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2012高考文科数学函数与导数 (答案详解)


2012 文科高考专题汇编-----函数与导数 选择题
1.(全国)函数 y ?

x ?1( x ? ?1) 的反函数为(

) B. y ? x 2 ? 1( x ? 1) D. y ? x 2 ? 1( x ? 1)

A. y ? x 2 ? 1( x ? 0) C. y ? x 2 ? 1( x ? 0) 2.(广东)下列函数为偶函数的是( A. y ? sin x B. y ? x3 )

C. y ? e x

D. y ? ln

x2 ? 1

?1, x ? 0 ?1, x为有理数 ? 3.(福建)设 f ( x ) ? ?0, x ? 0 , g ( x ) ? ? ,则 f ( g (? )) 值为( ) ?0, x为无理数 ?? 1, x ? 0 ?
A.1 B.0
1 2

C. ? 1

D. ? )

4.(北京)函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点个数为(
x

1 2

A.0

B.1

C.2

D.3 )

1 5.(全国课标)当 0< x ≤ 时, 4x ? loga x ,则 a 的取值范围是 ( 2 A.(0, 2 ) 2 B.( 2 ,1) 2 C.(1, 2) D.( 2,2) )

6.(辽宁)函数 y ? A. ? 1,1] ( C.[1,+∞)

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为( 2
B. (0,1] D. (0,+∞) ) B.

7.(安徽) log2 9 )· log3 4)=( ( ( A.

1 4

1 2

C. 2

D. 4

8.(湖南)设定义在 R 上的函数 f (x) 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?( x ) 是 f (x) 的导函 数,当 x ??0, ? ? 时, 0 ? f ( x) ? 1 ;当 x ? (0, ? ) , x ? 数 y ? f ( x) ? sin x 在[ ? 2? , 2? ] 上的零点个数为( A.2 B.4 C.5 D. 8

?
2
)

时 , (x ?

?
2

) f ?( x) ? 0 ,则函

? x2 ? 1 x ? 1 ? 9.(江西)设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( f (3)) =( x ?1 ? ?x
A.

)

1 5

B.3

C.5

2 3

D.

13 9


10.(四川) 函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(

A 11. (山东)设函数 f ( x) ?

B

C

D

1 , g ( x) ? ? x2 ? bx .若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且仅有 x

两个不同的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是( ) A. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 C. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 B. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 D. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

12.(重庆)设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处取得极小 值,则函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是

13.(浙江)设 a ? 0, b ? 0, c ? 0, e 是自然对数的底数(
a b A. 若 e ? 2a ? e ? 3b ,则 a ? b

)

B. 若 e ? 2a ? e ? 3b ,则 a ? b
a b a b C. 若 e ? 2a ? e ? 3b ,则 a ? b

D. 若 e ? 2a ? e ? 3b ,则 a ? b
a b

14.(天津)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( A. y ? cos2 x, x ? R B. y ? log2 x , x ? R, x ? 0 C. y ?

)

e x ? e?x ,x?R 2

D. y ? x 3 ? 1, x ? R 15.(陕西)函数 f ( x) ? A. x ?

2 ? ln x 则 x



) B. x ?

1 为 f (x) 的极大值点 2

1 为 f (x) 的极小值点 2

C. x ? 2 为 f (x) 的极大值点

D. x ? 2 为 f (x) 的极小值点

16. (福建)已知 f ( x) ? x3 ? 6x 2 ? 9x ? abc, a ? b ? c , f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 .现给出如 且 下结论:① f (0) f (1) ? 0 ② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 . 其中正确结论的序号是( A.①③ ) B.①④ C.②③ D.②④

填空题
1.(广东)函数 y ?

x ?1 的定义域为_________ x

2.(山东)若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,且函数

g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=_________

3.(重庆) 若 f ( x) ? ( x ? a)(x ? 4) 为偶函数,则实数 a =__________

? x , x ? 0. ? 4. (陕西)设函数发 f ( x) ? ? 1 ,则 f ( f (?4)) ? _________ ( )x , x ? 0 ? ? 2
5. (江苏)函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是_________ 6.(全国新课标)曲线 y ? x(3ln x ?1) 在点(1,1)处的切线方程为_________

7.(全国)设函数 f ( x ) =

( x ? 1) 2 ? sin x 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=_________ x2 ?1

8.(北京)已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 N ? 2 .若 ?x ? R f (x) ? 0 或 g (x)

? 0 ,则 m 的取值范围是________
9.(安徽)若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3,??) ,则 a =_____. 10.(上海)已知函数 y ? f ( x) 的图像是折线段 ABC ,其中 A(0, 0) 、 B ( ,1) 、 C (1, 0) , 函数 y ? xf ( x) ( 0 ? x ? 1 )的图像与 x 轴围成的图形的面积为 11.(上海)已知 y ? f ( x) 是奇函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 ,则 g (?1) ?

