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苏州市2013届高考数学模拟试卷及答案


苏州市 2013 届高考数学模拟试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答 题卡相应位置上. 1.已知集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {2, a, b} ,若 A I B ? {1,3} ,则 a ? b 的值是 .
开始

2.若复数 z 满足 (1 ? 2i ) z ? 2 ? i ,则 z 的虚部为



输入 n

k ?0
3.右图是一个算法流程图.若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为 . k=k+1 4.设函数 f ( x) ? log2 1 ? 2 x 的单调减区间是 . 否
=3

n ? 3n ? 1 n ? 150 ?
是 输出 k , n 结束

5.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分布直方图 如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有 30 人,则 n 的值为 .
频率 组距
0.036

0.024

0.010

20

30

40 50

60



6.在线段 AB 上任取一点 P,以 P 为顶点,B 为焦点作抛物线,则该抛物线的准线与线段 AB 有交点 的概率是 .

1 7.已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2 ln x (a ? R ) ,若曲线 y ? f ( x) 在点 (1,0) 处的切线方程是 2 x ? y ? 2 ? 0 , x

则a?



8.设数列 {an } ( n ? N* )是等差数列.若 a2 和 a2012 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则数列 {an } 的前
2

2013 项的和 S 2013 ?



9.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? ,? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在一个周期内的部分图象如图所示, 则 f(

? ) 的值是 12

.

S
E

H
A
B
(第 9 题图)

F

G
(第 10 题图)

C

10.三棱锥 S ? ABC 中, E , F , G , H 分别为 SA , AC , BC , SB 的中点,则截面 EFGH 将 三棱锥 S ? ABC 分成两部分 VBGH ? AFE 与 VSEH ?CFG 的体积之比为 .

11. Rt?ABC 中, C ? 90? ,AC ? 4, BC ? 2 ,D 是 BC 的中点,E 是 AB 的中点, P 是 ?ABC 在 若 ? (包括边界)内任一点.则 AD ? EP 的取值范围是___________.

uuu uur r

12.已知实数 x, y, z 满足 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,则 xy ? yz 的最大值是

.

13.设数列 ?an ? 的各项均为正数,前 n 项和为 S n ,对于任意的 n ? N ? , an , S n , an 2 成等差数列,设 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

(ln x) n ,若对任意的实数 x ? ?1, e ? ( e 是自然对数的底)和任意 an 2
.

正整数 n ,总有 Tn ? r (r ? N ? ) .则 r 的最小值为

14.如图,双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2. a 2 b2

若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B,C,D.则菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与 矩形 ABCD 的面积 S2 的比值

S1 ? S2

.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字 说明、证明过程或者演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a , b , c ,若 a ? 2 , b ? 3 ? 1 ,且 b 是 2c 与 cos A 的等
比中项. (1)求 A,B,C; (2)若函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ( ? ?

C c ? )满足 f ( ) ? ,求函数 f (x) 的解析式及单调递减区间. 2 2 4

16. (本小题满分 14 分) 在等腰梯形 PDCB (见图 1)中, DC // PB , PB ? 3DC ? 3 , DA ? PB ,垂足为 A ,将 ?PAD 沿 AD 折起,使得 PA ? AB ,得到四棱锥 P ? ABCD (见图 2) .在图 2 中完成下面问题: (1)证明:平面 PAD ? 平面 PCD; (2)在线段 PB 上是否存在一点 M ,使 PD // 平面 AMC .若存在,请给出证明;若不存在,请说明 理由. P P A B M

D 图1

C

A

B

D 图2

C

17. (本小题满分 14 分) 如图所示,有一块半径长为 1 米的半圆形钢板,现要从中截取一个内接等腰梯形部件 ABCD ,设 CD ? 2 x . (1)若用一种金属线条对梯形部件 ABCD 镶边,求最少需要准备该金属线条多少米; (2)求梯形部件 ABCD 面积的最大值.

D

C

A

O

?

B

18. (本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 (?1,0) ,F2 (1,0) , P 为椭圆上的一点,Q 为 a 2 b2

上顶点, M 在 PF1 上, F1M ? 2MP , PO ? F2 M . (1)求当离心率 e ?

??? ?

?????

1 时的椭圆方程; 2

(2)求满足题设要求的椭圆离心率范围; (3)当椭圆离心率最小时,若过 (0, ? 为定值并给出证明.

