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必修5第三章一元二次不等式及其解法学案


必修 5 第三章一元二次不等式及其解法学案
【知识要点】 1.一元二次不等式及其解法; 2.一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的联系; 【学习要求】 1.了解一元二次不等式的实际背景; 2.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系; 3. 掌握一元二次不等式的解法; 知识回顾 1.一元一次不等式(最简) ax ? b 的解集如下表:

a?0

a?0 b?0 b?0

a?0

2.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?的解集: 设相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b ? 4ac ,则
2

不等式的解的各种情况如下表:

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

1

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集
3.解一元二次不等式的步骤: ① 将二次项系数化为“+” :A= ax ? bx ? c >0(或<0)(a>0)
2

② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ⅰ. ? >0 时,求根 x1 < x2 , ?

?若A ? 0,则x ? x1或 ? x2; ?若A ? 0,则x1 ? x ? x2 .

?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ? ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x2 = x0 , ?若A ? 0,则x ? ?; ?若A ? 0,则x ? x . 0 ?
ⅲ. ? <0 时,方程无解, ?

?若A ? 0,则x ? R; ?若A ? 0,则x ? ?.
,分式不等式

4.分式不等式

f ( x) ?0 ? g ( x)

f ( x) ?0? g ( x)

.

【基础练习】 1.判断下列不等式那些是一元二次不等式: ⑴ 3x ? bx ? 6 ? 0 ;
2

⑵ ? x ? 2x ? m ? 0 ;
2

⑶ mx ? 5 ? 0;
2

⑷ mx ? nx ? 5 ? 0 ;
2

2.不等式 x?3 ? x ? ? x?x ? 2? ? 1 的解集是( (A) ? x x ?

).

? ?

? 1? ? 2?

(B) ?

(C) ? x x ? ? 或x ? 3?

? ?

1 2

? ?

(D) ? x x ?

? ?

1? ? 2?

3.不等式 6 x ? x ? 2 ? 0 的解集是(
2

). (B) ? x x ? ? 或x ?

(A) ? x ?

? ?

2 1? ?x? ? 3 2? 1? ? 2?

? ?

2 3

1? ? 2?

(C) ? x x ?

? ?

(D) ? x x ? ? ?

? ?

2? 3?

2

2 4.设集合 M ? x 0 ? x ? 2 ,集合 N ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 M ? N 等于(

?

?

?

?

).

(A) x 0 ? x ? 1

?

?

(B) x 0 ? x ? 2 (C) x 0 ? x ? 1

?

?

?

?

(D) x 0 ? x ? 2

?

?

【典型例题】 例 1 下面哪些不等式是一元二次不等式?(其中 a 、 b 、 c 、 m 为常数). ⑴ ? x ? x ? 5 ; ⑵ ax ? 2 ; ⑶ x ? 5x ? 6 ? 0 ;⑷ mx2 ? 5 y ? 0 ;
2 2 3

变式训练 1:判断下列不等式哪些是一元二次不等式:
2 2 ⑴ ax ? 2 x ? 3 ? 0 ;⑵ ? 2 x ? ax ? 2 ? 0 ;⑶ mx ? ny ? 3
2 2

例2 求不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.
2

变式训练 2:求不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集.
2

2 例 3 不 等 式 ax ? bx ? 2 ? 0 的 解 为 ?

1 1 ? x ? ,则 a ? b ? 2 3

,不等式

ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解为

.

2 2 变式训练 3:二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根为 ? 2 , 3 , a ? 0 ,那么 ax ? bx ? c ? 0

的解集为(

).

(A) x x ? 3或x ? ?2 (C) x ? 2 ? x ? 3

?

?

(B) x x ? 2或x ? ?2 (D) x ? 3 ? x ? 2
3

?

?

?

?

?

?

1. 下列不等式:① x ? 0 ;② ? x ? x ? 5 ;③ ax ? 2 ;④ x ? 5x ? 6 ? 0 ;
2 2 2 3

⑤ mx2 ? 5 y ? 0 ;⑥ ax ? bx ? c ? 0 .其中是一元二次不等式的有( )个.
2

(A) 5

(B) 4

(C) 3 ).

(D) 2

2.不等式 ?x ? 1??2 ? x ? ? 0 的解集为( (A) ?? 2,1?
2

(B) ?? 1,2?

(C) ?? ?,?1? ? ?2,??? (D) ?? ?,?2? ? ?? 1,???
2

3.已知 x ? 5x ? 6 ? 0, M ? x ? 5x ? 6 ,则 M 的取值范围是( (A) M ? 20 (B)R
2

).

(C) 20 ? M ? 30

(D) 0 ? M ? 30

4.已知二次不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 x ? 2 ? x ? 1 ,则 a , b 的值为( (A) a ? ?1, b ? ?2 (C) a ? 1, b ? 2
2

?

?

).

(B) a ? ?2, b ? ?1 (D) a ? b ? ?

1 2

5.若关于 x 的不等式 m x ? 8m x ? 21 ? 0 的解集为 x ? 7 ? x ? ?1 ,则实数 m 的取值是( (A) 1

?

?

).

2 6.若集合 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x ? x ? 2 ?? x ? 5? ? 0 ,则 A ? B ?

?

(B)

3

?

(C) 7

(D) 8

?

?

.

7.若不等式 ax ? bx ? c?0(a ? 0) 的解集为 ? ,则(
2 2 2 2

)
2

A. a?0, b ? 4ac?0 B. a?0, b ? 4ac ? 0 C. a?0, b ? 4ac ? 0 D. a?0, b ? 4ac?0 8.方程 x ? ?m ? 3?x ? m ? 0 有两个实根,则实数 m 的取值范围是
2

.

