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初高中数学公式定理大全秘籍


初高中数学公式定理大全
1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12 两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形
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36 推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a2+b2=c2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于 360° 49 四边形的外角和等于 360° 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)×180° 51 推论 任意多边的外角和等于 360° 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半,即 S=(a×b)÷2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的
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72 定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果 a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 85 (3)等比性质 如果 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形 的第三边 89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似(ASA) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS) 94 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这 两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆
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106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论 1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 115 推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应 的其余各组量都相等 116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 118 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120 定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 121 ①直线 L 和⊙O 相交 d<r ②直线 L 和⊙O 相切 d=r ③直线 L 和⊙O 相离 d>r

122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 130 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 131 推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 133 推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 135 ①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r<d<R+r(R>r)

④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含 d<R-r(R>r) 136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 定理 把圆分成 n(n≥3):
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⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积 Sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长 142 正三角形面积√3a/4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此 k×(n-2)180°/n=360°化为 (n-2)(k-2)=4 144 弧长计算公式:L=n 兀 R/180 145 扇形面积公式:S 扇形=n 兀 R^2/360=LR/2 146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

数学定理
三角形三条边的关系: 定理:三角形两边的和大于第三边 推论:三角形两边的差小于第三边 三角形内角和: 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 推论 3 三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角角的平分线 性质定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等几何语言: ∵OC 是∠AOB 的角平分线(或者∠AOC=∠BOC) PE⊥OA,PF⊥OB 点 P 在 OC 上 ∴PE=PF(角平分线性质定理) 判定定理 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上 几何语言: ∵PE⊥OA,PF⊥OB PE=PF ∴点 P 在∠AOB 的角平分线上(角平分线判定定理) 等腰三角形的性质: 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等 几何语言: ∵AB=AC ∴∠B=∠C(等边对等角)
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推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 几何语言: (1)∵AB=AC,BD=DC ∴∠1=∠2,AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边) (2)∵AB=AC,∠1=∠2 ∴AD⊥BC,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边) (3)∵AB=AC,AD⊥BC ∴∠1=∠2,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边) 推论 2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角等于 60° 几何语言: ∵AB=AC=BC ∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60°) 等腰三角形的判定: 判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 几何语言: ∵∠B=∠C ∴AB=AC(等角对等边) 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 几何语言: ∵∠A=∠B=∠C ∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形) 推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 几何语言: ∵AB=AC,∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°) ∴AB=AC=BC(有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形) 推论 3 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 几何语言: ∵∠C=90°,∠B=30° ∴BC= AB 或者 AB=2BC(在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半) 线段的垂直平分线: 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 几何语言: ∵MN⊥AB 于 C,AB=BC, (MN 垂直平分 AB) 点 P 为 MN 上任一点 ∴PA=PB(线段垂直平分线性质) 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
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几何语言: ∵PA=PB ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上(线段垂直平分线判定) 轴对称和轴对称图形: 定理 1 关于某条之间对称的两个图形是全等形 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 定理 3 两个图形关于某直线对称,若它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那这两个图形关于这条直线对称 勾股定理: 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和,等于斜边 c 的平方,即 a2 + b2 = c2 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系,那么这个三角形是直角三角形 四边形: 定理 任意四边形的内角和等于 360° 多边形内角和: 定理 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n - 2) ·180° 推论 任意多边形的外角和等于 360° 平行四边形及其性质 性质定理 1 平行四边形的对角相等 性质定理 2 平行四边形的对边相等 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 几何语言: ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD‖BC,AB‖CD(平行四边形的对角相等) ∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对边相等) AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分) 平行四边形的判定: 判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 几何语言: ∵AD‖BC,AB‖CD ∴四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形) 判定定理 2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 几何语言: ∵∠A=∠C,∠B=∠D
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∴四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对角分别相等的四边形是平行四边形) 判定定理 3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 几何语言: ∵AD=BC,AB=CD ∴四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形) 判定定理 4 对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何语言: ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形 ABCD 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形) 判定定理 5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 几何语言: ∵AD‖BC,AD=BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 矩形: 性质定理 1 矩形的四个角都是直角 性质定理 2 矩形的对角线相等 几何语言: ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD(矩形的对角线相等) ∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角) 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何语言: ∵△ABC 为直角三角形,AO=OC ∴BO= AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言: ∵∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形 ABCD 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形) 判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 几何语言: ∵AC=BD ∴四边形 ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)
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菱形: 性质定理 1 菱形的四条边都相等 性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 几何语言: ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等) AC⊥BD,AC 平分∠DAB 和∠DCB,BD 平分∠ABC 和∠ADC (菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角) 判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 几何语言: ∵AB=BC=CD=AD ∴四边形 ABCD 是菱形(四边都相等的四边形是菱形) 判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 几何语言: ∵AC⊥BD,AO=CO,BO=DO ∴四边形 ABCD 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形) 正方形: 性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 中心对称和中心对称图形 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等形 定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称 梯形: 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 几何语言: ∵四边形 ABCD 是等腰梯形 ∴∠A=∠B,∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等) 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 几何语言: ∵∠A=∠B,∠C=∠D ∴四边形 ABCD 是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形) 三角形、梯形中位线 三角形中位线定理 三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半 几何语言: ∵EF 是三角形的中位线
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∴EF= AB(三角形中位线定理) 梯形中位线定理 梯形的中位线平行与两底,并且等于两底和的一半 几何语言: ∵EF 是梯形的中位线 ∴EF= (AB+CD)(梯形中位线定理) 比例线段: 1、比例的基本性质 如果 a∶b=c∶d,那么 ad=bc 2、合比性质 如果 a/b=c/d 那么(a±b)/b=(c±d)/d (也有一些资料将上式的两种情形分别称为“合比性质”和“分比性质”,合称为“合分比性质”) 证明: 因为 a/b=c/d 所以 a/b±1=c/d±1

