以 f ? x ? 有两个零点,须满足 f ?1? >0,即 ln a ? 1 , 所以 a 的取值范围是 (0,e?1 ) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 因为 x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个零点,即 ln x1 ? x1 ? ln a ? 0 , ln x2 ? x2 ? ln a ? 0 . 故 x2 ? x1 ? ln x2 ? ln x1 ? ln 设
x2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x1

x2 ? x ? tx1 , ln t t ln t ? t ,则 t ? 1,且 ? 2 解得 x1 ? , x2 ? . x1 x ? x ? ln t , t ?1 t ? 1 ? 2 1

所以 x1 ? x2 ? 令 h ? x? ?

?t ? 1? ln t .
t ?1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
?2ln x ? x ? 1 x.

? x ? 1? ln x , x ?
x ?1

?1, ?? ? ,则 h? ? x ? ?

? x ? 1?

2

理科数学

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令 u ? x ? ? ?2ln x ? x ?

1 ? x ?1 ? ,得 u ? ? x ? ? ? ? . x ? x ?

2

当 x ? ?1, ?? ? 时, u? ? x ? ? 0 .因此, u ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 故对于任意的 x ? ?1, ?? ? , u ? x ? ? u ?1? ? 0 ,由此可得 h? ? x ? ? 0 , 故 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增. 因此,由①可得 x1 ? x2 随着 t 的增大而增大. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 因为 x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个零点,即 ln x1 ? x1 ? ln a ? 0 , ln x2 ? x2 ? ln a ? 0 , 则a ?

x x1 , a ? x2 , e2 e x1 x 1? x ,则 F ? ? x ? ? x , x e e

因为 f ?1? ? ?1 ? ln a 且 a ? (0, e ?1 ) ,则 x1 ? ? 0,1? , x2 ? ?1, ?? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 设 F ? x? ?

所以 F ? x ? 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 对于任意的 a1 , a2 ? ? 0, e?1 ? ,设 a1 ? a2 , 故 F ??1 ? ? F ??2 ? ? a1 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ? 2 ; F ??1 ? ? F ??2 ? ? a2 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ?2 . 因为 F ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,故由 a1 ? a2 ,即 F ??1 ? ? F ??1 ? ,可得 ?1 ? ?1 ; 类似可得 ?2 ? ?2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 由 ?1 ,?1 ? 0 ,则 所以,x=

? ? 1 1 ? ,所以 2 ? 2 . ? 1 ?1 ?1 ?1

x2 随着 a 的增大而减小. x1

即 x1 ? x2 随 a 增大而减小.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

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