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数列5求数列的前n项和专题学生用


东北师大附中高三数学 (文、 第一轮复习 理)

017

数列(五)数列的前 n 和专题(2 课时)
命题人:李海军 2007 年 10 月 一.高考考点:1.等差数列等比数列前 n 项和公式;2.裂项求和;3.错位相减求和; 4.倒序相加求和;5.需要现进行放缩再求和(多见于数列与不等式的证明问题) . 二.知识总结: 1.数列 {an } 为等差数列,若数列 {bn } 满足 bn ? 利用裂项的方法求和. 解: bn ?

1 ,则求数列 {bn } 的前 n 项和利用 a n a n ?1

1 1 1 ( ? ) ,记 {bn } 的前 n 项和为 S n , d a n a n?1

则 S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ??? ? ) d a1 a 2 a 2 a3 a3 a 4 a n a n?1 1 1 1 ( ? ) d a1 a n ?1

?

练习:求以下数列 {an } 的前 n 项和公式: (1) a n ?

1 1 2n ? 1 2n ? 1

(2) a n ?

1 n ? n ?1

1

2.数列 {cn } 满足: cn ? an bn ,其中数列 {an } 是等差数列,数列 {bn } 是等比数列.则 求数列 {cn } 的前 n 项和用错位相减法.方法如下: 设数列 {an } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ,

S n ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? an bn qSn ? a1b2 ? a2b3 ? ? ? an?1bn ? an bn?1

故 (1 ? q)S n ? a1b1 ? (a2 ? a1 )b2 ? (a3 ? a2 )b3 ? ? ? (an ? an?1 )bn ? an bn?1 (*) 于是(*)式中,除第一项和最后一项外,每一项都变成了 (an ? an?1 )bn (n ? 2) 的形式, 由于 {an } 是等差数列,故 an ? an?1 ? d 为常数,故又变成了等比数列的求和问题. 练习: (1)数列 {an } 的通项公式为 an ? (2n ? 1)2 n ,求该数列的前 n 项和.

(2)求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

3.倒序相加求和:
1 2 3 n 例:求 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn .

2

4. (理科用)关于数列的不等式证明问题,主要思路是通过将前 n 项和放缩成为一个等 比数列再求和或放缩成能用裂项求和,求和之后再进行不等式的证明。 例 1 (2006 年全国卷 I)设数列 ?an ? 的前 n 项的和

Sn ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1,2,3 …… 3 3 3

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?
n 3 2n , n ? 1,2,3 ……,证明: ? Ti ? 2 Sn i ?1

例 2(2006 年福建卷)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

3

综上,小于号的不等式几乎都能够通过扩大放成等比数列或裂项来进行求和处理,因为 这类问题求和之后是(常数 ? f (n) )的形式而 f (n) ? 0 ,故可证小于成立,而大于号的 不等式则较为复杂,需要综合运用不等式的知识进行配凑,下面举一例。 例
2 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 值 , a1 ? 1 , 对 任 意 n ? N * , an ?1 ?1 ? 4an (an ? 1) , bn ? log2 (an ? 1) 都成立.

(1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;

(2)当 k >7 且 k ? N * 时,证明对任意 n ? N * 都有

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? 成立. bn bn?1 bn?2 bnk ?1 2

4

练习 1(2007 浙江理 21 题) 已 知 数 列

?an ?

中 的 相 邻 两 项 a2k ? ,a k 2是 关 于 x 的 方 程 1

,3, x 2 ? (3k ? 2 k ) x ? 3k ? 2 k ? 0 的两个根,且 a2k ?1 ≤ a2k (k ? 1 2,?) .
(I)求 a1 , a2 , a3 , a7 ; (II)求数列 ?an ? 的前 2n 项和 S 2n ;
? 1 ? sin n ? 3? , (Ⅲ)记 f ( n) ? ? 2 ? sin n ?

Tn ?

(?1) f (2) (?1) f (3) (?1) f (4) (?1) f ( n?1) , ? ? ? …? a1a2 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n

1 5 求证: ≤ Tn ≤ (n ? N* ) . 6 24

5

练习 2:2007 天津 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* . (Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立.

6


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