所以(a±b)/b=(c±d)/d
3、等比性质 平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 几何语言: ∵l‖p‖a (三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例) 推论 平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行与三角形的 第三边 垂直于弦的直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 几何语言: ∵OC⊥AB,OC 过圆心(垂径定理) 推论 1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 几何语言: ∵OC⊥AB,AC=BC,AB 不是直径 (平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧) (2) 弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧 几何语言: ∵AC=BC,OC 过圆心 (弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧)
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(3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 几何语言: (平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧) 推论 2 圆的两条平分弦所夹的弧相等 几何语言:∵AB‖CD 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距也相等 推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应 的其余各组量都分别相等 圆周角: 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 圆的内接四边形: 定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 几何语言: ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形 ∴∠A+∠C=180°,∠B+∠ADB=180°,∠B=∠ADE 切线的判定和性质: 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 几何语言:∵l ⊥OA,点 A 在⊙O 上 ∴直线 l 是⊙O 的切线(切线判定定理) 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径 几何语言:∵OA 是⊙O 的半径,直线 l 切⊙O 于点 A ∴l ⊥OA(切线性质定理) 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线长定理: 定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 几何语言:∵弦 PB、PD 切⊙O 于 A、C 两点 ∴PA=PC,∠APO=∠CPO(切线长定理) 弦切角:

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弦切角定理 定义弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角) 弦切角定理证明 证明:设圆心为 O,连接 OC,OB,OA。过点 A 作 TP 的平行线交 BC 于 D, 则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB 证明已知:AC 是⊙O 的弦,AB 是⊙O 的切线,A 为切点,弧是弦切角∠BAC 所夹的弧. 证明 求证:. 证明:分三种情况:

(1)

圆心 O 在∠BAC 的一边 AC 上

∵AC 为直径,AB 切⊙O 于 A, ∴弧 CmA=弧 CA ∵为半圆, ∴, ∴.

(2)

圆心 O 在∠BAC 的内部.
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过 A 作直径 AD 交⊙O 于 D, 那么

(3)

圆心 O 在∠BAC 的外部,

过 A 作直径 AD 交⊙O 于 D 那么 . ∴. 由弦切角定理可以得到: 推论:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 几何语言:∵∠BCN 所夹的是 ,∠ACM 所对的是 , = ∴∠BCN=∠ACM 和圆有关的比例线段 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被焦点分成的两条线段长的积相等 几何语言:∵弦 AB、CD 交于点 P ∴PA·PB=PC·PD(相交弦定理) 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言:∵AB 是直径,CD⊥AB 于点 P ∴PC2=PA·PB(相交弦定理推论) 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项 几何语言:∵PT 切⊙O 于点 T,PBA 是⊙O 的割线 ∴PT2=PA·PB(切割线定理) 推论 从圆外一点因圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等 几何语言:∵PBA、PDC 是⊙O 的割线 ∴PT2=PA·PB(切割线定理推论) 乘法与因式分解: a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) |a-b|≤|a|+|b| a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b|

