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高中数学第1章导数及其应用1.2.1常见函数的导数学案苏教版选修2


1.2.1 学习目标 常见函数的导数 1.能利用导数定义,求几个常见函数的导数,领悟求导数算法的基本思想 .2. x 牢记常见函数的导数公式,并能应用公式求基本初等函数的导数.3.掌握函数 y=a (a>0, a≠1)与 y=logax(a>0,a≠1)的求导公式及应用. 知识点一 幂函数与一次函数的导数 思考 1 由导数的几何意义能否确定 y=kx+b(k≠0)的导数. 1 1 1 2 -1 -2 思考 2 根据 x′=1, (x )′=2x, (x )′=-x 以及(x )′= x- 能归纳出幂函数 f(x) 2 2 2 =x 的导数公式吗? n 1.(kx+b)′=k(k,b 为常数),特别地,C′=0(C 为常数). 2.(x )′=α x α α -1 . 知识点二 基本初等函数的求导公式 思考 1 计算过程(cos π π 1 )′=-sin =- 正确吗? 6 6 2 思考 2 如何利用(ln x)′推出(logax)′? 原函数 导函数 f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0,且 a≠1) f(x)=e x f′(x)=______ f′(x)=______ f′(x)=______ f′(x)=ex f(x)= 1 f(x)=logax(a>0,且 a≠1) xln a 1 f(x)=ln x f′(x)= x 1 类型一 基本初等函数求导公式的应用 例 1 求下列函数的导数: π 5 2 (1)y= x ;(2)y=sin(x+ ); 2 (3)y=2sin cos ;(4)y=log 1 x -log 1 x. 2 2 2 2 x x 2 反思与感悟 (1)基本初等函数的求导公式是解决求函数导数问题的基本工具,适当变形, 恰当选择公式,准确套用公式是解决此类问题的关键. (2)不能直接求导的函数,应先对原函数变形化简,然后再求导运算. 跟踪训练 1 求下列函数的导函数: (1)y=x x;(2)y=2 ;(3)y=cos -sin . 2 2 -x 2 x 2 x 类型二 利用导数公式解决切线有关问题 1 2 例 2 (1)已知 P,Q 为抛物线 y= x 上两点,点 P,Q 横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别 2 作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的坐标为________. (2)已知两条曲线 y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处 2 两条曲线的切线互相垂直?并说明理由. 反思与感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况: ①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. ②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. (2)求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤: 跟踪训练 2 已知函数 y=kx 是曲线 y=ln x 的一条切线,则 k=________. 类型三 利用导数公式求最值问题 例 3 求抛物线 y=x 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离. 2 反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式,可求其图象在某一点 P(x0,y0)处的切线方程, 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,一般都与函数图象的切线有关.解题时 3 可先利用图象分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算. 跟踪训练 3 已知直线 l: 2x-y+4=0 与抛物线 y=x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点, 试求与直线 l


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