1 2

12.(天津)已知函数 y ? 值范围是 .

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取

13.(北京)已知函数 14.(浙江 ) 设函 数

f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a 2 ) ? f (b 2 ) =__________

f (x) 是定 义在 R 上的 周期为 2 的偶 函数 , 当 x∈[0,1]时,

3 f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( ) =__________ 2

解答题
3 1、 (浙江)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 4 x ? 2ax ? a

(1)求 f (x) 的单调区间 (2)证明:当 0 ? x ? 1 时, f (x) ? 2 ? a >0. 2、 (天津)已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a , x ? R 其中 a ? 0 . 3 2

(I)求函数 f (x) 的单调区间; (II)若函数 f (x) 在区间 (?2,0) 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)当 a ? 1 时,设函数 f (x) 在区间 [t , t ? 3] 上的最大值为 M (t ) ,最小值为 m(t ) ,记

g (t ) ? M (t ) ? m(t ) ,求函数 g (t ) 在区间 [?3,?1] 上的最小值。
3、 (湖南)已知函数 f ( x) ? e - ax ,其中 a >0.
x

(1)若对一切 x ? R , f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合; (2)在函数 f (x) 的图像上去定点 A( x1 , f ( x)), B( x2 , f ( x1 )) ( x1 ? x2 ) , 记直线 AB 的斜率为

k ,证明:存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 f ?( x0 ) ? k 恒成立.
2 4、 (广东)设 0 ? a ? 1 ,集合 A ? x ? R x ? 0 , B ? x ? R 2 x ? 3?1 ? a ?x ? 6a ? 0 ,

?

?

?

?

D ? A? B .
(1) 求集合 D (用区间表示) ; (2) 求函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(1 ? a) x2 ? 6ax 在 D 内的极值点. 5、(江苏)若函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y ? f (x) 的极 值点,已知 a, b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 , ,求函数 y ? h( x) 的零点个数.
6、 (山东) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k e=2.71828…是自然对数的底数), 曲线 y ? f ( x) (k 为常数, ex

在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 . 7、 (辽宁)设 f ( x) ? ln x ? x ?1,证明:

3 ( x ? 1) 2 9( x ? 1) (2)当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x?5
(1)当 x ﹥1 时, f ( x ) ? 8、 (重庆)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在点 x ? 2 处取得极值 c ? 16 .
3

(1)求 a, b 的值; (2)若 f (x) 有极大值 28,求 f (x) 在 ?? 3,3? 上的最小值. 9、 (上海)已知 f ( x) ? lg( x ? 1)

(1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围 (2)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? f ( x) ,求函数 y ? g ( x) ( x ??1, 2? )的反函数 10、 (陕西)设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (1)设 n ? 2 , b ? 1,

(n ? N? , b, c ? R)

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(2)设 n 为偶数, f ( ?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b ? 3c 的最小值和最大值; (3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; 11、 (福建)已知函数 f ( x) ? ax sin x ? (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)判断函数 f (x) 在 (0, ? ) 内的零点个数,并加以证明。 12、 (安徽)设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ? (1)求 f ( x ) 的最小值; (2)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 13、 (全国)已知函数 f ( x) ? (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)设 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x 2 ,若过两点 ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线 l 与 x 轴的交 点在曲线 y ? f (x) 上,求 a 的值。
2 x 14、(江西) 已知函数 f ( x) ? (ax ? bx ? c)e 在 ?0,1? 上单调递减且满足 f (0) ? 1, f (1) ? 0 .