9.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? x ?
2

? ?

1 1? ? x ? ? ,试确定 a ? b 的值. 2 3?

4

基础过关: 1.集合 A= {x | x 2 ? 5x ? 4 ? 0}, B= {x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0} ,则 A ? B 等于( A. {x | 1 ? x ? 2或3 ? x ? 4} C. {1 , 2, 3, 4} )

B. {x | 1 ? x ? 2且3 ? x ? 4} D. {x | ?1 ? x ? ?4或2 ? x ? 3}

2.设二次不等式 ax2 ? bx ? 1? 0 的解集为 {x | ?1? x ? } ,则 ab 的值为( A.-6 3.已知函数 y ? A. a ? 0 4 B.-5 C.6 D.5

1 3

)

ax2 ? 2 x ? 3 ,若 x 的取值范围是全体实数,则实数 a 的取值范围是(
B. a ?

)

1 3
2

C. a ?

1 3

D. 0? a ?

1 3

5.若关于实数 x 的方程 x ? ax ? a ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则实数 a 的取值范围是
2

.

5

高次不等式的解法一般用穿根法. 基础过关: 1.集合 A= {x | x ? 5x ? 4 ? 0}, B= {x | x ? 5x ? 6 ? 0} ,则 A ? B 等于(
2 2

)

A. {x | 1 ? x ? 2或3 ? x ? 4}

B. {x | 1 ? x ? 2且3 ? x ? 4} D. {x | ?1 ? x ? ?4或2 ? x ? 3}
6

, 2, 3, 4} C. {1

2.设二次不等式 ax2 ? bx ? 1? 0 的解集为 {x | ?1? x ? } ,则 ab 的值为( A.-6 3.已知函数 y ? A. a ? 0 B.-5 C.6 D.5

1 3

)

ax2 ? 2 x ? 3 ,若 x 的取值范围是全体实数,则实数 a 的取值范围是(
B. a ?

)

1 3

C. a ?

1 3
)

D. 0? a ?

1 3

4.若不等式 ax2 ? bx ? c?0(a ? 0) 的解集为 ? ,则(

A. a?0, b 2 ? 4ac?0 B. a?0, b 2 ? 4ac ? 0 C. a?0, b 2 ? 4ac ? 0 D. a?0, b 2 ? 4ac?0 5.若关于实数 x 的方程 x ? ax ? a ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则实数 a 的取值范围是
2 2

. 典型例题: 例一 : 已知关于 x 的不等式 (a ? b) x ? (2a ? 3b)?0 的解集是 ? ? ?,? ? , 求关于 x 的不等式

? ?

1? 3?

(a ? 3b) x ? (b ? 2a)?0 的解集.

变式练习:求不等式 ax ? 1?a ? x(a ? R) 的解集.
2

例二:解关于 x 的不等式 ax ? 2(a ? 1) x ? 4?0(a ? R) .
2

变式练习:设 m? R ,解关于 x 的不等式 m x ? 2mx ? 3?0 .
2 2

7

例三:已知不等式 ax2 ? bx ? c? 0 的解集为 ?? , ? ?(0?? ? ? ) ,求不等式 cx 2 ? bx ? a? 0 的解集.

巩固与提高: 一.选择题:
2 2 1.已知集合 M ? {x | x ?4}, N ? {x | x ? 2x ? 3?0} ,则集合 M ? N 等于(

)

A. {x | x? ?2}

B. {x | x?3}

C. {x | ?1? x? 2}
2

D. {x | 2? x?3}

2. 设集合 P ? {m | ?1?m?0}, Q ? {m ? R | mx ? 4mx ? 4?0对任意实数 x恒成立 } , 则下列关系 中成立的是( A. P ? Q
2

) B. Q ? P C. P ? Q ) C. ?? 1,1? ) D. ?? ?,?1? ? ?1,??? D. P ? Q ? ?

3.不等式 x ? | x | ?2?0( x ? R) 的解集是( A. ?? 2,2? B. ?? ?,?2? ? ?2,???

4.若 a>0,b>0,则不等式 ? a ? ?b 的解集是(

1 x

1 1 ? x? 0或0? x? } a b 1 1 C. {x | ? ? x ? 0或0? x ? } b a
A. {x | ?

1 1 ? x? } b a 1 1 D. {x | x ?? 或x? } a b
B. {x | ?

5.已知 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) ? 2, 且 ?、? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根且 a ?b, ? ? ? , 则 a, b, ? , ? 的 大小关系是( A a ?? ?b? ? . 二.填空题: 6.关于实数 x 的方程 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 有两个正根,则实数 m 的取值范围是
2 2

) B. a ?? ? ? ?b C. ? ? a ?b? ? D. ? ? a ? ? ?b

.

8

7.要使 sin x ? 3 cos x ?

4m ? 6 有意义,则 m 的取值范围是 4?m

.

8.关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集是 ?1,??? ,则关于 x 的不等式

ax ? b ? 0 的解集是 x?2

.

9 若函数 f(x) 为偶函数,且在 ?0,??? 内是增函数,又 f(-2010)=0 ,则不等式 xf(x)<0 的解集 是 三.解答题: .

10.解关于 x 的不等式: x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ?0

11.设函数 f ( x) ? ?4 x ? b ,且不等式 | f ( x) | ?c 的解集为 {x | ?1? x? 2} .(1)求 b 的值;(2)解关于 x 的 不等式(4x+m)f(x)>0(m ? R )

12. 已 知 不 等 式 ax ? 3x ? 6? 4 的 解 集 为 {x | x?1, 或x?b} .(1) 求 a,b;(2) 解 不 等 式
2

ax2 ? (ac ? b) x ? bc?0 .

9


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