3 ,试问: ?AQB 是否 ) 的直线 l 与椭圆交于 A, B (异于 Q ) 7 y
M
F1
O

P

F2

x

19. (本小题满分 16 分) 若在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且对任意的 k ?N* , a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等比数列,其公比为 qk . (1)若 qk ? 2 ( k ?N* ) ,求 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 k ?1 . (2)若对任意的 k ?N* , a2k , a2k ?1 , a2k ?2 成等差数列,其公差为 dk ,设 bk ?

1 . qk ? 1

①求证: {bn } 成等差数列; ②若 d1 ? 2 ,试求数列 {dk } 的前 k 项和 Dk .

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ?1) ? 2ln x, g ( x) ? xe .(a ?R,e 为自然对数的底数) (1)若函数 f ( x)在(0, ) 上无零点,求 a 的最小值; ( 2 ) 若 对 任 意 给 定 的 x0 ? ? 0,e? , 在? 0,e?上总存在两个不同的xi (i ? 1,2) , 使 得
1? x

1 2

f ( ix ) ?

的取值范围. g0( 成立 求 , a x)

参考答案
一、填空题 1.4 2. ?

3 5

3.3

4. (??, ) 11. [?9,9]

1 2

5.100

6.

1 2

7.2

8.2013

9.

6? 2 2

10.1∶1

12.

2 2

13.2

14.

5?2 2

二、解答题 15. (1)根据题意得 b ? 2c ? cos A ? 2c ? ∴cos B ?

b2 ? c2 ? a 2 ,即 b2 ? b2 ? c 2 ? a 2 ,解得 c ? a . 2bc

2 ? 2 ? ( 3 ? 1) 2 2? 2 ? 2

?

3 ? 5? .∴B ? ,∴ A ? C ? . 2 6 12

c 5? 2 5? ,C ? ,∴sin( ? ? ) ? , 12 2 2 12 ? 5? ? ? ? 又∵ ? ? ,∴ ? ? ? , ? ? ? ,∴ f ( x) ? sin(2 x ? ) . 4 12 4 6 6
(2)∵ f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , f ( ) ?

C 2

由 2k ? ?

? ?? ? ? ? ?? ? ? 2x ? ? 2k ? ? , k ?Z ,可得单调递减区间为 ? k ? ? , k ? ? ? , k ? Z 3 6 ? 2 6 2 ?
P M

16.证明: (1)∵ 在图 1 的等腰梯形 PDCB 中, DA ? PB , ∴ 所以在四棱锥 P ? ABCD 中, DA ? AB , 又 PA ? AB ,且 DC // AB ,∴DC ? PA , DC ? DA , 而 DA ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , PA ? DA ? A , ∴DC ? 平面 PAD .∵DC ? 平面 PCD , ∴ 平面 PAD ? 平面 PCD .

A PM 1 ? 时,有 PD // 平面 AMC . MB 2 O 证明:在梯形 ABCD 中,连结 AC 、 BD 交于点 O , DO DC 1 D 连结 OM .易知 ?AOB ∽?DOC ,所以 ? ? . OB AB 2 PM 1 DO PM 又 ,所以在平面 PBD 中,有 PD // MO . ? ,所以 ? OB MB MB 2 (2)当 又因为 PD ? 平面 AMC , MO ? 平面 AMC ,所以 PD // 平面 AMC .

B

C

17. 如图所示, 以直径 AB 所在的直线为 x 轴, 线段 AB 中垂线为 y 轴, 建立平面直角坐标系, C ( x, y ) , 设 过点 C 作 CE ? AB 于 E ,则 OE ? x(0 ? x ? 1) ,∴EB ? 1 ? x , (1)∵x2 ? y 2 ? 1 ,∴CB ?

y
D

y 2 ? (1 ? x) 2 ? 2 ? 2 x ,

C

设 ABCD 的周长为 l ,则 l ? 2 ? 2x ? 2 2 ? 2x (0 ? x ? 1) . 下面只需要求 l 的最大值. 令 2 ? 2x ? t ,则 2x ? 2 ? t 2 (0 ? t ? 2) ,

A

O

?

E

B

x

∴l ? 4 ? t 2 ? 2t ? ?(t ? 1)2 ? 5 ? 5 ,即当 t ? 1 时, l 有最大值 5. (2) S ( x) ?