? ?3 3 ? (a ? R ), 且在 [0, ] 上的最大值为 , 2 2 2

1 ? b(a ? 0) ax

3 x ,求 a , b 的值。 2

1 3 x ? x 2 ? ax 3

(1)求 a 的取值范围; (2)设 g ( x) ? f (? x) ? f ( x) ,求 g (x) 在 ?0,1? 上的最大值和最小值
' n 15、 (湖北) 设函数 f ( x) ? ax (1 ? x) ? b( x ? 0), n 为正整数,a, b 为常数, 曲线 y ? f (x) 在

1, f (1) 处的切线方程为 x ? y ? 1

(1)求 a, b 的值; (2)求函数 f (x) 的最大值; (3)证明 f ( x ) ?

1 . ne

答案 选择
1.A 6.B 11.B 2.D 7 .D 12. C 3.B 8.B 13. A 4.B 9.D 14. B 5.B 10.C 15. D

16. C

填空
1. [?1,0) ? (0,??) 3. 4 5、 ( ?

1 4 4.、4
2.

1 , ?) 2

6、 4 x ? y ? 3 ? 0 7、2 8、 (?4,0) 9、 a ? ?6 10、

1 4

11、3 12、 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 2 13、2 14、

3 2

解答题
1、 (浙江).(1)由题意得 f ?( x) ? 12 x ? 2a ,
2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ??, ??? . 当 a ? 0 时,f ?( x) ? 12( x ?

? a a? a a , 此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? )( x ? ), ?. 6 6 ? 6 6?

(2)由于 0 ? x ? 1 ,当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4x3 ? 2ax ? 2 ? 4x3 ? 4x ? 2 . 当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4x3 ? 2a(1 ? x) ? 2 ? 4x3 ? 4(1 ? x) ? 2 ? 4x3 ? 4x ? 2 . 设 g ( x) ? 2 x3 ? 2 x ? 1,0 ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? 6 x ? 2 ? 6( x ?
2

3 3 )( x ? ). 3 3
? 3 ? ? ? 3 ,1? ? ? ?
+ 增 1 1

则有

x

0

? 3? ? 0, ? 3 ? ? ? ?
0

3 3

g ?( x )
g ( x)
1



极小值

所以 g ( x)min ? g (

3 4 3 ) ? 1? ?0. 3 9

3 当 0 ? x ? 1 时, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 .

故 f ( x) ? a ? 2 ? 4x ? 4x ? 2 ? 0 .
3

2、 天津) f ' ( x) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? ( x ? 1)(x ? a) , f ' ( x) ? 0, 得 x1 ? ?1, x2 ? a ? 0 . ( (1) 由 当 x 变化时, f ' ( x) , f (x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f (x)

(??,?1)
+ 增

?1
0 极大值

(?1, a)


a
0 极小值

(a,??)
+ 增

故函数 f (x) 的单脚递增区间是 (??,?1) , (a,??) ;单调递减区间是 (?1, a) . (2)解: (1) f (x) 在区间 (?2,?1) 内单调递增, 由 知 在区间 (?1,0) 内单调递减, 从而函数 f (x)

? f (?2) ? 0 1 ? 在区间 (?2,?1) 内恰有两个零点,当且仅当 ? f ( ?1) ? 0 ,解得 0 ? a ? . 3 ? f ( 0) ? 0 ?
所以, a 的取值范围是 (0, ) .

1 3

3、 (湖南)解:(1) f ?( x) ? e x ? a, 令 f ?( x) ? 0得x ? ln a . 当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单 调递减 ;当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调 递增 ,故 当

x ? ln a 时, f ( x) 取最小值 f (ln a) ? a ? a ln a.
于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1恒成立,当且仅当

a ? a ln a ? 1.
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 a ? 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (2)由题意知, k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e x2 ? e x1 ? ? a. x2 ? x1 x2 ? x1 e x2 ? e x1 ,则 x2 ? x1

令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? e x ?

? ( x1 ) ? ?

e x1 ?e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1? , ? x2 ? x1 ?

e x2 ?e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1? . ? ( x2 ) ? ? x2 ? x1 ?
令 F (t ) ? e ? t ?1 ,则 F ?(t ) ? e ? 1 .
t t

当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增.
t 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.

从而 e

x2 ? x1

? ( x2 ? x1 ) ?1 ? 0 , e

x1 ? x2

e x1 e x2 ? 0, ? 0, ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? 0, 又 x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, 即 f ?( x0 ) ? k 成立.