设 0<x<π/2,求证: (1+1/sinx)·(1+1/cosx)≥3+2√2 证明 设 y2=1/(sinx·cosx),则 y2=2/sin(2x)≥2,即 y≥√2 。 根据均值不等式: (1+1/sinx)·(1+1/cosx)=1+1/sinx+1/cosx+1/(sinx·cosx) ≥1+2·√(1/sinx·cosx)+1/(sinx·cosx)=(1+y)2 ≥(1+√ 2)2=3+2√2 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
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根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1·X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 ? b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根 三角函数公式: 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ? cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) ? cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式: tan2A=2tanA/[1-(tanA)2] cos2a=(cosa)2-(sina)2=2(cosa)2 -1=1-2(sina)2 半角公式: sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) ? 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 某些数列前 n 项和: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 5 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4
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1·2+2·3+3·4+4·5+5·6+6·7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 圆的标准方程 (x-a) 2+(y-b)2=r2 注: (a,b)是圆心坐标 ? 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c·h 斜棱柱侧面积 S=c'·h 正棱锥侧面积 S=1/2c·h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi·r2 圆柱侧面积 S=c·h=2pi·h 圆锥侧面积 S=1/2·c·l=pi·r·l 弧长公式 l=a·r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2·l·r 锥体体积公式 V=1/3·S·H 圆锥体体积公式 V=1/3·pi·r2h ? 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s·h 圆柱体 V=pi·r2h 《集合与函数》 内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。 复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。 指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数; 正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。 两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴; 求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。 幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数, 奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。 《三角函数》 三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。 同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割; 中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角, 顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小, 变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变, 将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值, 余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。 计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。 逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。 万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用; 1加余弦想余弦,1减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;
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三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围; 利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集; 《不等式》 解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。 高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。 证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。 直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。 还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法。 《数列》 等差等比两数列,通项公式N项和。两个有限求极限,四则运算顺序换。 数列问题多变幻,方程化归整体算。数列求和比较难,错位相消巧转换, 取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思想非常好,编个程序好思考: 一算二看三联想,猜测证明不可少。还有数学归纳法,证明步骤程序化: 首先验证再假定,从K向着 K 加1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。 《复数》 虚数单位i一出,数集扩大到复数。一个复数一对数,横纵坐标实虚部。 对应复平面上点,原点与它连成箭。箭杆与X轴正向,所成便是辐角度。 箭杆的长即是模,常将数形来结合。代数几何三角式,相互转化试一试。 代数运算的实质,有i多项式运算。i的正整数次慕,四个数值周期现。 一些重要的结论,熟记巧用得结果。虚实互化本领大,复数相等来转化。 利用方程思想解,注意整体代换术。几何运算图上看,加法平行四边形, 减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长短。 三角形式的运算,须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方开方极方便。 辐角运算很奇特,和差是由积商得。四条性质离不得,相等和模与共轭, 两个不会为实数,比较大小要不得。复数实数很密切,须注意本质区别。 《排列、组合、二项式定理》 加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。 两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。 排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。 不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。 关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。 《立体几何》 点线面三位一体,柱锥球为三代表。距离都从点出发,角度皆为线线成。 垂直平行是重点,证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。 方程思想整体求,化归意识动割补。计算之前须证明,画好移出的图形。 立体几何辅助线,常用垂线和平面。射影概念很重要,对于解题最关键。
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异面直线二面角,体积射影公式活。公理性质三垂线,解决问题一大片。 《平面解析几何》 有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典范。 笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者—一来对应,开创几何新途径。 两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方程组思想。 三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。 四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数求。 解析几何是几何,得意忘形学不活。图形直观数入微,数学本是数形学。

高中立体几何口诀 学好立几并不难,空间观念最关键 点线面体是一家,共筑立几百花圆 点在线面用属于,线在面内用包含 四个公理是基础,推证演算巧周旋 空间之中两直线,平行相交和异面 线线平行同方向,等角定理进空间 判断线和面平行,面中找条平行线 已知线和面平行,过线作面找交线 要证面和面平行,面中找出两交线 线面平行若成立,面面平行不用看 已知面与面平行,线面平行是必然 若与第三面相交,则得两条平行线 判断线和面垂直,线垂面中两交线 两线垂直同一面,相互平行共伸展 两面垂直同一线,一面平行另一面 要让面和面垂直,面过另面一垂线 面面垂直成直角,线面垂直记心间 一面四线定射影,找出斜射一垂线 线线垂直得巧证,三垂定理风采显 空间距离和夹角,平行转化在平面 一找二证三构造,三角形中求答案 引进向量新工具,计算证明开新篇 空间建系求坐标,向量运算更简便 知识创新无止境,学问思辩勇登攀

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