1 1 ( AB ? CD ) ? CE ? (2 ? 2 x) y ? ( x ? 1) 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 2 2
( x ? 1) 2 (1 ? x 2 ) ? ? x 4 ? 2 x 3 ? 2 x ? 1 , 令 t ? ? x 4 ? 2 x3 ? 2 x ? 1 , 则
2 ?x 3

( 方 法 1 ) S ( x) ?

3 2 t ' ? ?4x ? 6x ? 2 ? ? (x2 2 3

,令 '2 ? 1 )? ? 2 ( ? 1 ) (t?? 0 , x ? x 2 x 1)

1 1 ,当 0 ? x ? 时, 2 2

t ' ? 0 ,当

1 1 27 3 3 ? x ? 1 时, t ' ? 0 ,所以当 x ? 时, t 有最大值 , S (x) 有最大值 . 2 2 16 4

1 ?2 x ?2 x 2 ? x ? 1 2 (方法 2) S '( x) ? 1 ? x 2 ? ( x ? 1) ? ? ,令 S '( x) ? 0 ,∴2 x ? x ? 1 ? 0 , ? 2 2 2 1? x 1? x

(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 , x ?
时, S ( x) 有最大值

1 1 1 1 .且当 0 ? x ? 时,S ?( x) ? 0 ,当 ? x ? 1 时,S ?( x) ? 0 ,所以当 x ? 2 2 2 2

3 3 . 4

(方法 3)设 ?COE ? ? ( 0 ? ? ?

? ) ,过点 C 作 CE ? AB 于 E ,则 OE ? cos ? , CE ? sin ? , 2 ? 1 1 S (? ) ? ( AB ? CD ) ? CE ? (2 ? 2 cos ? )sin ? ? (1 ? cos ? )sin ? (0 ? ? ? ) , 2 2 2
S '(? ) ? [(sin ? ? sin ? cos? )]' ? (sin ? ) '? (sin ? ? cos? ) '

? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? cos ? ? 1 ,
令 S '(? ) ? 0 , cs ? ? 得o

1 ? ? ? ? , ? ? ,cos ? ? ?1(舍) 且当 0 ? ? ? 时,S '(? ) ? 0 , 即 , 当 ?? ? 2 3 3 3 2 ? 3 3 时, S (? ) 有最大值 . 3 4

时, S '(? ) ? 0 ,所以当 ? ? 18. (1)由题意 c ? 1, e ?

x2 y2 c 1 ? 1. ? ,得 a ? 2 ,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,?椭圆方程为 ? 4 3 a 2

(2) (方法 1)设 P( x0 , y0 ), M ( xM , yM ) ,? F1 (?1,0), F2 (1,0)

????? ???? ? xM ? 1 ? 2 x0 ? 2 xM , ????? ???? ? F1M ? ( xM ? 1, yM ) , MP ? ( x0 ? xM , y0 ? yM ) .? F1 M ? 2MP,? ? ? yM ? 2 y0 ? 2 yM ,
2 1 ? ? xM ? 3 x0 ? 3 , ????? ????? ??? ? ? ? 2 4 2 2 4 2 ? ?? ? F2 M ? ( x0 ? , y0 ) .? F2 M ? OP ? 0 ,?( x0 ? ) x0 ? y02 ? 0 , 3 3 3 3 3 3 ?y ? 2 y , M 0 ? 3 ?

? x02 ? 2 x0 ? y02 ? 0 ? y0 2 ? b 2 (1 ?

x0 2 x2 ) ? (a 2 ? 1)(1 ? 02 ) , a2 a

1 1 ? x02 ? 2 x0 ? a2 ? 1 ? 0 在 (?a, a] 上 有 解 , ? y ? x02 ? 2x0 ? a2 ? 1 ? 0 对 称 轴 是 x ? a 2 , a a
? f (?a) ? 0, ? f (?a) ? 0, c 1 1 1 ? 0 ? a ? 2 ?e ? ? ? ,? 0 ? e ? 1 ,? ? e ? 1 . ? a2 ? a ? ? ?? a a 2 2 ? f (a) ? 0, ? f (a) ? 0,
( 方 法 2 ) PO ? ( PF1 ? PF2 ), F2 M ? PM ? PF2 ? PF1 ? PF2 , 由 PO ? F2 M 得 PO ? F2 M ? 0 ,

? ? ? ? ? 1 ???? ???? ????? ???? ???? 1 ???? ???? 2 3 ????2 ???? ???? ???? 2 ? ? ???? ???? 1 ???? ???? ? ? 1 ? ( PF1 ? PF2 ) ? ( PF1 ? PF2 ) ? 0 ,化简得: PF1 ? 2PF1 ? PF2 ? 3PF2 ? 0 , 2 3 ???? 2 ???? ???? ? ???? ? ? PF1 | ?2 | PF1 || PF2 | cos ?F1PF2 ? 3| PF2 |2 ? 0 ,① |
???? ???? ???? ?