【点评】 本题考查利用导函数研究函数单调性、 最值、 不等式恒成立问题等, 考查运算能力, 考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出 f ( x ) 取最小值

f (ln a) ? a ? a ln a. 对一切 x ? R ,f(x) ? 1 恒成立转化为 f ( x)min ? 1从而得出求 a 的取值
集合; 第二问在假设存在的情况下进行推理, 然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题, 通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断. 4、 (广东)解: (1)由 2x ? 3?1 ? a?x ? 6a ? 0 有
2

2 ? ? ?? 3?1 ? a?? ? 4 ? 2 ? 6a ? 3?3a ? 1??a ? 3?
1 ○ ? ? 0 ,即 3?3a ? 1??a ? 3? ? 0



1 ?a?3 3

又?

0 ? a ?1
2

? 当 1 ? a ? 1时, 2x 3
2 ○当 ? ? 0 时, a ?

? 3?1 ? a?x ? 6a ? 0 恒成立。B=R

? D ? A ? B ? A ? ?0,???
1 2 , B ? x ? R 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ? ?x x ? 1? 3

?

?

? D ? A ? B ? ?0,1? ? ?1,???
3 ○当 ? ? 0 时, 0 ? a ?

1 ,方程 2x 2 ? 3?1 ? a?x ? 6a ? 0 有两个不同的根 x1 , x2 . 3

其中 x1 ? 且 x1 ? 0

3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30a ? 9 , 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30a ? 9 x2 ? 4 4
(显然 ?3?1 ? a?? ? 9a 2 ? 18a ? 9 ? 9a 2 ? 30a ? 9 )
2

?
? ? 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? ? 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? ?? D ? A ? B ? ? 0, , ? ?? ? ? ? ? 4 4 ? ? ? ?
(2) ,由 f ??x? ? 6 x 2 ? 6?1 ? a ?x ? 6a ? 0 有

x1 ? a,
1 ○当

x2 ? 1

1 ? a ? 1 时, D ? ?0,??? 3

x
f ?? x ?

?0, a ?
+

a
0

?a,1?


1 0

?1,???
+

f ?x ?

?

?

?

?

函数 f ?x ? 在 D 内的极值点为 x ? a 或 x ? 1

2 ○当 a ?

1 时, D ? ?0,1? ? ?1,??? 3

x
f ?? x ?

? 1? ? 0, ? ? 3?
+

1 3
0

?1 ? ? ,1? ?3 ?


?1,???
+

f ?x ?

?

?

?

?
3 ○

函数 f ?x ? 在 D 内的极值点为 x ? 当

1 3
时 ,

0?a?

1 3

? ? 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? ? 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? ?? D ? ? 0, , ? ?? ? ? ? ? 4 4 ? ? ? ?
2 2 ? x1 ? a ? 3?1 ? a ? ? 9a ? 30a ? 9 ? a ? ?3 ? a ? ? 9a ? 30a ? 9

(0 ? a ?

4

4

1 ) 3

而 ?3 ? a ?2 ?

? 9a

2

? 30 a ? 9

? ? 24a ? 8a
2

2

? 8a?3 ? a? ? 0

?

x1 ? a ? 0 ,即 x1 ? a

?3a ? 1? ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? 0 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30a ? 9 x1 ? 1 ? ?1 ? 4 4
(0 ? a ?

1 ) 3

?
同理 x2 ? 1 ?

a ? x1 ? 1

3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30a ? 9 9a 2 ? 30a ? 9 ? ?1 ? 3a ? ?1 ? 4 4

(0 ? a ?

1 ) 3



? 9a

2

2 ? 30 a ? 9 ? ?1 ? 3a ? ? 8 ? 24a ? 8?1 ? 3a ? ? 0 2

?

?

x2 ? 1 ? 0 ,即 x2 ? 1 ,故

x
f ?? x ?

?0, a ?
+

a
0

?a, x1 ?


?x2 ,???
+

f ?x ?

?

?

?

?
综合上述:

函数 f ?x ? 在 D 内的极值点为 x ? a

1 ? a ? 1 时,函数 f ?x ? 在 D 内的极值点为 x ? a 或 x ? 1 ; 3 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ?x ? 在 D 内的极值点为 x ? a 3


5、(江苏)解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a =0,b = ? 3 (2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ?1? ? x ? 2? ,解得 x1 =x2 =1,x3 = ? 2
2

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x < 1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x = ? 2 是 g ( x) 的极值点 ∵当 ?2 < x < 1 或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x =1 不是 g ( x) 的极值点 ∴ g ( x) 的极值点是-2 (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 先讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况: d ?? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意到 f ( x) 是奇函数, ∴ f ( x)=2 的两个不同的根为一和 2 当 d < 2 时,∵ f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0 , f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 , ∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x)=d 的根。 由(1)知 f' ( x)=3? x ? 1?? x ? 1? 。 ① 当 x ? ? 2, ? ? 时, f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数,从而 f ( x) > f (2)=2 。 ?

此时 f ( x)=d 在 ? 2, ?? 无实根。 ? ② 当 x ? ?1 2 ? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。 , 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x)=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。 ③ 当 x? ? ?1 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。 , 又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 d =2 时, f ( x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当 d < 2 时

f ( x)=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5
现考虑函数 y ? h( x) 的零点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1,2 =2 t 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个零点 ( 11 )当 c < 2 时, f (t )=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 ,满足 ti < 2,i=3, 4, 5 而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点 综上所述,当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个零点 【考点】函数的概念和性质,导数的应用。
1 ? ln x ? k 6、 (山东)解析:(1) f ?( x) ? x , ex

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 . e

1 ? ln x ? 1 (2)由(1)知, f ?( x) ? x . ex

设 k ( x) ?

1 1 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, x x x

由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 .

综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . (3)由(2)可知, x ? 1 时,g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e?2 , 当 故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在 0 ? x ? 1 时 成立. 当 0 ? x ? 1 时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?

1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex

设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) , 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 . 7、 (辽宁)(1)证明:记 g ( x) ? ln x ?

3 x ? 1 ? ( x ? 1) ,则当 x ? 1 时 2

g ' ( x) ?

1 1 3 ? ? ?0 x 2 x 2

又 g (1) ? 0 ,有 g ( x) ? 0 即 f ( x) ?

3 ( x ? 1) . 2

(2)记 h( x) ? f ( x) ?

9( x ? 1) .由(Ⅰ)得 x?5

h' ( x) ?

1 1 54 ? ? x 2 x ( x ? 5) 2

?
?

2? x 54 ? 2x ( x ? 5) 2
x?5 54 ? 4 x ( x ? 5) 2

?

( x ? 5) 3 ? 2 1 x 6 . 2 4 x( x ? 5)

3 令 g ( x) ? ( x ? 5) ? 216x .则当 1 ? x ? 3 时.

g ' ?x? ? 3( x ? 5) 2 ? 2 1 6 0 . ?
因此 g (x) 在 (1,3) 内是递减函数.又由 g (1) ? 0, 得 g ( x) ? 0 .所以 h' ( x) ? 0 . 因 此 h(x) 在 (1,3) 内 是 递 减 函 数 , 由 h(1) ? 0, 得 h( x) ? 0 . 于 是 当 1 ? x ? 3 时 ,

f ( x) ?

9( x ? 1) . x?5

8、 (重庆)解(1):因为 f ( x) ? ax3 ? bx ? c ,故 f ' ( x) ? 3ax2 ? b . 由于 f (x) 在 x ? 2 处取得极值 c ? 16 .

故有 ?

? f ' (2) ? 0 , ? f (2) ? c ? 16

即?

?2a ? b ? 0 ?2a ? b ? 0 ,化简得 ? , ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8

解得 a ? 1, b ? ?12 . (2)由(1)知 f ( x) ? x 3 ? 12x ? c ;

f ' ( x) ? 3x 3 ? 12 ? 3( x ? 2)(x ? 2).
令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 . 当 x ? (??,?2) 时, f ' ( x) ? 0 .故 f (x) 在 (??,?2) 上为增函数; 当 x ? (?2,2) 时, f ' ( x) ? 0 .故 f (x) 在 (?2,2) 上为减函数; 当 x ? (2,??) 时, f ' ( x) ? 0 .故 f (x) 在 (2,??) 上为增函数; 由 此 可 知 f (x) 在 x1 ? ?2 处 取 得 极 大 值 f (?2) ? 16 ? c. f ( x) 在 x2 ? 2 处 取 得 极 小

f (2) ? c - 16.
有题设条件知 c ? 16 ? 28 得 c ? 12 . 此时 f (-3) ? 9 ? c ? 21. f (3) ? -9 ? c ? 3. f (2) ? c - 16 ? -4. 因此 f (x) 在 ?? 3,3? 上的最小值为 f (2) ? -4. 9、 (上海)解(1):由 ?