??? ?

??? ????? ? ?

在 ?F1 PF2 中,由余弦定理,有? PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 || PF2 | cos ?F1PF2 ? 4c2 ,② | ② 得: 4 | PF2 |2 ? 4c2 ,即 | PF2 |? c ,? a ? c ?| PF2 |? a ? c ,? a ? 2c ,即 e ? -① 又 0 ? e ? 1 ,?e ?[ ,1) .

???? ?

???? ?

???? ?

c 1 ? , a 2

1 2

x2 y2 1 ? ? 1, ,由(1)知椭圆方程为 4 3 2 3 8 3 576 kx ? ?0, 依题意可设 AB 所在直线方程为 y ? kx ? ,代入椭圆方程得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 7 7 49
(3) ?AQB 恒为直角.事实上,当 e 最小时,即 e ?

? 8 3k , ? x1 ? x2 ? 7(3 ? 4k 2 ) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 ? ?Q(0, 3) , 576 ?x x ? ? , ? 1 2 49(3 ? 4k 2 ) ?

??? ??? ? ? 8 3 8 3 )( x2 , kx2 ? ) ?QA ? QB ? ( x1 , y1 ? 3)( x2 , y2 ? 3) = ( x1 , kx1 ? 7 7 8 3 192 8 3 192 k ( x1 ? x2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? = x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? = (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 7 49 7 49
= (1 ? k 2 )

?576 8 3 8 3k 192 ?576 ? 576k 2 ? 192k 2 ? 576 ? 768k 2 ? 0, = ? k ? 49(3 ? 4k 2 ) 49(3 ? 4k 2 ) 7 7(3 ? 4k 2 ) 49

??AQB 恒为直角.
19. (1)? qk ? 2 ,?

a2 k ?1 ? 4 ,? a1 , a3 , a5 ? a2 k ?1 是首项为 1,公比为 4 的等比数列, a2 k ?1
1 ? 4k 1 k ? (4 ? 1) . 1? 4 3

? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 k ?1 ?

(2)① a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列,? 2a2 k ?1 ? a2 k ? a2 k ? 2 ,又 ?

? a2 k ?

a2 k ?1 1 1 , a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 ,? ? qk ?1 ? 2 ,则 qk ?1 ? 1 ? 1 ? ,得 qk qk qk

1 qk ?1 ? 1

?

qk 1 1 1 ? ? 1 ,? ? ? 1 ,即 bn ?1 ? bn ? 1 , qk ? 1 qk ? 1 qk ?1 ? 1 qk ? 1

??bn ? 是公差为 1 的等差数列.
② d1 ? 2,? a3 ? a2 ? 2 ,则由 a22 ? 1? a3 ? a2 ? 2 ,解得 a2 ? 2 或 a2 ? ?1 . ? (ⅰ )当 a2 ? 2 时, q1 ? 2 ,? b1 ? 1 ,则 bk ? 1 ? (k ? 1) ?1 ? k ,即

1 ?k, qk ? 1

得 qk ?

a (k ? 1) 2 k ?1 ,所以 2 k ?1 ? , a2 k ?1 k2 k
a2 k ?1 a2 k ?1 a (k ? 1)2 k2 22 ? ?? ? 3 ? a1 ? ? ? ? ? 2 ? 1 ? (k ? 1) 2 , a2 k ?1 a2 k ?3 a1 k2 (k ? 1)2 1

则 a2 k ?1 ?

a2 k ?1 (k ? 1)2 k (k ? 3) ? ? k (k ? 1) ,则 dk ? a2k ?1 ? a2k ? k ? 1,? Dk ? ; k ?1 qk 2 k 1 3 1 (ⅱ )当 a2 ? ?1 时, q1 ? ?1, ? b1 ? ? ,则 bk ? ? ? (k ? 1) ?1 ? k ? , 2 2 2

? a2 k ?