?2 - 2 x ? 0 得 - 1 ? x ? 1. ?x ? 1 ? 0

2 - 2x 2 - 2x ? 1 得1 ? ? 10 . x ?1 x ?1 2 1 因为 x ? 1 ? 0, 所以 x ? 1 ? 2 - 2 x ? 10 x ? 10,? ? x ? 3 3
由 0 ? lg(2 - 2 x) - lg( x ? 1) ? lg

?? 1 ? x ? 1 2 1 ? 由? 2 1 得? ? x ? 3 3 ?? 3 ? x ? 3 ?
(2)当 x ??1,2? 时 2 ? x ? ?0,1?, 因此

y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x)
由单调性可得 y ? ?0, lg 2?
x 因为 x ? 3 ? 10x , 所以所求反函数是 y ? 3 ? 10 , x ? ?0, lg 2?

10、 (陕西)解(1).当 b ? 1, c ? ?1 , n ? 2 时, f ( x) ? x n ? x ? 1

1 1 1 1 ? f ( ) f (1) ? ( n ? ) ?1 ? 0,? f ( x) 在 ( ,1) 内存在零点 2 2 2 2 1 ' n?1 又当 x ? ( ,1) 时 , f ( x) ? nx ? 1 ? 0 2 1 ? f ( x)在( ,1) 上是单调递增的 2 1 ? f ( x)在( ,1) 内存在唯一零点 2
(2)由题意知 ? 1 ? f (1) ? 1 ? b ? c ? 1,即 ? 2 ? f ? b ? c ? 0

? 1 ? f (?1) ? 1 ? b ? c ? 1即 ? 2 ? ?b ? c ? 0 ? ?6 ? 2(b ? c) ? (?b ? c) ? b ? 3c ? 0
当 b ? 0, c ? ?2 时 b ? 3c ? ?6

b ? c ? 0 时, b ? 3c ? 0
(3)当 n ? 2 时 f ( x) ? x ? bx ? c
2

对任意 x1,x2 ? ?? 1,1?都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 等价于 f (x) 在 ?? 1,1? 上的最大值与最小 值差 M ? 4 ,据此分类讨论如下 (i) 当

b ? 1, 即 b ? 2 时, M ? f (1) ? f (?1) ? 2 b ? 4 与题设矛盾 2

b b b ? 1 即 0 ? b ? 2 时 M ? f (1) ? f (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 恒成立 2 2 2 b b b 0 ? ? 1 即 ? 2 ? b ? 0 时 M ? f (?1) ? f (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 (iii) 2 2 2 综上可知 ? 2 ? b ? 2
(ii) 当 ?1 ? ?

11、 (福建)解(1). f ( x) ? a (sin x ? x cos x), x ? (0,
'

?
2

),? sin x ? x cos x ? 0

当 a ? 0 时 f ( x) ? ? 当 a ? 0 , x ? (0,

?

3 ,不合题意 2

) 时 , f ' ( x) ? 0 从而 f (x) 在 (0, ) 内单调递减 2 2

?

又 f (x) 在 ?0, 不合题意

3 ? ?? ? ?? ? 上的图像是连续不断的,故 f (x) 在 ?0, 2 ? 上的最大值为 f (0) ? ? 2 ? 2? ? ?

当 a ? 0 , x ? (0,

?

) 时 , f ' ( x) ? 0 单从而 f (x) 在 (0, ) 内单调递增 2 2

?

又 f (x) 在 ?0, ? 上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 , 故 f (x) 在 ?0, ? 上 的 最 大 值 为 2 2

? ?? ? ?

? ?? ? ?

? ? 3 ? ?3 f( )? a? ? 2 2 2 2
解得 a ? 1 综上所述,得 f ( x ) ? x sin x ?

3 2

(2) f (x) 在 (0, ? ) 内有且只有两个零点 由(1)知 f ( x ) ? x sin x ?

3 3 ? ? 3 ? ?3 ? 0, 从而, f (0) ? ? ? 0 , f ( ) ? a ? ? 2 2 2 2 2 2

? ?? f (x) 在 ?0, ? 上的图像是连续不断的 ? 2?
∴ f (x) 在 (0,

?

? ?? ) 上至少有一个零点,又由(1)知 f (x) 在 ?0, ? 上单调递增, 2 ? 2?

故 f (x) 在 (0,

?

?? ? ) 上只有一个零点,当 x ? ? , ? ? 时,令 g ( x) ? f ' ( x) ? sin x ? x cosx , 2 ?2 ?

? ?? ? ?? ? g ( ) ? 1 ? 0, g (? ) ? ?? ? 0 , (x) 在 ? ,? ? 上连续, g ∴存在 m ? ? , ? ? 使得 g (m) ? 0 2 ?2 ? ?2 ?
?? ? ?? ? g ' ( x) ? 2 cos x ? x sin x ? 0,? g ( x) 在 ? ,? ? 上 递 减 , 当 x ? ? , m ? 时 , ?2 ? ?2 ? ?? ? g ( x) ? g (m) ? 0 即 f ' ( x) ? 0 从而 f (x) 在 x ? ? , m ? 上单调递增 ?2 ?

故当 m ? ?

? ? ?3 ?? ? ?? ? ? 0 ,故 f (x) 在 ? , m? 无零点 , m? 时, f ( x) ? f ( ) ? 2 2 ?2 ? ?2 ?

当 x ? ?m, ? ? 时,有 g ( x) ? g (m) ? 0 即 f ' ( x) ? 0 故 f (x) 在 ?m, ? ? 内单调递减 又 f (m) ? 0, f (? ) ? 0 ,且 f (x) 在 ?m, ? ? 上的图像是连续不断的,从而 f (x) 在 (0, ? ) 内有 且仅有一个零点 12、 (安徽)解(1) f ( x) ? ax ? 当且仅当 ax ? 1( x ?

1 1 ? b ? 2 ax? ? b ? b ? 2 ax ax

1 ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 a 3 1 3 (2)由题意得: f (1) ? ? a ? ? b ? ① 2 a 2 1 1 3 f ?( x) ? a ? 2 ? f ?(1) ? a ? ? ② ax a 2
由①②得: a ? 2, b ? ?1 13、 (全国)解: (1) f ( x) ? x 2 ? 2x ? a ? ( x ? 1)2 ? a ?1 (i)当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,且仅当 a ? 1 , x ? ?1 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f (x) 是 R 上的 增函数; (ii)当 a ? 1 时, f ( x) ? 0 有两个根
'

x1 ? ?1 ? 1 ? a , x2 ? ?1 ? 1 ? a
当 x ? (??,?1 ? 1 ? a ) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 是增函数. 当 x ? (?1 ? 1 ? a ,?1 ? 1 ? a ) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 是减函数. 当 x ? ( ? 1 ? 1 ? a ,??) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 是增函数. (Ⅱ)由题设知, x1 , x2 为方程 f ( x) ? 0 的两个根,故有
' 2 a ? 1 , x12 ? ?2 x1 ? a , x2 ? ?2 x2 ? a .

因此

f ( x1 ) ?

1 3 x1 ? x12 ? ax1 3 1 2 = x1 ( ?2 x1 ? a ) ? x1 ? ax1 3

1 2 2 x1 ? ax1 3 3 1 2 ? (?2 x1 ? a ) ? ax1 3 3 2 a = (a ? 1) x1 ? . 3 3 2 a 同理, f ( x2 ) ? (a ? 1) x2 ? . 3 3 因此直线 l 的方程为 2 a y ? (a ? 1) x ? 3 3
= 设 l 与 x 轴的交点为 ( xo ,0) .得 x0 ?
3

a . 2(a ? 1)
2

1? a ? ? a ? a2 ? ?? ? ? f ( x0 ) ? ? 3 ? 2(a ? 1) ? ? 2(a ? 1) ? 2(a ? 1) ? ? ? ?
=

a2 (12a 2 ? 17a ? 6). 3 24(a ? 1)

有题设知,点 ( xo ,0) 在曲线 y ? f (x) 上,故

f ( x0 ) ? 0 .
解得 a ? 0, 或a ?

2 3 , 或a ? . 3 4

14、(江西) 解(1) f (0) ? c ? 1 , f ( x) ? (a ? b ? c)e ? 0, a ? b ? ?1 , 则 f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 1 e , f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? a e
2 x ' 2

?

?

?