1 k? 1 3 2, ? k ? ,得 qk ? 即 3 qk ? 1 2 k? 2

1 3 1 (k ? )2 (k ? )2 ( )2 a2 k ?1 a2 k ?1 a3 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 = 4(k ? 1 )2 ? ?? ? ? a1 ? ? a2 k ?1 ? 3 5 1 a2 k ?1 a2 k ?3 a1 2 (k ? )2 (k ? )2 (? )2 2 2 2
则 a2 k ?

a2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) ,? dk ? a2k ?1 ? a2k ? 4k ? 2 ,从而 Dk ? 2k 2 . qk

综上所述, Dk ?

k (k ? 3) 或 Dk ? 2k 2 . 2

20. (1)因为 f ( x) ? 0在区间(0, ) 上恒成立不可能,故要使函数 f ( x)在(0, ) 上无零点,只要对 任意的 x ? (0, ), f ( x) ? 0 恒成立,即对 x ? (0, ), a ? 2 ?

1 2

1 2

1 2

1 2

2 ln x 恒成立. x ?1

2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 2 ln x 1 x ? , x ? (0, ), 则 l ( x) ? ? x 令 l ( x) ? 2 ? ,再令 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 x ?1 2
m( x) ? 2 ln x ? 2 1 2 2 ?2(1 ? x) 1 ? 2, x ? (0, ) , m?( x) ? ? 2 ? ? ? 0 , m( x) 在 (0, ) 上为减函数, 则 故 2 x 2 x x x 2

于是 m( x) ? m( ) ? 2 ? 2 ln 2? 0,从而 l ( x ) ? 0 ,于是 l ( x) 在 (0, ) 上为增函数,综上,若函数

1 2

1 2

1 f ( x)在(0, ) 上无零点,则 a 的最小值为 2 ? 4 ln 2 . 2
(2) g ?( x) ? e1? x ? xe1? x ? (1 ? x)e1? x , 当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增;当 x ? ?1,e? 时 , g ?( x ) ? 0, 函 数 g ( x) 单 调 递 减 , 又 因 为 g (0) ? 0, g (1) ? 1, g (e) ? e ? e1?e ? 0 , 所 以 , 函 数

g( x)在? 0,e?上的值域为? 0,1?.
当 a ? 2 时,不合题意;

2 (2 ? a )(x ? ) 2 (2? a )x ? 2 2 ? a , x ? ? 0, e? ,令 f ?( x ) ? 0 ,得 当 a ? 2 时, f ?( x ) ? 2? a ? ? ? x x x 2 2 2 x? ? e, 即a ? 2 ? ① ,由题意得, f ( x ) 在 ? 0, e? 不单调,故 0 ? 2?a 2?a e
此时,当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:

(0,

2 ) 2?a
— ↘

2 2?a
0 最小值

? 2 ? , e? ? ? 2?a ?
+ ↗

f ?( x)
f ( x)

又因为,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? , f (

2 2 ) ? a ? 2 ln , 2?a 2?a

f (e) ? (2 ? a)(e ? 1) ? 2 , 所以, 对任意给定的 x0 ? ? 0,e? , ? 0 e? 上总存在两个不同的 xi (i ? 1, 2) , 在 , e
使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,当且仅当 a 满足下列条件:

2 2 ? ? 2 ? 0, ? ) ? 0, ?a ? 2ln ?f( 即? 2?a ? 2?a ? f (e) ? 1, ? 3 ? ?(2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? 1.?
2 2 , a ? ( ??, 2 ? ) ,则 2?a e 2 a h?(a) ? 1 ? 2[ln 2 ? ln(2 ? a)]? ? 1 ? ? 令 , h?(a) ? 0 得 a ? 0或a ? 2 , 故当 a ? (??,0) 时, 2?a a?2 2 h?(a) ? 0 ,函数 h(a) 单调递增;当 a ? (0, 2 ? ) 时, h?(a ) ? 0 ,函数 h(a) 单调递减,所以对任意 e 2 2 的 a ? (??, 2 ? ) 有 h(a) ? h(0) ? 0 , 即 ②对 任 意 a ? (??, 2 ? ) 恒 成 立 . 由 ③式 解 得 : e e
令 h(a ) ? a ? 2 ln

a ? 2?


3 .④ e ?1
合 ① ④ 可 知 , 当

3 ? ? a ? ? ??, ?2 ? 时 对任意给定的x0 ? ? , e ? 1? ?

?

在 0

,

e

,

?0,e?上总存在两个不同的xi (i ? 1,2), 使 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立.


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