?

x

以题意须对于任意 x ? (0,1) ,有 f ( x) ? 0
' 2 ' 当 a ? 0 时,因为二次函数 y ? ax ? (a ? 1) x ? a 的图像开口向上,而 f (0) ? ?a ? 0 所以

须 f (1) ? (a ? 1)e ? 0, 即 0 ? a ? 1 ;
' ' 2 x 当 a ? 1 时,对任意 x ? (0,1) 有 f ( x) ? ( x ?1)e ? 0, f ( x) 符合条件; ' x 当 a ? 0 时,对任意 x ? (0,1) f ( x) ? ? xe ? 0, f ( x) 符合条件; ' 当 a ? 0 时,因 f (0) ? ?a ? 0 , f (x) 不符合条件

(2)因 g ( x) ? (?2ax ? 1 ? a)e , g ( x) ? (?2ax ? 1 ? a)e
x '

x

(i)当 a ? 0 时 , g ' ( x) ? e x ? 0, g ( x) 在 x ? 0 上取得最小值 g (0) ? 1 ,在 x ? 1 上取得最大 值 g (1) ? e ( ii ) 当 a ? 1 时 对 任 意 x ? (0,1) 有 , g ' ( x) ? ?2 xe x ? 0, g ( x) 在 x ? 0 上 取 得 最 大 值

g (0) ? 2 ,在 x ? 1 上取得最小值 g (1) ? 0
(iii)当 0 ? a ? 1 时,由 g ' ( x) ? 0 得 x ? ①x?

1? a 1 ? 1 即 0 ? a ? 时 , g (x) 在 ?0,1? 上 单 调 递 增 , g (x) 在 x ? 0 取 得 最 大 值 2a 3

1? a ?0 2a

g (0) ?1 ? a 在 x ? 1 取得最大值 g (1) ? (1 ? a)e
②x?

1? a 1 1? a 1? a ? 1 即 ? a ? 1 时 g (x) 在 x ? 取得最大值 g ( )2ae 2 a 2a 3 2a 2a

1? a

在 x ? 0 或 x ? 1 取得最小值,而 g (0) ?1 ? a , g (1) ? (1 ? a)e 则当

1 e ?1 ?a? 时, g (x) 在 x ? 0 取得最小值 g (0) ?1 ? a ; 3 e ?1 e ?1 ? a ? 1 时, g (x) 在 x ? 1 取得最小值 g (1) ? (1 ? a)e e ?1

15、 (1)因为 f (1) ? b ,由点 (1, b) 在 x ? y ? 1 上,可得 1 ? b ? 1, 所以 b ? 0 因为 f ( x) ? anx
' n?1

? a(n ? 1) x n ,所以 f ' (1) ? ?a

有因为切线 x ? y ? 1 的斜率为 ? 1 ,所以 ? a ? ?1 ,即 a ? 1 所以 a ? 1 , b ? 0 (2)由(1)知, f ( x) ? x (1 ? x) ? x ? x
n n n ?1

, f ' ( x) ? (n ? 1) x n?1 (

n ? x) n ?1

' 令 f ( x) ? 0 ,解得 x ?

n n ?1 n n ?1

' 即 f ( x) 在 (0,??) 上有唯一零点 x0 ?

f (x) 在 (0,
调递减

n n ) 上 f ' ( x) ? 0 ,故 f (x) 单调递增;在 ( ,?? ) 上 f ' ( x) ? 0 , f (x) 单 n ?1 n ?1

f (x) 在 (0,??) 上的最大值为 f (

n n n n nn )?( ) (1 ? )? n ?1 n ?1 n ? 1 (n ? 1) n?1

(3)令? (t ) ? ln t ? 1 ? (t ? 0) ,则? (t ) ? ?
'

1 t

1 1 t ?1 ? 2 (t ? 0) t t2 t

而在 (0,1) 上? ' (t ) ? 0 ,故? (t ) 单调递减;而在 (1,??) 上? ' (t ) ? 0 ,故? (t ) 单调递增 故在 (0,??) 上的最小值为? (1) ? 0 ,所以? (t ) ? 0 (t ? 1) 即 ln t ? 1 ? (t ? 1) ,令 t ? 1?

1 t

1 n ?1 1 n ? 1 n?1 ? ) ? ln e 得 ln ,即 ln( n n n ?1 n

所以 (

n ? 1 n?1 nn 1 ) ? e ,即 ? n ?1 n ne (n ? 1)

由(2)知, f ( x) ? ln( 故所证不等式成立

n ? 1 n ?1 ) ? ln e n



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